隨機變量的分布函數(shù).ppt

1、3.1 隨機變量的分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念,定義: 設(shè)X是隨機變量，對任意實數(shù)x，事件Xx的概率PXx稱為隨機變量X的分布函數(shù)。 記為F(x)，即 F(x)P Xx. 易知，對任意實數(shù)a, b (ab), P a X bPX bPX a F(b)F(a).,二、分布函數(shù)的性質(zhì),1、單調(diào)不減性：若x1x2, 則F(x1)F(x2); 2、歸一 性：對任意實數(shù)x，0F(x)1，且,3、左連續(xù)性：對任意實數(shù)x，,一般地，對離散型隨機變量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函數(shù)為,例1 ：設(shè)隨機變量X具分布律如右表,解：,試求出X的分布函數(shù)。,四、離散型隨機變量的分布函數(shù),例1 ： 向a,b

2、區(qū)間隨機拋一質(zhì)點，以X表示質(zhì)點坐標(biāo).假定質(zhì)點落在a,b區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比，求X的分布函數(shù) 解：,3.2 連續(xù)型隨機變量,1. 定義:對于隨機變量X，若存在非負函數(shù)p(x)，(-x+)，使對任意實數(shù)x，都有,則稱X為連續(xù)型隨機變量， p(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù). 常記為 X p(x) , (-x+),一、概率密度,2. 密度函數(shù)的性質(zhì) (1) 非負性 :p(x)0，(-x)； (2)歸一性:,性質(zhì)(1)、(2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)；,例1：設(shè)隨機變量X的概率密度為,求常數(shù)a.,答:,（3）,(4) 若x是p(x)的連續(xù)點，則,例2：設(shè)隨機變量X的分布函

3、數(shù)為 求p(x),（5）對任意實數(shù)b，若Xp(x)，(-x)，則PX=b0。 于是,例3.已知隨機變量X的概率密度為 1)求X的分布函數(shù)F(x), 2)求PX(0.5,1.5),二、幾個常用的連續(xù)型分布,1. 均勻分布 若Xp(x),則稱X在(a, b)內(nèi)服從均勻分布。記作 XU(a, b),對任意實數(shù)c, d (acdb)，都有,例4.長途汽車起點站于每時的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時間，于每小時的任意時刻隨機地到達車站，求乘客候車時間超過10分鐘的概率,例5：設(shè)K在（0，5）上服從均勻分布，求方程 有實根的概率。,2. 指數(shù)分布 若 X,則稱X服從參數(shù)為0的指數(shù)分布。 其分

4、布函數(shù)為,例6 .電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布. (1)求該電子元件壽命超過2年的概率。 (2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？,解:,例7:某公路橋每天第一輛汽車過橋時刻為T，設(shè)0，t時段內(nèi)過橋的汽車數(shù)Xt服從參數(shù)為t的普哇松分布，求T的概率密度。,其中 為實數(shù)， 0 ，則稱X服從參數(shù)為 ,的正態(tài)分布,記為N(, 2)，可表為 XN(, 2).,（1）若隨機變量,3. 正態(tài)分布,1) 單峰對稱 密度曲線關(guān)于直線x=對稱； p()maxp(x) .,（1）正態(tài)分布有兩個特性：,2) 的大小直接影響概率的分布 越大，曲線越平坦， 越小，曲線越陡峻，。

5、 正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布,4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 (1)參數(shù)0，1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作XN(0, 1)。,分布函數(shù)表示為,其密度函數(shù)表示為,(2)一般的概率統(tǒng)計教科書均附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱(x)的值。(P504附表3)如，若 ZN（0，1）,（0.5)=0.6915, P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32) =0.9925-0.9066,(3) (x)1 (x)；,（4）若X ，則 N（0，1）。,推論：若X ，則,例1.設(shè)隨機變量XN(-1,22), 求P-2.45X2.45=?,例2.設(shè) XN(,2),求P-3X+3,本題結(jié)果稱為3 原則.在工程應(yīng)用中

6、，通常認為P|X- |3 1，忽略|X - |3的值.,例3. 一種電子元件的使用壽命（小時）服從正態(tài)分布(100,152),某儀器上裝有3個這種元件，三個元件損壞與否是相互獨立的.求：使用的最初90小時內(nèi)無一元件損壞的概率.,1、定義：設(shè)(X, Y)是二維隨機變量，(x, y)R2, 則稱 F(x,y)=PXx, Yy 為(X, Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。,一、 聯(lián)合分布函數(shù),幾何意義：分布函數(shù)F( )表示隨機點(X,Y)落在區(qū)域 中的概率。如圖陰影部分：,3.3二維隨機變量及其分布,對于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),則 Px1 X

