高一數(shù)學(xué)第七講 數(shù)列教師用 人教版

1、高一數(shù)學(xué)第七講 數(shù)列教師用http:/www.DearEDU.com一、數(shù)列的最大與最小項(xiàng)和最值問(wèn)題1直接求函數(shù)的最大值或最小值，根據(jù)的類型，并作出相應(yīng)的變換，運(yùn)用配方、重要不等式性質(zhì)或根據(jù)本身的性質(zhì)求出的最值。2研究數(shù)列的正數(shù)與負(fù)數(shù)項(xiàng)的情況，這是求數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值或最小值的一種重要方法.二、數(shù)列的求和（一）常用方法1拆項(xiàng)求和法：將一個(gè)數(shù)列拆成若干個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列（如等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)數(shù)列等等），然后分別求和.2并項(xiàng)求和法：將數(shù)列的相鄰的兩項(xiàng)（或若干項(xiàng)）并成一項(xiàng)（或一組）得到一個(gè)新的且更容易求和的數(shù)列.3裂項(xiàng)求和法：將數(shù)列的每一項(xiàng)拆（裂開(kāi)）成兩項(xiàng)之差，使得正負(fù)項(xiàng)能互相抵消，剩下首尾若干項(xiàng)

2、.4錯(cuò)位求和法：將一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都作相同的變換，然后將得到的新數(shù)列錯(cuò)動(dòng)一個(gè)位置與原數(shù)列的各項(xiàng)相減，這是仿照推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法.（二）學(xué)習(xí)要點(diǎn)： “數(shù)列求和”是數(shù)列中的重要內(nèi)容，在中學(xué)高考范圍內(nèi)，學(xué)習(xí)數(shù)列求和不需要學(xué)習(xí)任何理論，上面所述求和方法只是將一些常用的數(shù)式變換技巧運(yùn)用于數(shù)列求和之中. 在上面提到的方法中，“拆項(xiàng)”、“并項(xiàng)”、“裂項(xiàng)”方法使用率比較高。三、數(shù)列其他知識(shí)1(1) （2） 2遞推數(shù)列：(1)能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前n項(xiàng)(2)由 解題思路：利用 變化（1）已知 (2)已知例1（1）已知，則 =_。 解（2）從盛滿a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加滿，再倒出b升

3、，再用水加滿；這樣倒了n次，則容器中有純酒精_升。解析：第一次容器中有純酒精ab即a(1)升，第二次有純酒精a(1)，即a(1)2升，故第n次有純酒精a(1)n升.答案：a(1)n（3）則此數(shù)列的前13項(xiàng)之和等于_。（4）數(shù)列an是首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第六項(xiàng)為正，第七項(xiàng)為負(fù)，則前n項(xiàng)和Sn的最大值_。解：由已知a6=a15d=235d0，a7=a16d=236d0，解得:d，又dZ，d=4d0，an是遞減數(shù)列，又a60，a70當(dāng)n=6時(shí)，Sn取得最大值，S6=623 (4)=78例2首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，它的前4項(xiàng)之和與前11項(xiàng)之和相等，問(wèn)此數(shù)列前多少項(xiàng)之和最大？解法一記的前n

4、項(xiàng)和為， 解法二由解法二知是首項(xiàng)為正數(shù)的單調(diào)遞減數(shù)列，所有的正數(shù)項(xiàng)的和最大，中前7項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng)，從第9項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)為負(fù)數(shù)，而最大.評(píng)析解法一抓住了是二次函數(shù)的特點(diǎn)，通過(guò)配方法直接求出了最大項(xiàng). 而解法二通過(guò)考察的單調(diào)性與正、負(fù)項(xiàng)的情況得到最大項(xiàng).例3設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知 （1）求公差d的取值范圍； （2）指出中哪一個(gè)最大？說(shuō)明理由； 解析（I） ， ，由、得（II）由、得為遞減數(shù)列，例4解答下述問(wèn)題：（1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，求它的前n項(xiàng)和.解析=（2）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式求它的前n項(xiàng)和.解析 （3）已知數(shù)列解析為等比數(shù)列，應(yīng)運(yùn)用錯(cuò)位求和方法：例5數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，（

5、1）求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）由題意：，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為的等差數(shù)列，由，得，數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為（2）由（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，例6已知數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和，（I） 求之間的關(guān)系式，并求的通項(xiàng)公式；（II）求證解析（I） ， 而 ，得的等差數(shù)列，（II）例7已知a0且a1，數(shù)列an是首項(xiàng)、公比都為a的等比數(shù)列，令(nN)。（1）當(dāng)a=2時(shí)，求數(shù)列的前n項(xiàng)之和；（2）當(dāng)a=時(shí)，數(shù)列中從第幾項(xiàng)開(kāi)始每一項(xiàng)總小于它后面的項(xiàng)。解 （1）依題有an=an,bn=nanlga。Sn=(1+2a+3a2+nan1)alga,可求得Sn=1(1+nna)an 當(dāng)

6、a2時(shí)，Sn=21+(n1)2nlg2。（2）令bk+1bk,（kN），則bk+1bk=(k+1)（）k1lgk()klg=()k(k)lg,（）k0,lgbk,k6，故從第七項(xiàng)開(kāi)始每一項(xiàng)總比它后面的項(xiàng)小。評(píng)析這是十分常見(jiàn)的數(shù)列型的不等式證明問(wèn)題，由于運(yùn)用了數(shù)列求和的思想，作出了一個(gè)巧妙的放縮變換，然后與數(shù)列求和掛上了鉤.訓(xùn)練題一、選擇題：1已知的最大項(xiàng)是（ C ）A第12項(xiàng)B第13項(xiàng)C第12項(xiàng)或第13項(xiàng)D不存在2數(shù)列的通項(xiàng)公式是中最大項(xiàng)的值是（ B ）AB108CD1093設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ C ）ABCD的最大值4設(shè)=（ C ）A1B0C1D25數(shù)列的前n

7、項(xiàng)和（ D ）ABCD6數(shù)列的通項(xiàng)公式為則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（ B ）ABCD二、填空題：8是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，則在中最小的是 10設(shè)等差數(shù)列滿足：最大時(shí)，n= 20 9已知的前n項(xiàng)和的值為 67 10已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是項(xiàng)和為 三、解答題：11已知數(shù)列的通項(xiàng)公式的前多少項(xiàng)之和最大？并求其最大值.（?。┙馕觯菏枪顬榈牡牡炔顢?shù)列，而所有的正數(shù)項(xiàng)之和最大，令12已知數(shù)列中：，（I）求 （II）若最小項(xiàng)的值；（III）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解析：（I）（II） （III）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)13數(shù)列中， .（I）若的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)的最小值.解析：（I）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，（II）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，=（3154）+（3354）+3（n1）54=31+3+5+（n1）14將等差數(shù)列的所有項(xiàng)依次排列，并如下分組：（），（），（），其中第1組有1項(xiàng)，第2組有2項(xiàng)，第3組有4項(xiàng)，第n組有項(xiàng)，記Tn為第n組中各項(xiàng)的和，已知T3