矩量法MethodofMoment課件

1、第二章 矩量法(Method of Moment) 2.1 引言 2.2 矩量法的一般過(guò)程 2.3 選配和離散過(guò)程 2.3.1 點(diǎn)選配 2.3.2 脈沖分域基 2.3.3 三角形函數(shù)分域基 2.4 算子研究 2.4.1 近似算子 2.4.2 擴(kuò)展算子 2.4.3 微擾算子,矩量法(簡(jiǎn)稱MoM)，就其數(shù)值分析而言就是廣義Galerkin(伽略金)法。矩量法包括兩個(gè)過(guò)程，離散化過(guò)程和選配過(guò)程，從而把線性算子方程轉(zhuǎn)化為矩陣方程。這里先舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。,例1無(wú)限薄導(dǎo)體圓盤上的電荷分布問(wèn)題。 試討論半徑為a的無(wú)限薄理想導(dǎo)體圓盤，在中心線距離d處有一點(diǎn)電荷 ，如圖5-17-1所示，求解導(dǎo)體圓盤上的電荷分

2、布。 解 假設(shè)導(dǎo)體圓盤上電荷密度為 ，根據(jù)電磁學(xué)的基本概念可知： (1) 由外加電荷Q在導(dǎo)體圓盤上產(chǎn)生的電位e 和導(dǎo)體圓盤本身感應(yīng)電荷密度所產(chǎn)生的電位i之和U 在盤上處處相等，即保證導(dǎo)體圓盤是等位面。 (2) 由于本問(wèn)題中是感應(yīng)電荷，因此總電荷Qi0，其中,圖5-17-1導(dǎo)體圓盤上的電荷分布 (5-17-1) (5-17-2) (5-17-3),于是，問(wèn)題可寫為 (5-17-4) 式中r= ，其中打撇的表示源點(diǎn)，不打撇的表示場(chǎng)點(diǎn)。 這個(gè)問(wèn)題，采用電磁學(xué)經(jīng)典解析方法不能很好的解決，因?yàn)槲粗?處于積分內(nèi)部，是一個(gè)典型的積分方程。為此，把圓盤分割成兩部分：中心小圓和外部環(huán)帶(如圖5-17-1所示)

3、，并假定每一部分內(nèi)的電荷密度 (i=1,2)近似為常數(shù)，于是 (5-17-5) 式中 (5-17-6),稱為脈沖函數(shù)，這時(shí)問(wèn)題方程(5-17-4)成為 (5-17-7) (5-17-8) 把問(wèn)題方程(5-17-4)近似的轉(zhuǎn)化為式(5-17-7)和式(5-17-8)的過(guò)程稱為離散化過(guò)程。但是，必須注意到方程(5-17-7)中，場(chǎng)點(diǎn)r表示圓盤上的任意點(diǎn)(x，y)，換句話它們是不定的，因而式(5-17-7)中包含著無(wú)限個(gè)方程。另一方面，離散后的方程組(5-17-7)和方程組(5-17-8)內(nèi)只有三個(gè)未知數(shù) 、 和 ，于是方程組超定。,為了把超定方程組轉(zhuǎn)化為唯一解的方程組，可以采用很多辦法。矩量法中，

4、習(xí)慣用選配過(guò)程解決這個(gè)問(wèn)題。簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)，即在每個(gè)離散的單元上只選取一個(gè)場(chǎng)點(diǎn)作為代表來(lái)建立方程。例如，在例1中對(duì)于離散的 和 分別取 和 兩點(diǎn)做試驗(yàn)點(diǎn)，如圖5-17-2所示。具體寫出方程組 (5-17-9) 其中,圖5-17-2 圓盤上的試驗(yàn)點(diǎn),其中 表示 面元電荷在 處產(chǎn)生場(chǎng)的自作用單元； 表示 面元電荷在 處產(chǎn)生場(chǎng)的自作用單元； 表示 面元電荷在 處產(chǎn)生場(chǎng)的互作用單元； 表示 面元電荷在 處產(chǎn)生場(chǎng)的互作用單元。,又有 (5-17-14) 經(jīng)過(guò)離散化過(guò)程和選配過(guò)程，將積分方程組(近似地)轉(zhuǎn)化為矩陣方程 (5-17-15) 由此得出電荷分布的解為 (5-17-16),圖 5-17-3 矩量法的一般

