量子力學(xué)11.2.ppt

1、上次課復(fù)習(xí),對(duì)含時(shí)Hamilton體系，有,則,含時(shí)微擾論的一級(jí)近似解為,有簡并的情況下躍遷幾率為,前面學(xué)習(xí)了量子躍遷和含時(shí)微擾，下面我們研究-,11.3 量子躍遷理論與不含時(shí)微擾論的關(guān)系,一、不含時(shí)微擾論所處理的兩類問題,上學(xué)期我們學(xué)習(xí)了微擾論。仔細(xì)分析一下， 發(fā)現(xiàn)這種微擾論實(shí)際上處理兩類問題,1. 純粹是求能量本征值問題的一種技巧,即人為地把H分成兩部分， ，其中 的本征值問題已有解或容易求解。然后 逐級(jí)把 的影響考慮進(jìn)去，以求得 的更為精確的解,例如，Stark效應(yīng)、Zeeman效應(yīng)等。,在此過程中， 實(shí)際上是隨時(shí)間變化的。但 人們通常仍用不含時(shí)微擾論，即定態(tài)微擾論 來處理。,2. 真正

2、加上了某種外界微擾。,這樣做是否合理？我們分析一下。,式中參數(shù) 表征微擾加 進(jìn)來的快慢。 表示 微擾無限緩慢地引進(jìn)來。 的變化如右圖所示：,設(shè),1) 長時(shí)微擾,設(shè) 時(shí)體系處于 的非簡并態(tài) ，按微 擾論一級(jí)近似公式,時(shí)刻體系躍遷到 態(tài) 的波幅為,利用初始條件,來自,及前面所給公式,上式右邊第一項(xiàng)是 的非簡并本征態(tài) ， 第二項(xiàng)正是微擾 帶來的一級(jí)近似修正。,此式正好是定態(tài)微擾論中 的一個(gè) 本征態(tài)。,但這種微擾是“絕熱地”引進(jìn)來的，即微擾時(shí) 間參數(shù) 比所處理體系的特征時(shí)間長得多. 或者說，體系有足夠的時(shí)間調(diào)整自己的狀 態(tài)來應(yīng)對(duì)外界的微擾。所以可以用定態(tài)微擾 論來處理。,可以求出準(zhǔn)確到一級(jí)近似下的波函

3、數(shù),2) 短時(shí)常微擾,即常微擾只在一定時(shí)間間隔中起作用。,設(shè),其中 為階梯函數(shù)， 定義為,如右圖。,則在時(shí)刻 ，微擾 導(dǎo)致的體系從 態(tài) 到 態(tài)的躍遷振幅的一級(jí)近似為,分部積分，得,當(dāng)t T后,上式右邊第一項(xiàng)為0，利用公式,第二項(xiàng)化為,因此，躍遷幾率 為,而 隨 變化的曲線如下圖所示：,二、Fermi黃金規(guī)則,下面我們利用上述結(jié)論來討論散射問題中的一個(gè)重要公式,對(duì)公式,當(dāng)微擾作用的時(shí)間間隔 T足夠長 時(shí)， 只在 的 一個(gè)窄范圍中不為0。 見右圖。,1. 躍遷速率,利用公式,則有,因此，當(dāng) 時(shí)，,而單位時(shí)間的躍遷幾率（躍遷速率）為,從公式,中可以看出：,如常微擾只在 起作用，則只要 足夠 長（遠(yuǎn)大

