圖論中的圈與塊.ppt

1、圖論中的圈與塊,紹興縣柯橋中學(xué) 黃勁松,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,2,基本概念,圈(環(huán)) 割點(diǎn) 割邊(橋) 塊 強(qiáng)連通子圖(強(qiáng)連通分量(支,塊),2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,3,圈及其相關(guān)知識(shí),MST(最小生成樹)另類算法 最小環(huán)問題,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,4,MST另類算法,任意構(gòu)造一棵原圖的生成樹，然后不斷的添邊，并刪除新生成的環(huán)上的最大邊。,10,1,7,2,5,3,算法證明?,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,5,水管局長(1),給定一張帶權(quán)無向連通圖，定義max(p)為路徑p上的最大邊，min(u,v)為連接u和v的所

2、有路徑中，max(p)的最小值。動(dòng)態(tài)的做如下兩個(gè)操作： 1：詢問某兩個(gè)點(diǎn)之間的min(u,v) 2：刪除一條邊 你的任務(wù)是對(duì)于每個(gè)詢問，輸出min(u,v)的值。(WC2006),2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,6,水管局長(2),數(shù)據(jù)范圍約定 結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)N1000 圖中的邊數(shù)M100000 詢問次數(shù)Q100000 刪邊次數(shù)D5000,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,7,水管局長(3),根據(jù)kruskal算法可以知道，最小生成樹上的連接兩點(diǎn)之間的唯一路徑一定是最大邊最小的 那么，只要維護(hù)一棵圖的最小生成樹，那么就可以在O(N)的時(shí)間內(nèi)回答每一個(gè)min(u,v)的詢問 不斷

3、的刪邊然后維護(hù)最小生成樹？,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,8,水管局長(4),通過刪邊的形式我們似乎很難維護(hù)一張圖的最小生成樹 根據(jù)剛才提到的MST的另類做法，我們反向處理它的每個(gè)操作，也就是先刪除所有要?jiǎng)h的邊，然后再逆向添邊并回答min(u,v) 于是該問題就可以用另類MST算法解決了,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,9,水管局長(5),這里涉及到一些圖與樹的存儲(chǔ)操作，如何在O(N)的時(shí)間內(nèi)找到環(huán)上最大邊，并維護(hù)一棵最小生成樹呢？ 如果采取鄰接表的存儲(chǔ)方式來記錄一棵最小生成樹，從添加的邊的某個(gè)點(diǎn)開始遍歷整棵樹，尋找出環(huán)上的最大邊，雖然理論復(fù)雜度是O(N)的，但是有很

4、多的冗余,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,10,水管局長(6),這里我們采取父親表示法來存儲(chǔ)一棵最小生成樹，如圖所示：,現(xiàn)在添加入一條紅色的邊AB,我們根據(jù)被刪邊所在的位置來決定AB的定向,如果被刪邊在B到LCA(A,B)A和B的最近公共祖先的那條路徑上，則定義AB的方向?yàn)锽-A，即A是B的父親，并將被刪邊到B的這條路徑上的所有邊反向(同理可得被刪邊在A到LCA(A,B)的那條路徑上的情況),A,B,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,11,小H的聚會(huì)(1),給定每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度限制，求在滿足所有度限制的條件下的最大生成樹。(NOI2005) 這是一道提交答案式的題目，對(duì)于后面

5、的幾個(gè)較大的數(shù)據(jù)，用另類MST算法對(duì)你的解進(jìn)行調(diào)整也能取得不錯(cuò)的效果！,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,12,最小環(huán)問題,雖然涉及到要求最小環(huán)的題目并不多(Ural1004 Sightseeing trip)，但是下面介紹的一些求最小環(huán)的算法也會(huì)對(duì)你有一定的啟示意義 有向帶權(quán)圖的最小環(huán)問題(直接用floyd算法可解) 無向帶權(quán)圖的最小環(huán)問題,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,13,樸素算法,令e(u,v)表示u和v之間的連邊，再令min(u,v)表示，刪除u和v之間的連邊之后，u和v之間的最短路 最小環(huán)則是min(u,v) + e(u,v) 時(shí)間復(fù)雜度是EV2,2020/