5、過(guò)程 圖5-17-3所示的矩量法求解問(wèn)題的一般過(guò)程。 討論 (1)矩量法的原問(wèn)題并不限于積分方程，也可以是微分方程或其他方程。但必須能抽象成算子方程。從這一點(diǎn)而言，它是普遍的；另一方面，矩量法最終要轉(zhuǎn)化為矩陣方程加以解決。因此，原問(wèn)題必須屬于線性算子范疇。例如，最速下降線所構(gòu)成的積分方程 不是線性泛函，所以無(wú)法采用矩量法。 (2) 電磁理論中計(jì)算的矩陣單元，一般均表示某個(gè)源在一個(gè)區(qū)域所產(chǎn)生的場(chǎng)，而實(shí)際產(chǎn)生的場(chǎng)往往都隨著源的距離增加而減少。換句話說(shuō)，矩量法中矩陣一般是對(duì)角占優(yōu)的：自作用單元 比互作用單元 所起的作用要大。這一點(diǎn)在概念上十分重要。,矩量法的研究對(duì)象是一般非齊次方程 (5-17-17

6、) 線性算子 的運(yùn)算空間稱為定義域，而 組成的空間稱為值域。式(5-17-17)中 是已知的激勵(lì)函數(shù)， 為未知函數(shù)。令 在 的定義域內(nèi)展開(kāi)成 的組合，有 (5-17-18),2.2 矩量法的一般過(guò)程,其中,表示矩陣轉(zhuǎn)置，應(yīng)該注意到：展開(kāi)函數(shù)與基函數(shù)是有區(qū)別的。一般來(lái)說(shuō)，基函數(shù)是一無(wú)限展開(kāi)。從完備基轉(zhuǎn)化為近似有限截?cái)嗷呀?jīng)構(gòu)成誤差了，再?gòu)挠邢藿財(cái)嗷D(zhuǎn)化為有限展開(kāi)函數(shù)就很難保證 能收斂于 ，這也是矩量法的研究中需要深入研究的一個(gè)問(wèn)題。這里且寫出 (5-17-19),而,從算子方程(5-17-17)到式(5-17-19)即構(gòu)成離散化過(guò)程。它可以是函數(shù)離散，也可以是區(qū)域離散，或兩者兼有。,現(xiàn)在規(guī)定適當(dāng)

7、的內(nèi)積 。在算子L的值域內(nèi)定義一類權(quán)函數(shù)(或檢驗(yàn)函數(shù)) ,作用于式(5-17-19)兩邊，且取內(nèi)積，有 (5-17-20) 這就是所謂的選配過(guò)程或試驗(yàn)過(guò)程，矩量法的名稱也由此而來(lái)，即把激勵(lì)矢量 和 分別向權(quán)空間投影，取它的矩，根據(jù)矩的大小確定展開(kāi)系數(shù)。 如果展開(kāi)函數(shù)的數(shù)目與權(quán)函數(shù)數(shù)目相等，則可把式(5-17-20)寫成矩陣形式 (5-17-21) 其中 (5-17-22) 于是可以解出 (5-17-23),若規(guī)定函數(shù)矩陣 (5-17-24) 于是待求的函數(shù)為 (5-17-25) 矩量法的一般過(guò)程的數(shù)學(xué)表示如圖5-17-4所示。 十分清楚，矩量法的結(jié)果優(yōu)劣取決于：離散化程度； 和 的選取；線性方

8、程組的求解。在 = 的特殊情況下，可稱為Galerkin(伽略金)法，于是矩量法也稱為廣義Galerkin法。,圖5-17-4 矩量法一般過(guò)程的數(shù)學(xué)表示,例2研究 ，其中 解 已經(jīng)知道，此問(wèn)題存在精確解 本例采用矩量法求解，選擇 再選擇權(quán)函數(shù),即采用Galerkin法，內(nèi)積定義為 于是可給出一般計(jì)算結(jié)果,歸納起來(lái)有,情況1：N=1,于是有,情況2: N=2,情況3: N=3,十分明顯，N=3時(shí)已得到了精確解 。 矩量解的曲線如圖5-17-5所示。,圖5-17-5 u (x)矩量解,第二章 矩量法(Method of Moment) 2.3 選配和離散過(guò)程 2.3.1 點(diǎn)選配 2.3.2 脈沖分

9、域基 2.3.3 三角形函數(shù)分域基 2.4 算子研究 2.4.1 近似算子 2.4.2 擴(kuò)展算子 2.4.3 微擾算子,2.3 選配和離散過(guò)程 從上面的典型例子可知，矩量法的精華在于選配和離散過(guò)程，值得單獨(dú)進(jìn)行研究。 2.3.1點(diǎn)選配 點(diǎn)選配是一種最簡(jiǎn)單而最典型的選配函數(shù)。因?yàn)榫仃噯卧獮?，一般說(shuō)來(lái)，其中所含的積分計(jì)算十分困難，這種情況下，最簡(jiǎn)單的辦法是做某些點(diǎn)的投影，即所謂的點(diǎn)選配，實(shí)際上相當(dāng)于把權(quán)函數(shù)取為 函數(shù)。,例3 任研究 。 解 設(shè) ， 在這個(gè)例子中取 函數(shù)為權(quán)函數(shù)即 其中， 是這個(gè)問(wèn)題的選配點(diǎn)，于是有,例3 任研究 。 解 設(shè) ，可得到 在這個(gè)例子中取 函數(shù)為權(quán)函數(shù)即 其中， 是這

