理論力學第11章動量定理.ppt

1、第十一章 動量定理,主要內容,11.2 力的沖量,11.3 動量定理,11.4 質心運動定理,11.1 質點及質點系的動量,動量定理,對質點動力學問題： 建立質點運動微分方程求解。,對質點系動力學問題： 理論上講，n個質點列出3n個微分方 程， 聯(lián)立求解它們即可。,實際上的問題是：,2、大量的問題中，不需要了解每一個質點的運 動,僅需要研究質點系整體的運動情況。,1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題）非常困難。,從本章起, 將要講述解答動力學問題的其它方法, 而首先要討論的是動力學普遍定理(包括動量定理、動量矩定理、動能定理及由此推導出來的其它一些定理)。它們和牛頓定律一樣，只適用于慣性坐標系

2、。,動量定理,它們都可以從動力學基本方程 推導出來。具有簡明的數學形式，明確的物理意義， 表明兩種量 一種是運動特征量(動量、動量矩、動能等)，一種是力的作用量(沖量、力矩、功等) 之間的關系，從不同側面對物體的機械運動進行深入的研究。在一定條件下，用這些定理來解答動力學問題非常方便簡捷 。,本章研究質點和質點系的動量定理，建立了動量的改變與力的沖量之間的關系，并研究質點系動量定理的另一重要形式質心運動定理。,11.1 質點及質點系的動量,1、質點的動量,質點的質量與速度的乘積，稱為該質點的動量,1）質點的動量是矢量，它的方向與質點速度 的方向一致,2）動量的國際單位是,質點動量的矢量形式,動

3、量在空間直角坐標系中的投影形式,2、質點系的動量,質點系中各質點動量的矢量和稱為質點系的動量。,令 為質點系的總質量，定義質點系質量中心（質心）C的矢徑為,則,質點系的動量等于其全部質量與質心速度的乘積，動量的方向與質心速度的方向相同。,11.1 質點及質點系的動量,質點系動量在直角坐標系oxyz下的投影表達式為：,例1,長為 ，質量為 的勻質細桿，在平面內繞 點轉動，角速度為 ，求細桿動量。,解：細桿質心的速度,則細桿的動量為,方向與 相同,11.1 質點及質點系的動量,例2,如圖勻質滾輪，質量為 ，輪心速度為 ， 則動量為,例3,如圖繞中心轉動的勻質輪，無論有多大的速度和質量，由于質心不動

4、，其動量總是零。,11.1 質點及質點系的動量,11.2 力的沖量,作用在物體上的作用力與其作用時間的乘積，稱為力的沖量。,1）力是常矢量：,2）力是變矢量：,力的元沖量,力 在有限時間間隔內的沖量為,沖量的國際單位是,1、力的沖量,設力 在直角坐標系下的解析投影式,則沖量在x,y,z三個軸上的投影式分別為,2、合力的沖量,11.2 力的沖量,共點力系的合力的沖量等于力系中各分力的沖量的矢量和。,如果有 這n個力組成的共點力系作用在物體上，合力為 ，則共點力系的合力在時間間隔 內的沖量為,11.2 力的沖量,11.3 動量定理,1、質點的動量定理,微分形式：,質點動量的微分等于作用于質點上所有

5、力的元沖量的矢量和 。,或,積分形式：,質點動量在有限時間間隔內的改變等于作用在質點上的所有力在這段時間間隔內的沖量的矢量和,2、質點系的動量定理,設質點系有n個質點，第i個質點的質量為 ，速度為 ，外界物體對質點的作用力為 ，稱為外力，質點系內其他質點對該質點的作用力為 ，稱為內力。,根據質點的動量定理有,這樣的方程共有n個，將這n個方程兩端分別相加，得,因為質點系內質點相互作用的內力總是大小相等，方向相反 ，且成對地出現(xiàn)，相互抵消，因此內力沖量的矢量和等于零。,1）微分形式：,11.3 動量定理,又因 ，于是質點系動量定理的微分形式為,即,質點系動量定理的微分形式：質點系的動量對時間的一階

