高中數(shù)學(xué)選修一（人教A版2019）課后習(xí)題答案解析

第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1．1空間向量及其線性運(yùn)算例1如圖1.1-9，已知平行四邊形，過平面外一點(diǎn)O作射線，，，，在四條射線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，使．求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．圖11-9分析：欲證E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，只需證明，，共面．而由已知，，共面，可以利用向量運(yùn)算由，，共面的表達(dá)式推得，，共面的表達(dá)式．證明：因?yàn)椋裕?，，．因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以．因此由向量共面的充要條件可知，，，共面，又，，過同一點(diǎn)E，從而E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．練習(xí)1.舉出一些表示三個(gè)不同在一個(gè)平面內(nèi)的向量的實(shí)例．【答案】實(shí)例見解析；【解析】【分析】在空間幾何體中，從一點(diǎn)出發(fā)的不同面的向量即可.【詳解】在三棱錐中，，，不同在一個(gè)平面內(nèi)；長方體中，從一個(gè)頂點(diǎn)A引出的三個(gè)向量，，不同在一個(gè)平面內(nèi).2.如圖，E，F(xiàn)分別是長方體的棱AB，CD的中點(diǎn)、化簡下列表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】根據(jù)空間向量加減運(yùn)算的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）.3.在圖中，用，，表示，及．【答案】；；.【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算法則可轉(zhuǎn)化.【詳解】，，.4.如圖，已知四面體ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，化簡下列表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量；（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）.5.如圖，已知正方體，E，F(xiàn)分別是上底面和側(cè)面的中心，求下列各式中x，y的值：（1）（2）（3）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）化簡即得解；（2）化簡即得解；（3）化簡即得解.【詳解】（1），所以；（2），所以；（3）,所以.1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算例2如圖1.1-12，在平行六面體中，，，，，．求：圖1.1-12（1）；（2）的長（精確到0.1）．解：（1），；（2），所以．例3如圖1.1-13，m，n是平面內(nèi)的兩條相交直線．如果，，求證：．圖11-13分析：要證明，就是要證明l垂直于內(nèi)的任意一條直線g（直線與平面垂直的定義）．如果我們能在g和m，n之間建立某種聯(lián)系，并由，，得到，那么就能解決此問題．證明：在平面內(nèi)作任意一條直線g，分別在直線l，m，n，g上取非零向量，，，．因?yàn)橹本€m與n相交，所以向量，不平行．由向量共面的充要條件可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使．將上式兩邊分別與向量作數(shù)量積運(yùn)算，得．因?yàn)?，（為什么？），所以．所以．這就證明了直線l垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，所以．練習(xí)6.如圖，在正三棱柱中，若，則與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取向量為空間向量的一組基底向量，表示出與，再借助空間向量運(yùn)算即可計(jì)算作答.【詳解】在正三棱柱中，向量不共面，，，令，則，而，，于是得，因此，，所以與所成角的大小為.故選：B7.如圖，正方體的棱長為1，設(shè)，，，求：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）0；（2）1；（3）1【解析】【分析】在正方體中，根據(jù)線線關(guān)系，結(jié)合空間向量運(yùn)算法則對(duì)每個(gè)小題進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】（1）在正方體中，，故（2）由（1）知，（3）由（1）及知，8.如圖，在平行六面體中，，，，，．求：（1）；（2）的長；（3）的長．【答案】（1）10；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義即可計(jì)算；（2）由平方即可求解；（3）由即可求解.【詳解】（1）；（2），，，即的長為；（3），，，即的長為.9.如圖，線段AB，BD在平面內(nèi)，，，且，，．求C，D兩點(diǎn)間的距離．【答案】【解析】【分析】連接，可得，根據(jù)可求.【詳解】連接，，，，，，，，即C，D兩點(diǎn)間的距離為.習(xí)題1.1復(fù)習(xí)鞏固10.如圖，在長方體中，E、F分別為棱、AB的中點(diǎn)．（1）寫出與向量相等的向量；（2）寫出與向量相反的向量；（3）寫出與向量平行的向量．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由相等向量的定義可判斷；（2）由相反向量的定義可判斷；（3）由平行向量的定義可判斷.【詳解】（1）由相等向量的定義知，大小相等，方向相同的兩個(gè)向量為相等向量，所以與向量相等的向量為；（2）由相反向量的定義知，大小相等，方向相反的兩個(gè)向量為相反向量，所以與向量相反的向量為；（3）由平行向量的定義知，方向相同或相反的兩個(gè)向量為平行向量，所以與向量平行的向量為.11.如圖，已知平行六面體，化簡下列表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），向量如圖所示；（2），向量如圖所示；（3），向量如圖所示；（4），向量如圖所示；【解析】【分析】根據(jù)平行六面體基本性質(zhì)及空間向量基本運(yùn)算化簡每個(gè)小題即可.【詳解】（1），向量如圖所示；（2）在平行六面體中，有，，故，向量如圖所示；（3）由知，取的中點(diǎn)為E，，向量如圖所示；（4）由（2）知，取的三等分點(diǎn)F點(diǎn)，，向量如圖所示；12.證明：如果向量，共線，那么向量與共線．【答案】證明見解析【解析】【分析】由向量共線定理可證明.【詳解】如果向量，共線，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，則，所以向量與共線.13.如圖，已知四面體ABCD的所有棱長都等于a，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點(diǎn)．求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義計(jì)算即可.【詳解】四面體ABCD的所有棱長都等于a，任意兩條棱所在直線的夾角為，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點(diǎn)，，（1）；（2）；（3）；（4），則直線BD與直線BC所成角就是直線EF與直線BC所成角，又，；（5），則直線AC與直線AB所成角就是直線FG與直線BA所成角，；（6）取BD中點(diǎn)M，連接AM，CM，則，，平面ACM，又平面ACM，，，，又，，，可知，.綜合運(yùn)用14.如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點(diǎn)為M.設(shè)，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)代入計(jì)算化簡即可.【詳解】故選：B.15.已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，用向量法證明：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合空間向量共面定理即可得解..【詳解】如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，，于是得：，即共面，它們有公共點(diǎn)E，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.16.如圖，正方體（1）求和的夾角；（2）求證．【答案】（1）；（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）聯(lián)結(jié)，，則，和的夾角即和的夾角，由知，是等邊三角形，故和的夾角為.（2）聯(lián)結(jié)，則，又平面，，從而有平面，從而證得.【詳解】（1）聯(lián)結(jié)，，則，和的夾角即和的夾角，在正方體中，設(shè)棱長為a，則，則是等邊三角形，即故和的夾角為（2）聯(lián)結(jié)，則，又平面，平面，則，又故平面，又平面，所以17.用向量方法證明：在平面內(nèi)的一條直線，如果與這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面上的射影垂直，那么它也與這條直線垂直（三垂線）【答案】證明見解析；【解析】【分析】根據(jù)向量運(yùn)算法則，數(shù)量積為0即可證得垂直.【詳解】如圖所示，在平面內(nèi)，是在面內(nèi)的投影向量，則，由題知，，則，故，所以，即證得結(jié)論.拓廣探索18.如圖，空間四邊形中，.求證：.【答案】證明見解析【解析】【詳解】試題分析：利用三個(gè)不共面的向量作為基底，利用空間向量的數(shù)量積為0，證明向量垂直，即線線垂直.試題解析：∵，∴.∵，∴.∴（1）同理:由得（2）由（1）－（2）得∴，∴，∴，∴.19.如圖，在四面體OABC中，，，E，F(xiàn)，G，H分別是OA，OB，BC，CA的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是矩形．【答案】證明見解析；【解析】【分析】取的中點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)OD，CD，證得平面，，從而有；又E，F(xiàn)，G，H分別是OA，OB，BC，CA的中點(diǎn)．從而有，結(jié)合，證得四邊形EFGH是矩形．【詳解】取的中點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)OD，CD，由，知，，，又，故平面，又平面，因此又E，F(xiàn)，G，H分別是OA，OB，BC，CA的中點(diǎn)．則，，故，四邊形EFGH是平行四邊形同理，且，又所以，四邊形EFGH是矩形第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理例1如圖1.2-2，M是四面體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，點(diǎn)P在線段上，且，，用向量，，表示．圖1.2-2分析：，，是三個(gè)不共面的向量，它們構(gòu)成空間的一個(gè)基底{，，}，可以用基底{，，}表示出來．解：．練習(xí)1.已知向量是空間的一個(gè)基底，從，，中選哪一個(gè)向量，一定可以與向量，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底？