彈塑性力學(xué)基礎(chǔ)課件

1、材 料 力 學(xué),1,學(xué)習(xí)交流PPT,彈塑性力學(xué)基礎(chǔ),李 同 林,中國地質(zhì)大學(xué) 力學(xué)教研室,2,學(xué)習(xí)交流PPT,第一章 緒 論,一、 學(xué)科分類 彈塑性力學(xué),二、 彈塑性力學(xué)的研究對象,三、 彈塑性力學(xué)的基本思路與研究方法,四、 彈塑性力學(xué)的基本任務(wù),五、 彈塑性力學(xué)基本假設(shè),六、 彈塑性力學(xué)發(fā)展概況,七、張量概念及其基本運算,3,學(xué)習(xí)交流PPT,一、學(xué)科分類 彈塑性力學(xué),按運動與否分： 靜力學(xué)：研究力系或物體的平衡問題，不涉及 物體運動狀態(tài)的改變；如飛機停在地 面或巡航。,1、學(xué)科分類,4,學(xué)習(xí)交流PPT, 按研究對象分：, 一般力學(xué)： 研究對象是剛體。研究力及其與 運動的關(guān)系。分支學(xué)科有理論力

2、學(xué)，分析力學(xué)等。, 流體力學(xué)：研究對象是氣體或液體。涉及到： 水力學(xué)、空氣動力學(xué)等學(xué)科。, 固體力學(xué)：研究對象是可變形固體。研究材料 變形、流動和斷裂時的力學(xué)響應(yīng)。其分支學(xué)科有： 材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、 塑性力學(xué)、 彈塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、流變學(xué)、疲勞等。,5,學(xué)習(xí)交流PPT,6,學(xué)習(xí)交流PPT,2、彈塑性力學(xué),彈塑性力學(xué)是固體力學(xué)的一個重要分支 學(xué)科，是研究可變形固體受到外荷載或溫度 變化等因素的影響而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位 移及其分布規(guī)律的一門科學(xué)，是研究固體在 受載過程中產(chǎn)生的彈性變形和塑性變形階段 這兩個緊密相連的變形階段力學(xué)響應(yīng)的一門 科學(xué)。,7,學(xué)習(xí)交流PPT,二、 彈塑性力學(xué)

3、的研究對象,在研究對象上，材料力學(xué)的研究對象是固體，且基本上是各種桿件，即所謂一維構(gòu)件。,造成兩者間這種差異的根本原因是什么呢？,彈塑性力學(xué)研究對象也是固體，是不受 幾何尺寸與形態(tài)限制的能適應(yīng)各種工程技術(shù) 問題需求的物體。,8,學(xué)習(xí)交流PPT,三、彈塑性力學(xué)的基本思路與研究方法,1、彈塑性力學(xué)分析問題的基本思路,彈塑性力學(xué)與材料力學(xué)同屬固體力學(xué)的 分支學(xué)科，它們在分析問題解決問題的基本 思路上都是一致的，但在研究問題的基本方 法上各不相同。其基本思路如下：,9,學(xué)習(xí)交流PPT,(1) 受力分析及靜力平衡條件 (力的分析),物體受力作用處于平衡狀態(tài)，應(yīng)當滿足的條件 是什么？（靜力平衡條件）,10

4、,學(xué)習(xí)交流PPT, 彈塑性力學(xué)研究問題的基本方法,1、涉及數(shù)學(xué)理論較復(fù)雜，并以其理論與解 法的嚴密性和普遍適用性為特點； 2、彈塑性的工程解答一般認為是精確的； 3、可對初等力學(xué)理論解答的精確度和可靠 進行度量。,11,學(xué)習(xí)交流PPT,四、 彈塑性力學(xué)的基本任務(wù),可歸納為以下幾點： 1建立求解固體的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布規(guī)律的 基本方程和理論； 2給出初等理論無法求解的問題的理論和方法， 以及對初等理論可靠性與精確度的度量； 3確定和充分發(fā)揮一般工程結(jié)構(gòu)物的承載能力， 提高經(jīng)濟效益； 4為進一步研究工程結(jié)構(gòu)物的強度、振動、穩(wěn)定 性、斷裂等力學(xué)問題，奠定必要的理論基礎(chǔ)。,12,學(xué)習(xí)交流PPT,五、

5、 彈塑性力學(xué)的基本假設(shè),（1）連續(xù)性假設(shè)：假定物質(zhì)充滿了物體所 占有的全部空間，不留下任何空隙。,（2）均勻性與各向同性的假設(shè)：假定物體內(nèi) 部各點處，以及每一點處各個方向上的 物理性質(zhì)相同。,（3）力學(xué)模型的簡化假設(shè)： （A）完全彈性假設(shè) ； （B）彈塑性假設(shè)。,13,學(xué)習(xí)交流PPT, 幾何假設(shè)小變形條件,（A）在彈塑性體產(chǎn)生變形后建立平衡方程時，可以 不考慮因變形而引起的力作用線方向的改變；,從而使得平衡條件與幾何變形條件線性化。,（B）在研究問題的過程中可以略去相關(guān)的二次及二 次以上的高階微量；,假定物體在受力以后，體內(nèi)的位移和變形是微小 的，即體內(nèi)各點位移都遠遠小于物體的原始尺寸，而 且

6、應(yīng)變( 包括線應(yīng)變與角應(yīng)變 )均遠遠小于1。根據(jù) 這一假定：,14,學(xué)習(xí)交流PPT,六、彈塑性力學(xué)發(fā)展概況, 1678年英國科學(xué)家虎克(R.Hooke)提出 了固體材 料的彈性變形與所受外力成正比虎克定律。, 19世紀20年代，法國科學(xué)家納維葉 ( C.L.M.H.Navier )、柯西 ( A.L.Cauchy )和 圣文南 ( A.J.C.B.Saint Venant ) 等建立了 彈性力學(xué)的理論基礎(chǔ)。,15,學(xué)習(xí)交流PPT, 法國科學(xué)家?guī)靷?C.A.Corlomb1773年）、 屈雷斯卡(H.Tresca1864年）、 圣文南和萊 ( M.Levy ) 波蘭力學(xué)家胡勃(M.T.Hoube

7、r1904年）、 米塞斯(R.von Mises1913年）、 普朗特(L.Prandtl 1924) 羅伊斯(A.Reuss 1930)、享奇 （H.Hencky)、 納戴(A.L.Nadai) 、伊留申(A.A.) 闡明了應(yīng)力、應(yīng)變的概念和理論； 彈性力學(xué)和彈塑性力學(xué)的基本理論框架得以確立。,16,學(xué)習(xí)交流PPT,七、張量概念及其基本運算（附錄一）,1、張量概念, 張量分析是研究固體力學(xué)、流體力學(xué)及連續(xù)介 質(zhì)力學(xué)的重要數(shù)學(xué)工具 。, 張量分析具有高度概括、形式簡潔的特點。, 任一物理現(xiàn)象都是按照一定的客觀規(guī)律進行的， 它們是不以人們的意志為轉(zhuǎn)移的。, 分析研究物理現(xiàn)象的方法和工具的選用與人