4、于體系的特征時(shí)間），則躍遷速 率與時(shí)間無關(guān)；,只有當(dāng)末態(tài)能量 和初態(tài)能量 相近的情 況下，才有可觀的躍遷發(fā)生。而 恰是常微擾作用下體系能量守恒的反映。,2. 黃金規(guī)則,前面我們講過，一級(jí)微擾論成立的條件是：,躍遷幾率很小，體系有很大幾率仍停留在 初始狀態(tài)。,但在公式,中出現(xiàn)了 函數(shù)，與 有關(guān)。此時(shí)一級(jí)微 擾論還成立嗎？,解釋：,函數(shù)出現(xiàn)上述公式中只有當(dāng)能量 連續(xù)變化的情況下才有意義。,此時(shí)我們對(duì)所有能量積分時(shí)，函 數(shù)就被積分掉，不存在問題了。,設(shè) 表示體系 的末態(tài)的態(tài)密度，即在 范圍中的末態(tài)數(shù)為 。 因此，從初態(tài) 到 附近一系列可能 末態(tài)的躍遷速率之和（求積分）為,上式應(yīng)用很廣，非常有價(jià)值，故

5、人們習(xí)慣 稱之為Fermi黃金規(guī)則(golden role).,物理含義容易理解：躍遷速率與能態(tài)密度 成正比，與躍遷矩陣元的平方成正比。,利用公式,3. 黃金規(guī)則的應(yīng)用 -彈性散射,前面我們學(xué)習(xí)過，對(duì)于一維入射粒子，碰到 勢(shì)壘后會(huì)發(fā)生反射和透射，而且反射和透射 系數(shù)定義為,對(duì)于三維粒子，入射粒子沿確定方向入射， 動(dòng)量為 （取為 軸方向）。在受到靶子作 用 （視為微擾 ）后，可以沿不同方向 出射，相應(yīng)的幾率也與出射方向有關(guān)。,或者說，出射粒子有一個(gè)角分布，見下圖：,設(shè)出射粒子的動(dòng)量為 ，與入射粒子動(dòng)量方 向 夾角為 。對(duì)于彈性散射， 。,采用平面波近似，入射波表為,利用流密度公式,可以算出入射流

6、密度為,出射波表為,這樣,式中,是 的Fourier變換,設(shè)沿 角方向的立體角 中出射粒子的末 態(tài)密度為 ，則能量在 范圍內(nèi)的 末量子態(tài)數(shù)為,其中：相空間中的一個(gè)體積元 相當(dāng)于一 個(gè)量子態(tài),在相對(duì)論和非相對(duì)論條件下，都可以證明：,v 是粒子的速度。因此由,得到沿 角方向的 立體角中出射的速率為,得,所以,故,在相對(duì)論情況下，因?yàn)?定義散射截面：,及,將,代入上式，得,對(duì)于非相對(duì)論粒子， 則,這就是粒子與靶碰撞的散射截面，反映了散 射后粒子的空間分布幾率。,11.4 能量與時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系,前面我們學(xué)習(xí)了Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：,它從一定程度上反映了對(duì)經(jīng)典粒子和微 觀粒子描述的關(guān)系。,下面

7、討論另一種測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系,-能量-時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系,同當(dāng)時(shí)引入Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系類似，我 們?nèi)匀粡膸讉€(gè)特例出發(fā)來探討這個(gè)問題。,一、幾個(gè)特例,例1 設(shè)粒子初始狀態(tài)為 和 是粒子的兩個(gè)能量本征態(tài)，本 征值分別為 和 ，則有非定態(tài),在此態(tài)下，各力學(xué)量的幾率分布要隨 時(shí)間改變。,比如粒子的空間幾率分布,其中,由于在此非定態(tài)下，有可能測(cè)得 ， 也可 能測(cè)得 ，故可將 視為測(cè)量體 系能量時(shí)出現(xiàn)的不確定度。,由,可知， 隨時(shí)間呈周期性變化,其周期為,對(duì)定態(tài)來說，能量是完全確定的，即,而定態(tài)的特點(diǎn)是：所有不顯含時(shí)間的力學(xué)量 幾率分布都不隨時(shí)間改變，或者說，變化周 期為無窮大，特征時(shí)間 。這與關(guān)系 是一