6、8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,14,一個(gè)錯(cuò)誤的算法,預(yù)處理出任意兩點(diǎn)之間的最短路徑，記作min(u,v) 枚舉三個(gè)點(diǎn)w,u,v，最小環(huán)則是min(u,w) + min(w,v) + e(u,v)的最小值 如果考慮min(u,w)包含邊u-v的情況？ 討論：是否有解決的方法？,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,15,改進(jìn)算法,在floyd的同時(shí)，順便算出最小環(huán) gij=i,j之間的邊長 dist:=g; for k:=1 to n do begin for i:=1 to k-1 do for j:=i+1 to k-1 do answer:=min(answer,distij+g

7、ik+gkj); for i:=1 to n do for j:=1 to n do distij:=min(distij,distik+distkj); end;,算法證明？,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,16,塊及其相關(guān)知識(shí),DFS算法 割點(diǎn) (一般對(duì)于無向圖而言) 割邊 (一般對(duì)于無向圖而言) 塊(一般對(duì)于無向圖而言) 強(qiáng)連通子圖(一般對(duì)于有向圖而言),2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,17,DFS算法,1973年，Hopcroft和Tarjan設(shè)計(jì)了一個(gè)有效的DFS算法 PROCEDURE DFS(v); begin inc(sign); dfnv := sig

8、n; /給v按照訪問順序的先后標(biāo)號(hào)為sign for 尋找一個(gè)v的相鄰節(jié)點(diǎn)u if 邊uv沒有被標(biāo)記過 then begin 標(biāo)記邊uv; 給邊定向vu; 如果u被標(biāo)記過,記uv為父子邊,否則記uv為返祖邊 if u未被標(biāo)記 then DFS(u); end; end;,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,18,DFS算法,父子邊用黑色標(biāo)記，返祖邊用紅色標(biāo)記 如下圖，除掉返祖邊之后，我們可以把它看作一棵DFS樹,1,2,3,4,5,6,7,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,19,割點(diǎn),G是連通圖，vV(G)，G v 不再連通，則稱v是G的割頂。,2020/8/3,浙江省200

9、6年集訓(xùn)講義,20,求割點(diǎn)的算法,我們通過DFS把無向圖定向成有向圖，定義每個(gè)頂?shù)囊粋€(gè)lowlink參數(shù)，lowlinkv表示沿v出發(fā)的有向軌能夠到達(dá)的點(diǎn)u中，dfnu的值的最小值。(經(jīng)過返祖邊后則停止),1.1,2.1,3.2,4.2,5.2,6.1,7.7,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,21,三個(gè)定理,定理1：DFS中，e=ab是返祖邊，那么要么a是b的祖先，要么a是b的后代子孫。 定理2：DFS中，e=uv是父子邊，且dfnu1，lowlinkvdfnu，則u是割點(diǎn)。 定理3：DFS的根r是割點(diǎn)的充要條件是：至少有2條以r為尾(從r出發(fā))的父子邊,證明？,證明？,證明？,2

10、020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,22,程序代碼,PROCEDURE DFS(v); begin inc(sign); dfnv := sign; /給v按照訪問順序的先后標(biāo)號(hào)為sign lowlinkv := sign; /給lowlinkv賦初始值 for 尋找一個(gè)v的相鄰節(jié)點(diǎn)u if 邊uv沒有被標(biāo)記過 then begin 標(biāo)記邊uv; 給邊定向vu; if u未被標(biāo)記過 then begin DFS(u); /uv是父子邊，遞歸訪問 lowlinkv := min(lowlinkv,lowlinku); if lowlinku = dfnv then v是割點(diǎn) end els

