第五章 平均指標(biāo).ppt

1、第五章 平均指標(biāo),一、基本內(nèi)容 第一節(jié) 平均指標(biāo)的意義和特點(diǎn) 平均指標(biāo)的概念、平均指標(biāo)的特點(diǎn)、平均指標(biāo)的作用、平均指標(biāo)的種類 第二節(jié) 算術(shù)平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù)的基本計(jì)算公式、簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)、交替標(biāo)志平均數(shù) 第三節(jié) 調(diào)和平均數(shù) 簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)、由相對(duì)數(shù)和平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)、運(yùn)用調(diào)和平均數(shù)應(yīng)注意的問題,第四節(jié) 幾何平均數(shù) 簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)、加權(quán)幾何平均數(shù)、運(yùn)用幾何平均數(shù)應(yīng)注意的問題 第五節(jié) 眾數(shù)和中位數(shù) 眾數(shù)、中位數(shù) 第六節(jié) 幾種平均數(shù)的關(guān)系 算數(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的關(guān)系、算數(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)的關(guān)系 第七節(jié) 計(jì)算和運(yùn)用平均數(shù)的原則 同

2、質(zhì)性原則、與組平均數(shù)結(jié)合應(yīng)用的原則、與具體事例結(jié)合應(yīng)用的原則,二、學(xué)習(xí)目的與要求 通過對(duì)本章的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們明確平均指標(biāo)的概念、特點(diǎn)和作用，掌握各種平均數(shù)的計(jì)算方法和應(yīng)用條件，了解計(jì)算和應(yīng)用平均數(shù)的原則，以及幾種平均數(shù)的關(guān)系。 三、本章學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)是算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的計(jì)算。 難點(diǎn)是眾數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算，以及由相對(duì)數(shù)或平均數(shù)求總體平均數(shù)時(shí)權(quán)數(shù)的選擇。 四、授課課時(shí)：4-6學(xué)時(shí),第一節(jié) 平均指標(biāo)的意義和特點(diǎn),一、平均指標(biāo)的概念 平均指標(biāo)是指同質(zhì)總體某一標(biāo)志在一定時(shí)間、地點(diǎn)、條件下所達(dá)到的一般水平，是總體的代表值，它描述分布數(shù)列的集中趨勢(shì)。 二、平均指標(biāo)的特點(diǎn) 1、同質(zhì)性（前提） 2、代

3、表性 3、抽象性,要與統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)、總體的特點(diǎn)區(qū)分哦!,三、平均指標(biāo)的作用 1、可以比較同類現(xiàn)象在不同單位、不同地區(qū)間的平均水平。 2、可以比較同類現(xiàn)象在不同時(shí)期的平均水平。 3、可用于研究事物之間的依存關(guān)系。 4、利用平均數(shù)還可以進(jìn)行推算和預(yù)測(cè)。 5 、平均指標(biāo)可以作為制定生產(chǎn)定額的重要依據(jù)（或參考標(biāo)準(zhǔn)）。,四、平均指標(biāo)的種類,第二節(jié) 算術(shù)平均數(shù),一、算術(shù)平均數(shù)的概念 算術(shù)平均數(shù)是總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志的平均數(shù)。 算術(shù)平均數(shù)=標(biāo)志總量總體總量 二、算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對(duì)數(shù)的比較 1、概念不同。強(qiáng)度相對(duì)數(shù)是兩個(gè)有聯(lián)系而性質(zhì)不同的總體對(duì)比而形成相對(duì)數(shù)指標(biāo)。算術(shù)平均數(shù)是反映同質(zhì)總體單位標(biāo)志值一般水平的

4、指標(biāo)。 2、主要作用不同。強(qiáng)度相對(duì)數(shù)反映兩不同總體現(xiàn)象形成的密度、強(qiáng)度。算術(shù)平均數(shù)反映同一現(xiàn)象在同一總體中的一般水平。 如，人均糧食消費(fèi)量、人均糧食產(chǎn)量 人均GDP呢？,3、計(jì)算公式及內(nèi)容不同。算術(shù)平均數(shù)分子、分母分別是同一總體的標(biāo)志總量和總體單位數(shù)，分子、分母的元素具有一 一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即分母每一個(gè)總體單位都在分子可找到與之對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值，反之，分子每一個(gè)標(biāo)志值都可以在分母中找到與之對(duì)應(yīng)的總體單位。而強(qiáng)度相對(duì)數(shù)是兩個(gè)總體現(xiàn)象之比，分子分母沒有一 一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 三、算術(shù)平均數(shù)由于掌握的資料不同和計(jì)算上的復(fù)雜程度不同，可分為簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。,1、簡(jiǎn)單算術(shù)平均法 計(jì)算公式： 代表各單

