計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)分析1穩(wěn)定性分析

1、第四章 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)分析,4.1 穩(wěn)定性分析 任何系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下，都會(huì)偏離原來(lái)的平衡工作狀態(tài)。所謂穩(wěn)定性是指當(dāng)擾動(dòng)作用消失以后，系統(tǒng)恢復(fù)到原平衡狀態(tài)的性能。若系統(tǒng)能恢復(fù)平衡狀態(tài)，就稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則為不穩(wěn)定的。系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)固有特性，它與擾動(dòng)的形式無(wú)關(guān)。,因 (4.1) 用 代入 這樣，復(fù)變量Z的模值R及相角 與復(fù)變量S的實(shí)部與虛部的關(guān)系是 (4.2) （4.2）式就是S平面與Z平面的基本對(duì)應(yīng)關(guān)系。,1. S平面與Z平面的相互關(guān)系,具體映射關(guān)系為： （1）S平面虛軸映射為Z平面單位圓（ 為0 ，) S左半平面映射在Z平面單位圓內(nèi)（為 負(fù)， ） S右半平面映射在Z平面單位圓外（為 正，

2、 ）,(2）角頻率與Z平面相角關(guān)系 角頻率 與Z平面相角的關(guān)系為 ,當(dāng)S平面的點(diǎn)沿虛軸由 變化到 時(shí)，Z平面的相角也從 變化到 .Z平面相角從0變化到 （即旋轉(zhuǎn)一周）,相當(dāng)S平面 變化一個(gè) 。因此在S平面虛軸上 從 變化到 時(shí)，Z平面上相角將轉(zhuǎn)無(wú)窮多圈。,表4.2 角頻率 與Z平面相角的關(guān)系,（3）S平面上的主帶與旁帶，重復(fù)映射在整個(gè)Z平面上 S平面上可劃分成許多寬度為的平行帶子，其中 的帶子（從）稱為主帶，其余均稱為旁帶。由于Z平面的相角每隔一個(gè)轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，結(jié)果主帶映射為整個(gè)Z平面，而其余每一個(gè)旁帶也都重疊映射在整個(gè)Z平面上，見(jiàn)表4.3、圖4.1、4.2。,圖4.2 旁帶映射,圖4.1 主帶映射

3、,例4.1 如圖4.3所示，在S平面上有3個(gè)點(diǎn)，分別為，若，求Z平面的映射。,解：,（4）S平面上實(shí)軸的平行線（即等頻率線），映射到Z平面是從原點(diǎn)出發(fā)的射線；S平面上虛軸的平行線（即等衰減系數(shù)線），映射到Z平面是同心圓。見(jiàn)表4.3，圖4.4，圖4.5。,圖4.4 實(shí)軸并行線的映射,圖4.5 虛軸并行線的映射,（5）S平面上等阻尼比線的映射 設(shè)S平面上有一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)，它的二階振蕩系統(tǒng)特征方程 的根。 (4.3) （4.3）式中， 為阻尼比， 為無(wú)阻尼自然振蕩頻率。,圖4.6 等阻尼比較及其映射,式（4.4）表示，阻尼比 相同的特征根軌跡是從原點(diǎn)出發(fā)的射線。在該射線上，特征根的圖4.6（a）表示

4、了特征根與 和阻尼振蕩頻率 之間的幾何關(guān)系。從圖中可見(jiàn)： (4.4) 實(shí)部可用其虛部 來(lái)表示，即,將上式映射至Z平面得 由上兩式可見(jiàn)，當(dāng) （即阻尼比 ）為常值時(shí)，映射至Z平面，其模值隨 指數(shù)衰減，其相角隨 線性增長(zhǎng)，構(gòu)成一條對(duì)數(shù)螺旋線，見(jiàn)圖4.6（b）。,（6）S左半平面主帶的映射。 當(dāng)S平面的點(diǎn)沿主帶左半平面的周邊走1圈時(shí)，其映射關(guān)系可用圖4.7表示。,表4-5 主帶左半平面的映射,表4-5 主帶左半平面的映射,圖4.7 S平面主帶左半平面的映射,通過(guò)圖4.7的說(shuō)明，可以清楚地看到，S左半平面的主帶是如何具體地映射到Z平面單位圓內(nèi)的。同理，S左半平面的旁帶也可以同樣方式重疊映射到Z平面單位圓

