概率論與數理統計_第一章.ppt

1、教材： 概率論與數理統計 （第三版）浙江大學 盛驟 等 編 高等教育出版社,2,2005 Henan Polytechnic University,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,隨機試驗、樣本空間和隨機事件 隨機事件間的關系與運算 隨機事件的概率及其性質 條件概率、全概公式與貝葉斯公式 隨機事件的獨立性,第一章 隨機事件及其概率,3,2005 Zhang Yongjin,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,兩 類 現 象,在一次試驗中結果呈現出不確定 性，在大量重復試驗中其結果又呈現出一定的規(guī)律 性的現象。,確定現象,在一定條件下必然發(fā)生的現象。,如：在標準大氣壓下，水加熱至10

2、0時沸騰； 上拋一物體必然下落； 同性電荷必然相斥；等等。,隨機現象,如：拋一枚硬幣可能出現正面，也可能出現反面； 電話交換臺在1分鐘內接到的呼叫次數； 測試在同一工藝下生產的燈泡的壽命；等等。,高等數學，線性代數等,概率論，數理統計等,4,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,E1：拋一枚硬幣，觀察正面H和反面T出現的情況；,E2：將一枚硬幣連拋三次,觀察正、反面出現的情況；,E3：將一枚硬幣連拋三次,觀察正面出現的次數；,E4：擲一枚骰子，觀察出現的點數;,隨機試驗舉例,E5：電話交換臺在1分鐘內接到的呼叫次數；,E6：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命；,E7：記錄某地一

3、晝夜的最高溫度與最低溫度。,5,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,定義2 隨機試驗E所有可能結果組成的集合稱為E的樣 本空間(S,)；樣本空間的元素稱為樣本點(e,)。,二、樣本空間與隨機事件,E1：拋一枚硬幣，觀察正面H和反面T出現的情況,S1=H，T,E2：一硬幣連拋三次，觀察正面、反面出現的情況,S2=HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT,例如,顯然，樣本點是由試驗的目的所確定的。,6,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,E3：一枚硬幣連拋三次，觀察正面出現的次數,S3=0，1，2，3,E4：擲一枚骰子，觀察出現的點數,S4=1，2

4、，3，4，5，6,E5：電話交換臺在1分鐘內接到的呼叫次數,S5=0，1，2，3，,E6：在一批燈炮中任意抽取一只，測試它的壽命,S6=t|t0,E7：記錄某地一晝夜的最高溫度與最低溫度,S7=(x,y)|T最低xy T最高,7,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,定義3 樣本空間S的子集稱為隨機事件,簡稱為 事件。特別的，S稱為必然事件；稱為不可能事 件；單個樣本點組成的單點集e稱為基本事件。,試驗 E：擲一枚骰子，觀察出現的點數。,樣本空間 S=1，2，3，4，5，6，,“出現偶數點”的事件A=2，4，6；,例如,“出現不小于3的點數”的事件B=3，4，5，6；,“出現大于6

5、點”的事件為不可能事件；,“出現點數不超過6”的事件為必然事件S，等等。,8,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計, 在一次試驗中，事件A發(fā)生當且僅當A中的一 個樣本點出現；, 必然事件在每次試驗中均發(fā)生；不可能事件 在每次試驗中均不發(fā)生；, 基本事件之間兩兩互斥，且在每次試驗中有且有一個發(fā)生。,說 明,9,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,集合間的關系與運算,意義：事件A發(fā)生必導致事件B發(fā)生。,2、事件AB稱為事件A與事件B的和事件。,意義：“和事件AB發(fā)生”“事 件A與事件B至少有一個發(fā)生”。,三、事件間的關系與運算,10,2005,河南理工大學精品課程 概率論

6、與數理統計,3、事件AB稱為事件A與 事件B的積事件。,意義：“積事件AB發(fā)生”= “事件A與事件B同時發(fā)生”。,4、事件A-B稱為事件A與事 件B的差事件。,意義：“差事件A-B發(fā)生” “事件A發(fā)生，事件B不發(fā)生”。,11,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,5、若AB=，則稱事件 A與事件B是互不相容的，或互 斥。,意義：“事件A與事件B互斥”= “事件A與事件B不能同時發(fā)生”,6、若AB=，且AB=S， 則稱事件A與事件B互為對立事件 或互逆。,意義：在每次試驗中，事件 A與事件 有且僅有一個發(fā)生。,互逆一定互斥,互斥不一定互逆.,12,2005,河南理工大學精品課程 概率