【答案】【解析】【分析】易得，再根據(jù)是否與共面判斷.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以與共面，與共面，所以與不可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，與不可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，而與不共面，所以與可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.故答案為：.2.已知O，A，B，C為空間的四個(gè)點(diǎn)，且向量，，不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)O，A，B，C是否共面？【答案】O，A，B，C四點(diǎn)共面.【解析】【分析】根據(jù)基底的定義，即可判斷.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，不?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以向量，，共面，由向量，，有公共點(diǎn)O，所以O(shè)，A，B，C四點(diǎn)共面.3.如圖，已知平行六面體，點(diǎn)G是側(cè)面的中心，且，，．（1）是否構(gòu)成空間的一個(gè)基底？（2）如果構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么用它表示下列向量：，，，．【答案】（1）能；（2）；；；【解析】【分析】（1）根據(jù)向量不在同一平面內(nèi)可判斷；（2）根據(jù)空間向量加減運(yùn)算轉(zhuǎn)化可求得.【詳解】（1），，不在同一平面內(nèi)，且不為零向量，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；（2），，，.例2如圖1.2-3，在平行六面體中，，，，，，，M，N分別為，的中點(diǎn)．求證．圖1.2-3分析：要證，只需證明．由已知，{，，}可構(gòu)成空間的一個(gè)基底．把和分別用基底表示，然后計(jì)算即可．證明：設(shè)，，，這三個(gè)向量不共面，{，，}構(gòu)成空間一個(gè)基底，我們用它們表示，，則，，所以所以．例3如圖1.2-4，正方體的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)．圖1.2-4（1）求證：．（2）求與所成角的余弦值．分析：（1）要證明，只需證明與共線．設(shè)，，，則｛，，｝構(gòu)成空間的一個(gè)單位正交基底，把和分別用基向量表示，作相應(yīng)的運(yùn)算證明它們共線即可．（2）要求與所成角的余弦值，只需求，所成角的余弦值即可．（1）證明：設(shè)，，，則｛，，｝構(gòu)成空間的一個(gè)單位正交基底．所以．所以．所以．（2）解：因，，所以．所以與所成角的余弦值為．練習(xí)4.已知四面體OABC，，．求證：．【答案】證明見解析.【解析】【分析】利用向量的運(yùn)算，計(jì)算出，從而證明【詳解】因?yàn)?所以,因?yàn)?，，所以，所以，?5.如圖，在平行六面體中，，，，．求與所成角的余弦值．【答案】0【解析】【分析】第一步選好基底，第二步將向量與分別用基底表示出來，再用夾角公式即可.【詳解】取基底，,,所以.設(shè)與的夾角為，則，所以與所成角的余弦值為0.6.如圖，已知正方體，和相交于點(diǎn)O，連接AO，求證．【答案】證明見解析.【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量即可得證.【詳解】在正方體，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體棱長為2，則,所以，，所以即.習(xí)題1.2復(fù)習(xí)鞏固7.如果向量，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么，間應(yīng)有什么關(guān)系？【答案】共線.【解析】【分析】直接利用基底的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，所以，一定共線.8.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】ABD【解析】【分析】逐項(xiàng)判斷各選項(xiàng)的向量是否不共面，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，，共面；?duì)于B，因?yàn)椋?，，共面；?duì)于D，因?yàn)?，故，，共面；?duì)于C，若，，共面，則存在實(shí)數(shù)，使得：，，故共面，這與構(gòu)成空間的一個(gè)基底矛盾，故選：ABD9.在空間四邊形中，已知點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，且，，，試用向量、、表示向量．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算及空間向量基本定理結(jié)合圖象即可得出答案.【詳解】解：如下圖所示：，所以，MN=10.如圖，在三棱柱中，已知，，，點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，試用基底表示向量，.【答案】，.【解析】【分析】連接，根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：連接所以綜合運(yùn)用11.如圖，在長方體中，M是AC與BD的交點(diǎn)．若，，，求的長．【答案】【解析】【分析】以D1為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.【詳解】以D1為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則所以，所以即的長為.12.如圖，平行六面體的底面是菱形，且，，求證：平面．【答案】證明見解析【解析】【分析】利用空間向量的數(shù)量積計(jì)算得出，可得出，同理可得出，結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立.【詳解】設(shè)，，，由于四邊形為菱形，則，即，所以，，同理可得，由題意可得，，所以，，所以，，同理可證，因?yàn)?，因此，平?拓廣探索13.如圖，在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別為，BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在CD上，且．（1）求證：；（2）求EF與CG所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，直接利用向量法證明；（2）直接利用向量法求EF與CG所成角的余弦值【詳解】（1）建立以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，則，，所以，即，所以.（2）由（1）知，，，則，因?yàn)镋F與CG所成角的范圍為，所以其夾角余弦值為.14.已知四面體中三組相對(duì)棱的中點(diǎn)間的距離都相等，求證：這個(gè)四面體相對(duì)的棱兩兩垂直.【答案】證明見解析.【解析】【分析】根據(jù)題目寫出已知和求證，設(shè)，，，由可得，從而，即.所以，即，同理可證，.【詳解】已知：四面體中，、、、、、分別是對(duì)應(yīng)各棱的中點(diǎn)，且.求證：，，.證明：設(shè)，，，則，，由可得，則，所以，由此可得，所以，即.所以，即，同理可證，.故若四面體中三組相對(duì)棱的中點(diǎn)間的距離都相等，則這個(gè)四面體相對(duì)的棱兩兩垂直.第一章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.3.1空間直角坐標(biāo)系例1如圖1.3-6，在長方體中，，，，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．圖1.3-6（1）寫出，C，，四點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）寫出向量，，，坐標(biāo)．解：（1）點(diǎn)在z軸上，且，所以．所以點(diǎn)的坐標(biāo)是．同理，點(diǎn)C的坐標(biāo)是．點(diǎn)在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，O，，它們?cè)谧鴺?biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3，0，2，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是．點(diǎn)在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，C，，它們?cè)谧鴺?biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3，4，2，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是．（2）；；；．練習(xí)1.在空間直角坐標(biāo)系中標(biāo)出下列各點(diǎn)：，，，．【答案】答案見解析【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)，然后標(biāo)注點(diǎn)即可.【詳解】建立如下圖如示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)每一個(gè)點(diǎn)的特點(diǎn)標(biāo)注如下圖.2.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，（1）哪個(gè)坐標(biāo)平面與x軸垂直？哪個(gè)坐標(biāo)平面與y軸垂直？哪個(gè)坐標(biāo)平面與z軸垂直？（2）寫出點(diǎn)在三個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)的射影的坐標(biāo)．（3）寫出點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）平面與x軸垂直,平面與y軸垂直,平面與z軸垂直；（2）點(diǎn)在平面的射影的坐標(biāo),點(diǎn)在平面的射影的坐標(biāo)；點(diǎn)在平面的射影的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．【解析】【分析】（1）利用空間直角坐標(biāo)系求解；（2）利用點(diǎn)的射影的定義求解；（3）利用點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的求法求解.【詳解】（1）平面與x軸垂直,平面與y軸垂直,平面與z軸垂直；（2）點(diǎn)在平面的射影的坐標(biāo)．點(diǎn)在平面的射影的坐標(biāo)．點(diǎn)在平面的射影的坐標(biāo)．（3）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．3.在長方體中．，，，與相交于點(diǎn)P，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz．（1）寫出點(diǎn)C，，P的坐標(biāo)；（2）寫出向量，的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）根據(jù)條件可直接寫出答案；（2）根據(jù)坐標(biāo)算出答案即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，所以?）