西農(nóng)概率論第一章.ppt

1、2020/7/27,1,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),主講人： 朱志勇 西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院,Probability A,B出現(xiàn), C不出現(xiàn); 三個(gè)事件都出現(xiàn); 三個(gè)事件至少有一個(gè)出現(xiàn); 三個(gè)事件都不出現(xiàn); 不多于一個(gè)事件出現(xiàn); 不多于兩個(gè)事件出現(xiàn); 三個(gè)事件至少有兩個(gè)出現(xiàn); A, B 至少有一個(gè)出現(xiàn), C 不出現(xiàn); A，B，C 中恰好有兩個(gè)出現(xiàn)。,2020/7/27,61,解,2020/7/27,62,概率論研究的一個(gè)基本任務(wù)就是給隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小一個(gè)合理而科學(xué)的測度。,1.2事件發(fā)生的概率,這也就意味著我們需要找到一個(gè)定義在一個(gè)由隨機(jī)試驗(yàn)的所有隨機(jī)事件構(gòu)成的集合上的集函數(shù)使得它能科學(xué)合理的反

2、映集合當(dāng)中每個(gè)元素發(fā)生的可能性大小。,2020/7/27,63,1.2.1 古典概型中的概率定義,我們稱具有下列兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型：,（1）試驗(yàn)只有有限個(gè)可能的的基本結(jié)果;,（2）每次試驗(yàn)中，每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同。,古典概型中的概率定義，只適用于古典概型。,2020/7/27,64,例1.7 將一枚硬幣拋擲3次。（1）設(shè)事件A1為恰有一次出現(xiàn)正面，求P(A1)。（2）設(shè)事件A2為至少有一次出現(xiàn)正面，求P(A2)。,解：,該實(shí)驗(yàn)的樣本空間=HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT。,（1）因?yàn)锳1=HTT，THT，TTH，,故 P(A1)=3/8。,2020

3、/7/27,65,例1.8,設(shè)一批產(chǎn)品有a件次品，b件合格品，隨機(jī)從中抽取n件產(chǎn)品，求抽到的n件產(chǎn)品中正好有k件是次品的概率。,考慮如下兩種情況:,（1）有放回抽取 （2）不放回抽取,記 A=抽到的n件產(chǎn)品正好有k件次品,2020/7/27,66,樣本空間中的樣本點(diǎn)總數(shù)為,（1）有放回抽取,概率論中稱為是二項(xiàng)分布的概率公式,2020/7/27,67,（2）無放回抽取,概率論中稱為超幾何分布的概率公式,恰好取出k個(gè)紅球的組合數(shù),2020/7/27,68,例1.8 30只元件中有27只一等品，3只二等品。隨機(jī)將30只元件平均分裝入三盒，求： （1）每盒有一只二等品的概率； （2）有一盒有3只二等品

4、的概率。,解： （1）把3只二等品平均分到三個(gè)盒子有：,1,2,3,3x2x1種分法。,余下的27只應(yīng)該平 均分到3個(gè)盒子中；,2020/7/27,69,第2個(gè)問題，首先從3個(gè)盒子中任選一個(gè) 出來放3只二等品，這個(gè)盒子的另7只從 余下的27個(gè)一等品中選；,2020/7/27,70,2020/7/27,71,1.2.2幾何概型中的概率定義,若隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間是某一有界可測量的區(qū)域（可以是一維，二維，n維空間的），此區(qū)域中每個(gè)點(diǎn)都是E的樣本點(diǎn)，其樣本點(diǎn)具有所謂的“均勻性質(zhì)”，即樣本點(diǎn)落入中任意一子區(qū)域（事件）A的概率與A的長度（面積，體積，,n維體積）成正比，而與A的形狀和位置無關(guān)，我們稱這種