5、位標(biāo)志值（變量值），n代表總體單位數(shù)（項(xiàng)數(shù)）。 采用條件：主要用于處理未分組的原始資料。,例題1：某生產(chǎn)班組10個(gè)工人日加工零件數(shù)量分別為20 21 22 23 24 25 26 28 29 32，則這10個(gè)工人日平均加工零件數(shù)為： 平均加工零件數(shù)=（20+21+22+23+24+25+26+28+29+32）/10=25件,2、加權(quán)算術(shù)平均法 代表各單位標(biāo)志值（變量值），f 代表各組單位數(shù)（項(xiàng)數(shù)）。 適用條件：分組資料（如分布數(shù)列等） 當(dāng)權(quán)數(shù)完全相等（f1 =f2 = fn）時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就成了簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)。 加權(quán)為了體現(xiàn)各變量值輕重不同的影響作用，對(duì)各個(gè)變量值賦予不盡相同的權(quán)數(shù)（fi

6、 ）,權(quán)數(shù)指在計(jì)算總體平均數(shù)或綜合水平的過程中對(duì)各個(gè)數(shù)據(jù)起著權(quán)衡輕重作用的變量?？梢允墙^對(duì)數(shù)形式，也可以是比重形式（如頻率）來表示。 由于變量數(shù)列有單項(xiàng)數(shù)列和組距數(shù)列之分，所以他們的計(jì)算方法也有不同。下面介紹根據(jù)單項(xiàng)數(shù)列和組距數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的方法和計(jì)算公式。,（1）單項(xiàng)數(shù)列 如果資料是一個(gè)單項(xiàng)數(shù)列，直接利用各組總體單位數(shù)（次數(shù)）對(duì)各組變量值加權(quán)計(jì)算平均數(shù)。 例題2：根據(jù)下列資料計(jì)算全體員工的平均工資,根據(jù)加權(quán)平均數(shù)計(jì)算公式得： =（8005+100010+120020+15007+20005+25003）/（5+10+20+7+5+3）=1320（元/人） 如果利用員工比重的資料來進(jìn)行

7、加權(quán)計(jì)算，也可以得到同樣的結(jié)果： = 8000.1+10000.2+12000.4+15000.14 +20000.1+25000.06 =1320（元/人）,不符合基本公式，總體單位總量不是5個(gè)工人，而是800個(gè)工人；工人人總產(chǎn)量（總體標(biāo)志總量）不是60件，而是9710件,所以，應(yīng)該這樣計(jì)算：,可以這樣計(jì)算嗎？,不能!,（2）組距數(shù)列 計(jì)算步驟：首先計(jì)算各組的平均數(shù)，再以各組平均數(shù)乘以相應(yīng)的權(quán)數(shù)。但在實(shí)際工作中，很少計(jì)算各組平均數(shù)，而是用各組的組中值代替各組平均數(shù)。,所以： =183400/300=611.33（公斤） 注意：利用組中值代替各組平均數(shù)是有一定假定條件的：假設(shè)各組中的單位標(biāo)志值

8、在組內(nèi)分布是均勻的。但實(shí)際情況通常與這一假定條件不完全符合。因此各組組中值與組平均數(shù)也不可避免地存在一定程度的誤差，由組距數(shù)列計(jì)算的平均數(shù)一般只能是近似值。,注意： 權(quán)數(shù)的選擇必須符合該相對(duì)數(shù)本身的計(jì)算公式。 權(quán)數(shù)通常為該相對(duì)數(shù)的分母指標(biāo)。,指變量數(shù)列中，各個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)不一樣，次數(shù)出現(xiàn)多的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響重要一些，次數(shù)出現(xiàn)少的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響小一些，因此對(duì)各個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)不能等同看待。計(jì)算平均數(shù)時(shí)，必須以統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)乘以其出現(xiàn)的次數(shù)，以權(quán)衡其輕重，這就是“加權(quán)”。,加權(quán),四、算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì) 1 算術(shù)平均數(shù)與變量值個(gè)數(shù)的乘積等于各個(gè)變量值的總和。 2 各變量與算術(shù)平均數(shù)的離差之