因?yàn)?，?.已知點(diǎn)B是點(diǎn)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，求．【答案】5【解析】【分析】先求得點(diǎn)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，再利用兩點(diǎn)間的距離求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影是，所以.1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示例2如圖1.3-8，在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．求證：．圖1.3-8分析：要證明，只要證明，即證．我們只要用坐標(biāo)表示，，并進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算即可．證明：不妨設(shè)正方體的棱長為1，建立如圖1.3-8所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以．又，，所以．所以．所以，即．例3如圖1.3-9，在棱長為1的正方體中，M為的中點(diǎn)，，分別在棱，上，，．圖1.3-9（1）求長．（2）求與所成角的余弦值．分析：（1）利用條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)A，M的坐標(biāo)，利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求出的長．（2）與所成的角就是，所成的角或它的補(bǔ)角．因此，可以通過，的坐標(biāo)運(yùn)算得到結(jié)果．解：（1）建立如圖1.3-9所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．于是．（2）由已知，得，，，，所以，，，．所以．所以所以，與所成角的余弦值是．練習(xí)5.已知，，求：（1）；（2）；（3）；（4），【答案】（1），（2），（3），（4）.【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算算出答案即可.【詳解】因?yàn)椋?）所以，（2）（3）（4）6.已知，，且，求x的值．【答案】【解析】【分析】解方程即得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?7.在z軸上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等．【答案】【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)镸到點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等，所以，解得，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為8.如圖，正方體的棱長為a、點(diǎn)N，M分別在AC，上，，，求MN的長．【答案】【解析】【分析】先寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后算出答案即可.【詳解】因?yàn)檎襟w的棱長為a、點(diǎn)N，M分別在AC，上，，，所以，所以.9.如圖，在正方體中，M是AB的中點(diǎn)，求與CM所成角的余弦值．

【答案】【解析】【分析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得到答案.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長為，則，，，，，，設(shè)直線與直線所成角為，則，所以直線與直線所成角的余弦值為.習(xí)題1.3復(fù)習(xí)鞏固10.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，三個(gè)非零向量，，分別平行于x軸、y軸、z軸，它們的坐標(biāo)各有什么特點(diǎn)？【答案】答案見解析.【解析】【分析】直接利用向量與坐標(biāo)軸的關(guān)系，寫出結(jié)果即可．【詳解】向量，，分別平行于軸，軸，軸，所以向量的橫坐標(biāo)不為0，縱坐標(biāo)為0，豎坐標(biāo)為0；向量的橫坐標(biāo)為0，縱坐標(biāo)不為0，豎坐標(biāo)為0；向量的橫坐標(biāo)為0，縱坐標(biāo)為0，豎坐標(biāo)不為0；11.是空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的一點(diǎn)，寫出滿足下列條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；（1）與點(diǎn)M關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)；（2）與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)；（3）與點(diǎn)M關(guān)于z軸對(duì)稱的點(diǎn)；（4）與點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)．【答案】（1），（2），（3），（4）.【解析】【分析】（1）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的知識(shí)直接寫出答案即可；（2）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的知識(shí)直接寫出答案即可；（3）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的知識(shí)直接寫出答案即可；（4）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的知識(shí)直接寫出答案即可；【詳解】若是空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的一點(diǎn)，則（1）與點(diǎn)M關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為（2）與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為（3）與點(diǎn)M關(guān)于z軸對(duì)稱的點(diǎn)為（4）與點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為12.如圖，正方體的棱長為a，E，F(xiàn)，G，H，I，J分別是棱，，，AB，BC，的中點(diǎn)，寫出正六邊形EFGHIJ各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】，，，，，.【解析】【分析】根據(jù)圖形寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)即可.【詳解】因?yàn)檎襟w的棱長為a，E，F(xiàn)，G，H，I，J分別是棱，，，AB，BC，的中點(diǎn)所以，，，，，13.先在空間直角坐標(biāo)系中標(biāo)出A，B兩點(diǎn)，再求它們之間的距離：（1），；（2），．【答案】（1），作圖見解析；（2），作圖見解析.【解析】【分析】（1）先在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩點(diǎn)，再利用空間兩點(diǎn)間距離公式直接求解即可；（2）先在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩點(diǎn)，再利用空間兩點(diǎn)間距離公式直接求解即可.【小問1詳解】兩點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)位置如圖所示：由空間兩點(diǎn)間距離公式可得：；【小問2詳解】兩點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)位置如圖所示：由空間兩點(diǎn)間距離公式可得：.14.已知，，．求：（1）；（2）．【答案】（1）9，（2）【解析】【分析】（1）先求出，再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)求解即可；（2）直接利用向量坐標(biāo)的加減法運(yùn)算性質(zhì)求解【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，?）因?yàn)?，，，所以綜合運(yùn)用15.求證：以A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3）為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．【答案】見證明【解析】【分析】利用空間間兩點(diǎn)的距離公式分別求AB,AC，BC，進(jìn)而可得三角形的形狀.【詳解】A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3），AB==7，AC==7，BC==7，∴AB2+AC2=BC2，AB=AC，∴△ABC為等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中兩點(diǎn)距離的求解，利用三角形的長度關(guān)系判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題.16.已知，，求，，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及線段AB的長．【答案】，，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段AB的長為.【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出答案即可.【詳解】因?yàn)椋?，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段AB的長為17.如圖，在正方體中，M，N分別為棱和的中點(diǎn)，求CM和所成角的余弦值．【答案】【解析】【分析】以D為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】以D為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體邊長為2，則所以,設(shè)CM和所成角為，則,所以CM和所成角的余弦值為.18.是空間的一個(gè)單位正交基底，向量，是空間的另一個(gè)基底，用基底表示向量．【答案】【解析】【分析】設(shè)，然后整理解方程組即可.【詳解】設(shè)，即有，因?yàn)槭强臻g的一個(gè)單位正交基底，所以有，所以.第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系例1如圖1.4-7在長方體中，，，，M是的中點(diǎn)．以D為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．圖1.4-7（1）求平面當(dāng)?shù)姆ㄏ蛄浚唬?）求平面的法向量．分析：（1）平面與y軸垂直，其法向量可以直接寫出；（2）平面可以看成由，，中的兩個(gè)向量所確定，運(yùn)用法向量與它們的垂直關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算求得法向量．解：（1）因?yàn)閥軸垂直于平面，所以是平面的一個(gè)法向量．