7、論與數理統計,【例1】用事件A，B，C的運算關系表示下列復合事件:,解,1、A發(fā)生，B與C均不發(fā)生;,特別注意：,13,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,2、A，B，C至少有一個發(fā)生；,“A，B，C不會同時不發(fā)生”,解,對應于不同的等價說法有多種表示形式：,“A，B，C至少有一個發(fā)生”,互斥分解也有各種表示形式，如：,14,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,3、A，B，C都不發(fā)生；,4、A，B，C不多于兩個發(fā)生。,“A，B，C至少有一個不發(fā)生”,“A，B，C不會同時發(fā)生”,解,“A，B，C都不發(fā)生”,“A，B，C至少有一個發(fā)生的事件 不發(fā)生”,解,15,2005

8、,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,【例2】射擊3次，事件 表示第 次命中目標 ， 則事件“至少命中一次”為(多選題)：,解由事件運算律知：,而 僅表示“恰有一次擊中目 標”，故應選A,B,C。,16,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,它表示“甲滯銷”與“乙暢銷”至少有一個發(fā)生，故應 選(D). ,【例3】事件A表示“甲產品暢銷，乙產品滯銷”，則其對立 事件表示（ ）。 （A) “乙暢銷”； (B) “甲乙均暢銷”； (C) “甲滯銷”； (D) “甲滯銷或乙暢銷”。,解設事件B：“甲暢銷”，C：“乙暢銷”，則,從而,17,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計

9、,設好事件，并用簡單事件的運算關系來表達復 雜事件在解概率題中是基本而重要的。特別，要弄 清“恰有” 、“至少” 、“至多” 、“都發(fā)生” 、“都不發(fā)生”、不都發(fā)生”等詞語的含義。,有些文字表達的事件可通過設事件為字母，再 利用事件的關系與運算來表達。此外，要注意同一 個事件的不同表達形式，注意語言表述的準確性。,注 意,利用文圖易知：差事件可化為積事件,和事件可互斥分解為,顯然，這種互斥分解不一定唯一。,18,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,本節(jié)要點提示,四個概念:隨機現象, 隨機試驗, 樣本空間, 隨機事件;,四個關系:包含,相等,互斥,互逆;,三個運算:和,積,差。,事

10、件運算律。,19,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,2、概率及其性質,研究隨機事件時，不僅希望了解哪些隨機事件可能出現，而且希望知道事件出現的可能性的大小。,我們用0，1中的一個數來表示隨機事件A發(fā)生的可 能性大小，并稱之為該事件的概率，記為P(A)。,一、古典概型,定義1 具有下列特點的隨機試驗稱為古典概型 (等可能概型): ()、試驗的樣本點只有有限個; ()、試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同.,下面沿概率論的發(fā)展軌跡介紹概率概念的形成。,20,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,設古典概型的樣本空間含有n個樣本點，事 件包含k個樣本點，則事件的古典概率為,

11、在古典概率計算中，注意掌握一些如“摸球問題” “分房問題”，“隨機取數問題”等典型模型中概率的計 算。,21,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,【例1】袋中有5只紅球和6只黑球，現從中任意取出 2只球，試求下列事件的概率： （1）取出的2只全為紅球； （2）取出的2只球中一只為紅球一只為黑球； （3）取出的2只球中至少有一只黑球。,球是可辨的如編號1-5為 紅球，6-11為黑球，以保 證等可能性；,分析理解題意：,不放回抽樣；,摸球模型,22,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,“任意取出2只”：如認為是“依次” 取出，則樣本 點是有序結果，計數時采用排列；如認為

