復(fù)變函數(shù) 5.1.ppt

1、1,第五章 留數(shù),1 孤立奇點(diǎn),2,函數(shù)不解析的點(diǎn)為奇點(diǎn).如果函數(shù)f(z)雖在z0不解析, 但在z0的某一個(gè)去心鄰域0|z-z0|d內(nèi)處處解析, 則z0稱為f(z)的孤立奇點(diǎn).,3,4,將函數(shù)f(z)在它的孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù). 根據(jù)展開式的不同情況對孤立奇點(diǎn)作分類.,5,1. 可去奇點(diǎn) 如果在洛朗級數(shù)中不含z-z0的負(fù)冪項(xiàng), 則孤立奇點(diǎn)z0稱為f(z)的可去奇點(diǎn).這時(shí), f(z)在z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)實(shí)際上就是一個(gè)普通的冪級數(shù):c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.由于,6,所以不論f(z)原來在z0是否有定義, 如果令f(z0)=c0, 則在圓域|z-z

2、0|d內(nèi)就有 f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.,從而函數(shù)f(z)在z0就成為解析的了. 由于這個(gè)原因, 所以z0稱為可去奇點(diǎn).,7,8,2. 極點(diǎn) 如果在洛朗級數(shù)中只有有限多個(gè)z-z0的負(fù)冪項(xiàng), 且其中關(guān)于(z-z0)-1的最高冪為(z-z0)-m, 即f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+. (m1, c-m0),則孤立奇點(diǎn)z0稱為函數(shù)f(z)的m級極點(diǎn). 上式也可寫成,其中 g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+. 在|z-z0|d內(nèi)是解析的函數(shù), 且g(z0

3、)0.,9,反過來, 當(dāng)任何一個(gè)函數(shù)f(z)能表示為(5.1.1)的形式, 且g(z0)0時(shí), 則z0是f(z)的m級極點(diǎn).如果z0為f(z)的極點(diǎn), 由(5.1.1)式, 就有,10,3. 本性奇點(diǎn) 如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多個(gè)z-z0的負(fù)冪項(xiàng), 則孤立奇點(diǎn)z0稱為f(z)的本性奇點(diǎn).,中含有無窮多個(gè)z的負(fù)冪項(xiàng).,11,我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點(diǎn)的類型.,12,4.函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系 不恒等于零的解析函數(shù)f(z)如果能表示成f(z)=(z-z0)mj(z),(5.1.2)其中j(z)在z0解析且j(z0)0, m為某一正整數(shù), 則z0稱為f(z)的m級零點(diǎn).例如當(dāng)f(z

4、)=z(z-1)3時(shí), z=0與z=1是它的一級與三級零點(diǎn), 根據(jù)這個(gè)定義, 我們可以得到以下結(jié)論:如f(z)在z0解析, 則z0是f(z)的m級零點(diǎn)的充要條件是f(n)(z0)=0, (n=0,1,2,.,m-1), f(m)(z0)0 (5.1.3),13,例如z=1是f(z)=z3-1的零點(diǎn), 由于f (1)=3z2|z=1=30, 從而知z=1是f(z)的一級零點(diǎn).,14,由于(5.1.2)中的j(z)在z0解析, 且j(z0)0, 因而它在z0的鄰域內(nèi)不為零. 這是因?yàn)閖(z)在z0解析, 必在z0連續(xù),所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心鄰域內(nèi)不為零, 即不恒為零的解析

5、函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的.,15,這個(gè)定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡單的方法.,16,17,18,2. 復(fù)球面,N,S,O,x,y,P,z,19,除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外, 還可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).取一個(gè)與復(fù)平面切于原點(diǎn)z=0的球面, 球面上的一點(diǎn)S與原點(diǎn)重合. 通過S作垂直于復(fù)平面的直線與球面相交于另一點(diǎn)N. 稱N為北極, S為南極.對復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z, 用直線將z與N相連, 與球面相交于P點(diǎn), 則球面上除N點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一一對應(yīng)的關(guān)系, 而N點(diǎn)本身可代表無窮遠(yuǎn)點(diǎn), 記作.這樣的球面稱作復(fù)球面.,20,關(guān)于的四則運(yùn)算作如下規(guī)定:加法: a+=+a= (a)減法: a-

6、=-a= (a)乘法: a=a= (a0),21,5. 函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài) 如果函數(shù)f(z)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)z=的去心鄰域R|z|內(nèi)解析, 稱點(diǎn)為f(z)的孤立奇點(diǎn).,22,23,規(guī)定, 如果t=0是j(t)的可去奇點(diǎn), m級極點(diǎn)或本性奇點(diǎn), 則稱點(diǎn)z=是f(z)的可去奇點(diǎn), m級極點(diǎn)或本性奇點(diǎn).由于f(z)在R|z|+內(nèi)解析, 所以在此圓環(huán)域內(nèi)可以展開成洛朗級數(shù), 根據(jù)(4.4.5)與(4.4.8),C為R|z|+內(nèi)繞原點(diǎn)任何一條簡單正向閉曲線,24,如果在級數(shù)(5.1.6)中i)不含負(fù)冪項(xiàng), ii)含有有限多的負(fù)冪項(xiàng), 且t-m為最高冪, iii)含有無窮多的負(fù)冪項(xiàng), 則t=0是j(t)的i)

7、可去奇點(diǎn),ii)m級極點(diǎn), iii)本性奇點(diǎn).,25,因此, 在級數(shù)(5.1.5)中, i)不含正冪項(xiàng);ii)含有限多的正冪項(xiàng), 且zm為最高冪;iii)含有無窮多的正冪項(xiàng);則z=是f(z)的i)可去奇點(diǎn);ii)m級極點(diǎn);iii)本性奇點(diǎn).,26,27,28,29,例2 函數(shù),在擴(kuò)充平面內(nèi)有些什么類型的奇點(diǎn)? 如果是極點(diǎn), 指出它的極. 解 易知, 函數(shù)f(z)除使分母為零的點(diǎn)z=0, 1, 2, 外, 在|z|+內(nèi)解析. 由于(sinpz) = pcospz在z=0, 1, 2, 處均不為零, 因此這些點(diǎn)都是sinpz的一級零點(diǎn), 從而是(sinpz)3的三級零點(diǎn). 所以這些點(diǎn)中除去1,-1,2外都是f(z)的三級極點(diǎn).,30,因z2-1=(z-1)(z