第10章 最佳接收-通信原理 樊昌信.ppt

1、1,通信原理,第10章 數(shù)字信號最佳接收,2,數(shù)字通信系統(tǒng),3,第10章 數(shù)字信號最佳接收,10.1數(shù)字信號的統(tǒng)計特性 以二進制為例研究接收電壓的統(tǒng)計特性。 假設：通信系統(tǒng)中的噪聲是均值為0的帶限高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為n0；并設發(fā)送的二進制碼元為“0”和“1”，其發(fā)送概率分別為P(0)和P(1)，則有 P(0) + P(1) = 1 若此通信系統(tǒng)的基帶截止頻率小于fH，則根據(jù)低通信號抽樣定理，接收噪聲電壓可以用其抽樣值表示，抽樣速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH抽樣間隔為1/ 2fH 。 設在一個碼元持續(xù)時間Ts內(nèi)以2fH的速率抽樣，共得到k個抽樣值：，則有k Ts/（1/2fH）=

2、2fH Ts 。,4,第10章 數(shù)字信號最佳接收,由于每個噪聲電壓抽樣值都是正態(tài)分布的隨機變量，故其一維概率密度可以寫為 式中，n 噪聲的標準偏差； n2 噪聲的方差，即噪聲平均功率； i 1，2，k。 設接收噪聲電壓n(t)的k個抽樣值的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為,5,第10章 數(shù)字信號最佳接收,由高斯噪聲的性質(zhì)可知，高斯噪聲的概率分布通過帶限線性系統(tǒng)后仍為高斯分布。所以，帶限高斯白噪聲按奈奎斯特速率抽樣得到的抽樣值之間是互不相關(guān)、互相獨立的。這樣，此k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為 當k 很大時，在一個碼元持續(xù)時間Ts內(nèi)接收的噪聲平均功率可以表示為： 或者將上式左端的求和式寫成積分式，則上式變

3、成,6,第10章 數(shù)字信號最佳接收,利用上式關(guān)系，并注意到 式中 n0 噪聲單邊功率譜密度 則前式的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以改寫為： 式中 n = (n1, n2, , nk) k 維矢量，表示一個碼元內(nèi)噪聲的k個抽樣值。 需要注意，f(n)不是時間函數(shù)，雖然式中有時間函數(shù)n(t)，但是后者在定積分內(nèi)，積分后已經(jīng)與時間變量t無關(guān)。n是一個k維矢量，它可以看作是k 維空間中的一個點。,7,第10章 數(shù)字信號最佳接收,在碼元持續(xù)時間Ts、噪聲單邊功率譜密度n0和抽樣數(shù)k（它和系統(tǒng)帶寬有關(guān)）給定后，f(n)僅決定于該碼元期間內(nèi)噪聲的能量： 由于噪聲的隨機性，每個碼元持續(xù)時間內(nèi)噪聲的波形和能量都是不同的，

4、這就使被傳輸?shù)拇a元中有一些會發(fā)生錯誤，而另一些則無錯。,8,第10章 數(shù)字信號最佳接收,設接收電壓r(t)為信號電壓s(t)和噪聲電壓n(t)之和: r(t) = s(t) + n(t) 則在發(fā)送碼元確定之后，接收電壓r(t)的隨機性將完全由噪聲決定，故它仍服從高斯分布，其方差仍為n2，但是均值變?yōu)閟(t)。所以，當發(fā)送碼元“0”的信號波形為s0(t)時，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 式中 r = s + n k 維矢量，表示一個碼元內(nèi)接收電壓的k個抽 樣值； s k 維矢量，表示一個碼元內(nèi)信號電壓的k個抽樣值。,9,第10章 數(shù)字信號最佳接收,同理，當發(fā)送碼元“1“的信號波形為s