（2）因?yàn)椋?，，M是的中點(diǎn)，所以M，C，的坐標(biāo)分別為，，．因此，．設(shè)是平面的法向量，則，．所以所以取，則，．于是是平面的一個(gè)法向量．練習(xí)1．空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的打“×”（1）零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量；（）（2）若是直線l的方向向量，則也是直線l的方向向量；（）（3）在空間直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)平面Oxy的一個(gè)法向量．（）【答案】①.√②.×③.√【解析】【分析】根據(jù)零向量的方向不確定可判斷（1），由可判斷（2），由平面Oxy可判斷（3）.【詳解】（1）零向量的方向不確定，所以不能作為直線的方向向量和平面的法向量，正確；（2）當(dāng)時(shí)，，所以不一定是直線l的方向向量，不正確；（3）在空間直角坐標(biāo)系中，，平面Oxy，所以是坐標(biāo)平面Oxy的一個(gè)法向量，正確．2.在平行六面體中，，，，O是與的交點(diǎn)．以為空間的一個(gè)基底，求直線OA的一個(gè)方向向量．【答案】【解析】【分析】依題意就是用表示，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，，如圖因?yàn)?，，所以所以直線的一個(gè)方向向量為3.在長方體中，，，．以D為原點(diǎn)，以為空間的一個(gè)單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，求平面的一個(gè)法向量．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】求得坐標(biāo)，設(shè)出法向量，根據(jù)即可求解.【詳解】由題可得，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，則平面的一個(gè)法向量為.2．空間中直線、平面的平行例2證明“平面與平面平行的判定定理”：同一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．已知：如圖1.4-11，，，，，．求證：．分析：設(shè)平面的法向量為，直線a，b的方向向量分別為，，則由已知條件可得，由此可以證明與平面內(nèi)的任意一個(gè)向量垂直，即也是的法向量．證明：如圖1.4-11，取平面的法向量，直線a，b的方向向量，．因?yàn)?，，所以，．因?yàn)?，，，所以?duì)任意點(diǎn)，存在x，，使得．從而．所以，向量也是平面的法向量．故．倒3如圖1.4-12，在長方體中，，，．線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面？圖1.4-12分析：根據(jù)條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，那么問題中涉及的點(diǎn)、向量，，以及平面的法向量等都可以用坐標(biāo)表示，如果點(diǎn)P存在，那么就有，由此通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果．解：以D為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-12所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)锳，C，的坐標(biāo)分別為，，，所以，．設(shè)是平面的法向量，則，，即所以取，則，．所以，是平面的一個(gè)法向量．由，C，的坐標(biāo)分別為，，，得，．設(shè)點(diǎn)P滿足，則，所以．令，得，解得，這樣的點(diǎn)P存在．所以，當(dāng)，即P為的中點(diǎn)時(shí)，平面．練習(xí)4.用向量方法證明“直線與平面平行的判定定理”：若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行．【答案】證明見解析【解析】【分析】先寫出已知求證，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算以及線面平行的定義即可證出．【詳解】已知：直線，平面，，．求證：．證明：設(shè)直線的方向向量分別為，平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以，由于，所以，即有，亦即．因?yàn)?，所以?.如圖，在四面體ABCD中，E是的中點(diǎn)．直線AD上是否存在點(diǎn)F，使得？【答案】不存在，證明見解析.【解析】【分析】把向量和都用同一組基底來表示，然后根據(jù)向量平行的條件來證明不存在.【詳解】假設(shè)直線AD上存在點(diǎn)F使，設(shè)，，因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以，，若，則，即，所以，即，所以，此時(shí)顯然不成立，所以不存在點(diǎn)F，使得.6.如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是面，面的中心．求證：平面．【答案】證明見解析【解析】【分析】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，利用向量關(guān)系即可證明.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則可得，，，平面，平面.3．空間中直線、平面的垂直例4如圖1.4-14，在平行六面體中，，，求證：直線平面．圖1.4-14分析：根據(jù)條件，可以{，，}為基底，并用基向量表示和平面，再通過向量運(yùn)算證明是平面的法向量即可．證明：設(shè)，，，則{，，}為空間的一個(gè)基底，且，，．因?yàn)椋?，所以，．在平面上，取，為基向量，則對(duì)于平面上任意一點(diǎn)P，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得．所以，．所以是平面的法向量．所以平面．例5證明“平面與平面垂直的判定定理”：若一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．圖1.4-15已知：如圖1.4-15，，，求證：．證明：取直線l的方向向量，平面的法向量．因?yàn)?，所以是平面的法向量．因?yàn)?，而是平面的法向量，所以．所以．練?xí)7.已知是直線l的方向向量，是平面的法向量．（1）若，求a，b的關(guān)系式；（2）若，求a，b的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由得，所以，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）由得，所以，進(jìn)而解得.【詳解】（1）由得，所以，即，整理得；（2）由得，所以，解得，.8.已知正方體的棱長為1，以D為原點(diǎn)，為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系．求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】用基底表示出向量，證明.【詳解】由題意，,,所以所以.9.如圖，在長方體中，，，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．求證：平面平面．【答案】證明見解析【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)與平面的法向量，利用空間向量法證明即可；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)面的法向量為，則，即，令，則，所以；設(shè)面的法向量為，則，即，令，則，所以；因?yàn)?，所以所以平面平面?.4.2用空間向量研究距離、夾角問題例6如圖1.4-18在棱長為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．圖1.4-18（1）求點(diǎn)B到直線的距離；（2）求直線到平面的距離．分析：根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示相關(guān)的點(diǎn)、直線的方向向量和平面的法向量，再利用有關(guān)公式，通過坐標(biāo)運(yùn)算得出相應(yīng)的距離．解：以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-18所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，，．（1），，則，．所以，點(diǎn)B到直線的距離為．（2）因?yàn)?，所以，所以平面．所以點(diǎn)F到平面的距離即為直線到平面的距離．設(shè)平面的法向量為，則所以所以取，則，，所以，是平面的一個(gè)法向量．又因?yàn)?，所以點(diǎn)F到平面的距離為．即直線到平面的距離為．練習(xí)10.在棱長為1的正方體中，點(diǎn)A到平面的距離等于__________；直線DC到平面的距離等于_________；平面到平面的距離等于__________．【答案】①.②.③.【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)面距、線面距、面面距的定義及正方體的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：在棱長為的正方體中，面，所以即為點(diǎn)A到平面的距離，故點(diǎn)A到平面的距離為，因?yàn)?，面，面，所以面，所以即為直線DC到平面的距離，故直線DC到平面的距離為，又平面平面，所以平面到平面的距離為故答案為：，，11.如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到直線的距離；（2）求直線到直線的距離；（3）求點(diǎn)到平面的距離；（4）求直線到平面的距離．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】（1）建立坐標(biāo)系，求出向量在單位向量上的投影，結(jié)合勾股定理可得點(diǎn)到直線的距離；（2）先證明再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解；（3）求解平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)行求解；（4）把直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為到平面的距離，利用法向量進(jìn)行求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（1）因?yàn)?，所?所以點(diǎn)到直線的距離為.（2）因?yàn)樗?，即所以點(diǎn)到直線的距離即為直線到直線的距離.所以直線到直線的距離為（3）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，.由令，則，即.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即點(diǎn)到平面的距離為.（4）因?yàn)樗云矫?，所以直線到平面的距離等于到平面的距離.，由（3）得平面的一個(gè)法向量為，所以到平面的距離為，所以直線到平面的距離為.12.如圖，在棱長為1的正方體中，求平面與平面的距離．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的法向量為，再由可得解.