6、導數等于作用在該質點系上的所有外力的矢量和。,向直角坐標系oxyz投影可得：,質點系的動量在某坐標軸上的投影對時間的一階導數，等于作用在該質點系上的所有外力在該軸上的投影的代數和。,11.3 動量定理,2)積分形式:,質點系動量定理的積分形式：在某一段時間間隔內，質點系動量的改變，等于在這段時間間隔內作用于質點系上的所有外力的沖量的矢量和。,投影到直角坐標軸上得：,在某一段時間間隔內質點系的動量在某一軸上的投影的增量等于作用于質點系上的所有外力在同一時間間隔內的沖量在同一坐標軸上投影的代數和。,11.3 動量定理,電動機的外殼用螺栓固定在水平基礎上，定子的質量是m1，轉子的質量是m2，轉子的軸

7、線通過定子的質心O1。制造和安裝的誤差，使轉子的質心O2對它的軸線有一個很小的偏心距b（圖中有意夸張）。試求電動機轉子以勻角速度 轉動時，電動機所受的總水平力和鉛直力。,例 題 11-1,11.3 動量定理,運 動 演 示,例 題 11-1,11.3 動量定理,解:取整個電動機（包括定子和轉子）作為研究對象。選坐標系如圖所示。,質心 C 的坐標為,質心 C 的運動微分方程為,例 題 11-1,11.3 動量定理,從而求得質心加速度在坐標系上的投影,把上式代入式(1)和(2)，即可求得,Fx = m2b2cos t,Fy = (m1 + m2)g m2b2sint,例 題 11-1,11.3 動

8、量定理,物塊A可沿光滑水平面自由滑動，其質量為mA；小球B的質量為mB ，以細桿與物塊鉸接，如圖所示。設桿長為l，質量不計，初始時系統(tǒng)靜止，并有初始擺角0；釋放后，細桿近似以 規(guī)律擺動（k為已知常數），求物塊A的最大速度。,例 題 11-2,11.3 動量定理,運 動 演 示,例 題 11-2,11.3 動量定理,取物塊和小球為研究對象，其上的重力以及水平面的約束力均為鉛垂方向。此系統(tǒng)水平方向不受外力作用，則沿水平方向動量守恒。,細桿角速為 ，當 時，其絕對值最大，此時應有 ，即 。,v,vr,解：,由此，當細桿鉛垂時小球相對于物塊有最大的水平速度，其值為,例 題 11-2,11.3 動量定理

9、,當此速度vr向左時，物塊應有向右的絕對速度，設為v，而小球向左的絕對速度值為va=vrv。根據動量守恒條件，有,解出物塊的速度為,當 時，也有 。此時小球相對于物塊有向右的最大速度 k0l ，可求得物塊有向左的最大速度,例 題 11-2,11.3 動量定理,圖示單擺B的支點固定在一可沿光滑的水平直線軌道平移的滑塊A上，設A，B的質量分別為mA，mB，運動開始時， 。試求單擺B的軌跡方程。,例 題 11-3,11.3 動量定理,解：以系統(tǒng)為對象，其運動可用滑塊A的坐標x和單擺擺動的角度兩個廣義坐標確定。,解出,單擺B的坐標為,mB g,則,由于沿x方向無外力作用，且初始靜止，系統(tǒng)沿x軸的動量守

10、恒，質心坐標xC應保持常值xC0。,mA g,例 題 11-3,11.3 動量定理,消去 ，即的到單擺B的軌跡方程：,是以 x= xC0 , y=0 為中心的橢圓方程，因此懸掛在滑塊上的單擺也稱為橢圓擺。,例 題 11-3,11.3 動量定理,軌 跡 演 示,例 題 11-3,11.3 動量定理,3、質點系動量守恒定律,如果作用于質點系的外力的主矢恒為零時，質點系的動量保持不變，即,若,則,從而,如果作用于質點系的外力主矢在某一坐標軸上的投影恒等于零，則質點系的動量在該坐標軸上的投影保持不變。,即若有,則,以上結論稱為質點系動量守恒定律,質點系的內力可以改變質點系中各質點的動量，但不能改變質點

