高一數(shù)學第七講 數(shù)列教師用 人教版

1、高一數(shù)學第七講 數(shù)列教師用http:/www.DearEDU.com一、數(shù)列的最大與最小項和最值問題1直接求函數(shù)的最大值或最小值，根據(jù)的類型，并作出相應(yīng)的變換，運用配方、重要不等式性質(zhì)或根據(jù)本身的性質(zhì)求出的最值。2研究數(shù)列的正數(shù)與負數(shù)項的情況，這是求數(shù)列的前n項和的最大值或最小值的一種重要方法.二、數(shù)列的求和（一）常用方法1拆項求和法：將一個數(shù)列拆成若干個簡單數(shù)列（如等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)數(shù)列等等），然后分別求和.2并項求和法：將數(shù)列的相鄰的兩項（或若干項）并成一項（或一組）得到一個新的且更容易求和的數(shù)列.3裂項求和法：將數(shù)列的每一項拆（裂開）成兩項之差，使得正負項能互相抵消，剩下首尾若干項

2、.4錯位求和法：將一個數(shù)列的每一項都作相同的變換，然后將得到的新數(shù)列錯動一個位置與原數(shù)列的各項相減，這是仿照推導等比數(shù)列前n項和公式的方法.（二）學習要點： “數(shù)列求和”是數(shù)列中的重要內(nèi)容，在中學高考范圍內(nèi)，學習數(shù)列求和不需要學習任何理論，上面所述求和方法只是將一些常用的數(shù)式變換技巧運用于數(shù)列求和之中. 在上面提到的方法中，“拆項”、“并項”、“裂項”方法使用率比較高。三、數(shù)列其他知識1(1) （2） 2遞推數(shù)列：(1)能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前n項(2)由 解題思路：利用 變化（1）已知 (2)已知例1（1）已知，則 =_。 解（2）從盛滿a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加滿，再倒出b升

3、，再用水加滿；這樣倒了n次，則容器中有純酒精_升。解析：第一次容器中有純酒精ab即a(1)升，第二次有純酒精a(1)，即a(1)2升，故第n次有純酒精a(1)n升.答案：a(1)n（3）則此數(shù)列的前13項之和等于_。（4）數(shù)列an是首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第六項為正，第七項為負，則前n項和Sn的最大值_。解：由已知a6=a15d=235d0，a7=a16d=236d0，解得:d，又dZ，d=4d0，an是遞減數(shù)列，又a60，a70當n=6時，Sn取得最大值，S6=623 (4)=78例2首項為正數(shù)的等差數(shù)列，它的前4項之和與前11項之和相等，問此數(shù)列前多少項之和最大？解法一記的前n

4、項和為， 解法二由解法二知是首項為正數(shù)的單調(diào)遞減數(shù)列，所有的正數(shù)項的和最大，中前7項為正數(shù)項，從第9項開始各項為負數(shù)，而最大.評析解法一抓住了是二次函數(shù)的特點，通過配方法直接求出了最大項. 而解法二通過考察的單調(diào)性與正、負項的情況得到最大項.例3設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，已知 （1）求公差d的取值范圍； （2）指出中哪一個最大？說明理由； 解析（I） ， ，由、得（II）由、得為遞減數(shù)列，例4解答下述問題：（1）已知數(shù)列的通項公式，求它的前n項和.解析=（2）已知數(shù)列的通項公式求它的前n項和.解析 （3）已知數(shù)列解析為等比數(shù)列，應(yīng)運用錯位求和方法：例5數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，（

5、1）求數(shù)列的前項和的最大值；（2）求數(shù)列的前項和解：（1）由題意：，數(shù)列是首項為3，公差為的等差數(shù)列，由，得，數(shù)列的前項和的最大值為（2）由（1）當時，當時，當時，當時，例6已知數(shù)列的各項為正數(shù)，其前n項和，（I） 求之間的關(guān)系式，并求的通項公式；（II）求證解析（I） ， 而 ，得的等差數(shù)列，（II）例7已知a0且a1，數(shù)列an是首項、公比都為a的等比數(shù)列，令(nN)。（1）當a=2時，求數(shù)列的前n項之和；（2）當a=時，數(shù)列中從第幾項開始每一項總小于它后面的項。解 （1）依題有an=an,bn=nanlga。Sn=(1+2a+3a2+nan1)alga,可求得Sn=1(1+nna)an 當

6、a2時，Sn=21+(n1)2nlg2。（2）令bk+1bk,（kN），則bk+1bk=(k+1)（）k1lgk()klg=()k(k)lg,（）k0,lgbk,k6，故從第七項開始每一項總比它后面的項小。評析這是十分常見的數(shù)列型的不等式證明問題，由于運用了數(shù)列求和的思想，作出了一個巧妙的放縮變換，然后與數(shù)列求和掛上了鉤.訓練題一、選擇題：1已知的最大項是（ C ）A第12項B第13項C第12項或第13項D不存在2數(shù)列的通項公式是中最大項的值是（ B ）AB108CD1093設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項和，且，則下列結(jié)論錯誤的是（ C ）ABCD的最大值4設(shè)=（ C ）A1B0C1D25數(shù)列的前n

7、項和（ D ）ABCD6數(shù)列的通項公式為則數(shù)列的前n項和為（ B ）ABCD二、填空題：8是等差數(shù)列，是其前n項和，則在中最小的是 10設(shè)等差數(shù)列滿足：最大時，n= 20 9已知的前n項和的值為 67 10已知數(shù)列的通項公式是項和為 三、解答題：11已知數(shù)列的通項公式的前多少項之和最大？并求其最大值.（?。┙馕觯菏枪顬榈牡牡炔顢?shù)列，而所有的正數(shù)項之和最大，令12已知數(shù)列中：，（I）求 （II）若最小項的值；（III）設(shè)數(shù)列的前n項為，求數(shù)列的前n項和.解析：（I）（II） （III）當時， 當13數(shù)列中， .（I）若的通項公式；（II）設(shè)的最小值.解析：（I）當n為奇數(shù)時，當n為偶數(shù)時，（II）當n為偶數(shù)時，=（3154）+（3354）+3（n1）54=31+3+5+（n1）14將等差數(shù)列的所有項依次排列，并如下分組：（），（），（），其中第1組有1項，第2組有2項，第3組有4項，第n組有項，記Tn為第n組中各項的和，已知T3