7、x2， y1 y y2 F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1).,(x1, y1),(x2, y2),(x2, y1),(x1, y2),2、分布函數(shù)F(x, y)具有如下性質(zhì)：,且,(1) 歸一性 對任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,(2)單調(diào)不減 對任意y R, 當(dāng)x1x2時， F(x1, y) F(x2 , y)； 對任意x R, 當(dāng)y1y2時，F(xiàn)(x, y1) F(x , y2)。,(3)左連續(xù) 對任意xR, y0 R,(4)矩形不等式 對于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2

8、, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0.,反之，任一滿足上述四個性質(zhì)的二元函數(shù)F(x, y)都可以作為某個二維隨機變量(X, Y)的分布函數(shù)。,例1.已知二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為,1)求常數(shù)A，B，C。 2)求P0 X2,0 Y3,FY(y)F (+, y) PYy 稱為二維隨機變量(X, Y)關(guān)于Y的邊際分布函數(shù).,FX(x)F (x, +) PXx,稱為二維隨機變量(X, Y)關(guān)于X的邊際分布函數(shù)；,3、邊際分布函數(shù),求FX(x)與FY(y)。,例2.已知(X,Y)的分布函數(shù)為,1、定義 對于二維隨機變量(X, Y)，若存在一個非負可積函數(shù)P (

9、x, y)，使對(x, y)R2，其分布函數(shù),則稱 (X, Y)為二維連續(xù)型隨機變量，P(x,y)為 (X, Y)的密度函數(shù)(概率密度)，或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)，可記為 (X, Y) P(x, y)， (x, y)R2,二、二維連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù),(1)非負性： P (x, y)0, (x, y)R2; (2)歸一性：,反之，具有以上兩個性質(zhì)的二元函數(shù)P(x, y)，必是某個二維連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)。 此外,P(x, y)還有下述性質(zhì),(3)若P(x, y)在(x, y)R2處連續(xù)，則有,2、聯(lián)合密度f(x, y)的性質(zhì)(p120),(4)對于任意平面區(qū)域G R2,例3：設(shè),求:P

10、XY,求：(1)常數(shù)A；(2) F(1,1)； (3) (X, Y)落在三角形區(qū)域D：x0, y0, 2X+3y6 內(nèi)的概率。,例4. 設(shè),為(X, Y)關(guān)于Y的邊際密度函數(shù)。,設(shè)(X, Y)P(x, y), (x, y)R2, 則稱 (p121),為(X, Y)關(guān)于X的邊際密度函數(shù)； 同理，稱,3、邊際密度函數(shù),說明：,（1）求常數(shù)c;(2)求關(guān)于X的邊緣概率密度,例3.設(shè)(X,Y)的概率密度為,(1)二維均勻分布 若二維隨機變量(X, Y)的密度函數(shù)為 則稱(X, Y)在區(qū)域D上(內(nèi)) 服從均勻分布。,易見，若（X，Y）在區(qū)域D上(內(nèi)) 服從均勻分布，對D內(nèi)任意區(qū)域G，有,4. 兩個常用的

11、二維連續(xù)型分布,其中，1、2為實數(shù)，10、20、| |1，則稱(X, Y) 服從參數(shù)為1, 2, 1, 2, 的二維正態(tài)分布，可記為,(2)二維正態(tài)分布 若二維隨機變量(X, Y)的密度函數(shù)為,結(jié)論：N(1, 2, 12, 22, )的邊際密度函數(shù)PX(x)是N(1, 12)的密度函數(shù)，而PY(Y)是N(2, 22)的密度函數(shù)。,故二維正態(tài)分布的邊際分布也是正態(tài)分布。,定義1：稱隨機變量X與Y獨立，如果對任意實數(shù)ab,cd，有 paXb,cYd=paXbpcYd 即事件aXb與事件cYd獨立，則稱隨機變量X與Y獨立。,定義2：稱隨機變量X與Y獨立的，如果 F(x,y)=FX(x)FY(y) 其

