高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義 第2章 函數(shù)的單調(diào)性與最值學(xué)案 蘇教版

1、學(xué)案五函數(shù)的單調(diào)性和最大值導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義.2.定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性求出函數(shù)的最大值自主整理1 .單調(diào)性(1)定義：一般而言，如果函數(shù)y=f(x )的定義域被設(shè)定為a，并且對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，x1f(x2 )，則f(x )在區(qū)間I中變成單調(diào)_。假設(shè)單調(diào)性定義的等效形式是x1，x2a，b，那么(x1- x2) (f (x1)-f (x2) ) 00 f (x )在(a，b )上是單調(diào)的。(3)單調(diào)區(qū)間：如果函數(shù)y=f(x )在某個(gè)區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)或減函數(shù)，則函數(shù)y=f(x )在區(qū)間I具有單調(diào)性，將單調(diào)增加區(qū)間和

2、單調(diào)減法區(qū)間統(tǒng)稱為函數(shù)y=x (a0)在(-)、()上單調(diào)。 單調(diào)為0，單調(diào)函數(shù)y=x (a0)單調(diào)增加為。2 .最大值一般而言，假設(shè)函數(shù)y=f(x )的定義域?yàn)閍，并且如果存在x0A，那么對于任何x-a都存在f(x)f(x0) (或f(x0) )自我檢測如果函數(shù)y=ax和y=-都是(0，)且是減函數(shù)，那么y=ax2 bx是(0，)且是2.(2011連云港模擬)設(shè)f(x )為(-，)上的關(guān)增函數(shù)，設(shè)a為實(shí)數(shù)，則有f(a2 1)_ .3 .下列函數(shù)為(0，1 )且增函數(shù)為： _ _ _ _ _ _ (填充編號) :y=1-2x； y=； y=-x2 2x； y=5。如果f(x)=x2 2(a-1

3、)x 4是區(qū)間(-，4 )上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的可取值的范圍是在x-0，5的情況下，函數(shù)f(x)=3x2-4x c的值域是點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判定與證明初探示例1通過使用函數(shù)f(x)=(ab0)來獲得f(x )的單調(diào)區(qū)間并且描述在該單調(diào)區(qū)間中f(x )的單調(diào)性。已知在變化轉(zhuǎn)換1中，f(x )是在r中定義的增函數(shù)，并且關(guān)于x-r討論f(x)0，并且f(5)=1，F(xiàn)(x)=f(x )和f(x )探索點(diǎn)二函數(shù)的單調(diào)性和最大值例2已知函數(shù)f(x)=、x1，)。在(1)a=的情況下，求出函數(shù)f(x )的最小值。(2)對于任意的x1，)，f(x)0始終成立，嘗試求出實(shí)數(shù)a的可取值的范圍.在變形轉(zhuǎn)變2中，已知函

4、數(shù)f(x)=x-在(1，)上是增函數(shù)，求出實(shí)數(shù)a的可取值的范圍.點(diǎn)3探索抽象函數(shù)的單調(diào)性對于任意x，y-r，例3函數(shù)f(x )總是f(x) f(y)=f(x y )，在x0的情況下，f(x)0，f(1)(1)求證據(jù)： f(x )在r上是減函數(shù)(2)求出2)f(x )在-3，3 中的最大值和最小值。在變形遷移3中，已知當(dāng)在區(qū)間(0，)中定義的函數(shù)f(x )滿足f()=f(x1)-f(x2)，并且x1時(shí)，f(x )為0。求出(1)f(1)的值(2)判斷2)f(x )的單調(diào)性如果(f(3)=-1，則求解不等式f(|x|)-2。分類討論和數(shù)形結(jié)合思想求出例(14點(diǎn)) f(x)=x2-2ax-1的區(qū)間

5、0，2 中的最大值和最小值?！窘獯饠?shù)字大板塊】解f(x)=(x-a)2-1-a2，對稱軸為x=a.2點(diǎn)在a 0的情況下，從圖可以看出，f(x)min=f(0)=-1，f(x)max=f(2)=3-4a.5分(2)在0a 1的情況下，從圖可以看出，f(x)min=f(a)=-1-a2，f(x)max=f(2)=3-4在(3)12的情況下，從圖可以看出，f(x)min=f(2)=3-4a，f(x)max=f(0)=-1?？傊?，在(1)a0的情況下，f(x)min=-1，f(x)max=3-4a。在0a 1的情況下，f(x)min=-1-a2，f(x)max=3-4a。12點(diǎn)，f (x )最小值=3

6、-4a，f (x )最大值=-1. 14分鐘【突破思維障礙】(1)因?yàn)槎魏瘮?shù)單調(diào)的區(qū)間由圖像的對稱軸決定，所以只要決定對稱軸和區(qū)間的關(guān)系即可(2)是否應(yīng)該分為a 0、0a2、a2三種情況進(jìn)行討論？ 為什么會(huì)有四種情況呢？ 這是因?yàn)?，如果拋物線的對稱軸在與區(qū)間 0，2 對應(yīng)的區(qū)域中，則在頂點(diǎn)獲取最小值，但最大值可能為f(0)，并且最大值可能為f(2)。函數(shù)的單調(diào)性判定和單調(diào)區(qū)間決定的常用方法如下(1)定義法(2)導(dǎo)函數(shù)法(3)畫像法(4)單調(diào)性的演算性質(zhì)如果函數(shù)f(x )、g(x )在區(qū)間I中具有關(guān)單調(diào)性詞，則在區(qū)間I中具有以下性質(zhì)。(1)f(x )具有與f(x) C相同的單調(diào)性。在af(x

