八年級數(shù)學上冊 11.3.2 多邊形的內(nèi)角和學案 新人教版

1、多邊形的內(nèi)角和（一）思考三角形的內(nèi)角和等于180。正方形、長方形的內(nèi)角和都等于360，其他四邊形的內(nèi)角和等于多少？（二）探究任意畫一個四邊形，量出它的4個內(nèi)角，計算它們的和。 再畫幾個四邊形，量一量，算一算。你能得出什么結論?能否利用三角形內(nèi)角和等于180得出這個結論?如圖7.38，畫出任意一個四邊形的一條對角線，都能將這個四邊形分為兩個三角形。這樣，任意一個四邊形的內(nèi)角和，都等于兩個三角形的內(nèi)角和，即360。從上面的問題，你能想出五邊形和六邊形的內(nèi)角和各是多少嗎?觀察圖7.39，請?zhí)羁眨簭奈暹呅蔚囊粋€頂點出發(fā)，可以引_條對角線，它們將五邊形分為_個三角形，五邊形的內(nèi)角和等于180_。從六邊形

2、的一個頂點出發(fā)，可以引_條對角線，它們將六邊形分為_個三角形，六邊形的內(nèi)角和等于180_。通過以上問題，你能發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關系嗎?一般地，怎樣求n邊形的內(nèi)角和呢?請?zhí)羁眨簭膎邊形的一個頂點出發(fā)，可以引_條對角線，它們將n邊形分為_個三角形，n邊形的內(nèi)角和等于180_?？偨Y：過n邊形的一個頂點可以做（n3）條對角線，將多邊形分成（n2）個三角形，每個三角形內(nèi)角和180。所以n邊形內(nèi)角和（n2）180。把一個多邊形分成幾個三角形，還有其他分法嗎?由新的分法，能得出多邊形內(nèi)角和公式嗎? 方法2：如圖：733過n邊形內(nèi)任意一點與n邊形各頂點連接，可得n個三角形，其內(nèi)角和n180。再減去以O

3、為頂點的周角。即得n邊形內(nèi)角和n180360。得出了多邊形內(nèi)角和公式：n邊形內(nèi)角和等于（n2）180。（三）例題例1 如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系?解：如圖7.310，四邊形ABCD中，AC180。因為ABCD（42）180360，所以BD360（AC）=360180=180。這就是說，如果四邊形的一組對角互補，那么另一組對角也互補。例2如圖7.311，在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和。六邊形的外角和等于多少?分析：考慮以下問題：（1）任何一個外角同與它相鄰的內(nèi)角有什么關系?（2）六邊形的6個外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得總和是多少?（

4、3）上述總和與六邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關系?聯(lián)系這些問題，考慮外角和的求法。解：六邊形的任何一個外角加上與它相鄰的內(nèi)角，都等于180。6個外角連同它們各自相鄰的內(nèi)角，共有12個角。這些角的總和等于6180。這個總和就是六邊形的外角和加上內(nèi)角和。所以外角和等于總和減去內(nèi)角和，即外角和等于6180（62）1802180360。（四）探究如果將例2中六邊形換為n邊形（n的值是不小于3的任意整數(shù)），可以得到同樣結果嗎?思路：（用計算的方法）設n邊形的每一個內(nèi)角為1，2，3，n，其相鄰的外角分別為1801，1802，1803，180n。外角和為（1801）（1802）（180n）=n180（123n）=n180（n2）180=360注意：以上各推導方法體現(xiàn)將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的基本思想。由上面的探究可以得到：多邊形的外角和等于360。你也可以像以下這樣理解為什么多邊形的外角和等于360。如圖7.312，從多邊形的一個頂點A出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各頂點，再回到點A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)時的方向。在行程中所轉(zhuǎn)的各個角的和，就是多邊形的外角和。由