12、中 F(x,y)是（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)， FX(x)、FY(y)分別是 X、Y的分布函數(shù)。,三、隨機變量的相互獨立性,定理 (p127): 設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，X與Y獨立的充分必要條件是， P(x,y)=PX(x)PY(y) 定理（復(fù)習(xí)）:設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量，其分布律為Pij=PX=xi,Y=yj,i,j=1,2,.，則X與Y獨立的充分必要條件是對任意i,j， Pij=PiPj 。,獨立性的例子,例：書中（P122）例3.7的兩個隨機變量是否獨立？ 例： 設(shè)(X,Y) N(1, 2, 12, 22, )，則X與Y獨立充要條件為=0。, 3.4 隨機變量函數(shù)的分布

13、,1、一般方法(p56) 若Xp(x), - x +, Y=g(X)為隨機變量X 的函數(shù)，則可先求Y的分布函數(shù) FY (y) PYyP g(X) y,然后再求Y的密度函數(shù),此法也叫“ 分布函數(shù)法”,一、一維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的密度函數(shù),例1.設(shè)XU(-1,1),求Y=X2的分布函數(shù)與概率密度。,當(dāng)y 0時,當(dāng)0y 1時,；當(dāng)y1時,例2:設(shè)X的概率密度為pX(x),y=g(x)關(guān)于x處處可導(dǎo)且是x的嚴格單減函數(shù)，求Y=g(X)的概率密度。,2、公式法： 若XpX(x), y=g(x)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則,其中h(y)為yg(x)的反函數(shù).,例3.已知XN(,2),求,解：,的概率密度,關(guān)于x嚴單

14、,反函數(shù)為,故,例4： 設(shè)XU(0,1),求Y=ax+b的概率密度(a0)。,1、一般的方法：分布函數(shù)法 若(X, Y)p (x,y), (x,y)R2, Z=g(X, Y), 則可先求Z的分布函數(shù):,然后再求出Z的密度函數(shù):,二、二維隨機變量函數(shù)的密度函數(shù),(1)和的分布 已知(X, Y)p(x, y), (x, y)R2, 求ZXY的密度。,2、幾個常用形式函數(shù)的密度函數(shù),對z求導(dǎo)，即得z密度函數(shù),若(X, Y)p(x, y), (x, y)R2, 則ZXY的密度為：,若X與Y相互獨立，則ZXY的密度函數(shù)為,例3.13(P133): 設(shè)隨機變量X與Y獨立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求證：Z=X+

15、Y服從N(0,2)分布。,解：,一般地，設(shè)隨機變量X1, X2，., Xn獨立且Xi服從正態(tài)分布N(i ,i2),i=1,.,n, 則,例2：卡車裝運水泥,設(shè)每袋水泥的重量X(kg)服從N(50,2.52)分布,該卡車的額定載重量為2000kg,問最多裝多少袋水泥,可使卡車超載的概率不超過0.05.,已知(X, Y)p(x, y), (x, y)R2, 求Z 的密度。,(2)商的分布,特別，當(dāng)X，Y相互獨立時，上式可化為,其中pX(x), pY(y)分別為X和Y的密度函數(shù)。,三、統(tǒng)計學(xué)上的幾個常用分布,1、 -分布,若X的密度函數(shù)為,則稱X服從自由度為n的 -分布.,(2)可加性:若X (n)

16、,Y (m),X,Y獨立，則X+Y (n+m)。,2、t分布,若 N(0,1), (n), 與 獨立，則 的密度函數(shù)為,(常稱其為自由度為n的t分布，記為t(n) ),證明：,3、F分布,若 (m)， (n)， 與 獨立，則,的密度函數(shù)為,稱其為第一自由度為m，第二自由度為n的F分布 記為F(m,n),一.數(shù)學(xué)期望的定義,數(shù)學(xué)期望描述隨機變量取值的平均特征,1.定義 若Xp(x), -x,當(dāng),為X的數(shù)學(xué)期望。,則稱,3.5 隨機變量的數(shù)字特征、契貝曉夫不等式,例1. 若隨機變量X服從拉普拉斯分布，其密度函數(shù)為,試求E(X).,解,2.幾個重要r.v.的期望,（1） 均勻分布U(a, b),（2