5、1(t)時，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 順便指出，若通信系統(tǒng)傳輸?shù)氖荕 進制碼元，即可能發(fā)送s1，s2，si，sM之一，則按上述原理不難寫出當發(fā)送碼元是si時，接收電壓的k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 仍需記住，以上三式中的k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)不是時間t的函數(shù)，并且是一個標量，而r 仍是k維空間中的一個點，是一個矢量。,10,第10章 數(shù)字信號最佳接收,10.2 數(shù)字信號的最佳接收 “最佳”的準則：錯誤概率最小 產(chǎn)生錯誤的原因：暫不考慮信道失真的影響，主要討論在二進制數(shù)字通信系統(tǒng)中如何使噪聲引起的錯誤概率最小。 判決規(guī)則 設在一個二進制通信系統(tǒng)中發(fā)送碼元“1”的概率為P(1)，發(fā)送碼

6、元“0”的概率為P(0)，則總誤碼率Pe等于 式中 Pe1 = P(0/1) 發(fā)送“1”時，收到“0”的條件概率； Pe0 = P(1/0) 發(fā)送“0”時，收到“1”的條件概率； 上面這兩個條件概率稱為錯誤轉(zhuǎn)移概率。,11,第10章 數(shù)字信號最佳接收,按照上述分析，接收端收到的每個碼元持續(xù)時間內(nèi)的電壓可以用一個k 維矢量(一個碼元中抽的k個樣)表示。接收設備需要對每個接收矢量作判決，判定它是發(fā)送碼元“0”，還是“1”。 由接收矢量決定的兩個聯(lián)合概率密度函數(shù)f0(r)和f1(r)的曲線畫在下圖中（在圖中把r 當作1維矢量畫出。）： 可以將此空間劃分為兩個區(qū)域A0和A1，其邊界是r0，并將判決規(guī)則

7、規(guī)定為： 若接收矢量落在區(qū)域A0內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“0”； 若接收矢量落在區(qū)域A1內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“1”。,12,第10章 數(shù)字信號最佳接收,顯然，區(qū)域A0和區(qū)域A1是兩個 互不相容的區(qū)域。當這兩個區(qū) 域的邊界r0確定后，錯誤概率 也隨之確定了。 這樣，總誤碼率可以寫為 式中，P(A0/1)表示發(fā)送“1”時，矢量r落在區(qū)域A0的條件概率 P(A1/0)表示發(fā)送“0”時， 矢量r落在區(qū)域A1的條件概率 這兩個條件概率可以寫為： 這兩個概率在圖中分別由兩塊陰影面積表示。,13,第10章 數(shù)字信號最佳接收,將上兩式代入 得到 參考上圖可知，上式可以寫為 上式表示Pe是r0的函數(shù)。為了求出使Pe

8、最小的判決分界點r0，將上式對r0求導 并令導函數(shù)等于0， 求出最佳分界點r0的條件：,14,第10章 數(shù)字信號最佳接收,即 當先驗概率相等時，即P(1) = P(0)時，f0(r0) = f1(r0)，所以最佳分界點位于圖中兩條曲線交點處的r 值上。 在判決邊界確定之后，按照接收矢量r 落在區(qū)域A0應判為收到的是“0”的判決準則，這時有： 若 則判為“0” ； 反之，若 則判為“1” 。 在發(fā)送“0”和發(fā)送“1”的先驗概率相等時，上兩式的條件簡化為：,似然比準則,15,第10章 數(shù)字信號最佳接收,這個判決準則常稱為最大似然準則。按照這個準則判決就可以得到理論上最佳的誤碼率，即達到理論上的誤碼