12、是“一 次”同時取出2只，則樣本點是無序結果，計數時 采用組合。,樣本空間和樣本點:采用不同方法時,樣本空間和 樣本點有所不同.但計算必須在相同樣本空間中進 行.,設好事件：A=“取出的2只全為紅球”；B=“取出的 2只中紅球、黑球各一”； C=“取出的2只中至少有 一只黑球”。,解,23,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,此時,樣本空間是所有的兩個不同球的排列，相當于 兩不同號碼的有序數對。 注意：同色（1，2）和（2，1）是不同的樣本點。,正確計數：,方法1依次有序取2只,樣本點總數基本事件總數相當于“從編號分別為1- 11的11張卡片中任意取2張的”不同排列種數，即,（1

13、）A所含的樣本點數相當于“從編號分別為1-5的5 張卡片中任意取2張的”不同排列種數，即,24,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,（2）B所含的樣本點分兩類：先紅后黑相當于“從編號1-5中取1個，再從編號6-11中取1個”，由乘法原理知：共有56個不同樣本點；先黑后紅相當于“從編號中6-11取1個，再從編號1-5 中取1個”，由乘法原理知：共有65個不同樣本點；因此由加法原理知：B所含樣本點總數為,故由古典概率計算公式得：,25,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,故由古典概率計算公式得：,（3）C所含的樣本點分兩類：一紅一黑先紅后黑， 先黑后紅，有60個；兩黑“

14、從編號6-11中取2個”的排 列數有65=30個。因此，由加法原理知：C所含樣本 點總數為,故由古典概率計算公式得：,26,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,此時,樣本空間是所有的兩個不同球的組合，相當于 一次取兩不同號碼的不同組合。 注意：同色（1，2）和（2，1）是同一個樣本點。,方法2一次無序取2只,樣本點總數相當于“從編號分別為1-11的11張卡片中 任意取2張的”不同組合種數，即,（1）A所含的樣本點數相當于“從編號分別為1-5的5 張卡片中任意取2張的”不同排列種數，即,27,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,故由古典概率計算公式得：,（2）B所含的

15、樣本點數相當于“從編號1-5中取1個，再從編號6-11中取1個”的不同組合數，因此，由乘法原理知：B所含樣本點總數為,故由古典概率計算公式得：,28,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,故由古典概率計算公式得：,（3）C所含的樣本點分兩類：一紅一黑 ， 兩黑“從編號6-11中取2個”組合數。因此，由加法原理 知：C所含樣本點總數為,29,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,從N件產品中任取n件,每種不同取法就是一個樣本 點，樣本點總數基本事件總數相當于是“從N個相異元 素中取n個元素”的組合數，即為,【例2】設有N件產品,其中D件為次品.現從中作不放 回抽樣任取n件

16、,求其中恰有k(kD)件次品的概率.,解N件產品是可辨的?！安环呕厝稳件”相當于 “一次同時取n件”，因而，試驗結果是無序的。,設事件A=“任取n件中恰有k件次品”，則其所含樣本 點總數相當于“從D件次品中取k件,再從N-D件正品中取,30,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,故由古典概率公式得：,許多問題如正品次品,男生女生等與本例屬于相同 的數學模型。這種類型概率稱為超幾何分布。,n-k件”的不同組合數，由乘法原理知為,31,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,【例3】 將n只球隨機地放入N個盒子中去(Nn), 試求“每個盒子至多有一球”的概率(設盒子容量不限

17、).,解由于盒子容量不限, 所以n只球放入N個盒子的每種 放法就是一個樣本點.,樣本點總數為,(從N個盒子中可重復地取n個的排列數每個球有N種 放法，一共有n只球，由乘法原理知有Nn種),而“每個盒子至多有一只球”的有利場合數知為,分房問題,32,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,（從N個盒子中選n個 出來，再放入n只球n!,由乘法原理）,故所求概率為,許多問題生日問題、住房問題、乘客下車問題等 與本例屬于相同的數學模型。,因此，“n人中至少有兩人生日相同”的概率為：,例如，生日問題：n（365）個人生日各不相同 的概率為,33,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計

18、,n人中至少有兩人生日相同的概率,34,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,【例4】 從0，1，2，9共十個數中隨機取4個，求下列事件的概率： （1）A1：4個數中不含1和8； （2）A2：4個數中既含1也含8； （3）A3：4個數中不含1或8。,解顯然，基本事件總數十取四的組合 ：,三事件的有利場合數分別為：,除1,8外的八取四的組合,隨機取數問題,35,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,1,8必取，再在除1,8外的八取二的組合，乘法原理,不含“1或8”分為互斥的三類：含1不含8，含8不含1，既 不含1也不含8，加法原理,故所求概率分別為：,36,2005,河南