9、和等于零 3 各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方之和為最小。 即,4 對(duì)各變量值加或減一個(gè)任意數(shù)a，則算術(shù)平均數(shù)也要增加或減少該數(shù)a。,5 對(duì)各變量值乘以或除以一個(gè)任意數(shù)b，則算術(shù)平均數(shù)也要乘以或除以該數(shù)b 。,五、交替標(biāo)志平均數(shù) 1、概念：交替標(biāo)志又稱是非標(biāo)志，它是一個(gè)只有兩種答案的標(biāo)志。如：性別只有男、女；一批產(chǎn)品只有合格品、不合格品等就可用是非標(biāo)志來反映。 2、表示形式： 1：具有某種屬性的單位標(biāo)志值。 0：不具有某種屬性的單位標(biāo)志值。 N：全部總體單位數(shù)。 N1：具有某種屬性的總體單位數(shù)。 N2：不具有某種屬性的總體單位數(shù)。 P= N1 /N：具有某種屬性的單位數(shù)所占的比重。 Q= N2

10、/N：不具有某種屬性的單位數(shù)所占的比重。 其中：P+Q=1 3、公式為：,例題：某廠去年生產(chǎn)的產(chǎn)品中，合格率為98%，通過下列資料計(jì)算該廠的平均合格率。 =（198+02）/100100%=98%,第三節(jié) 調(diào)和平均數(shù),一、調(diào)和平均數(shù)的概念及計(jì)算方法 調(diào)和平均數(shù)又稱倒數(shù)平均數(shù)，是變量倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。 變量X的調(diào)和平均數(shù)是該變量的各個(gè)變量值的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。分為簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。 （1）簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù),例題：輪船從甲地開往乙地，去時(shí)順?biāo)兄?，船速每小時(shí)100千米，返回時(shí)逆水行舟，船速每小時(shí)80千米，求輪船的平均時(shí)速？,（2）加權(quán)調(diào)和平均數(shù) M表示各項(xiàng)權(quán)數(shù) 社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)

11、中所應(yīng)用的調(diào)和平均數(shù)通常是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形。,二、調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的比較,三、應(yīng)用調(diào)和平均數(shù)應(yīng)注意問題 1、變量x的值不能為0。 2、調(diào)和平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)易受極端值的影響。 3、要注意其運(yùn)用的條件。,例題：水果甲級(jí)每元1公斤，乙級(jí)每元1.5公斤，丙級(jí)每元2公斤。問： （1）若各買1公斤，平均每元可買多少公斤？ （2）各買6.5公斤，平均每元可買多少公斤？ （3）甲級(jí)3公斤，乙級(jí)2公斤，丙級(jí)1公斤，平均每元可買幾公斤？ （4）甲乙丙三級(jí)各買1元，每元可買幾公斤？ 例題：自行車賽時(shí)速：甲30公里，乙28公里，丙20公里，全程200公里，問三人平均時(shí)速是多少？若甲乙丙三人各騎車2小時(shí)，平

12、均時(shí)速是多少？,第四節(jié) 幾何平均法,一、概念 幾何平均法是n個(gè)變量連乘積的n次根。 二、適用條件 適用于各個(gè)變量值之間存在連乘積關(guān)系的場(chǎng)合。 對(duì)數(shù)正態(tài)分布或近似對(duì)數(shù)正態(tài)分布資料；等比級(jí)數(shù)資料。 主要用于計(jì)算現(xiàn)象的平均發(fā)展速度 也適用于對(duì)某些具有環(huán)比性質(zhì)的比率求平均. 如：銀行平均利率、各年平均發(fā)展速度、產(chǎn)品平均合格率等的計(jì)算就采用幾何平均法。 三、公式： （1）簡(jiǎn)單幾何平均法 （2）加權(quán)幾何平均法,二、應(yīng)注意的問題 1、變量數(shù)列中任何一個(gè)變量值不能為0，一個(gè)為0，則幾何平均數(shù)為0。 2、用環(huán)比指數(shù)計(jì)算的幾何平均易受最初水平和最末水平的影響。 3、幾何平均法主要用于動(dòng)態(tài)平均數(shù)的計(jì)算。,例題： 本

13、月該企業(yè)各加工工序的合格率分別為88、85、90、92、96，試求這五道工序的平均合格率。 解：本例中，后一道工序的合格率是在前一道工序合格品的基礎(chǔ)上計(jì)算的，因此各工序的合格率具有環(huán)比的性質(zhì)，企業(yè)產(chǎn)品的總合格率等于各工序合格率之連乘積。所以，所求的平均合格率應(yīng)采用幾何平均數(shù)的計(jì)算公式，即所求的平均合格率為：,假定某地儲(chǔ)蓄年利率（按復(fù)利計(jì)算）：5%持續(xù)1.5年，3%持續(xù)2.5年，2.2%持續(xù)1年。請(qǐng)問此5年內(nèi)該地平均儲(chǔ)蓄年利率。 該地區(qū)平均儲(chǔ)蓄年利率為,某企業(yè)2000-2006年產(chǎn)量如下表，請(qǐng)計(jì)算該企業(yè)產(chǎn)量平均發(fā)展速度和平均增長(zhǎng)速度。,第五節(jié) 眾數(shù)和中位數(shù),一、眾數(shù) （Mode） 1、眾數(shù)是指變