【詳解】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為，則，不妨令，則，所以，所以平面與平面間的距離例7如圖1.4-19，在校長為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）中，M，N分別為，的中點(diǎn)，求直線和夾角的余弦值．圖1.4-19分析：求直線和夾角的余弦值，可以轉(zhuǎn)化同量與的余弦值．為此需要把向量，用適當(dāng)?shù)幕妆硎境鰜?，進(jìn)而求得向量，夾角的余弦值．解：化為向量問題如圖1.4-19，以{，，}作為基底．則，．設(shè)向量與夾角為，則直線和夾角的余弦值等于．進(jìn)行向量運(yùn)算．又和均為等邊三角形，所以．．回到圓形問題所以直線和夾角余弦值為．例8圖1.4-22，在直三棱柱中，，，，P為的中點(diǎn)，點(diǎn)Q，R分別在棱，上，，．求平面與平面夾角的余弦值．圖1.4-22分析：因?yàn)槠矫媾c平面的夾角可以轉(zhuǎn)化為平面與平面的法向量的夾角，所以只需要求出這兩個(gè)平面的法向量的夾角即可．解：化為向量問題以為原點(diǎn)，，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-22所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則平面與平面的夾角就是與的夾角或其補(bǔ)角．進(jìn)行向量運(yùn)算因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為．根據(jù)所建立的空間直角坐標(biāo)系，可知，，．所以，．設(shè)，則所以取，則．回到圖形問題設(shè)平面與平面的夾角為，則．即平面與平面的夾角的余弦值為．練習(xí)13.在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BCA=90°，D1，F(xiàn)1分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線所成角的余弦值.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=CA=CC1=1，則A(1，0，1)，B(0，1，1)，D1，F(xiàn)1，∴=，=，∴|cos<>|===.故選：A.14.PA，PB，PC是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過PC上一點(diǎn)D作DO⊥平面APB，則∠DPO就是直線PC與平面PAB所成的角．能證明點(diǎn)O在∠APB的平分線上，通過解直角三角形PED、DOP，求出直線PC與平面PAB所成角的余弦值．【詳解】解：在PC上任取一點(diǎn)D并作DO⊥平面APB，則∠DPO就是直線PC與平面PAB所成的角．過點(diǎn)O作OE⊥PA，OF⊥PB，因?yàn)镈O⊥平面APB，則DE⊥PA，DF⊥PB．△DEP≌△DFP，∴EP＝FP，∴△OEP≌△OFP，因?yàn)椤螦PC＝∠BPC＝60°，所以點(diǎn)O在∠APB的平分線上，即∠OPE＝30°．設(shè)PE＝1，∵∠OPE＝30°∴OP在直角△PED中，∠DPE＝60°，PE＝1，則PD＝2．在直角△DOP中，OP，PD＝2．則cos∠DPO．即直線PC與平面PAB所成角的余弦值是．故選：C15.如圖，正三棱柱的所有棱長都為2，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面與平面的法向量，利用法向量求解夾角的余弦值．【詳解】因?yàn)檎庵乃欣忾L均為2，取BC的中點(diǎn)O，則所以平面.取的中點(diǎn)H，所以AO,BO,OH兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則,所以,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令得.同理可得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面夾角為，易知為銳角，則，即平面與平面夾角的余弦值為.16.如圖，和所在平面垂直，且，．求：（1）直線AD與直線BC所成角的大??；（2）直線AD與平面BCD所成角的大小；（3）平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值．【答案】（1）90°（2）（3）【解析】【分析】（1）作AO⊥BC于點(diǎn)O，連DO，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OD，OC，OA的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線所成的角；（2）顯然平面BCD的一個(gè)法向量為，利用空間向量法求出線面角；（3）求出平面CBD的一個(gè)法向量為以及平面ABD的一個(gè)法向量為，求出兩法向量的余弦值的絕對(duì)值即為平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值．【詳解】解：設(shè)，作AO⊥BC于點(diǎn)O，連DO，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OD，OC，OA的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標(biāo)系，得下列坐標(biāo)：，，，，（1），，所以AD與BC所成角等于90°．（2），顯然為平面BCD的一個(gè)法向量∴，直線AD與平面BCD所成角的大小（3）設(shè)平面ABD的法向量為則所以，即，令，則，則設(shè)平面ABD和平面BDC的夾角為，則因此平面ABD和平面BDC的夾角的余弦為．例9圖1.4-23為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°．已知禮物的質(zhì)量為，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大?。ㄖ亓铀俣萭取，精確到0.01N）．圖1.4-23分析：因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣洌越德鋫?根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大?。?根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量與禮物的重力是一對(duì)相反向量．解：如圖1.4-24，設(shè)水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為F．因?yàn)?，所以F在上的投影向量為．所以8根繩子拉力的合力．又因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣?，所以（N）．所以所以（N）．圖1.4-24例10如圖1.4-25，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，E是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)F．圖1.4-25（1）求證：面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的大小．分析：本題涉及的問題包括：直線與平面平行和垂直的判定，計(jì)算兩個(gè)平面的夾角．這些問題都可以利用向量方法解決．由于四棱錐的底面是正方形，而且一條側(cè)棱垂直于底面，可以利用這些條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用向量及坐標(biāo)表示問題中的幾何元素，進(jìn)而解決問題．解：以D為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-26所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)．圖1.4-26（1）證明：連接，交于點(diǎn)G，連接．依題意得，，．因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以點(diǎn)G是它的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為，且，，所以，．而平面，且平面，因此平面．（2）證明：依題意得，．又，故．所以．由已知，且．所以平面．（3）解：已知，由（2）可知，故是平面與平面的夾角．設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，則因?yàn)?，所以，即，，．設(shè)，則．所以，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，又點(diǎn)E的坐標(biāo)為，所以．所以所以，即平面與平面的夾角大小為60°．練習(xí)17.如圖，二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，線段BD與AC分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱l．若，，，，求平面與平面的夾角．【答案】【解析】【分析】利用向量求解，，兩邊平方可求平面與平面的夾角．【詳解】設(shè)平面與平面的夾角為，由可得所以，即平面與平面的夾角為.18.如圖，在三棱錐中，，，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)．求異面直線AN，CM所成角的余弦值．【答案】【解析】【分析】連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，推導(dǎo)出異面直線，所成角就是，利用余弦定理解三角形，能求出結(jié)果．【詳解】連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，是異面直線，所成的角，，，，又，，，異面直線，所成的角的余弦值為．19.如圖，在三棱錐中，OA，OB，OC兩兩垂直，，．求直線OB與平面ABC所成角的正弦值．【答案】【解析】【分析】構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y、z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，寫出、、的坐標(biāo)，進(jìn)而求面ABC的法向量，根據(jù)直線方向向量與平面法向量夾角與線面角的關(guān)系，結(jié)合空間向量夾角的坐標(biāo)表示即可求直線OB與平面ABC所成角的正弦值．【詳解】構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y、z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，如下圖示，∴，，，則，，，若是平面ABC的一個(gè)法向量，則，令，則，∴，故直線OB與平面ABC所成角的正弦值為.習(xí)題1.4復(fù)習(xí)鞏固20.如圖，在三棱錐中，E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AE上，且．設(shè)，，，求直線AE，BF的方向向量．【答案】直線AE的方向向量，直線BF的方向向量.【解析】【分析】由已知線段所表示的空間向量，應(yīng)用向量加減運(yùn)算的幾何意義求得、，即可求，再由知，即可求.【詳解】在△中，，，則，在△中，，，則，∵在△中，E是CD的中點(diǎn)，∴，而，即，∴在△中，.∴直線AE，BF的方向向量分別為、.21.如圖，在直三棱柱中，，，．以A為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．（1）求平面的一個(gè)法向量；（2）求平面的一個(gè)法向量．