8、致的。,動(dòng)量及其它力學(xué)量的幾率分布也有同樣的變 化周期.,故此周期 T 是表征體系性質(zhì)變化快慢的特征時(shí)間，記為,例2,設(shè)原子處于激發(fā)態(tài)，它可以通過自發(fā)輻射 而衰變到基態(tài)，壽命為 。見下圖。,此激發(fā)態(tài)是非定態(tài),其能量不確定度為E, 稱為能級(jí)寬度并用表示。,粒子在每個(gè)激發(fā)態(tài)上都有一定壽命,受此限制,自發(fā)輻射光子相應(yīng)的輻射波列的長度為,從而能量 的不確定度為,由此得出粒子激發(fā)態(tài)能量的不確定度 為,(波列的長度是由原子發(fā)光的持續(xù)時(shí)間和傳播 速度所確定的),因而光子動(dòng)量不確定度為,問題：,處于不同能級(jí)的兩個(gè)粒子,那個(gè)壽命長?,二、能量-時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo),設(shè)體系的Hamilton量是H，A 為另一

9、個(gè)不含 時(shí)的力學(xué)量。,有,其中,分別表示在給定狀態(tài)下能量和力學(xué)量的不確 定度。,由前面所學(xué)習(xí)的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系,利用前面學(xué)習(xí)的不顯含時(shí)間力學(xué)量的平均值 隨時(shí)間的變化規(guī)律,式,可表為,或,令,意義： 改變 所需的時(shí)間間隔，表征 變化快慢的周期。,此時(shí),每一個(gè)力學(xué)量 都有相應(yīng)的 ，在這些 中，最小的一個(gè)記為 ，它當(dāng)然滿足式,或?qū)懗?此所謂能量-時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。,三、能量-時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的意義,1. 物理含義,對(duì)能量-時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系,表示狀態(tài)能量的不確定度， 為該狀態(tài) 的特征時(shí)間，可理解為狀態(tài)性質(zhì)有明顯改 變所需要的時(shí)間間隔，或變化周期。,上式表明， 與 不能都任意地小下去， 而要受到一定的制約。,如 激

10、光脈沖：,2. 能量-時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系與坐標(biāo)-動(dòng)量 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的區(qū)別,在非相對(duì)論情況下，時(shí)間 只是一個(gè)參 量，而不是屬于某一特定體系的力學(xué)量。 因此不能套用坐標(biāo)-動(dòng)量測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的普 遍論證方法。,在坐標(biāo)-動(dòng)量測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系中， 與 都 是指同一時(shí)刻而言，而在能量-時(shí)間測(cè)不 準(zhǔn)關(guān)系中，不可能理解“同一時(shí)刻”的 是什么含義。,物理意義不同。,不能隨便地令 ，由此得出,而能量-時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系給出:能量分辨和時(shí) 間分辨是不可能同時(shí)達(dá)到高精度要求的。,坐標(biāo)-動(dòng)量測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系給出的是微觀粒子坐 標(biāo)和動(dòng)量二力學(xué)量的不能同時(shí)確定性；,我們知道， 是表征體系隨時(shí)間演化特性 的力學(xué)量, 而體系狀態(tài)的演化要滿足方程,但這絕

11、不表明,對(duì)于任意 ,上式都成立。,11.5 光的吸收與輻射的半經(jīng)典處理,一、幾個(gè)基本概念：,1. 光的吸收,在光的照射下，原子 可能吸收光從低能級(jí) 躍遷到高能級(jí)。,11.5.0 概述,2. 受激輻射,在光照下，原子可能吸收一個(gè)光子從較高能級(jí)躍遷到較低能級(jí)并放出光兩個(gè)光子。,3. 自發(fā)輻射,無光照下，原子也可以自發(fā)的從高能級(jí)躍遷到低能級(jí)，并放出光子。,4. 譜線頻率（或波數(shù)）,5. 譜線相對(duì)強(qiáng)度,是一個(gè)與躍遷速率成比例的量，實(shí)際上與參與躍遷的粒子數(shù)成正比。,比如氫原子的可見光光譜為,按照頻率條件，與初末態(tài)能量差E相對(duì)應(yīng)的頻率v= E/h,二、處理光的吸收和發(fā)射常用的方法,1. 量子電動(dòng)力學(xué)：,研