19、理工大學精品課程 概率論與數理統計,【例4】某接待站在某一周內接待了12次來訪者,已知 所有這些來訪都是在星期二與星期四進行的,問能否由此 推斷該接待站的接待時間是有規(guī)定的?,解若接待時間沒有規(guī)定,且來 訪者可在一周內任何一天到接待站, 則“12次來訪都在星期二與星期四” 的概率為(千萬分之三):,人=“球”,星期幾=“盒”,抽象:模型化,37,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,小概率事件在一次具體試驗中幾乎是不會 發(fā)生的.統計推斷原理,小概率事件在大量重復試驗中幾乎是必然 發(fā)生的.,關于小概率事件的重要結論,于是,上面的例題就可利用統計推斷原理對某種假設作出判斷（接受或拒絕）

20、，這在數理統計的假設檢驗中是非常有用的。,38,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,理解題意：分析隨機試驗的基本事件，構造盡可能 簡單的等可能的樣本空間，特別是不同方法求解時， 必須在同一樣本空間中進行計算；,設好事件: 一般在理解題意前提下，設出一些簡單 事件，使其它復雜事件能利用簡單事件的關系與運 算表達出來；,正確計數：計算樣本點總數基本事件總數和事件 所含樣本點總數有利場合數，避免計數的重復或 遺漏。常用到排列、組合、乘法原理和加法原理等 知識。,計算古典概率的基本思路,39,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,利用公式:常用古典概率計算公式、對立事件概率

21、公式、加法公式、全概公式、貝葉斯公式、乘法 公式等。,注意模型：解題時注意模型化，抓住問題本質。,40,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,二、幾何概率,定義2 設試驗E的樣本空間為一幾何區(qū)域，其 測度長度、面積或體積等 m()為有限值,若任意事 件A發(fā)生的概率與A的測度m(A)成正比,則稱該試驗為幾 何概型.,設E為幾何概型,A為事件,則A發(fā)生的概率為:,41,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,以x，y分別表示兩人到達的時刻，則能會面的充要條件為,【例5】兩同學相約7點到8點在南大門會面，先到者 等候另一人20分鐘，過時離去，求兩人能會面的概率。,解,這是幾何概

22、率問題：可能結果的點(x,y)構成邊長60的正方形；能會面的點(x,y)構成會面區(qū)域，故所求概率為,42,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,【例6】從區(qū)間（0，1）中隨機地取兩個數，求下列事 件的概率： （1）兩數之和小于1.2; （2）兩數之和小于1，且兩數之積大于0.09.,解,設所取兩數分別為x，y，樣本點（x，y）為正 方形區(qū)域S=0，1；0，1，即樣本空間為該正方形S。,故由幾何概率計算公式得：,（1）事件A=“兩數之和小于1.2”對應的平面區(qū)域為：,43,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,故由幾何概率計算公式得：,（2）事件B=“兩數之和小于1，積大

23、于0.09”對應的平 面區(qū)域為：,注意:利用定積分計算平面區(qū)域面積.,44,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,將幾何概型的結果轉化為某個可度量是幾何區(qū)域S 直線、平面或空間等中隨機點來確定，找出事件 A發(fā)生相應的區(qū)域SA；,計算樣本空間S和隨機事件SA的幾何測度長度、面 積、體積等；,利用幾何概率公式計算A的概率。,計算幾何概率的基本思路,45,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,定義3 設在相同條件下進行的n次試驗中事件A發(fā)生 nA(頻數)次，稱比值,（1） ；,（2）,（3）若 是兩兩互斥事件組，則,為事件A在n次試驗中發(fā)生的頻率。,1、頻率,頻率具有下列性質

