lesson9(插值與數(shù)據(jù)擬合建模).ppt

1、插值與數(shù)據(jù)擬合建模,插值與數(shù)據(jù)擬合就是通過(guò)一些已知數(shù)據(jù)去確定某類函數(shù)的參數(shù)或?qū)ふ夷硞€(gè)近似函數(shù)，使所得的函數(shù)與已知數(shù)據(jù)具有較高的精度，并且能夠使用數(shù)學(xué)分析的工具分析數(shù)據(jù)所反映的對(duì)象的性質(zhì) 幾種常用的方法： 1、一般插值法 2、樣條插值法 3、最小二乘曲線 4、曲面的擬合,一、基本概念,1、插值問(wèn)題： 不知道某一函數(shù)f(x)在待定范圍a,b上 的具體表達(dá)式，而只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到該 函數(shù)在一系列點(diǎn)ax1, x2 , ., xn b上的值 y0, y1, y2, ., yn，需要找一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)P(x) 來(lái)近似地代替f(x)，要求滿足： P(xi)=yi (i=1,2,.,n) 2、插值函數(shù)：P(x

2、) ， 3、插值法：求插值函數(shù)P(x)的方法,二、常用插值函數(shù),1、多項(xiàng)式函數(shù) 2、樣條函數(shù),1、多項(xiàng)式插值方法,（1）n次代數(shù)插值 （2）拉格朗日插值 幾點(diǎn)說(shuō)明： （1）拉格朗日插值基函數(shù)僅與節(jié)點(diǎn)有關(guān)，而 與被插值函數(shù)f(x)無(wú)關(guān)。 （2）拉格朗日插值多項(xiàng)式僅由數(shù)對(duì)(xi,yi)(i 1,2,n)確定，而與數(shù)對(duì)排列次序無(wú)關(guān)。 （3）多項(xiàng)式插值除了上述插值法外還有其它 插值法，如newton插值法、hermite插 值法等。,二、常用插值函數(shù),1、多項(xiàng)式函數(shù) 2、樣條函數(shù),2、樣條插值方法,（1）樣條函數(shù)m次半截冪函數(shù),（2）k次B樣條或k次基本樣條函數(shù)的定義,（一）廣泛使用的樣條函數(shù),（1）

3、廣泛采用：二次樣條、三次樣條及B樣條。 （2）力學(xué)意義： A:二次樣條在力學(xué)上解釋為集中力偶作用 下的彈性細(xì)梁撓度曲線。 B:彈性細(xì)梁受集中載荷作用形成的撓度曲 線，在小撓度的情況下，恰好表示為三 次樣條函數(shù)，集中載荷的作用點(diǎn)，恰好 就是三次樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)。,（1）二次樣條的定義,設(shè)a,b 的一個(gè)劃分：a=x0x1, x2 , ., xn= b，函數(shù)f ( x )各節(jié)點(diǎn)的值分別為： f ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 如果二次樣條函數(shù)：,滿足： S ( xi )=yi (i=1,2,.,n),（2）三次樣條函數(shù)的定義,設(shè)a,b 的一個(gè)劃分：a=x0x1, x2 , ., xn= b

4、， 函數(shù)f ( x )各節(jié)點(diǎn)的值分別為： f ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 如果三次樣條函數(shù)：,3,滿足： S ( xi )=yi (i=1,2,.,n),三、曲線擬合最小二乘法,最小二乘法的一般提法是： 對(duì)給定的一組數(shù)據(jù)(x i , y i )(i0，1，2，m)，要求在函數(shù)類=1， 2， n中找一個(gè)函數(shù)yS*(x)，使誤差平方和最?。?其中：,例1,在一個(gè)SCS系統(tǒng)中，根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得輸出信號(hào)與時(shí)間關(guān)系如下表所示，求輸出信號(hào) y與時(shí)間t的擬臺(tái)曲線yf ( t )。,案例1 估計(jì)水箱的水流量模型,長(zhǎng)度單位：E(3024cm) 容積單位：G(=3.785L(升) 某些鎮(zhèn)的用水管理機(jī)構(gòu)

5、需估計(jì)公眾的用水速度(單位是G/h)和每天總用水量的數(shù)據(jù)許多地方?jīng)]有測(cè)量流入或流出水箱流量的設(shè)備，而只能測(cè)量水箱中的水位(誤差不超過(guò)5%)當(dāng)水箱水位低于某最低水位L時(shí)，水泵抽水，灌入水箱，直至水位達(dá)到最高水位H為止。但這也無(wú)法測(cè)量水泵的流量，因此在水泵啟動(dòng)時(shí)不易建立水箱中水位和水泵工作時(shí)用水量之間關(guān)系。水泵一天灌水12次，每次約2h。試估計(jì)在任意時(shí)刻(包括水泵灌水期間)t流出水箱的流量f(t)，并估計(jì)一天的總用水量。,案例1數(shù)據(jù),表中給出了某鎮(zhèn)中某一天的真實(shí)用水?dāng)?shù)據(jù)，表中測(cè)量時(shí)間以s為單位，水位以10-2 E為單位例如3316s以后，水箱中的水深降至3110 E時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)把水輸入水箱；而

6、當(dāng)水位回升至35.5E時(shí)水泵停止工作。,1、模型假設(shè)（1）,1）除了問(wèn)題中特別說(shuō)明的數(shù)據(jù)以外，其它給 定的數(shù)據(jù)其測(cè)量誤差不超過(guò)5 2）影響水箱流量的唯一因素是該鎮(zhèn)公眾對(duì)水 的普通需要所給的數(shù)據(jù)反映該鎮(zhèn)在通常 情況下一天的用水量，不包括任何非常情 況如水箱中水的短缺、水管破裂、自然 災(zāi)害等 一個(gè)物理定理,1、模型假設(shè)（2）,3）水泵的灌水速度為常數(shù)，不隨時(shí)間變化也 不是巳灌水量的函數(shù)，因此假設(shè)水泵大約 在水位27E時(shí)開(kāi)始灌水，在水位355E時(shí) 停止灌水同時(shí)假設(shè)水泵不會(huì)損壞或不需 要維護(hù) 4）從水箱中流出的最大流速小于水泵的灌水 速度為了滿足公眾的用水需求不讓水棺 中的水流盡,1、模型假設(shè)（3）,

7、5）每天的用水量分布都是相似的因?yàn)楣?對(duì)水的消耗量是以全天的活動(dòng)(諸如洗澡、 做飯、洗衣服等)為基礎(chǔ)的，所以每日用水 類型是相似的 6）水箱的流水速度可用光滑曲線來(lái)近似每 個(gè)用戶的用水需求量與整個(gè)鎮(zhèn)的用水需求 量相比是微不足道的，而且它與整個(gè)鎮(zhèn)需 求量的增減情況是不相似的,2、問(wèn)題分析,3、水流量與時(shí)間關(guān)系,中心差分公式：,用來(lái)計(jì)算每一組的中間數(shù)據(jù)點(diǎn)的水流量。對(duì)每一組數(shù)據(jù)的前兩個(gè)和最后兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，采用向前和向后差分公式,4、數(shù)值決定的水流量-時(shí)間圖,5、三次樣條擬合,6、對(duì)水泵兩段充水時(shí)間的處理,（1）第一次平均水流量：,（2）第二次平均水流量：,（3）平均水流量：,7、一天總用水量,8、檢驗(yàn),以不同的時(shí)間為起點(diǎn)得到的一天總用水量相差多少,一個(gè)物理定理,由托里查里(Torricelli)定律知，從水箱中流出水的最大