12、究光的吸收和輻射現(xiàn)象時(shí)，涉及到 光子的產(chǎn)生和湮滅，需要把電磁場(chǎng)量 子化（光子即電磁場(chǎng)量子）。,2. 非相對(duì)論量子力學(xué),研究光的吸收和受激輻射現(xiàn)象時(shí)，可以 采用半經(jīng)典方法，把光子產(chǎn)生和湮滅的 問題轉(zhuǎn)化為在電磁場(chǎng)的作用下原子在不 同能級(jí)之間躍遷的問題。,但處理自發(fā)輻射時(shí)，這種方法無能為力。,3. 相對(duì)論量子力學(xué)的方法,一個(gè)方興未艾的研究課題,此時(shí)輻射場(chǎng)的作用可以看作與時(shí)間有關(guān) 的微擾來處理。,Einstein基于熱統(tǒng)中平衡概念的考慮，回 避了光子的產(chǎn)生和湮滅,巧妙地予以解決。,強(qiáng)場(chǎng)物理,外場(chǎng)中電子的動(dòng)力學(xué)行為,以上三種方法并不互相獨(dú)立,11.5.1 光的吸收與受激輻射,一、 微擾項(xiàng)的給出,假設(shè)入射

13、光為平面單色光，其電磁場(chǎng)強(qiáng)度 為,在原子中,電子的速度 ，磁場(chǎng)對(duì)電子 的作用遠(yuǎn)小于電場(chǎng)對(duì)電子的作用(?),因此只需考慮電場(chǎng)的作用。另外，對(duì)于可見 光，波長,即在原子大小范圍內(nèi)，,電場(chǎng)變化極其微小，可以看成是均勻電場(chǎng)。 所以,其相應(yīng)的電勢(shì)為,由于常數(shù)項(xiàng)對(duì)微擾項(xiàng)的貢獻(xiàn)仍是常數(shù)，對(duì) 躍遷矩陣元的貢獻(xiàn)為0，不妨略去。,故入射可見光對(duì)原子中電子的作用可表為,其中,將 代入躍遷振幅的一級(jí)微擾公式,二、 躍遷幾率和速率的計(jì)算,對(duì)于躍遷振幅,所以方括號(hào)中的兩項(xiàng)只有當(dāng) 時(shí)才有顯著貢獻(xiàn)。,由,當(dāng) 時(shí)， , 則 時(shí)，后項(xiàng)貢獻(xiàn)顯著,當(dāng) 時(shí)， , 則 時(shí)，前項(xiàng)貢獻(xiàn)顯著,對(duì)于原子吸收光的躍遷， ,此時(shí)，只有當(dāng)入射光 的情

14、況，才會(huì)引起 的躍遷。此時(shí),舉個(gè)確切的例子：,從而 的躍遷幾率為,可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)間 充分長以后，只 有 的入射光 對(duì) 的躍遷 有明顯貢獻(xiàn)。這種吸收叫共振吸收。,右圖為 t 足夠長時(shí) 幾率的變化情況：,這實(shí)際上是公式 的必然結(jié)果,而躍遷速率為,式中 是 與 的夾角。,此時(shí)利用公式,可將上式,寫為,如入射光是非偏振光，光偏振的方向是完全 無規(guī)的，此時(shí)可把 換為它對(duì)空間各方向 的平均值，即,所以,這里 是角頻率 的單色光的電場(chǎng)強(qiáng)度值。,但自然界中不存在嚴(yán)格的單色光，只不過 有的光單色性比較好，如激光。,對(duì)自然光引起的躍遷，要對(duì)上式中各種成分的貢獻(xiàn)求和。,令 表示角頻率為 的電磁場(chǎng)的能量密度。,利用,