24、：,三、概率,46,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,表1：拋一枚硬幣觀察正面H出現的頻率,47,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,表2：438023個字符中英文字母頻率,Dewey.G:Relative Frequency of English Spellings,1970.,練習：利用word統計功能確定一篇文章中單詞的頻率。,48,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,由上述可知，頻率具有下列特點：,隨機波動性對相同或不同的試驗次數，同一事件的頻數不一定相同，從而所得的頻率也不一定相同，因而無法用頻率來度量事件發(fā)生的可能性的大?。?在第五章將證

25、明貝努里大數定理:,從理論上保證了利用頻率穩(wěn)定值 量度事件 發(fā)生的 可能性大小(概率)的可行性.,頻率穩(wěn)定性隨著試驗次數的無限增大，事件的頻率逐漸穩(wěn)定于某個常數，因而可用該常數來度量事件發(fā)生的可能性的大小。,49,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,2、統計概率,事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值p稱為A的統計概率，即,當試驗次數n相當大時，可以用頻率作為概率的近 似值：,事件頻率的穩(wěn)定性通常也稱作相應事件發(fā)生的統 計規(guī)律性.,50,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,至此，我們根據不同背景給出了三種概率定義，即 古典概率、幾何概率和統計概率，可以看出，它們均具 有下面三條性

26、質：,、非負性,、規(guī)范性,、可列可加性 設 為兩兩互斥事件組,則有,前蘇聯數學家科爾莫戈羅夫在1933年將上述三條性 質演繹為三條公理，由此可得度量事件發(fā)生可能性大小 的概率的公理化定義.,51,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,定義4 設S為隨機試驗E的樣本空間，對E的每個事 件A，稱滿足下列公理的實數(集合函數)P(A)為事件A的 概率:,四、概率公理化定義,、非負性,、規(guī)范性,、可列可加性 設 為兩兩互斥事件組,則有,52,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,五、概率的性質,由概率的公理化定義可得概率的性質:,性質1 P()=0.,證在可列可加性中取所有的A

27、K=得:,再由非負性得:,性質2 設 為兩兩互斥事件組,則有,有限可加性,證在可列可加性中取AK=(k=n+1,n+2,), 再利用性質1即得.,53,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,證將事件B分解為互斥事件的和事件得：,性質3 若 , 則,由有限可加性得:,即得:,由非負性得:,減法公式有條件,54,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,性質4 對任意事件A, 總有,證由于,所以由減法公式得：,再由概率的非負性、規(guī)范性知：,即得：,注意： 減法公式是需要“包含”條件的,55,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,證因為,即,注意：公式 在計算概率時是

28、非常 有用的.當直接計算某事件概率比較困難時,可以轉 而計算其對立事件的概率，進而利用上述公式所需 的概率.,性質5,所以由有限可加性及規(guī)范性得:,56,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,證將AB互斥分解得:,又,故由有限可加性與減法公式得:,加法公式,性質6,注意：雖然AB=(A-B)B,但P(A-B)不能用減 法公式,而A-B=A-AB,且P(A-AB)可用減法公式!,57,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,加法公式可推廣至有限個事件的和事件.,例如，三個事件的加法公式:,n個事件的加法公式請看教材,掌握其規(guī)律.,在應用文圖的直觀性時，可以把事件A的概率 視

29、為該平面集合A的面積，注意P(S)=1。利用此觀 點容易理解和記憶一些概率公式（例如，減法公式， 加法公式，乘法公式等）。,58,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,【例7】設A,B兩事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7.問 1、在什么條件下,P(AB)取得最大值,并求最大值? 2、在什么條件下,P(AB)取得最小值,并求最小值?,解由概率的加法公式得:,由0P(A)P(B)知:A,B,且AB,故A 與B相容,且應有 保證和事件概率最小,于是， ,故,1、當 最小時, 才能最大.,否則P(A)=P(B) =P(AB)=0矛盾,note,59,2005,河南理工大學精品課程

30、概率論與數理統計,由于AB,故P(AB)0。,易知:當 時,有,2、當 最大時,P(AB)才能最小.,否則P(AB)=P(A)+P(B)1,60,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,【例2】設A,B,C為三事件,且P(A)=P(B)=P(C)=0.25, P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=0.125.求A,B,C至少有一個發(fā)生的 概率.,解由于 ,故利用概率非負性與減法 公式得:,即,由三事件的加法公式得“A,B,C至少有一個發(fā)生” 的概率為:,注意：選擇 有助于解題,但若從 無法確定 的值.,61,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,3、條件概率,一、條件概