14、量數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多或頻率最大的變量值，用M0。,16 17 17 18 18 18 18 19 19 22,2、適用條件：總體單位數(shù)較多，且集中趨勢(shì)明顯時(shí)，才能用眾數(shù)作為總體的代表值。 3、眾數(shù)的計(jì)算方法 （1）單項(xiàng)數(shù)列確定眾數(shù)，即出現(xiàn)次數(shù)最多（頻率最大）的標(biāo)志值就是眾數(shù)。,例18 80 82 85 88 90 91 93 97 100,當(dāng)各變量值出現(xiàn)的次數(shù)相等時(shí)，不存在眾數(shù)。,無眾數(shù),某企業(yè)不同規(guī)格和顏色的銷售量如下表，求該企業(yè)產(chǎn)品規(guī)格和顏色的眾數(shù)。,（2）組距數(shù)列確定眾數(shù)：在組距數(shù)列中需要先找到縱數(shù)組。在等距數(shù)列中，眾數(shù)組就是次數(shù)最多的組；在異距數(shù)列中，眾數(shù)組應(yīng)是頻數(shù)密度最大的組。然后再

15、通過公式進(jìn)行具體計(jì)算，找出眾數(shù)點(diǎn)的標(biāo)志值。 公式中，L代表眾數(shù)組的下限值；U代表眾數(shù)組的上限值；1代表眾數(shù)組次數(shù)與前一組次數(shù)之差； 2代表眾數(shù)組次數(shù)與后一組次數(shù)之差；d代表眾數(shù)組組距。,二、中位數(shù)（Median） 1、中位數(shù)：將總體單位的某一數(shù)量標(biāo)志的各個(gè)數(shù)值按照大小順序排列，居于中間位置的那個(gè)數(shù)值就是中位數(shù)。 2、計(jì)算方法 （1）由未分組數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù) 若數(shù)據(jù)項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)，則正好位于中間的數(shù)值就是中位數(shù)。如5人收入為: 1200,1450,1500,1600,2000元，則收入的中位數(shù) Me =1500。 若數(shù)據(jù)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，則取居中兩個(gè)數(shù)值的平均數(shù)為中位數(shù)。如6人收入為: 1200,1450,

16、1500,1600, 1800,2000元，則收入的中位數(shù) Me =1550。,中位數(shù)的確定,未分組數(shù)據(jù)：,（2）由單項(xiàng)數(shù)列計(jì)算中位數(shù) 由單項(xiàng)數(shù)列計(jì)算中位數(shù)，先計(jì)算單項(xiàng)數(shù)列的累計(jì)次數(shù)，然后再確定中位數(shù)位置（用f/2來計(jì)算） f/2=56/2=28，對(duì)應(yīng)在第三組，所以Me=18,（3）由組距數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù) 由組距數(shù)列計(jì)算中位數(shù)，先計(jì)算單項(xiàng)數(shù)列的累計(jì)次數(shù)，然后再確定中位數(shù)位置（用f/2來計(jì)算） 假定中位數(shù)組內(nèi)次數(shù)均勻分布（次數(shù)與變量值的區(qū)間大小成比例），近似推算中位數(shù)的值。 計(jì)算公式為：,下限公式：,上限公式：,中位數(shù)數(shù)值為f/2=300/2=150 說明中位數(shù)在第四組，即在600700之間 代入

17、下限公式，求得中位數(shù)： 代入上限公式，求得中位數(shù)：,思考：有人說中位數(shù)把全部數(shù)據(jù)一分為二，一半數(shù)據(jù)小于它而另一半數(shù)據(jù)大于它。你是否同意此觀點(diǎn)？為什么？ 這個(gè)結(jié)論只有對(duì)連續(xù)型分布才成立，或中位數(shù)數(shù)值沒有重復(fù)出現(xiàn)的情況下才成立。如果中位數(shù)數(shù)值出現(xiàn)次數(shù)大于1，則上述結(jié)論不符合實(shí)際。,三、其他分位數(shù) 一般地，將全部總體單位按標(biāo)志值大小等分為k個(gè)部分的數(shù)值為“k分位數(shù)”。顯然，這樣的k分位數(shù)共有k-1個(gè)。 （一）四分位數(shù) 將全部總體單位按標(biāo)志值大小等分為四部分的三個(gè)數(shù)值，分別記為Q1、Q2和Q3。Q1也叫“1/4分位數(shù)”或“下四分位數(shù)”； Q2就是中位數(shù)； Q3叫“3/4分位數(shù)”或“上四分位數(shù)”。 總體