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)求出平面內(nèi)的兩個(gè)向量，，然后利用法向量與這兩個(gè)向量的數(shù)量積都為0來求法向量；(2)求出平面內(nèi)的兩個(gè)向量，，然后利用法向量與這兩個(gè)向量的數(shù)量積都為0來求法向量.【詳解】易知，，，.(1)，，設(shè)面的法向量為，則，即，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為；(2)，，設(shè)面的法向量為，則，即，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為22.如圖，在平行六面體中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】取的中點(diǎn)為,根據(jù)幾何體的特征分別得到，，從而得證.【詳解】取的中點(diǎn)為,則根據(jù)平行六面體的特征可得，，所以四邊形為平行四邊形，則,,又因?yàn)?,所以,,所以四邊形為平行四邊形，所以,又因?yàn)?所以四邊形為平行四邊形.所以，進(jìn)而.23.如圖，在四面體ABCD中，平面BCD，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且．求證：平面BCD．【答案】證明見解析【解析】【分析】要證線面平行，需找線線平行，取BD中點(diǎn)O，且P是BM中點(diǎn)，取CD的四等分點(diǎn)H，使DH＝3CH，且AQ＝3QC，通過四邊形OPQH為平行四邊形及線面平行的判定定理即得結(jié)論．【詳解】證明：如圖所示，取BD中點(diǎn)O，且P是BM中點(diǎn)，∴PO//MD且POMD，取CD的四等分點(diǎn)H，使DH＝3CH，且AQ＝3QC，∴PO//QH且PO＝QH，∴四邊形OPQH為平行四邊形，∴PQ//OH，PQ在平面BCD外，且OH?平面BCD，∴PQ//平面BCD．24.如圖，在正方體中，點(diǎn)E在BD上，且；點(diǎn)F在上，且．求證：（1）；（2）．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體的棱長為，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量法證明線線垂直；【詳解】解：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體的棱長為，則，，，因?yàn)?，，所以，，所以，，所以，所以?）由（1）可知，所以，所以25.如圖，在棱長為1的正方體中，O為平面的中心，E為BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)O到直線的距離．【答案】【解析】【分析】建立空間坐標(biāo)系，求解直線的單位方向向量，結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，所?所以點(diǎn)到直線的距離為.26.如圖，四面體OABC的所有棱長都是1，D，E分別是邊OA，BC的中點(diǎn)，連接DE．（1）計(jì)算DE的長；（2）求點(diǎn)O到平面ABC的距離．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用基底表示出向量，再根據(jù)向量數(shù)量積求長度的方法即可求出；（2）由該幾何體特征可知，點(diǎn)O在平面ABC的射影為的中心，即可求出．【詳解】（1）因?yàn)樗拿骟wOABC的所有棱長都是1，所以該四面體為正四面體，，而且，所以，即，所以DE的長為．（2）因?yàn)樗拿骟wOABC為正四面體，所以點(diǎn)O在平面ABC的射影為的中心，的外接圓半徑為，所以點(diǎn)O到平面ABC的距離為．27.如圖，四面體ABCD的每條棱長都等于a，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．求證：，．【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)題意證明即可.【詳解】由題意可知，三個(gè)向量兩兩間的夾角為，因?yàn)镸，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以,則，所以，同理可證.28.如圖，M，N分別是正方體的棱和的中點(diǎn)，求：（1）MN和所成角的大小；（2）MN和AD所成角的大?。敬鸢浮浚?）；（2）.【解析】【分析】構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，若正方體的棱長為2，寫出、、、、的坐標(biāo)，進(jìn)而可得、、，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求其夾角的余弦值，即可求MN和、MN和AD所成角.【詳解】構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，若正方體的棱長為2，則，，，，，（1），，又MN和所成角范圍為，∴，故MN和所成角為.（1），又MN和AD所成角范圍為，∴，故MN和AD所成角為.29.如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G，H，K，L分別是AB，，，，，DA各棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面EFGHKL；（2）求與平面EFGHKL所成角的余弦值．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，可由證得；（2）利用空間向量計(jì)算直線和法向量的夾角，進(jìn)而得解.【詳解】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，（1），則，所以為平面EFGHKL的兩條相交直線，所以平面EFGHKL；（2）由（1）知平面EFGHKL的法向量為，因?yàn)椋笈c平面EFGHKL所成角的余弦值為.綜合運(yùn)用30.如圖，在長方體中，，，E是CD的中點(diǎn)．求證：平面．【答案】證明見解析【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明，，即可得證；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，所以，，所以，，因?yàn)椋矫妫云矫妫?1.如圖，在長方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在棱，，上，；點(diǎn)P，Q，R分別在棱，CD，CB上，．求證：平面平面PQR．【答案】證明見解析【解析】【分析】構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，令寫出、、、，進(jìn)而求面、面的法向量、，根據(jù)所得法向量的關(guān)系即可證結(jié)論.【詳解】構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，如下圖示，設(shè)，又，，∴，，，，，，∴，，，，設(shè)是面的一個(gè)法向量，則，令，，設(shè)是面的一個(gè)法向量，則，令，，∴面、面的法向量共線，故平面平面PQR，得證.32.如圖，已知正方體的棱長為1，E為CD的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】【解析】【分析】建立空間坐標(biāo)系，求解平面的法向量，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離公式求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，.由令，則，即.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即點(diǎn)到平面的距離為.33.如圖，已知正方體的棱長為1，Q為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在棱上，．求平面ABCD與平面BQP的夾角．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別求解兩個(gè)面的法向量，利用法向量的夾角求解即可.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，則，不妨令，則，所以平面的法向量為，所以.所以面ABCD與平面BQP的夾角為34.如圖，正方體的棱長為1，M是棱的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)．求證：OM分別與異面直線，垂直，并求OM的長．【答案】見解析.【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積為0可證得垂直，利用模長公式可求線段長.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，因?yàn)?，所?拓廣探索35.如圖，在直三棱柱中，，，，M是AB的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，P是與的交點(diǎn)．在線段上是否存在點(diǎn)Q，使得平面？【答案】存在，在靠近的三等分點(diǎn)處【解析】【分析】建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解，平面則可利用與平面的法向量垂直求解.【詳解】如圖，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)面的法向量,則,即.令得因?yàn)槠矫?，所?即.所以得，,所以.因?yàn)?，，所以存在在三等分點(diǎn)處靠近，使得平面.36.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn)，點(diǎn)．（1）若直線l經(jīng)過點(diǎn)，且以為方向向量，P是直線l上的任意一點(diǎn)，求證：（2）若平面經(jīng)過點(diǎn)，且以為法向量，P是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)表示即可證出；（2）根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可證出．【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，即，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)椋?，，所以?7.在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直．活動(dòng)彈子M，N分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng)，且CM和BN的長度保持相等，記．（1）求MN的長；（2）a為何值時(shí)，MN的長最??？（3）當(dāng)MN的長最小時(shí)求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值．【答案】（1）；（2）時(shí)，最小，最小值為；（3）【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得、、、、、的坐標(biāo)．（1）直接由兩點(diǎn)間的距離公式可得；（2）把（1）中求得利用配方法求最值；（3）由（2）可知，當(dāng)，為中點(diǎn)時(shí)，最短，求出、的坐標(biāo)，取的中點(diǎn)，連接，，可得的坐標(biāo)，連接，，得到是平面與平面的夾角或其補(bǔ)角，再由與的夾角求解．【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，．