5、內(nèi)。,（7）S右半平面主帶的映射,主帶右半平面的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 根據(jù)與前述相同的分析方法，可得出S右半平面主帶區(qū)在Z平面上映射為單位圓的外部區(qū)域，如圖4.8所示。,圖4.8 S平面主帶右半平面的映射,根據(jù)與前述相同的分析方法，可得出S右半平面主帶區(qū)在Z平面上映射為單位圓的外部區(qū)域，如圖4.8所示。,2離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性,根據(jù)S平和Z平面的映射關(guān)系，離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)的特征全根部位于Z平面的單位圓內(nèi)，只要有一個(gè)根在單位圓外，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。若系統(tǒng)的根位于單位圓上，系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界，亦稱為系統(tǒng)不穩(wěn)定。,若該脈沖傳遞函數(shù)為 個(gè)單極點(diǎn) ，則 (4.7) 反變換后 (4.8) 要使系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng) 時(shí),

6、 衰減為零， (4.9) ，故 ，即特征根的模應(yīng)小于1，即位于單位圓內(nèi)。,上述結(jié)論，對(duì) Y(z) 中有重根時(shí)也成立。為了解系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就需要求出它的全部特征根，但這對(duì)高階系統(tǒng)是很困難的。下面介紹Z平面的穩(wěn)定性判斷其他方法。,4.2 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,本節(jié)首先討論線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，主要介紹z域中的朱雷（Jury）和勞斯穩(wěn)定判據(jù)。進(jìn)一步討論李雅普諾夫穩(wěn)定性分析。,朱雷穩(wěn)定性判別表的規(guī)范格式，如表4.6所示。,在表4.6中，第一、第二行的元素是由 多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)組成的。第一行是按 的升冪次序排列；第二行是按 的降冪次序排列。,在表4.6中，偶數(shù)行的各元素是它的前面奇數(shù)行的元素

7、按相反次序排列而成。,朱雷穩(wěn)定判據(jù)是：當(dāng)由(4.6)式所示的系統(tǒng)的特征方程式滿足下述條件時(shí)，那么該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即,例4.2 已知系統(tǒng)的特征方程式為 試構(gòu)成穩(wěn)定判別表并寫(xiě)出穩(wěn)定性條件,解：參照表4.6，并考慮到 和 計(jì)算上的方便性，對(duì)表4.6的格式略作修改后，可構(gòu)成一個(gè)4階系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別表，如表4.7所示。,表4.7 例4.2 4階系統(tǒng)的穩(wěn)定判別表,在表4.7中，每一行的左邊給出了計(jì)算 和 的行列式，右邊寫(xiě)出了 和 的值。,該系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是,（1） （2） （3） 偶數(shù) （4）,解：首先列出z多項(xiàng)式的系數(shù)為,例4.3 已知系統(tǒng)的特征方程式為 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,顯然，第1個(gè)條件， 是滿足

8、的?，F(xiàn)檢查第2個(gè)條件，因?yàn)?上式表明，至少有1個(gè)根在 處，因此該系統(tǒng)最多是臨界穩(wěn)定的?，F(xiàn)檢查第3個(gè)條件，,因?yàn)?n=3=奇數(shù). 顯然，第3個(gè)條件是滿足的。,現(xiàn)檢查第4個(gè)條件，由行列式 計(jì)算得 和 ，因此 ，所以 第4個(gè)條件也是滿足的。,由上述分析可見(jiàn)，該特征方程的根，有1個(gè)處在單位圓上 ，其余兩個(gè)根處在單位圓內(nèi)，故該系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。,例4.4 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 試用朱雷穩(wěn)定判據(jù)，求閉環(huán)離散控制系統(tǒng)為穩(wěn)定時(shí)的增益K值的范圍。,因?yàn)檫@是1個(gè)2階系統(tǒng)，所以穩(wěn)定判據(jù)的條件是 （1） （2） （3） 偶數(shù),因?yàn)椋?所以滿足第1個(gè)條件，可得 或,滿足第2個(gè)條件，可得 即,滿足第3個(gè)條件，可得