11、elowlinkv := min(lowlinkv,dfnu); /uv是返祖邊end; end;,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,23,割邊,G是連通圖，eE(G)，G e 不再連通，則稱e是G的割邊，亦稱做橋。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,24,求割邊的算法,與割點(diǎn)類似的，我們定義lowlink和dfn。父子邊e=uv ，當(dāng)且僅當(dāng)lowlinkv dfnu的時(shí)候，e是割邊。 我們可以根據(jù)割點(diǎn)算法的證明類似的證明割邊算法的正確性。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,25,程序代碼,PROCEDURE DFS(v); begin inc(sign); df

12、nv := sign; /給v按照訪問順序的先后標(biāo)號(hào)為sign lowlinkv := sign; /給lowlinkv賦初始值 for 尋找一個(gè)v的相鄰節(jié)點(diǎn)u if 邊uv沒有被標(biāo)記過 then begin 標(biāo)記邊uv; 給邊定向vu; if u未被標(biāo)記過 then begin DFS(u); /uv是父子邊，遞歸訪問 lowlinkv := min(lowlinkv,lowlinku); if lowlinku dfnv then vu是割邊 end elselowlinkv := min(lowlinkv,dfnu); /uv是返祖邊 end; end;,2020/8/3,浙江省2006

13、年集訓(xùn)講義,26,割點(diǎn)與割邊,猜想：兩個(gè)割點(diǎn)之間的邊是否是割邊?割邊的兩個(gè)端點(diǎn)是否是割點(diǎn)？ 都錯(cuò)！,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,27,嗅探器(1),在無向圖中尋找出所有的滿足下面條件的點(diǎn)：割掉這個(gè)點(diǎn)之后，能夠使得一開始給定的兩個(gè)點(diǎn)a和b不連通，割掉的點(diǎn)不能是a或者b。(ZJOI2004),a,b,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,28,嗅探器(2),數(shù)據(jù)范圍約定 結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)N100 邊數(shù)MN*(N-1)/2,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,29,嗅探器(3),樸素算法： 枚舉每個(gè)點(diǎn)，刪除它，然后判斷a和b是否連通，時(shí)間復(fù)雜度O(NM) 如果數(shù)據(jù)范圍擴(kuò)大，該算

14、法就失敗了！,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,30,嗅探器(4),題目要求的點(diǎn)一定是圖中的割點(diǎn)，但是圖中的割點(diǎn)不一定題目要求的點(diǎn)。如上圖中的藍(lán)色點(diǎn)，它雖然是圖中的割點(diǎn)，但是割掉它之后卻不能使a和b不連通 由于a點(diǎn)肯定不是我們所求的點(diǎn)，所以可以以a為根開始DFS遍歷整張圖。 對(duì)于生成的DFS樹，如果點(diǎn)v是割點(diǎn)，如果以他為根的子樹中存在點(diǎn)b，那么該點(diǎn)是問題所求的點(diǎn)。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,31,嗅探器(5),時(shí)間復(fù)雜度是O(M)的 如圖，藍(lán)色的點(diǎn)表示問題的答案，黃色的點(diǎn)雖然是圖的割點(diǎn)，但卻不是問題要求的答案,a,b,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,32

15、,關(guān)鍵網(wǎng)線(1),無向連通圖中，某些點(diǎn)具有A屬性，某些點(diǎn)具有B屬性。請(qǐng)問哪些邊割掉之后能夠使得某個(gè)連通區(qū)域內(nèi)沒有A屬性的點(diǎn)或者沒有B屬性的點(diǎn)。(CEOI2005) 數(shù)據(jù)范圍約定 結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)N100000 邊數(shù)M1000000,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,33,關(guān)鍵網(wǎng)線(2),樸素算法： 枚舉每條邊，刪除它，然后判斷是否有獨(dú)立出來的連通區(qū)域內(nèi)沒有A屬性或者沒有B屬性。復(fù)雜度O(M2) 當(dāng)然，這個(gè)復(fù)雜度太大了！,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,34,關(guān)鍵網(wǎng)線(3),正如嗅探器一樣，題目要求的邊一定是原圖中的割邊，但是原圖中的割邊卻不一定是題目中要求的邊。 設(shè)A種屬性總共有