8、們 當時對客觀事物的認識水平有關(guān)，會影響問題 的求解與表述。,17,學(xué)習(xí)交流PPT, 所有與坐標系選取無關(guān)的量，統(tǒng)稱為物理恒量。, 在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明 的物理量，統(tǒng)稱為標量。例如溫度、質(zhì)量、功等。, 在一定單位制下，除指明其大小還應(yīng)指出其方向 的物理量，稱為矢量。例如速度、加速度等。, 絕對標量只需一個量就可確定，而絕對矢量則需 三個分量來確定。, 若我們以r表示維度，以n表示冪次，則關(guān)于三維 空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表 示成：,（1）,18,學(xué)習(xí)交流PPT, 現(xiàn)令n為這些物理量的階次，并統(tǒng)一稱這些物 理量為張量。, 二階以上的張量已不可能在三維空間有明

9、顯直 觀的幾何意義，但它做為物理恒量，其分量間 可由坐標變換關(guān)系式來解決定義。,當n=0時，零階張量，M=1，標量； 當n=1時，一階張量，M=3，矢量； 、 、 、 當取n時，n階張量，M=3n。,19,學(xué)習(xí)交流PPT, 在張量的討論中，都采用下標字母符號，來表 示和區(qū)別該張量的所有分量。, 不重復(fù)出現(xiàn)的下標符號稱為自由標號。自由標 號在其方程內(nèi)只羅列不求和。以自由標號的數(shù) 量確定張量的階次。, 重復(fù)出現(xiàn)，且只能重復(fù)出現(xiàn)一次的下標符號稱 為啞標號或假標號。啞標號在其方程內(nèi)先羅列， 再不求和。,2.下標記號法, 本教程張量下標符號的變程，僅限于三維空間， 即變程為3。,20,學(xué)習(xí)交流PPT,3

10、.求和約定,關(guān)于啞標號應(yīng)理解為取其變程N內(nèi)所有數(shù)值， 然后再求和，這就叫做求和約定。 例如：,（I-2）,（I-4）,（I-5）,21,學(xué)習(xí)交流PPT, 關(guān)于求和標號，即啞標有：, 求和標號可任意變換字母表示。, 求和約定只適用于字母標號，不適用于數(shù)字標號。, 在運算中，括號內(nèi)的求和標號應(yīng)在進行其它運算前 優(yōu)先求和。例：,（I-12）,（I-13）,22,學(xué)習(xí)交流PPT, 關(guān)于自由標號：,在同一方程式中，各張量的自由標號相同， 即同階且標號字母相同。,自由標號的數(shù)量確定了張量的階次。, 關(guān)于Kronecker delta（ ）符號：,是張量分析中的一個基本符號稱為柯氏符號 （或柯羅尼克爾符號）

11、，亦稱單位張量。其定義為：,（I-17）,23,學(xué)習(xí)交流PPT,4.張量的基本運算,A、張量的加減：,張量可以用矩陣表示，稱為張量矩陣，如：,凡是同階的兩個或幾個張量可以相加(或相減)， 并得到同階的張量，它的分量等于原來張量中標號 相同的諸分量之代數(shù)和。 即：,其中各分量（元素）為：,（I-19）,（I-20）,24,學(xué)習(xí)交流PPT,B、張量的乘積, 對于任何階的諸張量都可進行乘法運算。, 兩個任意階張量的乘法定義為：第一個張量的 每一個分量乘以第二個張量中的每一個分量， 它們所組成的集合仍然是一個張量，稱為第一 個張量乘以第二個張量的乘積，即積張量。積 張量的階數(shù)等于因子張量階數(shù)之和。例如

12、：, 張量乘法不服從交換律，但張量乘法服從分配 律和結(jié)合律。例如：,（I-21）,（I-22）,25,學(xué)習(xí)交流PPT,C、張量函數(shù)的求導(dǎo)：, 一個張量是坐標函數(shù)，則該張量的每個分量都 是坐標參數(shù) xi 的函數(shù)。, 對張量求導(dǎo)，就是把張量的每個分量都對坐標參數(shù) 求導(dǎo)數(shù)。, 對張量的坐標參數(shù)求導(dǎo)數(shù)時，采用在張量下標 符號前上方加“ ”的方式來表示。 例如： ， 就表示對一階張量 的每一個分量對坐標參數(shù) xi 求導(dǎo)。, 對張量的坐標參數(shù)求導(dǎo)數(shù)時，采用在張量下標 符號前上方加“ ”的方式來表示。 例如： ， 就表示對一階張量 的每一個分量對坐標參數(shù) xi 求導(dǎo)。,26,學(xué)習(xí)交流PPT, 如果在微商中下

13、標符號 i 是一個自由下標，則 算子 作用的結(jié)果，將產(chǎn)生一個新的升高一階 的張量； 如果在微商中，下標符號是一個啞標號，則算子 作用的結(jié)果將產(chǎn)生一個新的降低一階的張量。 例如：,（I-23）,（I-24）,（I-25）,（I-25）, 如果在微商中下標符號 i 是一個自由下標，則 算子 作用的結(jié)果，將產(chǎn)生一個新的升高一階 的張量； 如果在微商中，下標符號是一個啞標號，則算子 作用的結(jié)果將產(chǎn)生一個新的降低一階的張量。 例如：,27,學(xué)習(xí)交流PPT,4.張量的分解,張量一般是非對稱的。若張量 的分量滿足,則稱為反對稱張量。顯然反對稱張量中標號重復(fù)的 分量(也即主對角元素)為零，即 。,則 稱為對稱

14、張量。 如果 的分量滿足,（I-27）,（I-28）,28,學(xué)習(xí)交流PPT,第二章 應(yīng)力理論,一、應(yīng)力的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念,二、應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換方程,三、主應(yīng)力應(yīng)力主方向應(yīng)力張量不變量,四、最大(最小)剪應(yīng)力,五、空間應(yīng)力圓.應(yīng)力橢球,六、應(yīng)力張量的分解,七、偏斜應(yīng)力張量 .主偏應(yīng)力.應(yīng)力偏量不變量,八、八面體應(yīng)力等效應(yīng)力,九、平衡（或運動）微分方程,29,學(xué)習(xí)交流PPT,一、應(yīng)力的概念 應(yīng)力狀態(tài)的概念, 應(yīng)力：受力物體 內(nèi)某點某截面上內(nèi) 力的分布集度。,1、應(yīng)力的概念,30,學(xué)習(xí)交流PPT,2、應(yīng)力狀態(tài)的概念：受力物體內(nèi)某點處所取 無限多截面上的應(yīng)力情況的總和，就顯示和表 明了該點的應(yīng)力狀態(tài),必

15、須指明兩點： 1.是哪一點的應(yīng)力； 2.是該點哪個微截面的應(yīng)力。, 表示應(yīng)力的及符號規(guī)則：,正應(yīng)力： 剪應(yīng)力：,第一個字母表明該應(yīng)力作 用截面的外法線方向同哪一個坐標軸相平行。 第二個字母表明該應(yīng)力的 指向同哪個坐標軸相平行。,31,學(xué)習(xí)交流PPT, 應(yīng)力的正負號規(guī)則：,32,學(xué)習(xí)交流PPT,3.應(yīng)力張量,數(shù)學(xué)上，在坐標變換時，服從一定坐標變換式 的九個數(shù)所定義的量，叫做二階張量。根據(jù)這一定 義，物體內(nèi)一點處的應(yīng)力狀態(tài)可用二階張量的形式 來表示，并稱為應(yīng)力張量，而各應(yīng)力分量即為應(yīng)力 張量的元素，且由剪應(yīng)力等定理知，應(yīng)力張量應(yīng)是 一個對稱的二階張量，簡稱為應(yīng)力張量。,據(jù)剪應(yīng)力互等定理 ,應(yīng)力張量

