3.1 外測度.ppt

1、第一節(jié) 外測度,第三章 測度論,1.引言,其中,新的積分（Lebesgue積分,從分割值域入手）,問題：如何把長度,面積,體積概念推廣?,圓的面積,達(dá)布上和與下和,Riemann積分,Jordan測度,Jordan外測度（外包）,Jordan可測,Jordan內(nèi)測度（內(nèi)填）,例：設(shè)E為0,1中的有理數(shù)全體，則E不Jordan可測,由于任一覆蓋0,1中的有理數(shù)全體的有限開覆蓋也一定 能覆蓋除有限個(gè)點(diǎn)外的 0,1，從而,由于無理數(shù)在0,1中稠密，故任一開區(qū)間都不可能含在E內(nèi)， 從而,所以 ，即E不Jordan可測,2 Lebesgue外測度(外包),與Jordan外測度比較：,下確界：,即：用一開

2、區(qū)間列 “近似”替換集合E,例 設(shè)E是0,1中的全體有理數(shù)，試證明E的外測度為0,證明：由于E為可數(shù)集，,再由的任意性知,思考：3.我們知道有理數(shù)與無理數(shù)在0,1上都稠密，問證明中的開區(qū)間列是否覆蓋了區(qū)間0,1,由無理數(shù)集在0,1上稠密可知,上面敘述的錯(cuò)誤出在取，因?yàn)閕的取定依賴于,思考：4.對Jordan外測度，我們用有限個(gè)開區(qū)間覆蓋0,1中的有理數(shù)全體，則這有限個(gè)開區(qū)間也覆蓋0,1（除有限個(gè)點(diǎn)外）,注：對可數(shù)個(gè)開區(qū)間不一定有從左到右的一個(gè)排列 （如antor集的余集的構(gòu)成區(qū)間）,5.對Lebesgue外測度，我們用可數(shù)個(gè)開區(qū)間覆蓋0,1中的 有理數(shù)全體，是否這可數(shù)個(gè)開區(qū)間也覆蓋0,1 （除

3、可數(shù)個(gè)點(diǎn)外）,（2）Lebesgue外測度的性質(zhì),(b)的證明:能覆蓋B的開區(qū)間列也一定能覆蓋A，從而 能覆蓋B的開區(qū)間列比能覆蓋A的開區(qū)間列要少， 相應(yīng)的下確界反而大。,（b）單調(diào)性：,（a）非負(fù)性： ， 當(dāng)E為空集時(shí)，,（C）次可數(shù)可加性,證明：對任意的0,由外測度的定義知，對每個(gè)An都有 一列開區(qū)間（即用一開區(qū)間I nm列近似替換An）,注：一般證明都是 從大的一邊開始， 因?yàn)橥鉁y度的定義 用的是下確界,由的任意性，即得,注：外測度的次可數(shù)可加性的等號即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可測集），但有:,當(dāng)區(qū)間Ii的直徑很小時(shí)候，區(qū)間Ii不可能同時(shí)含有A， B中的點(diǎn)從而把區(qū)間列Ii分成兩部分，一部分含有A 中的點(diǎn)，一部分含有B中的點(diǎn)。,若d(A,B) 0,則,例,證明參見教材p-56 思考：書本中的證明用有限開覆蓋定理的目的何在？ 此例說明Lebesgue外測度某種程度是區(qū)間長度概念的推廣,對任意區(qū)間 ，有,例：Cantor集的外測度為