《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》重難點(diǎn)突破

1、分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)突破困難浙江省諸暨市實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán)陳菊地(初稿)浙江省諸暨市教育局教研室唐吉(統(tǒng)一草案)首先，理解分?jǐn)?shù)的含義突破性建議：1.從多個(gè)角度理解和揭示分?jǐn)?shù)的來(lái)源，促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)本質(zhì)的理解。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，認(rèn)知分?jǐn)?shù)是學(xué)習(xí)數(shù)概念的重要延伸。因此，在教學(xué)中，我們應(yīng)該從揭示產(chǎn)生分?jǐn)?shù)的現(xiàn)實(shí)背景入手，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的含義。從現(xiàn)實(shí)的角度來(lái)看，數(shù)字被用來(lái)表示數(shù)量。比如6支筆和8個(gè)人，可以用自然數(shù)6和8來(lái)表示。然而，除了上面列出的由一些單位量合成并可以用自然數(shù)表示的量之外，還有許多不能用自然數(shù)表示的可分量。從歷史上看，分?jǐn)?shù)的引入是為了準(zhǔn)確衡量需要分段的數(shù)量。此外，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，分?jǐn)?shù)的引入是為了解

2、決除法不能總是在整數(shù)集中實(shí)現(xiàn)的矛盾。例如，23不能在整數(shù)范圍內(nèi)計(jì)算，分?jǐn)?shù)可以記錄為23=。在引入分?jǐn)?shù)的概念后，通過(guò)分割蛋糕和月餅的例子抽象出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到利用分?jǐn)?shù)可以解決整數(shù)除法的無(wú)窮矛盾。也就是說(shuō)，從數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的角度來(lái)看，它揭示了分?jǐn)?shù)的起源?？傊?，教學(xué)從多個(gè)角度呈現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的來(lái)源，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生是為了滿足客觀和實(shí)際的需要。同時(shí)，它為學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的含義提供了豐富的教材，從而為學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)含義提供了一個(gè)堅(jiān)實(shí)的學(xué)習(xí)平臺(tái)。2.充分利用學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)庫(kù)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，及時(shí)抽象和總結(jié)學(xué)習(xí)活動(dòng)中分?jǐn)?shù)的含義。本單元的教學(xué)是在三年級(jí)學(xué)生“對(duì)分?jǐn)?shù)的初步理解”的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，也就是說(shuō)，學(xué)

3、生已經(jīng)具備了通過(guò)平均一個(gè)數(shù)字、一個(gè)物體等來(lái)獲得分?jǐn)?shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)。因此，本課程的研究對(duì)象是將一些對(duì)象作為一個(gè)整體。然而，在實(shí)際教學(xué)中，分?jǐn)?shù)單位“1”的相對(duì)性和自然數(shù)“1”的確定性在學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)中是矛盾的，這導(dǎo)致了分?jǐn)?shù)的意義并沒(méi)有被他們現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)所接受和同化。也就是說(shuō)，單位“1”不僅代表一個(gè)對(duì)象，而且是由多個(gè)對(duì)象組成的整體。例如，一個(gè)物體、一個(gè)圖形和一個(gè)度量單位可以稱(chēng)為單位“1”，而由一些物體組成的整體也可以稱(chēng)為單位“1”，即單位“1”所對(duì)應(yīng)的量是動(dòng)態(tài)的和相對(duì)的。當(dāng)單位“1”表示為一個(gè)物體(如蘋(píng)果、圓、一米線段)時(shí)，它與學(xué)生以前的經(jīng)驗(yàn)所確定的不變自然數(shù)“1”是一致的。當(dāng)單位“1”表示為多

4、個(gè)對(duì)象(如10個(gè)蘋(píng)果、23個(gè)圓、35條一米長(zhǎng)的線段)時(shí)，與自然數(shù)“1”相沖突，因此，本單元教學(xué)的主要任務(wù)是幫助學(xué)生重構(gòu)和拓展單位“1”的含義，進(jìn)而揭示分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。因此，教學(xué)可能如下：(1)復(fù)習(xí)舊知識(shí)，引入新的課程說(shuō)明：得分。黑板上寫(xiě)著：你對(duì)這樣的分?jǐn)?shù)了解多少？(每個(gè)零件的名稱(chēng)、生產(chǎn)過(guò)程等。(你能找到表達(dá)它的方法嗎？有三種默認(rèn)表示：(前兩個(gè)類(lèi)別)為什么不同的圖形可以被表示？摘要：將一個(gè)數(shù)字平均分成4個(gè)部分，這樣一個(gè)部分用。(在黑板上寫(xiě)字)第三類(lèi)可以用語(yǔ)言表達(dá)嗎？引起猜測(cè)。(2)操作經(jīng)驗(yàn)，一般意義這張圖片和之前的圖片有什么不同？(作為一個(gè)整體，提高代表性。(如果有更多的圓圈，你如何表達(dá)它們？你能畫(huà)

5、一幅畫(huà)嗎？(一個(gè)學(xué)生走到黑板前，用磁鐵擺動(dòng))形成：三個(gè)代表之間有什么區(qū)別？(總量不同，表示的量也不同)；為什么不同的量可以表達(dá)？整體?？偠灾阂皇撬模前?，三是十二。如何表達(dá)更多的圓？(平均分為4部分，表示為總結(jié)：部分是整體。如前一平面圖、線段、圓整體等。這些可以稱(chēng)為單位“1”。(寫(xiě)在黑板上)問(wèn)：你為什么在1上加引號(hào)？(區(qū)別于自然數(shù)1，表示特定的標(biāo)題)看下面的圖表。你看到多少分?jǐn)?shù)？你是怎么得出這些分?jǐn)?shù)的？整體是12，部分是4。為什么可以用不同的分?jǐn)?shù)來(lái)表達(dá)？摘要：將單元“1”平均分成幾個(gè)部分，這樣一個(gè)或幾個(gè)部分可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。顯然，這一環(huán)節(jié)的教學(xué)無(wú)疑對(duì)學(xué)生的思維和認(rèn)知有很好的促進(jìn)作用。在創(chuàng)