9、率最小值。 以上對于二進制最佳接收準則的分析，可以推廣到多進制信號的場合。設在一個M 進制數(shù)字通信系統(tǒng)中，可能的發(fā)送碼元是s1，s2，si，sM之一，它們的先驗概率相等，能量相等。當發(fā)送碼元是si時，接收電壓的k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 于是，若 則判為si(t)，其中，,16,第10章 數(shù)字信號最佳接收,10.3 確知數(shù)字信號的最佳接收機 確知信號：指其取值在任何時間都是確定的、可以預知的信號。 判決準則 當發(fā)送碼元為“0”，波形為so(t)時，接收電壓的概率密度為 當發(fā)送碼元為“1”，波形為s1(t)時，接收電壓的概率密度為 且兩碼元能量相等E 因此，將上兩式代入判決準則式，經(jīng)過簡化，得到：

10、,17,第10章 數(shù)字信號最佳接收,若 則判為發(fā)送碼元是s0(t)；若 則判為發(fā)送碼元是s1(t)。 將上兩式的兩端分別取對數(shù)，得到若 則判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之則判為發(fā)送碼元是s1(t)。由于已經(jīng)假設兩個碼元的能量相同，即 所以上式還可以進一步簡化。,18,第10章 數(shù)字信號最佳接收,若 式中 則判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之，則判為發(fā)送碼元是s1(t)。W0和W1可以看作是由先驗概率決定的加權(quán)因子。 最佳相干接收機 按照上式畫出的最佳接收機原理方框圖如下：,19,第10章 數(shù)字信號最佳接收,20,第10章 數(shù)字信號最佳接收,若此二進制信號的先驗概率相等，則上式 簡化為 最佳接相干收機

11、的原理方框圖也可以簡化成,21,第10章 數(shù)字信號最佳接收,由上述討論不難推出M 進制通信系統(tǒng)的最佳接收機結(jié)構(gòu) 上面的最佳接收機的核心是由相乘和積分構(gòu)成的相關(guān)運算，所以常稱這種算法為相關(guān)接收法。 由最佳接收機得到的誤碼率是理論上可能達到的最小值。,22,第10章 數(shù)字信號最佳接收,10.4 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率 總誤碼率 在最佳接收機中，若 則判為發(fā)送碼元是s0(t)。因此，在發(fā)送碼元為s1(t)時，若上式成立，則將發(fā)生錯誤判決。所以若將r(t) = s1(t) + n(t)代入上式，則上式成立的概率就是在發(fā)送碼元“1”的條件下收到“0”的概率，即發(fā)生錯誤的條件概率P(0 / 1)。此

12、條件概率的計算結(jié)果如下,23,第10章 數(shù)字信號最佳接收,式中 同理，可以求出發(fā)送s0(t)時，判決為收到s1(t)的條件錯誤概率 式中,24,第10章 數(shù)字信號最佳接收,因此，總誤碼率為 先驗概率對誤碼率的影響 當先驗概率P(0) = 0及P(1) = 1時，a = - 及b = ，因此由上式計算出總誤碼率Pe = 0。在物理意義上，這時由于發(fā)送碼元只有一種可能性，即是確定的“1”。因此，不會發(fā)生錯誤。同理，若P(0) = 1及P(1) = 0 ，總誤碼率也為零。,25,第10章 數(shù)字信號最佳接收,當先驗概率相等時： P(0) = P(1) = 1/2，a = b。這樣，上式可以化簡為 式中

13、 上式表明，當先驗概率相等時，對于給定的噪聲功率2，誤碼率僅和兩種碼元波形之差s0(t) s1(t)的能量有關(guān)，而與波形本身無關(guān)。差別越大，碼率Pe也越小。 當先驗概率不等時： 由計算表明，先驗概率不等時的誤碼率將略小于先驗概率相等時的誤碼率。就誤碼率而言，先驗概率相等是最壞的情況。,26,第10章 數(shù)字信號最佳接收,先驗概率相等時誤碼率的計算 在噪聲強度給定的條件下，誤碼率完全決定于信號碼元的區(qū)別?，F(xiàn)在給出定量地描述碼元區(qū)別的一個參量，即碼元的相關(guān)系數(shù) ，其定義如下： 式中 E0、E1為信號碼元的能量。 當s0(t) = s1(t)時，1，為最大值；當s0(t) = -s1(t)時，1，為最