7、)的情況下，af(x )和af(x )具有相同的單調(diào)性，在af(x )的情況下，af(x )和af(x )具有相反的單調(diào)性。當(dāng)f(x )不總是等于零時(shí)，f(x )具有相反的單調(diào)性。在g(x )和g(x )都是增加(減法)函數(shù)的情況下，g(x )和g(x )是增加(減法)函數(shù)。在g(x )和g(x )都是增加(減法)函數(shù)時(shí)，g(x )和g(x )都總是大于零時(shí)，是增加(減法)函數(shù)。 在兩者都總是小于零的情況下，是減法(增加)函數(shù)(滿分： 90分)一、填空問題(各問題6分，合訂48分)1.(2010泰州模擬)“a=1”是“函數(shù)f(x)=x2-2ax 3在區(qū)間1，)中被增函數(shù)定”的_ .2.(200

8、9天津改編)如果已知函數(shù)f(x)=f(2-a2)f(a )，則實(shí)數(shù)a的可取值范圍是3.(2009寧夏、海南改編) a、b、c三個(gè)個(gè)數(shù)中的最小值用mina、b、c表示。 假設(shè)f(x)=min2x，x 2，10 -。如果f(x)=-x2 2ax和g(x)=在區(qū)間 1，2 中都是減函數(shù)，則a的可取值的范圍是已知在5.r中定義的增函數(shù)f(x )滿足f(-x) f(x)=0、x1、x2、x3R、x1 x20、x2 x30。(2011淮安調(diào)查)函數(shù)y=-(x-3)|x|的增加區(qū)間是.假設(shè)7.f(x )為遞增函數(shù)，下列結(jié)論必須正確： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (填寫編號

9、)。y=f(x)2是增量函數(shù)。y=是減函數(shù)y=-f(x )是一個(gè)減函數(shù)。y=|f(x)|是一個(gè)增函數(shù)。8.(2011蘇州質(zhì)量檢驗(yàn)) 00成立。(1)判斷并證明1)f(x )在-1，1 上的單調(diào)性(2)解不等式： f(x )3.4.a-3五. -c，55 c班級活動(dòng)區(qū)域例1解題指南對于給出具體解析式的函數(shù)，為了判斷或證明某區(qū)間的單調(diào)性問題，可以結(jié)合定義(基本步驟是取點(diǎn)、制作差、變形、判斷)來求解.導(dǎo)函數(shù)可以利用導(dǎo)函數(shù)來求解.有些函數(shù)可以變換為兩個(gè)以上的基本初等函數(shù)解在定義域內(nèi)任意取x1，x2，并且取x10y=f(x2)-f(x1)=-=。ab0，b-a0，b-a (x2- x1) 0，此外，x(

10、-、-b)(-b、)，x1f(x1)、f (x2)-f (x1)= f (x2) - f (x1) = f (x2) f(x )是r上的增函數(shù)，f(5)=1。在x 5的情況下，在05的情況下為f(x)1；如果是x1x15，則為f(x2)f(x1)1，一個(gè)f，兩個(gè)f，一- 0，一個(gè)F(x2)F(x1)?？偟膩碚f，F(xiàn)(x )在(-，5 )中為減函數(shù)，在(5，)中為增函數(shù)。例2在解(1)a=的情況下，f(x)=x 2，設(shè)為x1，x21，)且x10，f(x1)-f(x2)0、f(x1)0始終成立，與x2 2x a0等價(jià)。假設(shè)y=x2 2x a，x-1，y=x2 2x a=(x 1)2 a-1增加了，在

11、x=1時(shí)，ymin=3 a，僅在ymin=3 a0時(shí)，函數(shù)f(x )始終成立，所以a-3方法f(x)=x 2，x1，)，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x )的值始終為正，滿足主題，并且當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x )增大。在x=1時(shí)，僅在f(x)min=3 a、f(x)min=3 a0時(shí)，函數(shù)f(x)0始終成立，因此a-3方法3區(qū)間1，)中f(x)=0總是成立，這與x2 2x a0總是成立等價(jià)。即，a-x2-2x總是成立。另外，a-x2-2x始終成立。a必須大于函數(shù)u=-x2-2x，x1，)的最大值。a-x2-2x=-(x 1)2 1。在x=1時(shí)，u取得最大值-3、a-3。變形遷移2解設(shè)備10，即a-x1x2總是

12、成立。11、-x1x2-1。a- 1，a可取值的范圍為-1，)。例3解題指南(1)針對抽象函數(shù)的問題，根據(jù)問題設(shè)定和求出的結(jié)論，適當(dāng)取特殊的值來說明抽象函數(shù)的特征，證明f(x )是單調(diào)遞減函數(shù)，優(yōu)先方法用單調(diào)性的定義來證明解(1)方法1函數(shù)f(x )對于任意x，y-r總是f(x) f(y)=f(x y )。如果x=y=0，則f(0)=0。假設(shè)y=-x，則可以獲得f(-x)=-f(x )。用r取x1x2的話，x1-x20、f (x1)-f (x2)=f (x1)-f (x2)=f (x1- x2)。此外，x0時(shí)為f(x)0、x1-x20，f(x1-x2)0，即f(x1)x2，則f(x1)-f(x2)f (x1- x2x2)-f (x2)=f (x1- x2)-f (x2)-f (x2)=f(x1