9、 即,同時(shí)滿足上述3個(gè)條件，可得增益K的范圍為,必須指出，離散控制系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)不同，在離散控制系統(tǒng)里，采樣周期是系統(tǒng)的一個(gè)重要參數(shù)，它的大小影響上述特征方程 中z的各階次的系數(shù)，可見(jiàn)對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有明顯的影響。現(xiàn)舉例說(shuō)明如下：,例4.5 已知某離散系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 現(xiàn)討論采樣周期T對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。,解：考慮零階保持環(huán)節(jié)后，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)組合Z傳遞函數(shù)為,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為,為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，要求特征根在單位圓內(nèi)，即 得，,取 ，則 ； 取 ，則 ； 取 ，則 。 可見(jiàn)，當(dāng)采樣周期減小時(shí)，使系統(tǒng)穩(wěn)定， 的范圍將增大。,結(jié)論：采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性比連續(xù)系統(tǒng)差，如對(duì)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 的連續(xù)系統(tǒng)，在

10、 時(shí)均是穩(wěn)定的。而在采樣系統(tǒng)中， 必須限制在一定范圍內(nèi)。 采樣周期T也是影響穩(wěn)定性的參數(shù)，T減小，穩(wěn)定性增強(qiáng),（2）雙線性變換的勞斯穩(wěn)定判據(jù),分析離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一個(gè)方法是雙線性變換的勞斯穩(wěn)定判據(jù)。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是比較簡(jiǎn)單、直接。但相對(duì)朱雷判據(jù)來(lái)說(shuō)，計(jì)算量比較大。在應(yīng)用雙線性變換的勞斯判據(jù)時(shí)，首先需要從z平面變換到另一個(gè)W 復(fù)平面中，所以稱為雙線性變換。,現(xiàn)在定義雙線性變換式為 （4.12） 由（4.12）式，可得 （4.13）,從下面的分析中，可以得到證明，在 平面中的單位圓映象為 平面中的左半平面。,因?yàn)?，?平面中的單位圓內(nèi)，可表示為,將 W 分解為實(shí)部 和虛部 兩部分。即 （4.

11、14）,或 （4.15） 由(4.15)式，得 （4.16） 即 （4.17）,（4.17）式表明：在z平面中的單位圓的內(nèi)部 ，相當(dāng)于 W 平面中的左半平面。在z平面中的單位圓的圓周，映象為W平面的虛軸。在z平面中的單位圓的外部，映象為W平面的右半平面。,在用雙線性變換進(jìn)行穩(wěn)定性分析時(shí)，首先用 替代特征方程式中的z。,例如，特征方程式為 （4.18） 經(jīng)過(guò)上述替換后，可得 （4.19）,將（4.19）式的等號(hào)兩邊乘上 ，可得 （4.20） 這樣，就可以在W域中使用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，用分析連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性方法來(lái)分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,例4.6 已知離散控制系統(tǒng)的特征方程式為 試用雙線性變換的勞斯判據(jù)，

12、分析該離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性,解：將特征方程式中的z用 來(lái)替換，得,將上式的等號(hào)兩邊乘上 并經(jīng)簡(jiǎn)化后，得 對(duì)上式列出的勞斯陣列為 （4.21）,上述勞斯陣列中的第1行，即 W 的最高階次行，由 中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)組成，即 上述勞斯陣列中的第2行，即 W 的次高階次行，由 中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)組成，即,以下各行元素需要進(jìn)行計(jì)算，即上述勞斯陣列中的第3行改為C1,C2,C3,等均需進(jìn)行計(jì)算。,計(jì)算的公式如下： 其余依次類推。,根據(jù)上述計(jì)算，得例4.6的勞斯陣列，如式（4.21）所示。,勞斯穩(wěn)定判據(jù)為 （1）勞斯陣列中，若第1列元數(shù)均為正或均為負(fù)，則系統(tǒng)穩(wěn)定。 （2）若第一列元數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)，即為單位圓外根的個(gè)數(shù)。 因?yàn)樵谏鲜鲫嚵兄械牡?列元素中，有一次符號(hào)的改變，故有一個(gè)根在單位圓外，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況： （1）在勞斯陣列中，若任意一行中的第一個(gè)元素為零，其他不為零； （2）在勞斯陣列中，若任意一行中的所有元素均為零。,若遇到上述情況，為勞斯陣列的特殊情況。這種情況的產(chǎn)生，表示零元素上面一行的方程中有： 相反符號(hào)的實(shí)根對(duì)； 有一對(duì)虛根； 有一對(duì)稱原點(diǎn)的共軛復(fù)數(shù)根。,發(fā)生上述情況時(shí)，勞斯陣列需作特殊處理。對(duì)第1種情況，即第一個(gè)元素為零，可作如下處理。用一個(gè)小的正 ， 或小的負(fù) 來(lái)代替零元素。（正 還是負(fù) ，視零元素上一行的符號(hào)而定。若零元素