16、SUMA個(gè)，B中屬性總共有SUMB個(gè)。和嗅探器類似的，如果邊e=uv是割邊，且以v為根的子樹中，A種屬性的數(shù)目為0或者為SUMA，或者B種屬性的數(shù)目為0或者為SUMB，那么e就是題目要求的邊。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,35,關(guān)鍵網(wǎng)線(4),下圖中，藍(lán)色的邊表示題目要求的邊，黃色的邊表示雖然是圖中的割邊，但不是題目要求的邊。,A,B,A,A,A,A,A,A,A,B,B,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,36,塊,沒有割點(diǎn)的圖叫2-連通圖，亦稱做塊，G中成塊的極大子圖叫做G的塊。把每個(gè)塊收縮成一個(gè)點(diǎn)，就得到一棵樹，它的邊就是橋。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)

17、講義,37,求塊的算法,在求割點(diǎn)的算法中，當(dāng)結(jié)點(diǎn)u的所有鄰邊都被訪問過之后，如果lowlinku=dfnu，我們把u下方的整塊和u導(dǎo)出作為圖中的一個(gè)塊。 這里需要用一個(gè)棧來表示哪些元素是u代表的塊。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,38,程序代碼,PROCEDURE DFS(v); begin inc(sign); dfnv := sign; /給v按照訪問順序的先后標(biāo)號(hào)為sign lowlinkv := sign; /給lowlinkv賦初始值 inc(tot); stacktot := v; /v點(diǎn)進(jìn)棧 for 尋找一個(gè)v的相鄰節(jié)點(diǎn)u if 邊uv沒有被標(biāo)記過 then beg

18、in 標(biāo)記邊uv; 給邊定向vu; if u未被標(biāo)記過 then begin DFS(u); /uv是父子邊，遞歸訪問,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,39,程序代碼,lowlinkv := min(lowlinkv,lowlinku); end elselowlinkv := min(lowlinkv,dfnu); /uv是返祖邊 end; if lowlinkv = dfnv then begin 塊數(shù)目number+1; repeat 標(biāo)記stacktot這個(gè)點(diǎn)為number; dec(tot); / 點(diǎn)出棧 until stacktot+1 = v; end; end;,2

19、020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,40,新修公路(1),給出一張簡單無向圖，問最少添加幾條邊能夠使得原圖中沒有割邊。(CEOI2000) 數(shù)據(jù)范圍約定 結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)N2500 邊數(shù)M20000,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,41,新修公路(2),為了簡化數(shù)據(jù)關(guān)系，我們先將原圖收縮，變成一棵樹，容易知道的是，剩下的任務(wù)就是添最少的邊，使得樹成為一個(gè)塊。(樹中的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間連邊相當(dāng)于原圖中兩個(gè)塊中分別任意取點(diǎn)連在一起) 猜想：每添一條邊，就選擇樹中的兩個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，將它們連起來，于是最少的添邊數(shù)目就是(葉子結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)+1)/2,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,42,新修公

20、路(3),如圖所示，點(diǎn)代表了原圖中的一個(gè)塊，它們之間的連邊是割邊。連接a與c，b與d之后，圖中就沒有割邊了。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,43,新修公路(4),但并不是任意連接兩個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)就可以達(dá)到目標(biāo)。假如連接了a與b，c與d，原圖并沒有變成一個(gè)塊。,a,b,c,d,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,44,新修公路(5),進(jìn)一步分析剛才的算法，每次連接兩個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)之后，把新生成的圈壓縮成為一個(gè)點(diǎn)，以前和圈上的點(diǎn)關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，都和新生成的這個(gè)“壓縮點(diǎn)”相關(guān)聯(lián)。于是原來的樹在添加一條邊之后，又變回了一棵樹。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,45,新修公路(6),