11、系的總動量，只有外力才能改變質點系的總動量。,11.3 動量定理,11.4 質心運動定理,1、質量中心,質心位置在直角坐標系的投影形式,曲柄滑塊機構如圖所示。設曲柄OA受力偶作用以勻角速度轉動，滑塊B沿x軸滑動。若OA=AB=l，OA及AB皆為均質桿，質量皆為m1，滑塊B的質量為m2 。試求支座O處的水平約束力。,例 題 11-4,11.4 質心運動定理,解：選取整個機構為研究對象，其水平方向只承受O處約束力的作用。,此系統(tǒng)質心坐標為,Fx,Fy,FN,將xC對時間取二階導數,代入上式（a），求得,（a）,列出質心運動定理在x軸上的投影式,例 題 11-4,11.4 質心運動定理,整個系統(tǒng)在鉛

12、垂方向除有重力外，O，B兩處受有y方向約束力Fy和FN。列出質心運動定理在y軸上的投影式,質心yC對時間取二階導數，代入上式，求得,以整個系統(tǒng)為研究對象，只能求出O，B兩處y向約束反之和，而不能分別求出各自的值。,例 題 11-4,11.4 質心運動定理,曲柄滑塊機構如圖所示。設曲柄OA受力偶作用以勻角速度轉動，滑塊B沿x軸滑動。若OA=AB=l，OA及AB皆為均質桿，質量皆為m1，滑塊B的質量為m2 。試求此系統(tǒng)的質心運動方程、軌跡以及此系統(tǒng)的動量。,例 題 11-5,11.4 質心運動定理,設 t=0 時OA 桿水平，則有 =t 。,由式,質心C的坐標為,解：,Fx,Fy,FN,例 題 1

13、1-5,11.4 質心運動定理,上式也就是此系統(tǒng)質心C的運動方程。由上二式消去時間t，得,即質心C的運動軌跡為一橢圓，如圖中虛線所示。應該指出，系統(tǒng)的質心一般不在其中某一物體上，而是空間的某一特定點。,vC,C,例 題 11-5,11.4 質心運動定理,為求系統(tǒng)的動量，由動量定理投影式，得,此例中,由質心公式得,系統(tǒng)動量的大小為,則得系統(tǒng)動量沿x，y軸投影：,例 題 11-5,11.4 質心運動定理,2、質心運動定理,由動量定理的微分形式,對于質量不變的質點系,或,質點系的質量和其質心加速度的乘積，等于作用于質點系的所有外力的矢量和。這就是質心運動定理。,質點系的內力不影響質心的運動，只有外力

14、才能改變質心的運動。,11.4 質心運動定理, 動畫,11.4 質心運動定理, 動畫,11.4 質心運動定理,質心運動定理的直角坐標投影形式：質點系的質量和質心加速度在某一坐標軸上的投影的乘積等于作用在質點系上的所有外力在同一坐標軸上投影的代數和。,3、質點系質心運動守恒定律,即：如果作用在質點系上的外力的矢量和恒等于零，則質心作慣性運動。,（1）若 ，則 常量,11.4 質心運動定理,即：如果作用在質點系上的外力在某一軸上投影的代數和恒等于零，則質心速度在該軸上的投影保持不變（質心沿該軸作慣性運動）,（2）若 ，則 ，,以上結論，稱為質點系質心運動守恒定律 。,11.4 質心運動定理,如圖所示，設電動機沒用螺栓固定，定子的質量是 m1，轉子的質量是 m2，轉子的軸線通過定子的質心 O1。制造和安裝的誤差，使轉子的質心 O2對它的軸線有一個很小的偏心距 e。各處摩擦不計，初始時電動機靜止，求轉子以勻角速度轉動時電動機外殼的運動。,例 題 11-6,11.4 質心運動定理,電動機受到的作用力有外殼的重力，轉子的重力和地面的法向力。,因為電動機在水平方向沒有受到外力，且初始為靜止，因此系統(tǒng)質心的坐標xC保持不