16、應(yīng)是 一個對稱的二階張量。,33,學(xué)習(xí)交流PPT,二.應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換方程,1、任意斜截面上的應(yīng)力,已知 ： 求：P Px 、Py 、 Pz,斜截面外法線為 n， 方向余弦分別為 L1 、L2 、 L3； 面積： SABC=1；SOBC= L1，SOAC= L2， SOAB= L3。,34,學(xué)習(xí)交流PPT,則由單元體力系平衡條件： 、 、 得：,35,學(xué)習(xí)交流PPT,2、應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換方程,表21,36,學(xué)習(xí)交流PPT,（210）,37,學(xué)習(xí)交流PPT,3、平面應(yīng)力狀態(tài), 注意：材力與彈塑性力學(xué)中關(guān)于應(yīng)力符號的差異。,38,學(xué)習(xí)交流PPT,（222）,（221）,（211）,39,學(xué)習(xí)交流PPT,三

17、. 主應(yīng)力 應(yīng)力主方向 應(yīng)力張量不變量,主平面：一點應(yīng)力狀態(tài)剪應(yīng)力等于零的截面稱為主平面； 主應(yīng)力 ：主平面上的正應(yīng)力稱為該點的主應(yīng)力； 主方向 ：主平面的法線方向即為主方向； 主單元體：由主平面截取的單元體稱為主單元體。,設(shè)斜截面ABC為主平面，則：,40,學(xué)習(xí)交流PPT,則由2-4得：,（212）,（213）,（218）,41,學(xué)習(xí)交流PPT,理論上可證明：當一點的應(yīng)力狀態(tài)確定時， 由式2-18必可求出三個實根，即為主應(yīng)力，且 。主應(yīng)力彼此正交。,(219),（220）,42,學(xué)習(xí)交流PPT, 正應(yīng)力的極值就是主應(yīng)力,（224）,（225）,由2-24及,得：,對上式取極值求出方向余弦式，

18、再代回式2-25得： ，即正應(yīng)力取極值截面上的剪應(yīng)力為零，此正應(yīng)力即為主應(yīng)力。主方向彼此正交。,43,學(xué)習(xí)交流PPT,四.最大(最小)剪應(yīng)力,44,學(xué)習(xí)交流PPT,討論式（b），可得其解如表-所示：,表23,45,學(xué)習(xí)交流PPT, 主剪應(yīng)力為：,46,學(xué)習(xí)交流PPT, 最大（最小）剪應(yīng)力為：,（227）, 最大（最?。┘魬?yīng)力作用截面上一般正應(yīng) 力不為零，即：,（228）,47,學(xué)習(xí)交流PPT,五.空間應(yīng)力圓 應(yīng)力橢球,莫爾應(yīng)力圓,若三個坐標軸的方向都恰取為應(yīng)力主方向，則由式(224)或(215)可求出用，外法線為n的斜截面上的正應(yīng)力 其表達式為:,1、空間應(yīng)力圓,48,學(xué)習(xí)交流PPT,在式（c

19、）中，設(shè) 永遠是正值，所以式（c）中右端的分子和分母應(yīng)有相 同的正、負號。,在式（c）中，設(shè) 永遠是正值，所以式（c）中右端的分子和分母應(yīng)有相 同的正、負號。,49,學(xué)習(xí)交流PPT,50,學(xué)習(xí)交流PPT,六、應(yīng)力張量的分解,51,學(xué)習(xí)交流PPT, 通常對于金屬材料有：, 通常將應(yīng)力張量進行分解，更有利于研究固 體材料的塑性變形行為。, 巖土材料在球應(yīng)力張量作用下，一般也會出 現(xiàn)塑性體變，從而出現(xiàn)奇異屈服面。,52,學(xué)習(xí)交流PPT,七、偏斜應(yīng)力張量 .主偏應(yīng)力.應(yīng)力偏量不變量,1、偏斜應(yīng)力張量.主偏應(yīng)力,53,學(xué)習(xí)交流PPT,2、應(yīng)力偏量不變量,54,學(xué)習(xí)交流PPT,=, 作用八面體產(chǎn)生畸變，是

20、塑性力學(xué)中的重要力 學(xué)參量。,八、8 面體應(yīng)力 等效應(yīng)力,55,學(xué)習(xí)交流PPT,2、等效應(yīng)力,（2-43）, 材料處于單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)時， ， ；, 應(yīng)力狀態(tài) 確定了， 值就確定了，與坐標軸的 選擇無關(guān)；, 等效應(yīng)力 與球應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，是塑性力學(xué)中的重 要力學(xué)參量。計算中是使用 的絕對值。,等效應(yīng)力又稱為有效應(yīng)力或應(yīng)力強度， 用 表示.,56,學(xué)習(xí)交流PPT,九、平衡（或運動）微分方程,57,學(xué)習(xí)交流PPT, 平衡微分方程：, 一個客觀的彈性力學(xué)問題，在物體體內(nèi)任意一點 的應(yīng)力分量和體力分量必定滿足這組方程。, 求解應(yīng)力場的問題是一個靜不定問題。, 體力分量指向同坐標軸正向一致取正，反之負。,

21、（2-44）,（2-45）,58,學(xué)習(xí)交流PPT,十、靜力邊界條件, 一個客觀的彈塑性力學(xué)問題，在物體邊界上任意 一點的應(yīng)力分量和面力分量必定滿足這組方程。, 面力分量指向同坐標軸正向一致取正，反之取負。,（2-46）,（2-47）,59,學(xué)習(xí)交流PPT, 當邊界面與某一坐標軸相垂直時，應(yīng)力分量與相 應(yīng)的面力分量直接對應(yīng)相等。, 關(guān)于平面問題的應(yīng)力邊界條件（xoy平面）：,（2-49）,60,學(xué)習(xí)交流PPT,例2-7： 圖216所示為一變截面薄板梁， 板的厚度為單位 1，跨度為。梁上表面 承受三角形分布載荷作用，下斜表面承 受均布切向面力作用，左端面上作用的 面力詳細分布情況不清，但分布面力的

22、 合力為切向集中力P，合力偶的力偶矩 為M。試確定此問題上述三邊界上的應(yīng) 力邊界條件。,61,學(xué)習(xí)交流PPT,62,學(xué)習(xí)交流PPT,63,學(xué)習(xí)交流PPT,例2-7：解：,左邊界：,下邊界：據(jù)圣文南原理和平衡的原理得：,上邊界：,（1）,（2）,（3）,64,學(xué)習(xí)交流PPT,第三章 變形幾何理論,一、位移、應(yīng)變、幾何方程、 應(yīng)變狀態(tài)、應(yīng)變張量,三、應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換方程,四、主應(yīng)變、最大(最小)剪應(yīng)變、體積應(yīng)變,七、應(yīng)變速度、應(yīng)變增量、應(yīng)變莫爾圓,六、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,五、應(yīng)變張量的分解、等效應(yīng)變,二、位移邊界條件,65,學(xué)習(xí)交流PPT,一、位移、應(yīng)變、應(yīng)變狀態(tài)、幾何方程、應(yīng)變張量,1、位移分量和相對位移