6、造分?jǐn)?shù)的過(guò)程中，學(xué)生不僅能深刻理解分?jǐn)?shù)的含義，還能?chē)L到探索活動(dòng)的樂(lè)趣，樹(shù)立良好的學(xué)習(xí)信心。3.在糾錯(cuò)實(shí)踐中積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，正確體現(xiàn)分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵。分?jǐn)?shù)概念的多重含義是指學(xué)生必須緊跟教學(xué)進(jìn)度，不斷激發(fā)已有的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)體驗(yàn)，逐步拓展，積極建構(gòu)新的分?jǐn)?shù)體驗(yàn)，不斷拓展和提高對(duì)分?jǐn)?shù)內(nèi)涵和分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)知和把握。在此基礎(chǔ)上，我們要善于引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度和不同的意義情境中認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，理解它們不同的表現(xiàn)方式，理解它們不同的內(nèi)涵，正確樹(shù)立分?jǐn)?shù)的概念。否則，學(xué)生很難靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際的分?jǐn)?shù)問(wèn)題。錯(cuò)誤1在下面的數(shù)軸上，可以找到介于和之間的分?jǐn)?shù)。錯(cuò)誤2虛線框代表一根小棍子。請(qǐng)估計(jì)選項(xiàng)(b)代表一根小棍子。錯(cuò)例1反映了學(xué)生

7、對(duì)分?jǐn)?shù)缺乏數(shù)感，對(duì)分?jǐn)?shù)密集的知識(shí)掌握不牢。他們只是把在數(shù)軸上和數(shù)軸之間可以看到的三個(gè)標(biāo)記作為可以找到的分?jǐn)?shù)。事實(shí)上，不管哪兩個(gè)分?jǐn)?shù)存在，都有無(wú)數(shù)的分?jǐn)?shù)。錯(cuò)誤案例2中學(xué)生沒(méi)有選擇a，表明他們已經(jīng)意識(shí)到“小棍子”的長(zhǎng)度肯定比“根”的長(zhǎng)度長(zhǎng)。實(shí)際調(diào)查還發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生知道他們想通過(guò)計(jì)算來(lái)長(zhǎng)出“根”，但他們對(duì)“根”是誰(shuí)卻非常模糊，所以他們把已知的根棒作為需要估計(jì)的單位“1”。因此，只有牢牢把握分?jǐn)?shù)概念的不同表征，深刻理解分?jǐn)?shù)概念的多重含義，才能達(dá)到舉一反三的學(xué)習(xí)效果，才能真正運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決學(xué)習(xí)和生活中遇到的相關(guān)問(wèn)題，提高我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展我們的數(shù)學(xué)能力。第二，用公因數(shù)(公倍數(shù))和最大公因數(shù)(最小公倍

8、數(shù))解決實(shí)際問(wèn)題突破性建議：1.引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)探索的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題的能力。該教材改變了原實(shí)驗(yàn)教材中問(wèn)題解決和概念引入相結(jié)合的安排，主要是考慮到學(xué)生理解困難。因此，新版教材將這一部分的編排改為給出最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的概念，突出概念的本質(zhì)，然后探索其解決方法，最后認(rèn)識(shí)其實(shí)際意義，加深對(duì)概念在解題中應(yīng)用的理解。雖然這一部分與生活密切相關(guān)，但在實(shí)踐中，由于學(xué)生缺乏必要的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，用公因式(公倍數(shù))和最大公因式(最小公倍數(shù))解決實(shí)際問(wèn)題仍然相當(dāng)困難。因此，如何將生活中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題。一方面，要盡可能加強(qiáng)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的生活

9、認(rèn)知；另一方面，要引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)探索的過(guò)程，注重培養(yǎng)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題的能力。例如，閱讀和理解問(wèn)題的含義，通過(guò)交流收集相關(guān)信息，讓學(xué)生理解在儲(chǔ)藏室的長(zhǎng)方形地板上鋪設(shè)一個(gè)正方形不僅需要覆蓋它，還需要使用整塊的方塊磚。進(jìn)一步思考：邊長(zhǎng)是多少？整個(gè)方形地磚都被蓋住了？然后，在“分析與解決”環(huán)節(jié)，通過(guò)操作實(shí)踐、合作與交流，學(xué)生了解到，為了滿足用方磚鋪地的要求，為了滿足覆蓋和使用整塊方磚的要求，只要方地磚的邊長(zhǎng)同時(shí)滿足矩形地面的長(zhǎng)和寬的要求，即方地磚的邊長(zhǎng)可以將矩形地面的長(zhǎng)和寬完全分開(kāi)，即地磚的邊長(zhǎng)必須是16的倍數(shù)。最后，通過(guò)讓學(xué)生畫(huà)另一幅畫(huà)，相互驗(yàn)證和交流，學(xué)生可以理解地磚的邊長(zhǎng)必須是16的因子和12的因子。形成解決這些問(wèn)題的方法和策略。2.充分注意操作與想象的結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。用公因數(shù)(公倍數(shù))和最大公因數(shù)(最小公倍數(shù))解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是幫助把生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。如何幫助學(xué)生理解和實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)變不僅是教學(xué)的重點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)。在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)這一突破，引導(dǎo)學(xué)生操作和想象是一種有效的方法。例如，在解