17、）指數(shù)分布,（3）正態(tài)分布N(, 2),例2：設(shè)隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求隨機變量 Y=aX+b的數(shù)學(xué)期望(其中a0),3.隨機變量函數(shù)的期望,定理3.2 若Xp(x), -x, 則Y=g(X)的期望,定理3.3 若(X, Y) p(x, y), -x, -y, 則Z=g(X, Y)的期望,例3 長途汽車起點站于每時的10分、30分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時間，于每小時的任意時刻隨機地到達車站，求乘客的平均候車時間,例4：設(shè)X服從N(0,1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4),解：,(1) E(c)=c,c為常數(shù); (2)E(cX+dY)=cE(X)+dE(Y), c,d為常數(shù)

18、; (3) 若X與Y獨立，則E(XY)=E(X)E(Y).,4. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),例5：設(shè)隨機變量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z獨立，求隨機變量 U=（2X+3Y)(4Z-1)的數(shù)學(xué)期望。,例6： 設(shè)隨機變量,相互獨立，且均服從,分布，求隨機變量,的數(shù)學(xué)期望,答:,答:,1.定義 若E(X),E(X2)存在，則稱 EX-E(X)2 為r.v. X的方差，記為D(X),或Var(X).,稱 為r.v.X的標(biāo)準(zhǔn)差,易見，若Xp(x)分布，則,二.方差,2.推論 D(X)=E(X2)-E(X)2.,例1：設(shè)隨機變量X的概率密度為,1)求D(X), 2)求,若r.v.

19、X的期望和方差存在，則對任意0，有,這就是著名的契貝曉夫 (Chebyshev)不等式。 它有以下等價的形式：,3.契貝曉夫不等式,證明：,(1) D(c)=0。反之，若D（X）=0，則存在常數(shù)C，使 PX=C=1, 且C=E(X);,(2) D(aX)=a2D(X), a為常數(shù)；,(3)若 X，Y 獨立，則 D(X+Y)=D(X)+D(Y);,證明:,4. 方差的性質(zhì),(1) 均勻分布U(a, b)：,(2)指數(shù)分布：,(3) 正態(tài)分布N(, 2),5. 幾個重要的r.v.的方差,解：,解:,例3：已知某種股票每股價格X的平均值為1元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1元，利用契貝曉夫不等式求a,使股價超過1+

20、a元或低于1-a元的概率小于10%。,1.協(xié)方差定義與性質(zhì),(1)協(xié)方差定義:若r.v. X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在, 則稱 COV(X, Y)=EXE(X)YE(Y). 為X與Y的協(xié)方差。 易見 COV(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,三.協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),1) COV(X, Y)=COV(Y, X); 2) COV(X,X)=D(X);COV(X,c)=0 3) COV(aX, bY)=abCOV(X, Y), 其中a, b為 常數(shù)； 4) COV(X+Y，Z)=COV(X, Z)+COV(Y, Z); 5) D(X Y)=D(X)+D(Y) 2COV(X, Y).

21、,(2)協(xié)方差性質(zhì),例2:設(shè)隨機變量XB(12,0.5),YN(0,1),COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1與W=-2X+4Y的方差與協(xié)方差。,解：,(1) 定義 若r.v. X，Y的方差和協(xié)方差均存在, 且DX0,DY0，則,稱為X與Y的相關(guān)系數(shù). 注：1)若記,稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化，易知EX*=0，DX*=1.且,2.相關(guān)系數(shù),2)當(dāng)XY =0時，稱X與Y不相關(guān)。,1) |XY|1； 2) |XY|=1存在常數(shù)a, b 使PY= aX+b=1； 3) X與Y不相關(guān) XY =0 COV(X, Y)=0,證明：設(shè),(2)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),引理：若(X,Y)是一個二維隨機變量,又 則有,因為對一切t,有 ,所以 ,從而二次方程 或者沒有實根,或者只有一個重根,由此知它的判別式非正,即有,注：（1） 只是隨機變量間線性關(guān)系強弱的一個 度量；,（2）當(dāng) ，X與Y之間存在線性關(guān)系（以概率1）； 當(dāng) 較大時，說明X與Y線性關(guān)系程度較好； 當(dāng) 較小時，說明X與Y線性關(guān)系程度較差； 當(dāng) 時，X與Y不相關(guān)。,以上例5的結(jié)果說明了什么？,解:1),2),例5：,問題:“X與Y獨立”和“X與Y不相關(guān)”有何關(guān)系？,可見，若（X，Y）服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨立的充分必要條件是X與Y不相關(guān)。,例6( p1853.36):設(shè)(X, Y)在D=(X, Y)：x2+