23、分量,位移,剛性位移：反映物體整體位置的變動,變形位移：反映物體的形狀和尺寸發(fā)生變化,研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需研究物體內(nèi)各點的 相對位置變動情況，即研究變形位移。,通常物體內(nèi)各點的位移應(yīng)是點的位置坐標函數(shù)，參照oxyz坐標即為：,（3-1）, 位移函數(shù)應(yīng)是位置坐標的單值連續(xù)函數(shù)。, 位移分量函數(shù)不能直接表明物體各點處材料變形的劇烈程 度，還需要研究物體內(nèi)各點的相對位移。,66,學(xué)習(xí)交流PPT,67,學(xué)習(xí)交流PPT,68,學(xué)習(xí)交流PPT,2、應(yīng)變的概念 、幾何方程, 在物體內(nèi)任一點 M 處截取一單元體，考察其變形（由平面推廣到空間）。, 在小變形的前提下建立應(yīng)變的概念和幾何方程。,

24、應(yīng)變的概念,69,學(xué)習(xí)交流PPT, 考察單元體在xy平面上投影ABCD的變形。, 當微分體變形并出現(xiàn)位移后，其在xoy平面上的投 影ABCD 就移至新的位置 ，如圖所示。, 應(yīng)變的概念,70,學(xué)習(xí)交流PPT, 應(yīng)變的概念,沿x方向棱邊 的線應(yīng)變 ，據(jù)定義有：,也即：,（略去高階微量得：）,A點x，y方向所夾直角的改變量，即剪應(yīng)變（角應(yīng)變）：,也即：,71,學(xué)習(xí)交流PPT, 應(yīng)變的概念,線應(yīng)變,角應(yīng)變,應(yīng)變的符號規(guī)則：,表征某點某方向伸長變形的線應(yīng)變?nèi)≌粗∝摚?表征某點兩坐標軸正方向所夾直角減少的角應(yīng)變?nèi)≌?，反之取負。顯然：xy=yx。,1.涉及受力物體內(nèi)某點； 2.涉及該點的某一方向；

25、3.是一個無量綱的物理量。,1、涉及受力物體內(nèi)某一點； 2、涉及過該點的某兩相垂直方向； 3、是一個有單位，無量綱的物理量。,72,學(xué)習(xí)交流PPT, 幾何方程：,（3-2）,該式表明了一點處的位移分量和應(yīng)變分量所應(yīng)滿足的關(guān)系，稱為幾何方程，也稱為柯西(Augustin-Louis Cauchy)幾何關(guān)系。其縮寫式為：,（3-7）,73,學(xué)習(xí)交流PPT,3、應(yīng)變狀態(tài)、應(yīng)變張量,受力物體內(nèi)某點處線應(yīng)變和剪應(yīng)變的總和，反映和表征了該點的變形程度(狀態(tài))，稱之為應(yīng)變狀態(tài)。 一點的應(yīng)變狀態(tài)可用二階張量的形式來表示，稱為應(yīng)變張量，用 表示，即：,74,學(xué)習(xí)交流PPT, 由幾何方程式可以看出，當物體內(nèi)一點的

26、位移 分量完全確定時，則應(yīng)變分量亦已完全確定， 因為應(yīng)變是位移的微分形式。但是當應(yīng)變分量 完全確定時，位移分量則不一定能求解出來， 這是由于物體的位移除了包含有純變形位移 外，還可能包括有剛性位移。,75,學(xué)習(xí)交流PPT,三、應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換方程, 任意方向上的線應(yīng)變計算：,76,學(xué)習(xí)交流PPT, 應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換方程,一點的應(yīng)變狀態(tài)是一個二階對稱張量，則其分量轉(zhuǎn)換方程為：,(3-12),(3-13),77,學(xué)習(xí)交流PPT, 應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)都是二階對稱張量， 因此在數(shù)學(xué)上兩者所遵循的坐標變換法則是 相同的。比較公式3-12和29，知其分量間對應(yīng)關(guān)系為：, 由于應(yīng)變張量與應(yīng)力張量兩者在數(shù)學(xué)上遵 循相

27、同的坐標變換法則，所以可知主應(yīng)變、 應(yīng)變主方向、最大（最?。┘魬?yīng)力、應(yīng)變張 量分解、等對應(yīng)關(guān)系式均可直接導(dǎo)出。,78,學(xué)習(xí)交流PPT,四、主應(yīng)變、應(yīng)變主方向、最大（最?。┘魬?yīng)變, 過物體內(nèi)任一點，一定存在著三個互相垂直的平面,在這 些平面間剪應(yīng)變?yōu)榱?，將其稱之為應(yīng)變主平面。, 應(yīng)變主平面的外法線方向稱為應(yīng)變主方向或應(yīng)變主軸。應(yīng) 變主軸彼此正交。, 應(yīng)變主方向上的線應(yīng) 變就是主應(yīng)變。一點應(yīng)變 狀態(tài)的主應(yīng)變有三個即：, 當一點應(yīng)變狀態(tài)確定是， 其主應(yīng)變、應(yīng)變主方向由 下式確定：, 主應(yīng)變、應(yīng)變主方向,79,學(xué)習(xí)交流PPT,（3-18）,（3-19）,（3-22）, 應(yīng)變不變量：,（3-23）,80

28、,學(xué)習(xí)交流PPT, 理論上可證明：三個應(yīng)變主軸是彼此垂直的。, 理論上一般認為：應(yīng)力主方向與應(yīng)變主方向彼此 對應(yīng)相同。通常簡稱為主方向。,(2)、最大（最?。┘魬?yīng)變, 理論上可證明：當一點應(yīng)變狀態(tài)確定時，該點的 三個主應(yīng)變一定也是三個實數(shù)根。并且按代數(shù)值 排列：,（3-24）,（3-25）,81,學(xué)習(xí)交流PPT,五、應(yīng)變張量的分解、八面體應(yīng)變、等效應(yīng)變,應(yīng)變張量也可分解為應(yīng)變球張量和應(yīng)變偏張量，即：,（3-27）,（3-28）,（3-27）, 應(yīng)變張量的分解,82,學(xué)習(xí)交流PPT, 偏斜應(yīng)變張量.應(yīng)變偏量不變量, 應(yīng)變偏張量為：, 相應(yīng)的應(yīng)變偏量不變量為：,(3-30）,（3-29）,83,學(xué)

29、習(xí)交流PPT, 八面體應(yīng)變、等效應(yīng)變, 八面體應(yīng)變公式為：, 等效應(yīng)變?yōu)椋?（3-34）,84,學(xué)習(xí)交流PPT,六、變形連續(xù)性條件, 由幾何方程可知，六個獨立的應(yīng)變分量是表征一 點應(yīng)變狀態(tài)的，彼此間是不能相互獨立的。因此， 六個獨立的應(yīng)變分量應(yīng)滿足一定的條件變形連 續(xù)性條件。,三個幾何方程必須彼此協(xié)調(diào)，同時成立。,以平面問題為例：（oxy平面）,幾何方程3個,位移分量2個,若無附加條件，則 位移沒有單值解。,平面問題（oxy平面）中，位移分量u、v、w 都是坐標 x、y 的函數(shù)。,以平面問題為例：（oxy平面）,幾何方程3個,位移分量2個,以平面問題為例：（oxy平面）,幾何方程3個,若無附加

