mathth數(shù)學建模第一講：數(shù)學建模概論.ppt

1、數(shù)學建模,數(shù)學是上帝用來書寫宇宙的文字。 伽利略,我們的數(shù)學教育的目標,讓學生在生活中有意識或無意識的應用數(shù)學分析。 -Mathth,一.建模概論,原型：人們在現(xiàn)實世界中關心，研究或者從事生產(chǎn)管理的實際對象我們通常稱為原型。,模型：模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物物。,二：模型的分類,直觀模型 1. 物質(zhì)模型 物理模型 （形象模型） 思維模型 2. 理想模型 符號模型 （抽象模型） 數(shù)學模型,數(shù)學模型（ Mathematical Model ）,數(shù)學模型：對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到

2、的一個數(shù)學結構。,數(shù)學模型的分類,數(shù)學模型按照不同的分類方式可以分成不同的種類 1.按照應用領域分：人口模型，交通模型，等. 2.按照建立模型的數(shù)學方法分：初等模型，微分方程模型，等. ,數(shù)學建模Mathematical Modeling,建立數(shù)學模型的全過程 （包括表述、求解、解釋、檢驗，應用等）,數(shù)學建模中常用的數(shù)學知識與軟件知識,數(shù)學知識,分析（微積分，泛函分析，隨機分析） 代數(shù)（線性代數(shù)，抽象代數(shù)） 幾何（微分幾何，離散幾何，） 概率（概率論，隨機過程） 統(tǒng)計（參數(shù)統(tǒng)計，非參數(shù)統(tǒng)計） 優(yōu)化（組合優(yōu)化） ,常用軟件,Word,Excel,Latex,and so on Matlab,Ma

3、thematica. Maple, Lingo,Lindo, SAS,Spss R語言,數(shù)學建模,建立數(shù)學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）,1.了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料，做好建模的準備。 2.在明確建模目的，掌握必要資料的基礎上，通過對資料的分析計算， 找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精煉、簡化，抽象，提出若干符合客觀實際的假設。 3.在所作假設的基礎上，利用適當?shù)臄?shù)學工具去刻劃各變量之間的關系，建立相應的數(shù)學結構 即建立數(shù)學模型。 4.模型求解。 5.模型的分析與檢驗。,三： 數(shù)學建模的一般步驟,數(shù)學建模的一般步驟,模 型 準 備,了解實際背景,明確

4、建模目的,搜集有關信息,掌握對象特征,形成一個 比較清晰 的問題,數(shù)學建模示例,椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？,例1:椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？,問題分析,模型假設,通常三只腳著地,放穩(wěn)四只腳著地,四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四 腳連線呈正方形;,2. 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面;,3.地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。,模型構成,用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來,椅子位置,利用正方形(椅腳連線)的對稱性,用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置,四只腳著地,距離是的函數(shù),四個距離(四只腳),A,C 兩腳與地面距離之和 為f(),B,D 兩腳與地面距

5、離之和為g(),兩個距離,椅腳與地面距離為零,正方形ABCD 繞O點旋轉,用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來,f() , g()是連續(xù)函數(shù),對任意, f(), g()至少一個為0,數(shù)學問題,已知： f() , g()是連續(xù)函數(shù) ;且 對任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,模型構成,地面為連續(xù)曲面,椅子在任意位置至少三只腳著地,模型求解,給出一種簡單、粗糙的證明方法,將椅子旋轉900，對角線AC和BD互換。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g()

6、, 則h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因為f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,評注和思考,建模的關鍵,假設條件的本質(zhì)與非本質(zhì),考察四腳呈長方形的椅子,和 f(), g()的確定,例2.商人們怎樣安全過河(智力游戲), 3名商人 3名隨從,隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.,但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?,問題分析,多步?jīng)Q策過程,決策：每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員,要求：在安全的前

7、提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.,模型構成,xk第k次渡河前此岸的商人數(shù),yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù),xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, ,sk=(xk , yk)過程的狀態(tài),S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S為允許狀態(tài)集合,Uk：第k次渡船上的商人數(shù),Vk：第k次渡船上的隨從數(shù),dk=(uk , vk)決策,D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合,uk, vk=0,1,2; k=1,2, ,狀態(tài)轉移方程,求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按轉移方程由 s1=(3,3

8、)到達 sn+1=(0,0).,多步?jīng)Q策問題,模型求解,窮舉法 ：編程上機,圖解法,狀態(tài)S=(x,y) 16個格點,允許決策移動1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, ，d11給出安全渡河方案,評注和思考,規(guī)格化方法,易于推廣,考慮4名商人各帶一隨從的情況,允許狀態(tài),S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x,y=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,背景,世界人口增長概況,中國人口增長概況,研究人口變化規(guī)律,控制人口過快增長,如何預報人口的增長,指數(shù)增長模型馬爾薩斯提出 (1798),常用的計算公式,x(t)時刻t的人口,基本假設 : 人口(相對

9、)增長率 r 是常數(shù),今年人口 x0, 年增長率 r,k年后人口,隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長,指數(shù)增長模型的應用及局限性,與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合,適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代,可用于短期人口增長預測,不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律,不能預測較長期的人口增長過程,19世紀后人口數(shù)據(jù),阻滯增長模型(Logistic模型),人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：,資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大,假設,r固有增長率(x很小時),xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）,阻滯增長模型(Logistic模型),人口增

10、長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：,資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大,假設,r固有增長率(x很小時),xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）,x(t)S形曲線, x增加先快后慢,阻滯增長模型(Logistic模型),參數(shù)估計,用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口 預報，必須先估計模型參數(shù) r 或 r, xm,利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合,例：美國人口數(shù)據(jù)（單位百萬）,專家估計,阻滯增長模型(Logistic模型),模型檢驗,用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較,實際為281.4 (百萬),模型應用預報美國2010年的人口,加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù),Logistic 模型在經(jīng)濟領域中的應用(如耐用消費品的售量),阻滯增長模型(Logistic模型),參考書目,W.F.Lucas. 微分方程模型，國防科技大學出版社，1988. W.F.Lucas. 生命科學模型，國防科技大學出版社，1996. W.F.Lucas.離散與系統(tǒng)模型，國防科技大學出版社，1996. W.F.Lucas.政治及有關模型，國防科技大學出版社，1996. 葉其孝.大學生數(shù)學模型競賽輔導教材 (一)、 (二