5、隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概率模型。為方便起見，我們統(tǒng)稱長度，面積，,n維體積為測度。,定義 設(shè)E為幾何概型,A為其任意一個(gè)事件，它的樣本空間的測度為()， (A)為事件A的測度，則事件A的概率為,2020/7/27,72,例1.8 隨機(jī)在單位圓內(nèi)擲一點(diǎn)M，求M點(diǎn)到原點(diǎn)距離小于1/4的概率。,1,1/4,解：,2020/7/27,73,例1.8 某貨運(yùn)碼頭僅能容一船卸貨，而甲、乙兩船在碼頭卸貨時(shí)間分別為1小時(shí)和2小時(shí)，設(shè)甲、乙兩船在24小時(shí)內(nèi)隨時(shí)可能到達(dá)，求它們中任何一船都不需要等待碼頭空出的概率。,解：,2020/7/27,74,24,Y=x+1,Y=x-2,2020/7/27,75,2020/7/27

6、,76,零概率事件不一定不發(fā)生,例如在0,1區(qū)間上任意取一個(gè)隨機(jī)數(shù),則這個(gè)隨機(jī)數(shù)恰好等于0.5的概率是多少?,P=點(diǎn)(0.5)的長度/0,1區(qū)間的長度=0,2020/7/27,77,1.2.3概率的統(tǒng)計(jì)定義,大量實(shí)踐表明：頻率有波動(dòng)性，但隨著試驗(yàn)次數(shù)增加，頻率總穩(wěn)定在某個(gè)值附近。,設(shè)A是隨機(jī)試驗(yàn)E的一個(gè)隨機(jī)事件，若在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生了k次，則稱k/n為事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為fn(A)=k/n。,在歷史上，為了驗(yàn)證這一點(diǎn)，許多學(xué)者對(duì)拋硬幣進(jìn)行了觀察，一些記錄如下表所示:,2020/7/27,78,正面出現(xiàn)的頻率,拋擲次數(shù)的增加,1/2,2020/7/27,79,容易驗(yàn)證，頻

7、率具有下列性質(zhì)：,2020/7/27,80,概率的統(tǒng)計(jì)定義,設(shè)在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的n次試驗(yàn), 事件A出現(xiàn)了K次。若隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，事件A發(fā)生的頻率f（）穩(wěn)定地在某一常數(shù)P附近擺動(dòng), 且n越大,擺動(dòng)幅度越小, 則稱P為事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率, 記作P（A）。,2.以上概率的統(tǒng)計(jì)定義對(duì)試驗(yàn)沒有特殊限制，適用于所有隨機(jī)試驗(yàn)。優(yōu)點(diǎn)是易于理解，在試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)能給出概率的近似值；不足是粗糙、模糊和不便使用。,注,2020/7/27,81,設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，是它的樣本空間。對(duì)于每一個(gè)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù) P(A),稱為事件A 的概率，如果集合函數(shù)P()滿足以下三條：,1.2.4 概率的公理化定

8、義,非負(fù)性,規(guī)范性,可列可加性,1933年，（前）蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥落夫提出的,2020/7/27,82,1.3 概率的性質(zhì),性質(zhì)1,證明：因,，由可列可叫性，,所以，,概率的有限可加性,這里的概率是公理化定義中的概率,2020/7/27,83,證明：,且,則由可列可加性，有,2020/7/27,84,性質(zhì)3 設(shè)A，B是隨機(jī)試驗(yàn)E的兩個(gè)事件，且,證明：,2020/7/27,85,性質(zhì)4,證明：,性質(zhì)5,2020/7/27,86,證明：,由圖可得,又由性質(zhì)3得,因此得,2020/7/27,87,加法公式可以推廣到有限個(gè)事件的情況，下面給出三個(gè)事件的情況,2020/7/27,88,例1.7 A，B

9、為兩事件，已知,解：,A,AB,B,2020/7/27,89,2020/7/27,90,1.4 條件概率與事件的獨(dú)立性,2020/7/27,91,1.4.1 條件概率,例1.8 在有兩個(gè)小孩家庭中,按年齡大小排好序后考慮其性別，已知其中一個(gè)是女孩,問另一個(gè)也是女孩的概率是多少?(假定生男生女是等可能的),解: 由題意,樣本空間為: 男，女），（女，男），（女，女）,分析：在有兩個(gè)小孩的家庭中，按年齡大小排好序后觀察兩個(gè)孩子性別時(shí)，其樣本空間為（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），在已知其中一個(gè)是女孩的前提下，按年齡大小排好序后觀察孩子性別時(shí)，其樣本空間為（男，女），（女，男），（女，