30、條件，則 位移沒有單值解。,位移分量2個,以平面問題為例：（oxy平面）,幾何方程3個,三個幾何方程必須彼此協(xié)調(diào)，同時成立。,若無附加條件，則 位移沒有單值解。,位移分量2個,以平面問題為例：（oxy平面）,幾何方程3個,三個幾何方程必須彼此協(xié)調(diào)，同時成立。,若無附加條件，則 位移沒有單值解。,位移分量2個,幾何方程3個,平面問題（oxy平面）中，位移分量u、v、w 都是坐標 x、y 的函數(shù)。,三個幾何方程必須彼此協(xié)調(diào)，同時成立。,平面問題（oxy平面）中，位移分量u、v、w 都是坐標 x、y 的函數(shù)。,若無附加條件，則 位移沒有單值解。,三個幾何方程必須彼此協(xié)調(diào)，同時成立。,平面問題（oxy

31、平面）中，位移分量u、v、w 都是坐標 x、y 的函數(shù)。,位移分量2個,若無附加條件，則 位移沒有單值解。,三個幾何方程必須彼此協(xié)調(diào)，同時成立。,平面問題（oxy平面）中，位移分量u、v、w 都是坐標 x、y 的函數(shù)。,位移分量2個,若無附加條件，則 位移沒有單值解。,三個幾何方程必須彼此協(xié)調(diào)，同時成立。,幾何方程3個,位移分量2個,若無附加條件，則 位移沒有單值解。,三個幾何方程必須彼此協(xié)調(diào)，同時成立。,85,學(xué)習(xí)交流PPT, 變形連續(xù)性條件，亦稱應(yīng)變協(xié)調(diào)條件（方程） 或相容條件（方程）。導(dǎo)出如下：,（3-35）,86,學(xué)習(xí)交流PPT, 其數(shù)學(xué)意義：要求要求位移函數(shù)在其定義域內(nèi)為單值連續(xù)函

32、數(shù)，其方程就是位移函數(shù)的全微分條件。, 其物理意義：就是要保證不違反連續(xù)性假設(shè)，構(gòu)成 物體的介 質(zhì)在變形前后是連續(xù)的，并且物體內(nèi)每一點的位移必定是確定 的，即同一點不會產(chǎn)生兩個或兩個以上的位移。這就是說，相 鄰點發(fā)生微小位移后，仍為相鄰點，否則物體在變形后將出現(xiàn) 間隙或重疊現(xiàn)象。, 變形連續(xù)性條件反映了真實情況下物體內(nèi)各點應(yīng)變之間的協(xié) 調(diào)關(guān)系。, 關(guān)于平面問 題，變形連續(xù) 性條件簡化 為：,（3-35）, 對于多連域問題，物體變形除滿足式（2-94）（必要條件） 外，還要補充條件（充分條件）。,87,學(xué)習(xí)交流PPT,一點的應(yīng)變狀態(tài)可用應(yīng)變莫爾圓來表示：,七、應(yīng)變莫爾圓,88,學(xué)習(xí)交流PPT,第

33、四章 彈性變形、塑性變形、本構(gòu)方程,4-1 彈性變形與塑性變形的特點 塑性力學(xué)的附加假設(shè) 4-2 常用簡化力學(xué)模型 4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù) 4-4 屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件 4-7 塑性本構(gòu)方程簡介,89,學(xué)習(xí)交流PPT,4-1 彈性變形與塑性變形的特點 塑性力學(xué)的附加假設(shè), 彈塑性力學(xué)研究的問題一般都是靜不定問題。, 此即彈塑性力學(xué)分析解決問題的基本思路。, 表明固體材料產(chǎn)生彈性變形或塑性變形時應(yīng)力與 應(yīng)變，以及應(yīng)力率與應(yīng)變率之間關(guān)系的物性方程， 稱為本構(gòu)方程（關(guān)系）。,90,學(xué)習(xí)交流PPT,4-1 彈性變形與塑性變形的特點、塑性力學(xué)的附加假設(shè)（續(xù)1）, 大量實驗證實

34、，固體受力變形時，應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系是相輔相成的。, 固體材料在一定條件下，應(yīng)力與應(yīng)變之間各自 有著確定的關(guān)系，這一關(guān)系反映著固體材料的 變形的客觀特性。,91,學(xué)習(xí)交流PPT,4-1 彈性變形與塑性變形的特點、塑性力學(xué)的附加假設(shè)（續(xù)2）, 彈性變形特點:, 彈性變形是可逆的。物體在變形過程中，外力所做 的功以能量（應(yīng)變能）的形式貯存在物體內(nèi)，當卸 載時，彈性應(yīng)變能將全部釋放出來，物體的變形得 以完全恢復(fù)； 無論材料是處于單向應(yīng)力狀態(tài)，還是復(fù)雜應(yīng)力態(tài)， 在線彈性變形階段，應(yīng)力和應(yīng)變成線性比例關(guān)系； 對材料加載或卸載，其應(yīng)力應(yīng)變曲線路徑相同。 因此，應(yīng)力與應(yīng)變是一一對應(yīng)的關(guān)系。,92,學(xué)習(xí)交流P

35、PT,4-1 彈性變形與塑性變形的特點、塑性力學(xué)的附加假設(shè)（續(xù)3）, 塑性變形特點:, 塑性變形不可恢復(fù)，所以外力功不可逆，塑性變形的產(chǎn)生必 定要耗散能量（稱耗散能或形變功）。 在塑性變形階段，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的。由于本構(gòu)方 程的非線性，所以不能使用疊加原理。又因為加載與卸載的 規(guī)律不同， 應(yīng)力與應(yīng)變之間不再存在一一對應(yīng)的關(guān)系，即 應(yīng)力與相應(yīng)的應(yīng)變不能唯一地確定，而應(yīng)當考慮到加載路徑 （或加載歷史）。 在載荷作用下，變形體有的部分仍處于彈性狀態(tài)稱彈性區(qū)， 有的部分已進入了塑性狀態(tài)稱塑性區(qū)。在彈性區(qū)，加載與卸 載都服從廣義虎克定律。但在塑性區(qū)，加載過程服從塑性規(guī) 律，而在卸載過程中則服從彈

36、性的虎克定律。并且隨著載荷 的變化，兩區(qū)域的分界面也會產(chǎn)生變化。 依據(jù)屈服條件，判斷材料是否處于塑性變形狀態(tài)。,93,學(xué)習(xí)交流PPT,4-1 彈性變形與塑性變形的特點、塑性力學(xué)的附加假設(shè)（續(xù)4）, 具強化性質(zhì)的固體材料，隨著塑性變形的增加，屈 服極限在一個方向上提高，而在相反的方向上降低 的效應(yīng)，稱為包辛格效應(yīng)。, 包辛格效應(yīng)導(dǎo)致材料 物理力學(xué)性質(zhì)具有各 向異性。, 由于這一效應(yīng)的數(shù)學(xué) 描述比較復(fù)雜,一般 塑性理論（在本教 程）中都忽略它的影 響。, 包辛格效應(yīng):,94,學(xué)習(xí)交流PPT,4-1 彈性變形與塑性變形的特點、塑性力學(xué)的附加假設(shè)（續(xù)5）, 塑性力學(xué)附加假設(shè):為研究塑性力學(xué)需要，對材料