31、率的概念與計算,解易知：,【引例】將一枚硬幣連拋兩次,觀察正反面出現的情 況。設事件A:“至少有一次正面”，事件B：“兩次同面”， 求“在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生”的概率P(B|A)。,在“至少有一次正面”發(fā)生的條件下計算B發(fā)生的概率時，可取A為樣本空間（縮減樣本空間），此時，B只含一個樣本點HH，故,62,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,此外,在樣本空間S中易計算得:P(A)=3/4,P(AB)= 1/4,且有,顯然，P(B|A)P(B)=1/2。,定義1 設A,B為兩個事件,且P(A)0,稱,為“在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生”的條件概率。,由此，一般可定義條件概率。

32、,63,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,不難看出，計算條件概率P(B|A)有兩種方法：,在原樣本空間S中分別求出P(A),P(AB),再 按定義公式計算； 在縮減樣本空間A中按一般概率P(B)計算。,64,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,解方法1在原樣本空間S中計算,【例1】一盒子裝有5只產品，其中3只一等品，2只二 等品。從中取產品兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。 設事件A為“第一次取到一等品”，事件B為“第二次取到一 等品”，求條件概率P(B|A)。,因為“不放回依次取兩只”有序，排列的每種不同 結果就是一個樣本點,所以樣本點總數為,A所含樣本點均為“

33、第一次取一等品的兩產品”，故其 所含樣本點總數有利場合數為,65,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,而AB的樣本點均為“兩次均取一等品”，故其所含樣本點總數有利場合數為,由古典概率公式得:,從而,由條件概率公式得:,方法2在縮減樣本空間A中計算,66,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,“第一次取一等品的兩只”均為A所含樣本點,共有 ,其中兩只均為一等品的為AB所含樣本點, 共有 故由古典概率公式得:,S,AB,A,67,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,1、條件概率也是概率。因而也滿足概率的三條公 理及其各個性質。,對立事件概率公式:,等等,此處

34、不一一列舉.,二、條件概率的性質,例如，加法公式:,此外,概率P(A)就是條件概率P(A|S),即 P(A)=P(A|S)。,68,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,注意：當P(A)0時,乘法公式與條件概率定義式是等價的; 當P(A)0,P(B)0時,有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B); 乘法公式可以推廣到多事件情形.例如,三事件的 乘法公式為P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)P(AB)0。,由條件概率定義即可得:,乘法公式 設A,B為兩個事件,且P(A)0,則,2、乘法公式,69,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,乘法公式

35、的幾何解釋：若將事件A的概率看作“A 在S中所占的面積比”幾何概率，則顯然成立：,其中 表示A的面積.,應用乘法公式求多事件積事件概率的兩種情形:,、積事件是其中各事件相繼影響而形成;,、積事件中各事件或都發(fā)生、或都不發(fā)生、或其 中部分發(fā)生部分不發(fā)生，但事先并不知確已發(fā)生與否。,70,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,【例2】據以往資料表明,某一3口之家患某種傳染病 的概率有以下規(guī)律:P孩子得病=0.6,P母親得病|孩子 得病=0.5,P父親得病|母親及孩子得病=0.4.求“母親 及孩子得病但父親未得病”的概率。,解設A,B,C分別表示孩子、母親、父親得病的事 件。由題意知:,

36、現求,由乘法公式得:,71,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,注意 由于本例中 都是地位平 等的隨機事件,沒有一個事先知道確已發(fā)生,所以所求 概率是積事件概率 ,而不是條件概率,72,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,【例2】設某透鏡第一次落下打破的概率為1/2,若第 一次未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次均 未打破,第三次落下打破的概率為9/10,試求該透鏡落下 三次而未打破的概率.,解設事件Ai=“透鏡第i次落下打破”(i=1,2,3), B=“透鏡落下三次而未打破”。,因為 ，且前次事件對后次事 件有影響，故由乘法公式得：,方法1,由已知條件