10、女）。,記A=另一個(gè)也是女孩,則 P(A)=1/3.,2020/7/27,92,如果記B=兩個(gè)孩子中至少有一個(gè)是女孩，C=兩個(gè)都是女孩。,則已知一個(gè)是女孩，則另一個(gè)也是女孩的概率等價(jià)于已知B發(fā)生的條件下，C發(fā)生的概率。,記為P(C|B),2020/7/27,93,定義1,設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且P(B)0，則稱,為已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率。,有兩種計(jì)算P(A|B)的方法，一是條件概率的定義，二是考慮在已知事件B發(fā)生的條件下的樣本空間計(jì)算A發(fā)生的概率。,2020/7/27,94,例1.9 袋中有7個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中無放回地隨機(jī)摸3個(gè)球，已知其中之一是黑球，試求其余兩球都是白球

11、的概率。,解：設(shè)A=取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)是黑球，B=取出的3個(gè)球中至少有兩個(gè)白球。故所求事件的概率為P(BA)。,方法1.利用條件概率定義計(jì)算。此時(shí)樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)為 ,事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù) 。,事件AB包含的樣本點(diǎn)數(shù) 。,2020/7/27,95,方法2. 考慮已知A發(fā)生的條件下的樣本空間，則,易知,條件概率具有如下性質(zhì):,2020/7/27,96,例1.10 某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率0.8, 活到25歲以上的概率為0.4, 如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物, 問它能活到25歲以上的概率是多少?,解：設(shè)A表示“一動(dòng)物能活20歲以上”，B表示“一動(dòng)物能活25歲以上”,則有,2

12、020/7/27,97,5.乘法公式,2020/7/27,98,抓鬮是否與次序有關(guān)?,例1.11 五個(gè)鬮, 其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫著“有”字， 三個(gè)鬮內(nèi)不寫字，五人依次抓取,問每個(gè)人抓到“有”字鬮的概率是否相同?,則有,2020/7/27,99,依此類推,故抓鬮與次序無關(guān)。,2020/7/27,100,1.4.2事件的獨(dú)立性,先看一個(gè)例子 一個(gè)盒子中有只黑球、只白球，從中有放回地摸球。求（1）第一次摸到黑球的條件下，第二次摸到黑球的概率；（2）第二次摸到黑球的概率。設(shè)A表示“第一次摸到黑球”；B表示“第二次摸到黑球”。,從結(jié)果可以看出：第一次抽到黑球并沒有影響到第二次抽到黑球的概率，即在這個(gè)試驗(yàn)中，有

13、P(BA)=P(B)。,所以，P（AB）=P(A)P(B),容易計(jì)算得：,2020/7/27,101,定義2 設(shè)A,B是任意兩個(gè)事件，若P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。,事件A與事件B相互獨(dú)立的實(shí)質(zhì)是： “事件A發(fā)生與事件B發(fā)生互不影響”,定理 下列四組事件相互獨(dú)立性等價(jià)。,2020/7/27,102,證明：只證明,另一方面,2020/7/27,103,事件獨(dú)立性的推廣,有限個(gè)事件的獨(dú)立性,2020/7/27,104,2020/7/27,105,例1.12 設(shè)一均勻堆成的四面體，第一面涂為紅色，第二面涂為黃色，第三面涂為籃色，第四面紅黃藍(lán)三種顏色各涂一部分。旋轉(zhuǎn)上拋，