37、提出如下附加假設(shè)：, 球應(yīng)力引起了全部體變（即體積改變量），而不包含畸變 （即形狀改變量），體變是彈性的。因此，球應(yīng)力不影響 屈服條件； 偏斜應(yīng)力引起了全部畸變，而不包括體變，塑性變形僅是 由應(yīng)力偏量引起的。因此，在塑性變形過程中材料具有不 可壓縮性（即體積應(yīng)變?yōu)榱悖?不考慮時間因素對材料性質(zhì)的影響，即認為材料是非粘性 的。, 這些附加假設(shè)都是建立在一些金屬材料的實驗基 礎(chǔ)上的，前兩條對巖土材料不適應(yīng)。,95,學(xué)習(xí)交流PPT,4-2 常用簡化力學(xué)模型, 變形力學(xué)模型是在大量實驗的基礎(chǔ)上，將各種反映 材料力學(xué)性質(zhì)的應(yīng)力應(yīng)變曲線，進行分析歸類抽象 總結(jié)后提出的。, 對不同的固體材料，不同的應(yīng)用領(lǐng)

38、域，可采用不同 的變形體力學(xué)模型。, 確定力學(xué)模型時應(yīng)注意： 必須符合材料的實際情況； 模型的數(shù)學(xué)表達式應(yīng)足夠簡單。,96,學(xué)習(xí)交流PPT,4-2 常用簡化力學(xué)模型（續(xù)1）,不同的固體材料，力學(xué)性質(zhì)各不相同。即便是同一種固體材料，在不同的物理環(huán)境和受力狀態(tài)中，所測得的反映其力學(xué)性質(zhì)的應(yīng)力應(yīng)變曲線也各不相同。 盡管材料力學(xué)性質(zhì)復(fù)雜多變，但仍是有規(guī)律可循的，也就是說可將各種反映材料力學(xué)性質(zhì)的應(yīng)力應(yīng)變曲線，進行分析歸類并加以總結(jié)，從而提出相應(yīng)的變形體力學(xué)模型。,97,學(xué)習(xí)交流PPT,4-2 常用簡化力學(xué)模型（續(xù)2）,在確定力學(xué)模型時，要特別注意使所選取的力學(xué)模型必須符合材料的實際情況，這是非常重要的

39、，因為只有這樣才能使計算結(jié)果反映結(jié)構(gòu)或構(gòu)件中的真實應(yīng)力及應(yīng)力狀態(tài)。另一方面要注意所選取的力學(xué)模型的數(shù)學(xué)表達式應(yīng)足夠簡單，以便在求解具體問題時，不出現(xiàn)過大的數(shù)學(xué)上的困難。關(guān)于彈塑性力學(xué)中常用的簡化力學(xué)模型分析如下：,98,學(xué)習(xí)交流PPT,4-2 常用簡化力學(xué)模型（續(xù)3）, 理想彈塑性力學(xué)模型,理想彈塑性力學(xué) 模型亦稱為彈性完全 塑性力學(xué)模型，該模 型抓住了韌性材料的主要變形特征。其表達式為：,（4-2）,99,學(xué)習(xí)交流PPT,4-2 常用簡化力學(xué)模型（續(xù)4）, 理想線性強化彈塑性力學(xué)模型,理想線性強化彈塑性力學(xué)模型亦稱為彈塑性線性強化材料或雙線性強化模型。其數(shù)學(xué)表達式為：,100,學(xué)習(xí)交流PPT

40、,4-2 常用簡化力學(xué)模型（續(xù)5）, 理想剛塑性力學(xué)模型,理想剛塑性力學(xué)模型亦稱剛性完全塑性力學(xué)模型，特別適宜于塑性極限載荷的分析。其表達式為:,（4-4）,101,學(xué)習(xí)交流PPT,4-2 常用簡化力學(xué)模型（續(xù)6）, 理想線性強化剛塑性力學(xué)模型,理想線性強化剛塑性力學(xué)模型，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式為：,（4-5）,102,學(xué)習(xí)交流PPT,4-2 常用簡化力學(xué)模型（續(xù)7）, 冪強化力學(xué)模型,為了避免在 處的變化，有時可以采用冪強化力學(xué)模型。當表達式中冪強化系數(shù) n 分別取 0 或 1 時，就代表理想彈塑性模型和理想剛塑性模型。其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表達式為：,（4-6）,103,學(xué)習(xí)交流PPT,4-3

41、 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù),大量的試驗研究結(jié)果表明，在許多工程材料的彈性范圍 內(nèi)，單向的應(yīng)力與應(yīng)變之間存在著線性關(guān)系。若取過某點的x 方向為單軸向力方向，則簡單拉(壓)時的虎克定律為： 由于這種關(guān)系反映出來的材料變形屬性，應(yīng)不隨應(yīng)力狀 態(tài)的不同而變化，因而人們認為，對于各種復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)也應(yīng) 有性質(zhì)相同的關(guān)系，故可將上述應(yīng)力應(yīng)變線性比例關(guān)系推廣到 一般情況，即在彈性變形過程中，任一點的每一應(yīng)力分量都是 六個獨立的應(yīng)變分量的線性函數(shù)；反之亦然。這種形式的應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系，稱為廣義虎克定律或彈性本構(gòu)方程，表達為數(shù)學(xué)形 式則為：,104,學(xué)習(xí)交流PPT,4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)1）,

42、式中Cmn稱為彈性常數(shù)，與位置坐標無關(guān)。,（4-8）, 廣義虎克定律一般表達式：假設(shè)物體中沒有初應(yīng)力，對于 均勻的理想彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系下：,105,學(xué)習(xí)交流PPT, 廣義虎克定律張量表達式：,（4-9）, 廣義虎克定律式（4-8）中36個彈性常數(shù)是否彼此 無關(guān)？, 彈性常數(shù)針對各種不同的研究對象；它們之間的關(guān) 系是什么？, 式（4-8）若采用矩陣表達式,則為：, = D ,稱為應(yīng)力列陣；稱為應(yīng)變列陣；D稱為彈 性矩陣。,4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)2）,106,學(xué)習(xí)交流PPT, 彈性應(yīng)變能函數(shù):, 彈性體的實功原理：若對于靜荷載作用下產(chǎn)生彈性變形過程 中不計能量耗散，則據(jù)功能原

43、理：產(chǎn)生此變形的外力在加載 過程中所作的功將以一種能量的形式被積累在物體內(nèi)，此能 量稱為彈性應(yīng)變能，或稱彈性變形能。并且物體的彈性應(yīng)變 能在數(shù)值上等于外力功。這就是實功原理，也稱變形能原理。 若彈性應(yīng)變能用U 表示，外力功用 We 表示，則有：,（4-10）,若以 Wi 表示內(nèi)力功，則有：,（4-11）,（a）,且：,4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)3）,107,學(xué)習(xí)交流PPT,、彈性體中的內(nèi)力功和應(yīng)變能： 物體內(nèi)代表一點的微分體，在變形時存在有剛性位移與變形位移兩部分。但由于內(nèi)力是平衡力系，在微分體的剛體（性）位移上不作功，則只須討論應(yīng)力對微分體引起應(yīng)變所作的內(nèi)力功（亦稱形變功）。,