21、在連接a與c之后，新生成的樹只剩下2個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)；連接b與d之后，樹就被壓縮成了一個(gè)點(diǎn)。,a,b,c,d,b,d,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,46,新修公路(7),而如果先連接a與b，那么新生成的樹會(huì)剩下3個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，連接c與d之后，樹中還剩2個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，所以這種連接方法還需要多連一條邊。 現(xiàn)在的問題是，是否一定能找出這樣子的兩個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，使得壓縮成的點(diǎn)不會(huì)成為新的葉子節(jié)點(diǎn)呢？,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,47,新修公路(8),連接的兩個(gè)點(diǎn)的那條樹中的唯一路徑上，如果除了它們的最近公共祖先到自己的父親有連邊以外，其他的結(jié)點(diǎn)沒有別的分叉，那么連接這兩個(gè)點(diǎn)之后縮圈得到

22、的點(diǎn)將會(huì)是一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)。 假設(shè)圖中的任意兩個(gè)葉子連接之后，都會(huì)多產(chǎn)生一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)。 當(dāng)圖中的葉子結(jié)點(diǎn)是2個(gè)或者3個(gè)的時(shí)候，怎么連都沒有區(qū)別。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,48,新修公路(9),當(dāng)圖中的葉子結(jié)點(diǎn)有4個(gè)的時(shí)候，a和b到它們的最近公共祖先都沒有別的分叉，且c和d到它們的最近公共祖先沒有別的分叉，可以知道，a和c到它們的最近公共祖先上一定有分叉。 這個(gè)與假設(shè)矛盾。所以我們總能找到兩個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，使得它們連邊之后縮成的樹不會(huì)新產(chǎn)生葉子結(jié)點(diǎn)。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,49,新修公路(10),具體實(shí)現(xiàn)： 首先一個(gè)問題是會(huì)碰到圖的壓縮，一個(gè)簡單易行的方法是，新

23、建一棵樹來表示壓縮過之后的圖。 接著還會(huì)碰到一個(gè)縮圈的問題，怎么實(shí)現(xiàn)這一個(gè)環(huán)節(jié)？是否需要重新建樹？ 可以采取標(biāo)號(hào)法，當(dāng)縮一個(gè)圈的時(shí)候，在圈上取一個(gè)代表點(diǎn)，并把其他的點(diǎn)都標(biāo)記為該代表點(diǎn)。一個(gè)潛在的問題是，壓縮成的點(diǎn)可能還會(huì)被再次壓縮，那么標(biāo)記的時(shí)候就比較麻煩了。所以這里可以用并查集來實(shí)現(xiàn)標(biāo)號(hào)這一步。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,50,新修公路(11),算法流程： (1)求出圖中的所有塊，建立一棵代表樹 (2)挑出2個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，使得連接他們之間的唯一路徑上的分叉數(shù)目最多 (3)連接這兩個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，并壓縮新生成的圈，得到一棵新的樹 (4)如果樹中剩下一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)和一個(gè)根結(jié)點(diǎn)，直接連接

24、它們，算法結(jié)束；如果樹已經(jīng)成為一個(gè)點(diǎn)，算法結(jié)束，否則轉(zhuǎn)(2),2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,51,有向圖的DFS,有向圖的DFS與無向圖的DFS的區(qū)別在于搜索只能順邊的方向進(jìn)行，所以有向圖的DFS不止一個(gè)根，因?yàn)閺哪硞€(gè)結(jié)點(diǎn)開始不一定就能走完所有的點(diǎn)。 另外，有向圖的DFS除了產(chǎn)生父子邊和返祖邊以外，還會(huì)有橫叉邊。我們這樣定義它： u和v在已形成的DFS森林中沒有直系上下關(guān)系，并且有dfnvdfnu，則稱e=uv是橫叉邊。注意，沒有dfnvdfnu這種橫叉邊。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,52,連通與強(qiáng)連通圖,定義： 將所有有向邊改為無向邊，如果該無向圖是連通的，那