10、個(gè)問(wèn)題的選配點(diǎn)，于是有,歸結(jié)起來(lái)，可寫出,情況1: N=1,情況2: N=2,情況3: N=3,可以得出,對(duì)于點(diǎn)選配情況N=3，又一次回復(fù)到精確解。,討論 (1) 對(duì)于點(diǎn)選配的情況，N+1階矩陣中的N階主子陣并不等于在N時(shí)的系數(shù)矩陣(和Galerkin情況不同)。因此當(dāng)N逐漸變大時(shí)計(jì)算量無(wú)法節(jié)約。 (2) 點(diǎn)選配雖然看起來(lái)非常簡(jiǎn)單，然而其內(nèi)在的道理極其深刻。這一點(diǎn)可以從數(shù)值積分看出。研究表明任何數(shù)值積分方法，不論矩形、梯形、二次樣條等，說(shuō)到底都是選擇積分區(qū)域的點(diǎn)和區(qū)域點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的系數(shù)，由此產(chǎn)生Gauss積分的思想。所以在矩量法中，研究最佳點(diǎn)選配將是一個(gè)十分有意義的課題 。,2.3.2脈沖分域基

11、矩量法在離散化過(guò)程中用展開(kāi)函數(shù)取代基函數(shù)，帶來(lái)了方便和自由。但是，隨之而來(lái)的如何確保解的收斂性的問(wèn)題卻值得人們重視。 在尚未了解u(x)函數(shù)性態(tài)的條件下，采用有限個(gè)展開(kāi)函數(shù)ui(x)，i=1，2，.，N時(shí)要確保解收斂顯然在理論上存在不少困難，采用分域基函數(shù)可以說(shuō)是比較穩(wěn)妥的一種解決方案。因?yàn)榇蠖鄶?shù)良態(tài)函數(shù)(不做高速振蕩)均可以采用有限段直線或樣條加以逼近，如圖5-17-6所示。,圖5-17-6 分域基函數(shù)近似,下面從最簡(jiǎn)單的脈沖函數(shù)著手展開(kāi)討論。 一般的脈沖函數(shù)可以表述為,(5-17-26),式(5-17-26)表示以i為中點(diǎn)，密度為1/(N+1)的脈沖函數(shù)，在實(shí)際情況下，密度可以根據(jù)問(wèn)題靈活

12、改變，如圖5-17-7所示。,圖5-17-7 脈沖函數(shù) 圖5-17-8 三角形函數(shù),2.3.3三角形函數(shù)分域基 三角形函數(shù)也是常用的一種分域基，如圖5-17-8所示。 若采用三角形函數(shù)展開(kāi)未知函數(shù)(x)，則有 (5-17-27) 所得的解的合成相當(dāng)于折線連接，分段三角形函數(shù)所得的折線包絡(luò)如圖5-17-9所示。 為了研究具體例子，這里先給出三角形函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念。引入如圖5-17-10所示的階梯函數(shù)H(x-xi)，其定義為,圖5-17-9 分段三角形函數(shù)所得的折線包絡(luò),圖5-17-10 H(x-xi) 函數(shù),(5-17-28),再引入大家熟悉的Dirac-函數(shù)，也即脈沖函數(shù)，其定義為 (5-17-

13、29),如圖5-17-11所示。,圖5-17-11 (x-xi)函數(shù),Dirac-函數(shù)有兩個(gè)重要的性質(zhì)： 1.歸一性 (5-17-30) 2.選擇性 (5-17-31) 這里不加證明的給出Dirac-函數(shù)和階梯函數(shù)之間的重要關(guān)系。 (5-17-32) 有了以上基礎(chǔ)就可以把三角形函數(shù)的導(dǎo)數(shù)用階梯函數(shù)H表示，具體為 (5-17-33),圖5-17-12給出形象的幾何表示。,圖5-17-12 三角形函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何表示,例4 重新研究Harrington(哈林登)問(wèn)題，L(u)=g，其中 L= ，g= ，邊界條件為u(0)=u(1)=0。 試用以三角函數(shù)作為展開(kāi)函數(shù)，脈沖函數(shù)作為權(quán)函數(shù)的矩量法求解。,

14、解 根據(jù)要求可寫出 于是有 上式已計(jì)及 選擇權(quán)函數(shù) 于是矩陣單元 上式要分三種情況討論。,此外，激勵(lì)單元為 結(jié)果可歸納為,情況1：N=1 考慮到對(duì)比： 則有 和 的對(duì)比如圖5-17-13所示。,圖 5-17-13 和,情況2：N=2 l= g= 容易得到 同樣對(duì)比有 和 的 對(duì)比圖如圖5-17-14所示。,圖 5-17-14 和,情況3：N=3 于是有 同樣對(duì)比有 和 的 對(duì)比圖如圖5-17-15所示,圖 5-17-15 和,討論 分域基在N不大的情況下與精確解的差距是明顯的。但是它的相應(yīng)矩陣是三條帶矩陣，可較明顯地縮小計(jì)算量。因此選擇N不大的分域基并進(jìn)行頂點(diǎn)擬合將會(huì)是一個(gè)比較好的方案。,2.