44、4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)4）,首先考察單元體上外法線與 x 軸相平行的微截面上拉力（或壓力）所作的功如圖4-8 (a)所示。,108,學(xué)習(xí)交流PPT,同理可得：,同理可得：,4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)5）,109,學(xué)習(xí)交流PPT,則彈性體由零應(yīng)變狀態(tài)加載至某一應(yīng)變狀態(tài) 的過程中，彈性體整個體積的內(nèi)力功為：,（412）,于是從零應(yīng)變狀態(tài)到達某一應(yīng)變狀態(tài)的過程中，積累在彈性體單位體積內(nèi)的應(yīng)變能為：,（414）,（413）,4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)6）,（413）,110,學(xué)習(xí)交流PPT,、彈性勢能函數(shù):,有勢力在勢力場（彈性體）中，由于質(zhì)點位置的改變（

45、變 形）有做功的能力，這種能稱為勢能。這種勢能顯然就是上述 應(yīng)變能。,勢能是質(zhì)點坐標的連續(xù)函數(shù)，故我們把應(yīng)變能亦稱為應(yīng)變 能函數(shù)，或彈性勢能函數(shù)。,對于理想彈性體，在每一確定的應(yīng)變狀態(tài)下，都具有確定 的應(yīng)變值。彈性勢能函數(shù)與應(yīng)變過程無關(guān)。在加、卸載的過程 中：,（b）,4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)7）,111,學(xué)習(xí)交流PPT,上式表明：應(yīng)力分量等于彈性勢函數(shù)對相應(yīng)的應(yīng)變分量的一階 偏導(dǎo)數(shù)。適用于一般彈性體。其縮寫式為：,彈性勢能函數(shù)是坐標的單值連續(xù)函數(shù)，故 必為全微分， 即：,（419）,4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)8）,（417）,（418）,112,學(xué)習(xí)交流PPT,

46、、彈性常數(shù)間的關(guān)系:,、極端各向異性體:,對極端各向異性體，獨立的彈性常數(shù)只有21個。,變形過程中，積累在單位體積內(nèi)的應(yīng)變能為：,（421）,4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)9）,（420）,113,學(xué)習(xí)交流PPT,、正交各向異性體:,正交各向異性體：過物體內(nèi)一點具有三個互相正交的彈性對稱 面，在每個對稱面兩側(cè)的對稱方向上彈性性質(zhì)相同，但在三個 互相正交方向的彈性性質(zhì)彼此不同。,4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)10）,應(yīng)變能 的值只取決于彈性常數(shù)及最終的應(yīng)變狀態(tài)，應(yīng)該與坐標軸的指向無關(guān)。,114,學(xué)習(xí)交流PPT,正交各向異性體獨立的彈性常數(shù)只有9個。則其相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：,

47、其單位體積應(yīng)變能為：,（422）,（423）,4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)11）,115,學(xué)習(xí)交流PPT,有一類正交各向異性體，其特點是在平行于某一平面的所有各個方向(即所謂橫向)都具有相同的彈性，我們將這類正交異性體稱為橫觀各向同性體。許多成層的巖石就屬于這一類。,、橫觀各向同性體:,4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)12）,（424）,（425）,116,學(xué)習(xí)交流PPT,4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)13）,對比材料力學(xué)的公式，則式(4-25)可寫成：,（426）,由于在平面 內(nèi)各向同性，故由材料力學(xué)的證明知：,（427）,對于橫觀各向同性體，獨立的彈性常數(shù)只有

48、5個，它們是：,。,117,學(xué)習(xí)交流PPT,4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)14）,、各向同性體:,所謂各向同性體：是指過物體內(nèi)一點沿任何方向上的物理力 學(xué)性質(zhì)均相同的物體。其獨立的彈性常數(shù)只有兩個。,各向同性體兩個獨立的彈性常數(shù)通常取為： 彈性模量 E 和泊桑比, 各向同性彈性體的本構(gòu)方程:,（428）,（429）,A. 用應(yīng)力表達應(yīng)變的廣義虎克定律:,118,學(xué)習(xí)交流PPT,B. 用應(yīng)變表達應(yīng)力的廣義虎克定律：,上式中稱為拉梅常數(shù)。,（433）,4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)15）,剪切彈性模量G，楊氏彈性模量E，泊松(Poisson)比 三者間的關(guān)系為：,（430）,（

49、433）,119,學(xué)習(xí)交流PPT,C用球應(yīng)力與應(yīng)力偏量表示的廣義虎克定律：,（438）,此式說明各向同性彈性體的本構(gòu)方程也可表示為：應(yīng)變球張量與應(yīng)力球張量成正比，應(yīng)變偏張量與應(yīng)力偏張量成正比。,4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)16）,若將式(4-31)中各彈性系數(shù)代人式(4-23)，即可得各向同 性體的應(yīng)變比能為：,（434）,120,學(xué)習(xí)交流PPT,體積彈性模量 K,剪切彈性模量 G 0,彈性模量 E 0,拉梅常數(shù) 0,4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)17）,泊桑比 0 0.5,121,學(xué)習(xí)交流PPT,例41 當泊松比= 0.5時，為什么表示材料不可壓縮性， 即體積不變。此時

50、的剪切彈性模量 G 與拉壓彈性模量 E 有什 么關(guān)系？,解：設(shè)= 0.5，由式（438）第一式及式（437），,所以，體積應(yīng)變:,說明材料體積不變，即材料有不可壓縮性。又由式（430）， 得:,4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)18）,122,學(xué)習(xí)交流PPT,4-3 彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)19）,A、球應(yīng)力（平均正應(yīng)力）引起了單元體全部體變而不包括 畸變；體變是彈性的。,B、偏應(yīng)力引起了單元體全部畸變而不包括體變。塑性變形僅 是由應(yīng)力偏量引起的。,事實上，由于應(yīng)力狀態(tài)中發(fā)生體變的球應(yīng)力始終存在、發(fā)生彈性畸變的偏應(yīng)力也始終存在，因此整個變形階段彈性變形是始終存在的。當應(yīng)力超過屈服

51、極限而發(fā)生塑性變形時，始終還伴隨著彈性變形，故而這個變形階段稱為彈塑性階段。,上述的兩點討論有助于我們對塑性變形的研究，, 應(yīng)力張量和應(yīng)變張量分解的物理意義：,123,學(xué)習(xí)交流PPT,4-4 屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件,1、屈服函數(shù):,判斷材料是處于彈性狀態(tài)還是已經(jīng)進入到塑性狀態(tài)，進行這一判斷所依據(jù)的準則就稱為屈服條件，又稱塑性條件。,當材料處于簡單應(yīng)力狀態(tài)時，當應(yīng)力達到屈服極限 材料便處于塑性狀態(tài)。即便是對那些應(yīng)力應(yīng)變曲線上彈塑性階段分界不明顯的材料，也可采用屈服極限 。,124,學(xué)習(xí)交流PPT,提出問題: 在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的屈服條件如何確立呢？,一點的應(yīng)力狀態(tài)通常是由六個獨立的