37、知：,73,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,于是，,方法2,因為事件“透鏡三次落下打破”為,且 兩兩互斥,故由可加性得:,74,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,其中,由乘法公式得：,故得：,再由對立事件概率公式得：,75,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,定義2 設S為隨機試驗E的樣本空間,B1,B2,， Bn為E的滿足下列條件的事件組：,則稱 B1,B2,Bn 為樣本空間S 的一個完備事件組劃分.,3、全概率公式與貝葉斯公式,（i）BiBj=(ij,I,j=1,2,n);,(ii),例如，在擲一枚骰子觀察出現的點數試驗中，,B1=1，2，3

38、，B2=4，5，B3=6 就是樣本空間S的一個完備事件組。,76,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,定理1 設S為試驗E的樣本空間, B1,B2,Bn為S的 一個完備事件組，且P(Bi)0(i=1,2,n),則對任意事 件A有全概率公式：,【證】因為A可互斥分解為,所以由有限可加性與乘法公式得：,77,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,【證】由條件概率、乘法公式與全概率公式得,定理2 設S為試驗E的樣本空間, B1,B2,Bn為S的 一個完備事件組,A為E的事件,且P(Bi)0(i=1,2,n), P(A)0,則有貝葉斯公式：,78,2005,河南理工大學精品課

39、程 概率論與數理統計,在應用全概率公式與貝葉斯公式時，有兩個問題需 要弄清楚：,當事件的發(fā)生與相繼兩個試驗有關時，從第一試驗 入手尋找完備事件組；,當事件的發(fā)生是由諸多兩兩互斥的原因而引起的， 可以這些“原因”為完備事件組。,2、如何區(qū)分是用全概率公式還是用貝葉斯公式,1、如何確定完備事件組,一般，可從下列兩個方面來尋找完備事件組：,“由因求果”用全概率公式,“執(zhí)果求因”用貝葉斯公式.,79,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,【例3】設工廠A和工廠B的產品次品率分別為1%和2%, 現從A與B的產品分別占60%和40%的一批產品中隨機抽取 一件,發(fā)現是次品,則該次品屬A廠生產的概

40、率是多少?,解由于產生次品的“原因”是“A廠生產”和“B廠 生產”,因此,完備事件組可設為:,事件A為“隨機抽取一件為次品”.,由全概率公式得:,80,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,由貝葉斯公式得:,81,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,【例4】設在12只乒乓球中有9只新球和3只舊球,第一次 比賽取出3只,用后放回去;第二次比賽又取出3只,求第二 次取到的3只球中有2只為新球的概率.,【解】這里有兩個相繼“試驗”:“第一次取出3只” 和 “第二次取出3只”.因此,可根據“第一次試驗”的各種情 形確定完備事件組.,第一次取出3只球有4種情況:沒有新球、有一只

41、新 球、有兩只新球和全是新球，分別用事件表示為：,設A為事件：“第二次取出2新1舊”，則由古典概率計 算公式超幾何分布得：,82,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,注意：第二次取球時12只球的新舊組成是隨第一 次取出的3球組成的變化而變化,易得:,從9新3舊中取3舊,從9新3舊中取1新2舊,從9新3舊中取2新1舊,從9新3舊中取3新,83,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,從9新3舊中取2新1舊,從8新4舊中取2新1舊,從7新5舊中取2新1舊,從6新6舊中取2新1舊,由全概率公式得:,84,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,由全概率公式得:,85

42、,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,4、獨立性,一、事件的獨立性,定義1 設A,B為兩個事件,如果,則稱A,B為相互獨立的事件.,定理 設A,B為兩個事件,且P(A)0,則,A,B相互獨立,由條件概率可得,86,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,即 相互獨立.,解因為A,B相互獨立,所以,從而,【例1】設事件A,B相互獨立,證明事件 也相互獨立.,可以證明:在 中,只要有一組 獨立,則其余各組均獨立.,87,2005 He Xianzhi,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,獨立性的概念可以推廣到多事件.,定義2 設A,B,C為三個事件,如果,則稱A,B,C為相互獨立的事件.,如果只滿足前三個條件,則稱A,B,C為兩兩獨立的事件.,相互獨立一定兩兩獨立, 反之不然.,88,2005,河南理工大學精品課程 概率論與數理統計,【例2】三人獨立地去破譯一份密碼,已