14、小值。所以 的取值范圍在-1 +1。,27,第10章 數(shù)字信號最佳接收,當兩碼元的能量相等時，令E0 = E1 = Eb，則上式可以寫成 并且 將上式代入誤碼率公式，得到 為了將上式變成實用的形式，作如下的代數(shù)變換： 令 則有,28,第10章 數(shù)字信號最佳接收,于是上式變?yōu)?式中 利用下式中2和n0關(guān)系 代入上式，得到誤碼率最終表示式：,29,第10章 數(shù)字信號最佳接收,式中 誤差函數(shù) 補誤差函數(shù) Eb 碼元能量； 碼元相關(guān)系數(shù)； n0 噪聲功率譜密度。 上式是一個非常重要的理論公式，它給出了理論上二進制等能量數(shù)字信號誤碼率的最佳（最小可能）值。在下圖中畫出了它的曲線。實際通信系統(tǒng)中得到的誤碼

15、率只可能比它差，但是絕對不可能超過它。,30,第10章 數(shù)字信號最佳接收,誤碼率曲線,dB,31,第10章 數(shù)字信號最佳接收,最佳接收性能特點 誤碼率僅和Eb / n0以及相關(guān)系數(shù)有關(guān)，與信號波形及噪聲功率無直接關(guān)系。 碼元能量Eb與噪聲功率譜密度n0之比，實際上相當于信號噪聲功率比Ps/Pn。因為若系統(tǒng)帶寬B等于1/Ts， 則有 按照能消除碼間串擾的奈奎斯特速率傳輸基帶信號時，所需的最小帶寬為(1/2Ts) Hz。對于已調(diào)信號，若采用的是2PSK或2ASK信號，則其占用帶寬應當是基帶信號帶寬的兩倍，即恰好是(1/Ts) Hz。所以，在工程上，通常把(Eb/n0)當作信號噪聲功率比看待。,32

16、,第10章 數(shù)字信號最佳接收,相關(guān)系數(shù) 對于誤碼率的影響很大。當兩種碼元的波形相同，相關(guān)系數(shù)最大，即 = 1時，誤碼率最大。這時的誤碼率Pe = 1/2。因為這時兩種碼元波形沒有區(qū)別，接收端是在沒有根據(jù)的亂猜。當兩種碼元的波形相反，相關(guān)系數(shù)最小，即 = -1時，誤碼率最小。這時的最小誤碼率等于 例如，2PSK信號的相關(guān)系數(shù)就等于 -1。 當兩種碼元正交，即相關(guān)系數(shù) 等于0時，誤碼率等于 例如，2FSK信號的相關(guān)系數(shù)就等于或近似等于零。,33,第10章 數(shù)字信號最佳接收,若兩種碼元中有一種的能量等于零，例如2ASK信號，則 誤碼率為 比較以上3式可見，它們之間的性能差3dB，即2ASK信號的性能

17、比2FSK信號的性能差3dB，而2FSK信號的性能又比2PSK信號的性能差3dB。,34,第10章 數(shù)字信號最佳接收,多進制通信系統(tǒng) 若不同碼元的信號正交，且先驗概率相等，能量也相等，則其最佳誤碼率計算結(jié)果如下： 式中，M 進制數(shù)； E M 進制碼元能量； n0 單邊噪聲功率譜密度。 由于一個M 進制碼元中含有的比特數(shù)k 等于log2M，故每個比特的能量等于 并且每比特的信噪比為 下圖畫出了誤碼率Pe與Eb/n0關(guān)系曲線。,35,第10章 數(shù)字信號最佳接收,誤碼率曲線 由此曲線看出，對于 給定的誤碼率，當k 增大時，需要的信噪 比Eb/n0減小。當k 增 大到時，誤碼率曲 線變成一條垂直線；