52、應(yīng)力分量所確定。作為判斷材料是否進入塑性狀態(tài)的標準，應(yīng)該考慮到所有這些應(yīng)力分量的貢獻。,固體材料破壞的基本類型只有兩類： （1）材料屈服流動、強化，產(chǎn)生較大的塑性變形， 最終導(dǎo)致剪切斷裂； （2）材料幾乎不產(chǎn)生塑性變形，就導(dǎo)致脆性斷裂；,4-4 屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)1）,125,學(xué)習(xí)交流PPT,4-4 屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)2), 對于同一種材料，無論它處于何種應(yīng)力狀態(tài)，當導(dǎo) 致它產(chǎn)生某種破壞的這一共同的因素達到某一個極 限值時，材料就會產(chǎn)生相應(yīng)的破壞。 因此，我們希望通過材料的簡單力學(xué)試驗來確定這個 因素的極限值。, 人們根據(jù)材料破壞的現(xiàn)象，總結(jié)材料破壞的規(guī)

53、律逐 漸認識到：不管固體材料產(chǎn)生破壞（脆性斷裂或塑 性屈服剪切斷裂）的表面現(xiàn)象多么復(fù)雜，對應(yīng)某 種破壞形式都具有共同的某一決定強度的因素。,126,學(xué)習(xí)交流PPT,現(xiàn)在的問題就是：考慮如何根據(jù)簡單受力狀態(tài)的 試驗結(jié)果（上述極限值），去建立材料在復(fù)雜應(yīng)力狀 態(tài)下（即與所有的應(yīng)力分量都相關(guān)的）判別材料變形 狀態(tài)的關(guān)系屈服條件。,在一般情況下，屈服條件與所考慮的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，或者說屈服條件是該點六個獨立的應(yīng)力分量的函數(shù)，即為：,（440）,上式中的 稱為屈服函數(shù)。,4-4 屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)3）,127,學(xué)習(xí)交流PPT,4-4 屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)4）,2、主應(yīng)

54、力空間：,（441）,對于各向同性材料來說，坐標軸的轉(zhuǎn)動不應(yīng)當影響材料的屈服。因而可以取三個應(yīng)力主軸為坐標軸。此時，屈服函數(shù)式（440）可改寫為：,若球應(yīng)力狀態(tài)只引起彈性體積變化，而不影響材料的屈服。則可認為屈服函數(shù)為：,（442）,因此，屈服函數(shù)就轉(zhuǎn)化為用應(yīng)力偏量表示的函數(shù)，而且可以在主應(yīng)力所構(gòu)成的空間，即主應(yīng)力空間來討論。,128,學(xué)習(xí)交流PPT,主應(yīng)力空間是一個三維空間，物體中任意一點的應(yīng)力狀態(tài)都可以用主應(yīng)力空間中相應(yīng)點的坐標矢量來表示，如圖所示。因此，我們在這一主應(yīng)力空間內(nèi)可以形象地給出屈服函數(shù)的幾何圖象，而直觀的幾何圖形將有助于我們對屈服面的認識。,4-4 屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用

55、屈服條件（續(xù)5）,129,學(xué)習(xí)交流PPT,4-4 屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)6）,球應(yīng)力狀態(tài)： 或稱靜水應(yīng)力狀態(tài)，即應(yīng)力偏量為零：,在主應(yīng)力空間中，其軌跡是經(jīng)過坐標原點并與三坐標軸夾角相同的等傾斜直線 on 。,130,學(xué)習(xí)交流PPT,平均應(yīng)力為零： 即 ，應(yīng)力偏量 不等于零。 在主應(yīng)力空間中， 它的軌跡是一個通過坐標原點并與 on 直線相垂直的平面，稱它為平面。,4-4 屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)7）,131,學(xué)習(xí)交流PPT,應(yīng)力偏量為常量：即 為常 數(shù))。它在主應(yīng)力空間中的軌跡是與on線平行但不經(jīng)過坐標原點的直 線 L 。,平均應(yīng)力為常量： 即： （C為常量）。其在

56、主應(yīng)力空間的軌跡為一個與 on 直線正交但不通過坐標原點，也即和平面相平行的平面。,4-4 屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)8）,132,學(xué)習(xí)交流PPT,4-4 屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)9）,在主應(yīng)力空間中，坐 標原點附近的彈性區(qū)是被 塑性區(qū)包圍著的。作為彈 性區(qū)與塑性區(qū)交界的曲面， 稱之為屈服面。它是屈服 條件式（441）在主應(yīng) 力空間中的軌跡。 屈服面的概念是拉伸 （或壓縮）應(yīng)力應(yīng)變曲線 的屈服極限概念的推廣。,133,學(xué)習(xí)交流PPT,若我們認為球應(yīng) 力（靜水壓力）狀態(tài) 不影響材料的屈服， 則上述屈服面必定是 一個與坐標軸呈等傾 斜的柱體表面，其母 線垂直于 平面。 曲

57、線C 就稱為屈服曲 線或屈服軌跡。,4-4 屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)10）,134,學(xué)習(xí)交流PPT,3、屈服曲線及其在平面內(nèi)的重要性質(zhì):,(2)屈服曲線與任一從坐標 原點出發(fā)的向徑必相交 一次，且僅有一次。,(3)屈服曲線對三個坐標軸 的正負方向均為對稱。,(1)屈服曲線是一條封閉曲線，而且坐標原點被包圍在內(nèi)。,(4)屈服曲線對坐標原點為 外凸曲線，也即屈服曲 面為外凸曲面。,4-4 屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)11）,135,學(xué)習(xí)交流PPT,4. 討論屈服曲線的可能位置：,一切滿足各向同性、不計包辛格效應(yīng)、與球應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)、并且外凸等條件的可能的屈服軌跡一定位于正六邊

58、形 ABCDEFA 與 之間。并且只有外凸的曲線才 是可能的屈服軌跡。,4-4 屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)12）,136,學(xué)習(xí)交流PPT,5、常用屈服條件:,歷史上（從十九世紀中葉開始）曾經(jīng)先后提 出許多不同形式的屈服條件，如最大正應(yīng)力條件（G.Galileo）、最大彈性應(yīng)變條件（B.Saint Venant）、彈性總能量條件（E.Beltrami）、最 大剪應(yīng)力條件（H.Tresca）、歪形能條件（R.Von Mises）、Mohr條件（O.Mohr）、等等。 經(jīng)過許多實驗檢驗，證明符合工程材料特征， 又便于在工程中應(yīng)用的常用屈服條件有以下兩種：,4-4 屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)13）,137,學(xué)習(xí)交流PPT,（1）Tresca屈服條件（最大剪應(yīng)力條件）: 1864年，法國工程師屈雷斯卡（H.Tresca）在作了一系 列金屬擠壓實驗的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)在變形的金屬表面有很細的 痕紋，而這些痕紋的方向很接近于最大剪應(yīng)力的方向，因此 他認為金屬的塑性變形是由于剪切應(yīng)力引起金屬中晶格滑移 而形成的。,(指絕對值)達到某一極限值時，材料便進入塑性狀態(tài)。當,Tresca指出：在物體中，當最大剪應(yīng)力 (指絕對值)達到某一極限值時，材料便進入塑性狀態(tài)。即：,4-4 屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)14）,（443）,138,學(xué)習(xí)交流PPT,4-4