15、4 算子研究 算子方程是矩量法建模的關(guān)鍵。它應(yīng)該有兩個(gè)方面的要求： 一方面算子方程必須符合物理(或工程)問(wèn)題的主要本質(zhì)； 另一方面它又必須適合數(shù)值計(jì)算。 這兩個(gè)方面構(gòu)成了算子研究的基礎(chǔ)。,2.4.1 近似算子 細(xì)心的讀者一定會(huì)提出這樣一個(gè)問(wèn)題，即例4中為什么不采用脈沖函數(shù)作為分域基展開(kāi)？其實(shí)原因十分簡(jiǎn)單，因?yàn)槊}沖函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示有很大困難。但是，倘若引進(jìn)近似算子的概念，則可以較好地解決這個(gè)問(wèn)題。 算子近似含義相當(dāng)廣泛。作為例子，可采用有限差分代替微分。,例5 研究 的Harrington問(wèn)題，即 , ,試采用差分近似算子 ,脈沖展開(kāi)點(diǎn)選配的矩量法求解。（做一般了解） 解 為確保 的邊界條件，

16、在兩端各留出半段為強(qiáng)制零段。因此當(dāng)選擇N個(gè)脈沖函數(shù)時(shí)，全部區(qū)域(0,1)應(yīng)分成(N+1)段。即 于是有,且做點(diǎn)選配有,這樣可以獲得矩陣單元 的表示式,可以歸納為,情況1： N=1 =8 ， 于是得到 對(duì)比 這里的 和 的對(duì)比如圖5-17-16所示 表面看來(lái)，與圖5-17-13類似，實(shí)際上脈沖函數(shù)和三角函數(shù)意義有很大不同，又注意到圖5-17-16中 和 各強(qiáng)制置零半段。,圖5-17-16 和,情況2: 于是有 對(duì)比 和 如圖5-17-17所示。,圖5-17-17 和,情況3: 于是有 作為對(duì)比有 和 的對(duì)比如圖5-17-18所示。,圖5-17-18 和,2.4.2擴(kuò)展算子 算子包括定義域和運(yùn)算域

17、。如同數(shù)學(xué)上經(jīng)常所做的那樣，可以采用擴(kuò)展算子來(lái)增加展開(kāi)函數(shù)或權(quán)函數(shù)選擇的自由度。 原算子和擴(kuò)展算子的邏輯關(guān)系如圖5-17-19所示。很明顯，擴(kuò)展算子不改變?cè)阕拥倪\(yùn)算。,圖5-17-19 原算子和擴(kuò)展算子的邏輯關(guān)系,例6 希望Harrington問(wèn)題 采用脈沖函數(shù)作為展開(kāi)函數(shù)的并引入擴(kuò)展算子概念。（做一般了解） 解 從上面論述中已知 在原來(lái)的定義域中不存在。但深入研究矩量法后發(fā)現(xiàn)，矩量法并不要求 有定義，而只要內(nèi)積 有定義即可。 (5-17-36) 于是可以放松要求為，所選擇的權(quán)函數(shù) 滿足定義域，即 (5-17-37) 則可引入擴(kuò)展算子 (5-17-38),從而避免 問(wèn)題，于是設(shè),則可知矩陣單

18、元為,以及激勵(lì)單元,歸納起來(lái)是 它和三角函數(shù)展開(kāi)脈沖函數(shù)檢驗(yàn)所得到的公式差距極其細(xì)微。 當(dāng)N增大時(shí)， 彼此相當(dāng)接近。 情況1: 這種情況與 完全吻合。,情況2: 容易得到 同樣對(duì)比有 完全吻合。,情況3：N3 于是有 對(duì)比 也完全吻合。,三種情況頂點(diǎn)解均完全吻合，內(nèi)在原因值得研究。 另一種擴(kuò)展算子的思想是設(shè)法擴(kuò)展算子L的定義域，例如在Harrington問(wèn)題的研究中可以選擇不滿足邊界條件u(0)=u(1)=0的展開(kāi)函數(shù)體系 。 例7 采用擴(kuò)展算子L定義域的思想求解Harrington問(wèn)題。 （做一般了解）,解 定義擴(kuò)展算子 (5-17-39) 采用這種思想可不必顧及邊界條件而選擇 (5-17-40) 注意到擴(kuò)展算子不會(huì)漏解