18、這時只要Eb/n0等于 0.693(即-1.6 dB)，就能 得到無誤碼的傳輸。,36,第10章 數(shù)字信號最佳接收,10.7 實際接收機和最佳接收機的性能比較,實際接收機的Pe,最佳接收機的Pe,37,第10章 數(shù)字信號最佳接收,假設在接收機輸入端信號功率和信道相同的條件下比較兩種結(jié)構(gòu)形式接收機的誤碼性能。由上表可以看出，橫向比較兩種結(jié)構(gòu)形式接收機誤碼性能可等價于比較與的大小。在相同的條件下： 若 ，則實際接收機誤碼率小于最佳接收機誤碼率； 若 ，則實際接收機誤碼率大于最佳接收機誤碼率； 若 ，則實際接收機誤碼率等于最佳接收機誤碼率。 前面已經(jīng)分析，當系統(tǒng)帶寬等于奈氏準則時，有 ，而奈氏帶寬式

19、理論極限，實際達不到。因此，實際接收機質(zhì)量總是低于最佳接收機。,38,第10章 數(shù)字信號最佳接收,10.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法 什么是匹配濾波器？ 用線性濾波器對接收信號濾波時，使抽樣時刻上輸出信噪比最大的線性濾波器稱為匹配濾波器。 假設條件： 接收濾波器的傳輸函數(shù)為H(f)，沖激響應為h(t)，濾波器輸入碼元s(t)的持續(xù)時間為Ts，信號和噪聲之和r(t)為 式中，s(t) 信號碼元， n(t) 高斯白噪聲；,39,第10章 數(shù)字信號最佳接收,并設信號碼元s(t)的頻譜密度函數(shù)為S(f)，噪聲n(t)的雙邊功率譜密度為PR(f) = n0/2，n0為噪聲單邊功率譜密度。 輸出電壓 假定

20、濾波器是線性的，根據(jù)線性電路疊加定理，當濾波器輸入電壓r(t)中包括信號和噪聲兩部分時，濾波器的輸出電壓y(t)中也包含相應的輸出信號so(t)和輸出噪聲no(t)兩部分，即 式中,40,第10章 數(shù)字信號最佳接收,輸出噪聲功率： 由 得輸出噪聲功率No等于 輸出信噪比 在抽樣時刻t0上，輸出信號瞬時功率與噪聲平均功率之比為,41,第10章 數(shù)字信號最佳接收,匹配濾波器的傳輸特性： 利用施瓦茲不等式求 r0的最大值 若 其中k為任意常數(shù)，則上式的等號成立。 將上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令 則有 式中 是信號能量,42,第10章 數(shù)字信號最佳接收,而且當 時，上式的等號成立，即得到

21、最大輸出信噪比2E/n0。 上式表明，H(f)就是我們要找的最佳接收濾波器傳輸特性。它等于信號碼元頻譜的復共軛（除了常數(shù)因子外）。故稱此濾波器為匹配濾波器。,43,第10章 數(shù)字信號最佳接收,匹配濾波器的沖激響應函數(shù)： 由上式可見，匹配濾波器的沖激響應h(t)就是： 信號s(t)的鏡像s(-t)，再在時間軸上（向右）平移了t0。,44,匹配濾波器的單位沖激響應為：,匹配濾波器單位沖激響應原理,第10章 數(shù)字信號最佳接收,45,第10章 數(shù)字信號最佳接收,圖解,46,第10章 數(shù)字信號最佳接收,實際的匹配濾波器 一個實際的匹配濾波器應該是物理可實現(xiàn)的，其沖激響應必須符合因果關(guān)系，在輸入沖激脈沖加