25、么原有向圖也稱之為連通圖。 對(duì)于圖中的任意兩個(gè)點(diǎn)A和B，同時(shí)存在一條從A到B的路徑和一條從B到A的路徑，則稱該圖為強(qiáng)連通圖。 對(duì)于一個(gè)連通的無向圖，他是一個(gè)強(qiáng)連通圖，這里著重介紹一下有向圖的強(qiáng)連通子圖，也稱做強(qiáng)連通分量，強(qiáng)連通分支和強(qiáng)連通分塊。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,53,求強(qiáng)連通子圖的另類算法,可以知道，圈上的點(diǎn)都是滿足強(qiáng)連通性質(zhì)的，所以我們可以不斷的找圈，然后壓縮它，直到找不到圈為止。 該算法因?yàn)闀r(shí)間復(fù)雜度過大，本身沒有什么實(shí)質(zhì)的作用，但是會(huì)給我們的解題思路和算法證明帶來一定的幫助。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,54,求強(qiáng)連通子圖的算法1,一種求有向圖

26、強(qiáng)連通子圖的算法和求無向圖塊的方法幾乎一樣，不同的是，我們需要特殊考慮一下橫叉邊的處理。如果e=uv是橫叉邊，那么lowlinku := min(lowlinku,dfnv)這一步就無需再做。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,55,程序代碼,PROCEDURE DFS(v); begin inc(sign); dfnv := sign; /給v按照訪問順序的先后標(biāo)號(hào)為sign lowlinkv := sign; /給lowlinkv賦初始值 inc(tot); stacktot := v; /v點(diǎn)進(jìn)棧 instackv := true; /這個(gè)用來判斷橫叉邊 for 尋找一個(gè)v的相

27、鄰節(jié)點(diǎn)u if 邊uv沒有被標(biāo)記過 then begin 標(biāo)記邊uv; 給邊定向vu; if u未被標(biāo)記過 then begin DFS(u); /uv是父子邊，遞歸訪問 lowlinkv := min(lowlinkv,lowlinku); end,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,56,程序代碼,else if instacku then lowlinkv := min(lowlinkv,dfnu); /uv是返祖邊 end; if lowlinkv = dfnv then begin 塊數(shù)目number+1; repeat 標(biāo)記stacktot這個(gè)點(diǎn)為number; insta

28、ckstacktot := false; dec(tot); / 點(diǎn)出棧 until stacktot+1 = v; end; end;,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,57,求強(qiáng)連通子圖的算法2,基于兩次DFS的有向圖強(qiáng)連通子圖算法 (1)對(duì)圖進(jìn)行DFS遍歷，遍歷中記下所有的dfnv的值。遍歷的結(jié)果是構(gòu)造了一座森林W1； (2)改變圖G中的每一條邊的方向，構(gòu)造出新的有向圖Gr； (3)按照dfnv由大到小的順序?qū)r進(jìn)行DFS遍歷。遍歷的結(jié)果是構(gòu)造了新的森林W2，W2中的每棵樹上的頂點(diǎn)構(gòu)成了有向圖的極大強(qiáng)連通子圖。,算法證明？,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,58,有

29、向圖的壓縮,將有向圖中的強(qiáng)連通子圖都?jí)嚎s成為一個(gè)點(diǎn)之后，是否和無向圖壓縮之后的結(jié)果一樣呢？ 有向圖壓縮之后，連接不同結(jié)點(diǎn)之間的邊有兩種：父子邊，橫叉邊。壓縮后的圖，不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)意義上的樹(將邊看作無向)。它是一個(gè)無有向圈的有向圖，即不可再壓縮的圖。 有向圖壓縮的意義，在后面的例題受歡迎的奶牛中我們會(huì)看到。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,59,探索第二部(1),A和B兩位偵探要合力解決一起謀殺案?，F(xiàn)在有N條線索，單獨(dú)的解決一些線索A和B花費(fèi)的時(shí)間是有差別的。而在解決掉某些線索之后，可以毫不費(fèi)力的解決掉另外一些線索?，F(xiàn)在你的任務(wù)是求出A和B一起配合解決掉所有線索所需要花費(fèi)的總時(shí)間。