14、下落到地面后，觀察接觸地面面的顏色。記A1表示接觸地面面有紅色；A2表示接觸地面面有黃色；A3表示接觸地面面有藍(lán)色。試判斷的獨(dú)立性。,解：由題設(shè)條件與古典概率定義有,2020/7/27,106,直覺未必可信 必須深入研究,從而,但是,2020/7/27,107,例1.13 3人獨(dú)立地破譯一組密碼，他們各自能破譯密碼的概率分別為1/5，1/3，1/4。試求此密碼能被破譯出的概率。,解：設(shè)Ai=第i個(gè)人破譯出密碼,i=1,2,3。,解法一：,解法二：,則密碼能被破譯出這一事件可表示為A1+A2+A3。,2020/7/27,108,1.5全概率公式與貝葉斯公式,例1.14 一在線計(jì)算機(jī)系統(tǒng),有3條輸

15、入線,其性質(zhì)如下表:,通訊線,通訊量份額,無誤差的訊息份額,1,2,3,0.4,0.35,0.25,0.9998,0.9999,0.9997,(1)求一隨機(jī)選擇的進(jìn)入訊號(hào)無誤差地被 接受的概率;,2020/7/27,109,例1.14 (續(xù)),解: 設(shè)事件B:“一訊號(hào)無誤差地被接受”,Ai：“訊號(hào)來自于第i條通訊線”，i=1,2,3,由題意，問題轉(zhuǎn)化為B=BA1+BA2+BA3，所以，,思考：引起事件B發(fā)生的因素,2020/7/27,110,例1.14 (續(xù)),我們的思路：是把樣本 空間分割成了3個(gè)不相 交的部分，這樣，事件 B也被分割成3部分：,利用乘法 公式可得,2020/7/27,111

16、,例1.14 (續(xù)),(2)已知一訊號(hào)是有誤差地被接受,則這一 訊號(hào)最有可能來自哪條通訊線路?,（本質(zhì)是一個(gè)條件概率）,2020/7/27,112,全概率與Bayes公式,設(shè)A1,A2, ，An是隨機(jī)試驗(yàn)E的一個(gè)互斥事件完備群，若P(Ai)0，i=1，n，則對(duì)E的任意事件B，有,全概率公式,Bayes公式,2020/7/27,113,圖示,證明,化整為零 各個(gè)擊破,全概率公式的證明,2020/7/27,114,例1.15 一盒中裝有12個(gè)球,其中8個(gè)是新球,第一次比賽從盒中任取兩球,使用后放入盒中,第二次比賽時(shí)再從盒中任取兩球,求:,(1)第2次取出兩個(gè)新球的概率,(2)已知第2次取出兩個(gè)新球

17、,而第一次 僅取出1個(gè)新球的概率.,解:把第1次取球的所有可能情況,作為樣本空間的劃分。 記Ai=第1次取出i個(gè)新球,i=0,1,2. B=第二次取出兩個(gè)新球。則由全概率公式和貝葉斯公式,2020/7/27,115,例1.15(續(xù)),=0.5333,2020/7/27,116,1.5貝努利概型,定義 如果試驗(yàn)E0僅有兩個(gè)可能的結(jié)果：,其中0P1。我們稱將E0獨(dú)立重復(fù)地做n次的,試驗(yàn)E為n重貝努利試驗(yàn),有時(shí)簡稱貝努利試驗(yàn)或貝努利概型。,例如，假設(shè)每個(gè)同學(xué)到圖書館去只有兩個(gè)結(jié)果：借書或不借書。顯然,每個(gè)同學(xué)是否借書是相互獨(dú)立的,如果每個(gè)同學(xué)借書的概率是p,那么觀察n個(gè)同學(xué)到圖書館的借書情況就構(gòu)成一個(gè)n重貝努利試驗(yàn).,記n重貝努利試驗(yàn)E的一個(gè)基本事件為：,2020/7/27,117,對(duì)n重貝努利試驗(yàn)，我們關(guān)心的是在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生k次的概率問題。,分析：記Bk=n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生k次,2020/7/27,118,二項(xiàng)式概率定理,設(shè)試驗(yàn)E是由試驗(yàn)E0形成的n重貝努利概型。,例1.16 將一枚均勻硬幣拋擲1