22、入前不應該有沖激響應出現(xiàn)，即必須有： 即要求滿足條件 或滿足條件 上式的條件說明，接收濾波器輸入端的信號碼元s(t)在抽樣時刻t0之后必須為零。一般不希望在碼元結(jié)束之后很久才抽樣，故通常選擇在碼元末尾抽樣，即選t0 = Ts。故匹配濾波器的沖激響應可以寫為,47,第10章 數(shù)字信號最佳接收,這時，若匹配濾波器的輸入電壓為s(t)，則輸出信號碼元的波形為： 上式表明：匹配濾波器輸出信號碼元波形是輸入信號碼元波形的自相關(guān)函數(shù)的k倍。k是一個任意常數(shù)，它與r0的最大值無關(guān)；通常取k 1。,48,第10章 數(shù)字信號最佳接收,【例10.1】設接收信號碼元s(t)的表示式為 試求其匹配濾波器的特性和輸出信

23、號碼元的波形。 【解】上式所示的信號波形是一個矩形脈沖，如上圖所示。 其頻譜為 由 令k = 1，可得其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為 由 令k = 1，還可以得到此匹配濾波器的沖激響應為,49,第10章 數(shù)字信號最佳接收,此沖激響應示于下圖。 表面上看來，h(t)的形狀和信號s(t)的形狀一樣。實際上，h(t)的形狀是s(t)的波形以t = Ts / 2為軸線反轉(zhuǎn)而來。由于s(t)的波形對稱于t = Ts / 2，所以反轉(zhuǎn)后，波形不變。 由式 可以求出此匹配濾波器的 輸出信號波形如下：,50,第10章 數(shù)字信號最佳接收,由其傳輸函數(shù) 可以畫出此匹配濾波器的方框圖如下： 因為上式中的(1/j2f)是理

24、想積分器的傳輸函數(shù)，而exp(-j2fTs)是延遲時間為Ts的延遲電路的傳輸函數(shù)。,51,例：,第10章 數(shù)字信號最佳接收,52,(,a,),s,(,t,),0,T,t,2,T,1,例：,第10章 數(shù)字信號最佳接收,53,匹配濾波器的性質(zhì) (1)其幅頻特性與輸入信號的幅頻特性一致，至多差一個常數(shù)因子K；其相頻特性與輸入信號的反相，并有一個附加的相位 。 （2）匹配濾波器在輸出端可以給出最大的瞬時信噪比：,第10章 數(shù)字信號最佳接收,54,（4）關(guān)于r0max=2E/n0：只要s(t)能量相同，不論s(t)的形狀、噪聲分布如何、相應的匹配濾波器不同，但r0max相同 (5)觀測時刻t0選擇在信號

25、持續(xù)時間的末尾，一般取碼元周期Ts；,（3）輸出信號s0(t)：是s(t)的自相關(guān)函數(shù)的k倍,第10章 數(shù)字信號最佳接收,且,55,第10章 數(shù)字信號最佳接收,【例10.2】 設信號的表示式為 試求其匹配濾波器的特性和匹配濾波器輸出的波形。 【解】 上式給出的信號波形 是一段余弦振蕩， 如右圖所示： 其頻譜為,Ts,56,第10章 數(shù)字信號最佳接收,因此，其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為 上式中已令t0 = Ts。 此匹配濾波器的沖激響應為： 為了便于畫出波形簡圖，令 式中，n = 正整數(shù)。這樣，上式可以化簡為 h(t)的曲線示于下圖：,57,第10章 數(shù)字信號最佳接收,這時的匹配濾波器輸出波形可以由卷積公式求出： 由于現(xiàn)在s(t)和h(t)在區(qū)間(0, Ts)外都等于零，故上式中的積分可以分為如下幾段進行計算： 顯然，當t 2Ts時，式中的s()和h(t-)不相交，故s0(t)等于零。,58,第10章 數(shù)字信號最佳接收,當0 t Ts時，上式等于 當Ts t 2Ts時，上式等于 若因f0很大而使(1/4f0)可以忽略，則最后得到,59,第10章 數(shù)字信號最佳接收,按上式畫出的曲線示于下圖中。,60,第10章 數(shù)字信號最佳