30、數(shù)據(jù)范圍約定： 線索數(shù)目N1000 解決每條線索A和B花費(fèi)的時(shí)間ai和bi都不超過15,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,60,探索第二部(2),如果解決了線索x順邊就能解決線索y，那么在x和y之間連一條有向邊?？芍?，如果解決了x之后能解決y，解決y之后能解決z，那么說明，我們只需要解決掉x，就能解決y和z。 一個(gè)顯而易見的性質(zhì)：如果x能通過有向邊到達(dá)y，y不能通過有向邊到達(dá)x，那么無論如何，y都不必解決。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,61,探索第二部(3),而如果存在x和y能互達(dá)，那么從中任意挑出一個(gè)來解決就可以。也就是說，在一個(gè)強(qiáng)連通子圖內(nèi)，我們只需要任意挑出一個(gè)

31、線索將它解決，就能解決掉該子圖內(nèi)所有的線索。 現(xiàn)在的任務(wù)便成了，挑出所有的必須被解決線索。然后分配A和B去解決他們。這個(gè)問題，我們可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃來解決。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,62,探索第二部(4),那么如何處理一個(gè)強(qiáng)連通子圖的情況呢？如果讓A來解決掉一個(gè)線索，那么肯定挑出A花費(fèi)時(shí)間最少的那條線索；同理如果B來解決掉一個(gè)線索，那么肯定挑出B花費(fèi)時(shí)間最少的那條線索。 于是可以將整個(gè)子圖壓縮成為一個(gè)點(diǎn)，A解決它所需要的時(shí)間是所有點(diǎn)中ai的最小值，B解決它所需要的時(shí)間是所有點(diǎn)中bi的最小值。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,63,探索第二部(5),算法流程： (1)

32、根據(jù)輸入建圖 (2)求出途中的所有強(qiáng)連通子圖，并壓縮成一個(gè)點(diǎn) (3)挑出森林中所有的根結(jié)點(diǎn)，這些是必須被解決的線索 (4)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法解決最小總花費(fèi)的問題,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,64,受歡迎的奶牛(1),N頭奶牛，給出若干個(gè)歡迎關(guān)系A(chǔ) B，表示A歡迎B，歡迎關(guān)系是單向的，但是是可以傳遞的。另外每個(gè)奶牛都是歡迎他自己的。求出被所有的奶牛歡迎的奶牛的數(shù)目。(USACO FALL03) 數(shù)據(jù)范圍約定： 奶牛數(shù)目N10000 直接的歡迎關(guān)系數(shù)目M50000,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,65,受歡迎的奶牛(2),可以想到的是，如果圖中包含有強(qiáng)連通子圖，那么就可以把

33、這個(gè)強(qiáng)連通縮成一個(gè)點(diǎn)，因?yàn)閺?qiáng)連通子圖中的任意兩個(gè)點(diǎn)可以到達(dá)，強(qiáng)連通子圖中所有的點(diǎn)具有相同的性質(zhì)，即它們分別能到達(dá)的點(diǎn)集都是相同的，能夠到達(dá)它們的點(diǎn)集也是相同的。 通過大膽猜想，我們得到一個(gè)結(jié)論： 問題的解集是壓縮后的圖中，唯一的那個(gè)出度為0的點(diǎn)。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,66,受歡迎的奶牛(3),首先，如果該圖不是一張連通圖，那么問題肯定是無解的。在假定圖是一張連通圖的情況下，我們需要證明如下一些東西： (1)解集為什么一定構(gòu)成一個(gè)強(qiáng)連通子圖？ (2)同時(shí)存在2個(gè)出度為0的獨(dú)立的強(qiáng)連通子圖的時(shí)侯，為什么就一定無解？ (3)只有一個(gè)出度為0的強(qiáng)連通子圖的時(shí)候，為什么該強(qiáng)連通子