（1）；（2），當(dāng)時(shí)，最小，最小值為；（3）由（2）可知，當(dāng)，為中點(diǎn)時(shí)，最短，則，0，，，，，取的中點(diǎn)，連接，，則，，，，，，，是平面與平面的夾角或其補(bǔ)角．，，．平面與平面夾角的余弦值是．復(fù)習(xí)參考題1復(fù)習(xí)鞏固1.如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由空間向量的線性運(yùn)算求解．【詳解】由題意，又，，，∴,故選：B．2.如圖，在平行六面體中，，，，、、分別是、、的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．用空間的一個(gè)基底表示下列向量：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）利用空間向量的加法法則可得出在基底下的表達(dá)式；（2）利用空間向量的加法法則可得出在基底下的表達(dá)式；（3）利用空間向量的加法法則可得出在基底下的表達(dá)式；（4）利用空間向量的加法法則可得出在基底下的表達(dá)式.【小問1詳解】解：，則；【小問2詳解】解：，，所以，；【小問3詳解】解：.【小問4詳解】解：.3.如圖，在直三棱柱中，，，，，M是的中點(diǎn).求證：.【答案】證明見解析【解析】【分析】以B為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，證明即可.【詳解】由題可以B為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則，，.4.如圖，正三棱柱的底面邊長為a，側(cè)棱長為.（1）試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并寫出點(diǎn)A，B，，的坐標(biāo)；（2）求與側(cè)面所成的角.【答案】（1）答案見解析；（2）【解析】【分析】取BC的中點(diǎn)為O,的中點(diǎn)為,連結(jié),連結(jié)OA，以O(shè)為原點(diǎn)，為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.【詳解】（1）因?yàn)槿庵鶠檎庵?，取BC的中點(diǎn)為O,取的中點(diǎn)為,連結(jié),則⊥面ABC.連結(jié)OA，則OA⊥BC.以O(shè)為原點(diǎn)，為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由底面邊長為a，側(cè)棱長為，則所以點(diǎn)A，B，，的坐標(biāo)為：；（2）由（1）知：.設(shè)為面的一個(gè)法向量，則，即，不妨設(shè)x=1,則.設(shè)與側(cè)面所成的角為，則，所以，即與側(cè)面所成的角為.5.已知空間三點(diǎn)，，．（1）求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積；（2）若向量分別與，垂直，且，求向量的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先求出，然后利用向量的夾角公式求出，從而可求出，再利用三角形的面積公式可求得答案，（2）設(shè)，然后利用向量分別與，垂直，且，列方程組可求得答案【小問1詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積為【小問2詳解】設(shè)，因?yàn)橄蛄糠謩e與，垂直，所以，因?yàn)?，所以，解得或，所以?.設(shè)空間兩個(gè)單位向量，與向量的夾角都等于，求的值.【答案】或.【解析】【分析】根據(jù)已知可得，，由此可以求出，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量，與向量的夾角都等于，，，，，，解得或，，，或7.正三棱柱的側(cè)棱長為2，底面邊長為1，M是BC的中點(diǎn).在直線上求一點(diǎn)N，使.【答案】滿足.【解析】【分析】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，通過求解.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，，解得，故可得滿足即可.8.如圖，在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)，G分別是，BD，的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求EF與CG所成角的余弦值；（3）求CE的長.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，證明即可；（2）求出即可；（3）利用空間兩點(diǎn)間距離公式即可求出.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則.（1），，則,，；（2）設(shè)EF與CG所成角為，，，則，所以EF與CG所成角的余弦值為；（3）9.如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn)．（1）求的長；（2）求cos<>的值；（3）求證：A1B⊥C1M．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．【解析】【分析】（1）求得長即求向量的模長問題，利用模的計(jì)算公式計(jì)算出結(jié)果.（2）求向量的夾角問題，由，在坐標(biāo)系中讀出的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)減法求出，，，并求出其模長，再次根據(jù)夾角公式可以求解.（3）要證明，只需要證明，根據(jù)各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行向量計(jì)算可證.【詳解】解：以為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．（1）（2）（3）綜合運(yùn)用10.如圖，在平行六面體中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱的長為b，且.求：（1）的長；（2）直線與AC所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用基底表示向量，再利用數(shù)量積求模；（2）轉(zhuǎn)化為利用向量數(shù)量積求直線夾角的余弦值.【詳解】，所以，所以，，，所以直線與AC所成角的余弦值為.11.在長方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且，．（1）求證：平面AEF；（2）當(dāng)，，時(shí)，求平面AEF與平面所成二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用向量證明，即可；（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，算出平面的法向量，利用第一問的結(jié)論進(jìn)一步得到平面的法向量，最后利用法向量的夾角求出二面角的余弦值．【詳解】（1）證明：因?yàn)樗砸驗(yàn)樗砸驗(yàn)?，所以平面?）分別以、、為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，連接，由于：，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，所以，所以可取又由于：平面所以：看作是平面的法向量設(shè)平面和平面所成的角為，則所以平面和平面所成的角的余弦值為．12.如圖，在四棱錐中，底面ABCD滿足，，底面ABCD，且，.（1）求四棱錐的體積；（2）求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先求底面面積，再結(jié)合錐體體積公式即可求解；（2）分別以所在直線為軸,軸、軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,為平面的一個(gè)法向量,且,求平面的一個(gè)法向量,根據(jù),即可求得答案.【詳解】（1）平面,,，且，所以四棱錐的體積；（2）分別以所在直線為軸,軸、軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,如圖:由，可得:,,,,,由（1）知平面,為平面的一個(gè)法向量,且；設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,,,,,,,令,則,,,設(shè)平面與平面所成的二面角為,，平面與平面所成二面角的余弦值為．13.如圖，把正方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，O是原正方形ABCD的中心，求折紙后的大小.【答案】【解析】【分析】可連接，，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直有，，而折成的為直二面角，從而平面平面，從而可得到平面，可得出，，三直線兩兩垂直，從而可分別以這三直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．然后求出空間一些點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以得出向量的坐標(biāo)，這樣可根據(jù)向量夾角的余弦公式求出向量的夾角，從而得出的大?。驹斀狻空燮鸷蟮膱D形如下所示，連接，，則，；又平面平面，平面平面；平面；，，三直線兩兩垂直，分別以這三直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方形的對(duì)角線長為2，則可確定以下點(diǎn)坐標(biāo)：，0，，，，，，0，，，，0，，，1，，；；；；．14.在正四棱錐中，O為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且.求直線BC與平面PAC所成的角.【答案】【解析】【分析】如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，求得平面PAC的一個(gè)法向量和直線BC的方向向量，結(jié)合線面夾角公式即可求解．【詳解】如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a(a＞0)，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，．則，，．設(shè)平面PAC的法向量為，則即，得，令，則，則．∴．∴直線BC與平面PAC所成的角為90°－60°＝30°．15.如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).（1）求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；（2）求證：平面EFGH；（3）設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得出可證；（2）通過證明可得；（3）可得四邊形EFGH為平行四邊形，為EG中點(diǎn)，即可證明.【詳解】（1）E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，，，，又E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)不共線，故E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；（2）E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，，，，平面EFGH，平面EFGH，平面EFGH；（3）由（1）知四邊形EFGH為平行四邊形，為EG中點(diǎn)，E，G分別是AB，CD的中點(diǎn)，.