15、可將 換為 ，就得出非偏振自然光引起的躍遷速率, 代入,由上式,有,從上式可以看出：,躍遷快慢與入射光中角頻率為 的光強(qiáng) 度 成比例。,躍遷速率還與 成比例，即與初末態(tài)的性質(zhì)相關(guān)。舉例說明如下：,對(duì),設(shè),首先考慮到 為奇宇稱算符，對(duì)于 ， 只有當(dāng)宇稱 時(shí)才可能不為零。,由此得出電偶極輻射的宇稱選擇定則：,宇稱： 改變,其次考慮角動(dòng)量的選擇定則。,三、電偶極輻射選擇定則,利用基本公式,在具體計(jì)算 的矩陣元時(shí)，需要求解因子,即求解 的矩陣元，分析上述 基本公式，可知下面的遞推公式是重要的 (見曾謹(jǐn)言習(xí)題精選與剖析相關(guān)內(nèi)容)：,再根據(jù)球諧函數(shù)的正交性，可以看出，只當(dāng),時(shí)， 才可能不為0。,由此得電偶

16、極輻射的角動(dòng)量選擇定則：,以上未考慮電子自旋。,可以證明，電偶極輻射的選擇定則為(見曾書習(xí)題精選與剖析相關(guān)內(nèi)容),在考慮電子自旋及旋軌耦合作用后,電子狀態(tài)用好量子數(shù)nljmj來描述。,上次課復(fù)習(xí),能量-時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系,意義: 能量分辨和時(shí)間分辨是不可能同時(shí)達(dá) 到高精度要求的。,光的吸收與受激輻射,微擾項(xiàng),躍遷幾率,躍遷速率,如入射光是非偏振光，光偏轉(zhuǎn)的方向是完全 無規(guī)的，此時(shí)可把 換為它對(duì)空間各方向 的平均值，此時(shí),非偏振自然光引起的躍遷速率，要對(duì)各成分 貢獻(xiàn)求和，從而有,下面研究自發(fā)輻射理論,11.5.2 自發(fā)輻射的Einstein理論,前面提過,在非相對(duì)論量子力學(xué)理論框架內(nèi)是 無法解釋原子

17、的自發(fā)輻射現(xiàn)象的。,Eintein曾提出一個(gè)很巧妙的半唯象理論來說 明原子的自發(fā)輻射現(xiàn)象。,如初始時(shí)原子處于某一定態(tài),則原子將保持在 該定態(tài),不會(huì)躍遷到較低能級(jí)去。,因?yàn)榘戳孔恿W(xué)一般原理，如無外界作用,原 子Hamilton量是守恒量。,他借助于物體與輻射場(chǎng)達(dá)到平衡時(shí)的熱力學(xué)關(guān)系，指出自發(fā)輻射現(xiàn)象必然存在，并建立起自發(fā)輻射與吸收和受激輻射之間的關(guān)系。,一、受激輻射和吸收系數(shù),按照上節(jié)的討論，在強(qiáng)度為 的光的照射 下，原子從 態(tài)到 態(tài)的躍遷速率可表為,其中,稱為吸收系數(shù)。,與此類似，對(duì)于從 態(tài)的受激輻射，躍遷速率也可以表成,其中,稱為受激輻射系數(shù)。,由于 為厄米算符，所以,即受激輻射系數(shù)等于吸收系數(shù)，它們都與入 射光強(qiáng)度無關(guān)。,二、自發(fā)輻射和自發(fā)輻射系數(shù)的給出,現(xiàn)在用熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理的知識(shí)來處理這個(gè) 問題。,設(shè)處于平衡態(tài)下體系的絕對(duì)溫度是 分別為處于能級(jí) 上的原子數(shù)目。,可知,式中 為Boltzman常數(shù)。,由Boltzman分布律,吸收粒子數(shù),輻射粒子數(shù),因此，如只有受激輻射，就無法與吸收過程 達(dá)到平衡。,出自平衡的要求，