34、圖一定是問題的解集？ (4)如果一個(gè)強(qiáng)連通子圖的出度不為0，為什么就一定不是問題的解集？,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,67,受歡迎的奶牛(4),(1)解集為什么一定構(gòu)成一個(gè)強(qiáng)連通子圖？ 證明： 假設(shè)A和B都是最受歡迎的cow，那么，A歡迎B，而且B歡迎A，于是，A和B是屬于同一個(gè)強(qiáng)連通子圖內(nèi)的點(diǎn)，所以，問題的解集構(gòu)成一個(gè)強(qiáng)連通子圖。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,68,受歡迎的奶牛(5),(2)同時(shí)存在2個(gè)出度為0的獨(dú)立的強(qiáng)連通子圖的時(shí)侯，為什么就一定無解？ 證明： 如果存在兩個(gè)獨(dú)立的強(qiáng)連通分量a和b，那么a內(nèi)的點(diǎn)和b內(nèi)的點(diǎn)一定不能互相到達(dá)，那么，無論是a還是b都

35、不是解集的那個(gè)連通分量，問題保證無解。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,69,受歡迎的奶牛(6),(3)只有一個(gè)出度為0的強(qiáng)連通子圖的時(shí)候，為什么該強(qiáng)連通子圖一定是問題的解集？ 證明： 假設(shè)在壓縮過的圖中，存在結(jié)點(diǎn)A，它到出度為0的結(jié)點(diǎn)(設(shè)為Root)沒有通路，因?yàn)锳的出度一定不為0，那么設(shè)他可以到B，于是B到Root沒有通路，因?yàn)锽的出度也一定不為0，那么設(shè)他可以到C，如此繼續(xù)下去，因?yàn)樵搱D已經(jīng)不可再壓縮，所以這樣下去不會(huì)出現(xiàn)已經(jīng)考慮過的點(diǎn)(否則就存在有向環(huán))，那么這樣下去之后，所有的點(diǎn)都到Root沒有通路，而Root到其他所有的點(diǎn)也是沒有通路的，因?yàn)樗某龆葹?，所以Root與

36、其他所有的點(diǎn)是獨(dú)立的，這與大前提“該圖是連通圖”矛盾。所以假設(shè)不成立。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,70,受歡迎的奶牛(7),(4)如果一個(gè)強(qiáng)連通子圖的出度不為0，為什么就一定不是問題的解集？ 證明： 如果某個(gè)強(qiáng)連通子圖內(nèi)的點(diǎn)A到強(qiáng)連通分量外的點(diǎn)B有通路，因?yàn)锽和A不是同一個(gè)強(qiáng)連通子圖內(nèi)的點(diǎn)，所以B到A一定沒有通路，那么A不被B歡迎，于是A所在的強(qiáng)連通子圖一定不是解集的那個(gè)強(qiáng)連通子圖。,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,71,受歡迎的奶牛(8),算法流程： (1)壓縮有向圖 (2)判斷連通性，并找到圖中出度為0的點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 (3)如果圖不連通或者出度為0的點(diǎn)的個(gè)數(shù)超過

37、1，輸出無解，否則轉(zhuǎn)(4) (4)輸出出度為0的點(diǎn)代表的強(qiáng)連通子圖上的點(diǎn),2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,72,科學(xué)是在不斷的大膽猜想與小心求證中進(jìn)步的！,Thank you for listening！,2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,74,參考文獻(xiàn),王樹禾離散數(shù)學(xué)引論 劉汝佳/黃亮算法藝術(shù)與信息學(xué)競(jìng)賽 吳文虎/王建德圖論的算法與程序設(shè)計(jì),2020/8/3,浙江省2006年集訓(xùn)講義,75,MST另類算法證明,我們通過kruskal算法的正確性來證明該算法的正確性 設(shè)該算法得到的MST為T，它不是原圖的最小生成樹T，則存在一條邊e，有eT且eT。由于T不可再調(diào)整，所以在T中添加e之后，e是所成環(huán)上的最大邊。因而在做kruskal算法時(shí)候，該環(huán)上的所有邊在e之前都會(huì)被事先考慮是否加入MST中，而在考慮是否加入e這條