拓廣探索16.如圖，在棱長為a的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面BEF的夾角正切值.【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積即可證明.（2）根據(jù)三棱錐的體積最大時(shí)，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上中點(diǎn)，過作，連接，得出為平面與平面BEF的夾角，在中即可求解.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)，則，，，，，，由，.（2），若三棱錐的體積取得最大值，則取得最大值，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，即E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上中點(diǎn)，過作，連接，由三垂線定理可得，得出為平面與平面BEF的夾角，，，所以.17.如圖，兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點(diǎn)，E和點(diǎn)A，F(xiàn)，使，且.已知，，，求線段的長.【答案】.【解析】【分析】依題意，，兩邊平方，結(jié)合條件，即可求得公垂線段的長.【詳解】依題意，，平方得，因?yàn)?，，或，所以，?第二章直線和圓的方程2.1直線的傾斜角與斜率2.1.1傾斜角與斜率例1如圖2.1-6，已知，，，求直線，，的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．圖2.1-6解：直線的斜率；直線的斜率；直線的斜率．由及可知，直線與的傾斜角均為銳角；由可知，直線的傾斜角為鈍角．練習(xí)1.已知下列直線的傾斜角，求直線的斜率：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系可求得直線的斜率；（2）利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系可求得直線的斜率；（3）利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系可求得直線的斜率；（4）利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系可求得直線的斜率.【小問1詳解】解：直線的斜率為.【小問2詳解】解：直線的斜率為.【小問3詳解】解：直線的斜率為.【小問4詳解】解：直線的斜率為.2.已知下列直線的斜率，求直線的傾斜角.（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系先計(jì)算出傾斜角的正切值，然后根據(jù)傾斜角的范圍求解出傾斜角.【詳解】設(shè)傾斜角為，，（1）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)椋?；?）因?yàn)椋?3.求經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的斜率，并判斷其傾斜角是銳角還是鈍角.（1），；（2），．【答案】（1），銳角；（2），鈍角.【解析】【分析】先根據(jù)斜率的計(jì)算公式求解出直線的斜率，然后根據(jù)斜率的正負(fù)判斷出傾斜角是銳角還是鈍角.【詳解】設(shè)傾斜角為，（1）因?yàn)?，所以，所以為銳角；（2）因?yàn)椋?，所以為鈍角.4.已知a，b，c是兩兩不等的實(shí)數(shù)，求經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的傾斜角.（1），（2），（3），．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先計(jì)算出斜率值，再根據(jù)傾斜角的正切值等于斜率求解出傾斜角；（2）根據(jù)橫坐標(biāo)相等判斷出直線軸，由此分析得到直線的傾斜角；（3）先計(jì)算出斜率值，再根據(jù)傾斜角的正切值等于斜率求解出傾斜角.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以直線的傾斜角為；（2）因?yàn)榈臋M坐標(biāo)相等，所以直線軸，所以直線的傾斜角為；（3）因?yàn)?，所以，所以，所以直線的傾斜角為.5.經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的方向向量為，求k的值．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量得到的含義，結(jié)合斜率的計(jì)算公式求解出的值.【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量為，則為直線的斜率，所以，所以的值為.2.1.2兩條直線平行和垂直的判定例2已知，，，，試判斷直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解：如圖2.1-8，由已知可得直線的斜率；直線的斜率；因?yàn)?，所以直線．圖21-8例3已知四邊形四個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，，試判斷四邊形的形狀，并給出證明．解：如圖2.1-9，由已知可得邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率．因?yàn)?，，所以，．因此四邊形是平行四邊形．圖2.1-9例4已知，，，，試判斷直線與的位置關(guān)系．解：直線的斜率，直線的斜率為．因?yàn)?，所以直線．例5已知，，三點(diǎn)，試判斷的形狀．分析：如圖2.1-10，猜想，是直角三角形．解：邊所在直線的斜率，邊在直線的斜率．由，得，即．所以是直角三角形．圖2.1-10練習(xí)6.判斷下列各對(duì)直線平行還是垂直：（1）經(jīng)過兩點(diǎn)A（2，3），B（﹣1，0）的直線l1，與經(jīng)過點(diǎn)P（1，0）且斜率為1的直線l2；（2）經(jīng)過兩點(diǎn)C（3，1），D（﹣2，0）的直線l3，與經(jīng)過點(diǎn)M（1，﹣4）且斜率為﹣5的直線l4.【答案】（1）平行（2）垂直【解析】【分析】(1)由題意可得直線l1的斜率，根據(jù)直線l1，l2的斜率關(guān)系，判斷它們的位置關(guān)系，(2).由題意可得直線l3的斜率，根據(jù)直線l3，l4的斜率關(guān)系，判斷它們的位置關(guān)系，【小問1詳解】由題意和斜率公式可得l1的斜率k11，l2斜率k2＝1，k1＝k2，又直線l1，l2不重合，所以兩直線平行；【小問2詳解】由題意和斜率公式可得l1的斜率k1，l2斜率k2＝﹣5，k1?k2＝﹣1，故兩直線垂直.7.試確定m的值，使過，兩點(diǎn)的直線與過，兩點(diǎn)的直線.（1）平行；（2）垂直．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用直線平行斜率相等即可求解.（2）利用直線垂直斜率乘積等于即可求解.【詳解】過，兩點(diǎn)的直線斜率，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)直線與直線即不平行也不垂直；當(dāng)時(shí)，過，兩點(diǎn)的直線斜率，（1）當(dāng)兩直線平行時(shí)，則，解得.（2）當(dāng)兩直線垂直時(shí)，則，解得.習(xí)題2.1復(fù)習(xí)鞏固8.已知直線斜率的絕對(duì)值等于1，求直線的傾斜角．【答案】或.【解析】【分析】分別考慮斜率的情況，然后根據(jù)斜率等于傾斜角的正切值求解出傾斜角.【詳解】設(shè)傾斜角為，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；所以直線的傾斜角為或.9.已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是，，，，求四邊形ABCD的四條邊所在直線的斜率．【答案】，，，.【解析】【分析】根據(jù)斜率的計(jì)算公式分別求解出四條邊的斜率即可.【詳解】解：，，，.10.m為何值時(shí)，（1）經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的斜率是12？（2），兩點(diǎn)的直線的傾斜角是？【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)斜率的計(jì)算公式列出關(guān)于的方程，由此求解出的值；（2）先根據(jù)傾斜角計(jì)算出斜率，然后根據(jù)斜率的計(jì)算公式列出關(guān)于的方程，由此求解出的值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?）因?yàn)閮A斜角為，所以直線的斜率為，所以，所以.11.已知，，三點(diǎn)，這三點(diǎn)是否在同一條直線上？為什么？【答案】在一條直線上，理由見解析.【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算，若相等則說明在同一條直線上，反之則不在同一條直線上.【詳解】因?yàn)?，所以，且直線有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)在一條直線上.12.判斷下列不同的直線與是否平行.（1）的斜率為2，經(jīng)過，兩點(diǎn)；（2）經(jīng)過，兩點(diǎn)，平行于x軸，但不經(jīng)過P，Q兩點(diǎn)；（3）經(jīng)過，兩點(diǎn)，經(jīng)過，兩點(diǎn)．【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.【解析】【分析】（1）利用兩直線的斜率是否相等進(jìn)行判斷即可.（2）根據(jù)直線的斜率即可判斷.（3）求出兩直線的斜率即可求解.【詳解】（1）經(jīng)過，兩點(diǎn)，則，則，可得兩直線平行.（2）經(jīng)過，兩點(diǎn)，可得平行于x軸，平行于x軸，但不經(jīng)過P，Q兩點(diǎn)，所以；（3）經(jīng)過，兩點(diǎn)，，經(jīng)過，兩點(diǎn)，則，所以.13.判斷下列直線與是否垂直.（1）的斜率為，經(jīng)過點(diǎn)，；（2）的傾斜角為，經(jīng)過，兩點(diǎn)；（3）經(jīng)過，兩點(diǎn)，經(jīng)過，兩點(diǎn)．【答案】（1）垂直；（2）垂直；（3）垂直.【解析】【分析】（1）先計(jì)算的斜率，然后根據(jù)斜率乘積是否為進(jìn)行判斷即可；（2）先計(jì)算，的斜率，然后根據(jù)斜率乘積是否為進(jìn)行判斷即可；（3）先計(jì)算，的斜率，然后根據(jù)斜率乘積是否為進(jìn)行判斷即可.【詳解】（1）因?yàn)?，又，所以，所以；?）因?yàn)榈膬A斜角為，所以，又因?yàn)椋?，所以；?）因?yàn)椋?，所以，所?綜合運(yùn)用14.過，兩點(diǎn)的直線l的傾斜角為，求的值．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)傾斜角計(jì)算出直線的斜率，再根據(jù)坐標(biāo)形式下斜率的計(jì)算公式求解出的值.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率，又，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，，不符合，當(dāng)時(shí)，，符合，綜上：.15.經(jīng)過點(diǎn)作直線l，若直線l與連接，