18、有n個(gè)單位標(biāo)志值按大小順序排列的情況下，三個(gè)四分位數(shù)的位次分別為：,（二）十分位數(shù)是將數(shù)據(jù)由小到大排序后，位于全部數(shù)據(jù)1/10位置上的數(shù)值。 （三）百分位數(shù)是將數(shù)據(jù)由小到大排序后，位于全部數(shù)據(jù)1/100位置上的數(shù)值。 中位數(shù)也就是第二個(gè)四分位數(shù)、第五個(gè)十分位數(shù)、第五十個(gè)百分位數(shù)。 分位數(shù)與其它指標(biāo)結(jié)合，可以更詳細(xì)地反映數(shù)據(jù)的分布特征。,箱線圖（boxplot）,箱線圖由一組數(shù)據(jù)的最小值（xmin）、第一四分位數(shù)(Q1)、中位數(shù)(Me)、第三四分位數(shù)(Q3)、最大值（xmax）等五個(gè)數(shù)值來繪成。 利用箱線圖可以觀察數(shù)據(jù)分布的范圍、中心位置和對(duì)稱性等特征，還可以進(jìn)行多組數(shù)據(jù)分布的比較。,（1）計(jì)算

19、上四分位數(shù)1，中位數(shù)Me，下四分位數(shù)3；（2）在縱軸上設(shè)置適當(dāng)?shù)某叨?，?為底、3為頂繪制一個(gè)矩形箱體（也可以在橫軸上繪制箱體）；（3）在矩形箱體內(nèi)用一條線代表Me；（4）延長(zhǎng)箱體上端至最大值、延長(zhǎng)箱體下端至最小值作橫線，但是，這兩條橫線與1或3的距離不大于箱體長(zhǎng)度1.5倍。,箱線圖為我們提供了識(shí)別異常值的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：異常值被定義為小于Q11.5QD或大于Q31.5 QD的值(其中，QD= Q3- Q1)。,第六節(jié) 幾種平均數(shù)的關(guān)系,一、數(shù)值平均數(shù)與位置平均數(shù)的比較 1 聯(lián)系 數(shù)值平均數(shù)與位置平均數(shù)在統(tǒng)計(jì)上都是用來表征總體的一般水平或分布的集中趨勢(shì)，都屬于抽象化的代表值。 2 區(qū)別 （1）數(shù)值平

20、均數(shù)是對(duì)所有變量值來計(jì)算的平均數(shù)，能概括反映整個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)標(biāo)志值的平均水平；位置平均數(shù)則是根據(jù)總體中處于特殊位置上的個(gè)別單位或部分單位的標(biāo)志值來確定的代表值。 （2）數(shù)值平均數(shù)概括能力較強(qiáng)，各個(gè)標(biāo)志值的變動(dòng)都在一定程度上影響到數(shù)值平均數(shù)的計(jì)算結(jié)果，另一方面數(shù)值平均數(shù)極容易受到個(gè)別或少數(shù)極端值的影響。位置平均數(shù)則相反，這些對(duì)它幾乎不受影響。 （3）第三個(gè)區(qū)別是它們各自適用數(shù)據(jù)類型不同。一般地，數(shù)值平均數(shù)對(duì)于數(shù)據(jù)的量化程度要求較高，只適合于定距尺度和定比尺度的數(shù)據(jù)；位置平均數(shù)適合定距尺度、定比尺度的數(shù)據(jù)和定類尺度的數(shù)據(jù)。,二、算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的比較 1 區(qū)別 （1）算術(shù)平均數(shù)是數(shù)值平均數(shù)，即它是利用全部數(shù)據(jù)加總來計(jì)算的平均數(shù)，綜合反映了全部數(shù)據(jù)的信息。眾數(shù)和中位數(shù)是根據(jù)數(shù)據(jù)分布的特定位置所確定，不能充分反映全部數(shù)據(jù)的信息。 （2）算術(shù)平均數(shù)和中位數(shù)在任何一組數(shù)據(jù)中都存