流行病與衛(wèi)生統(tǒng)計學(xué)-方差分析

1、方差分析（一）單向方差分析(one-way ANOVA),方差分析（analysis of variance，ANOVA）又稱變異數(shù)分析或 F檢驗(yàn)，適用于對多個平均值進(jìn)行總體的假設(shè)檢驗(yàn)，以檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)所得的多個平均值是否來自相同總體。,實(shí)驗(yàn)三要素：,統(tǒng)計模型：,效應(yīng)值=總平均效應(yīng)+處理效應(yīng)+隨機(jī)誤差效應(yīng),效應(yīng)值-總平均效應(yīng)=處理效應(yīng)+隨機(jī)誤差效應(yīng),第一節(jié) 方差分析的基本思想,方差分析的基本思想是將出現(xiàn)在所有測量值上的總變異按照其變異的來源分解為多個部分，然后進(jìn)行比較，評價由某種因素所引起的變異是否具有統(tǒng)計學(xué)意義。 單向方差分析（one way analysis of variance）是指處理因素

2、只有一個。這個處理因素包含有多個離散的水平，分析在不同處理水平上應(yīng)變量的平均值是否來自相同總體。,例8-1 有3種解毒藥：A、B及C，同時設(shè)一個空白對照D，共有4個組。即解毒藥這個處理因素包含有4個水平，或4個處理組，用i表示處理組號，i1，2，3，4分別代表A、B、C、D4個組。受試大白鼠共24只，故動物總數(shù)或樣本含量N=24。按完全隨機(jī)化方法將它們分成等數(shù)的4個組，每組有6只動物。用ni表示第i組受試動物數(shù)（當(dāng)每組受試動物數(shù)相等時用n代替 ni）。用j（j=1，2，6）表示每組受試動物號。應(yīng)變量用Yij表示第 i組第j號大白鼠的血中膽堿酯酶含量（/ml）。實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表8l。,表8-1 應(yīng)用

3、不同解毒藥的大白鼠血中膽堿酯酶含量（Yij）（ml）,各組平均值為 。各組測定值的總和為 =111+89480。樣本總平均值為 4802420.0。 在單向方差分析中，變異來源于兩個方面，一方面是受試對象個體間的變異（稱組內(nèi)變異），另一方面是實(shí)驗(yàn)因素各水平間的變異（稱組間變異）。因此，總變異可按其變異來源進(jìn)行分解。,總變異=處理間變異（組間）+誤差（組內(nèi)）,觀察值效應(yīng)=總平均效應(yīng)+處理效應(yīng)+隨機(jī)誤差效應(yīng),總平均,單因素方差分析的基本思想（圖示）,一、離均差平方和的分解,個體測定值與總平均值之差可寫為 上式等號右邊第一項(xiàng)稱為組內(nèi)離均差，第二項(xiàng)是組平均值與總平均值之差，稱為組間離均差。將等式兩邊平

4、方后求和得到,上式第二行中間的一項(xiàng)又可以寫成下列等式： 這是因?yàn)橛兄省?最后得到 公式（8-1）就是單向方差分析的總離均差平方和分解公式。用文字表達(dá)為： 總離均差平方和組間離均差平方和十組內(nèi)離均差平方和 SS總SS組間+SS組內(nèi),二、F值與F分布,t檢驗(yàn)是用t值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的，方差分析則用F值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。每種來源的離均差平方和用相應(yīng)的自由度去除，可得到平均的離均差平方和，簡稱均方（mean square，MS）。各種均方表示為： 組間均方：MS組間SS組間v組間SS組間（al） 組內(nèi)均方：MS組內(nèi)SS組內(nèi)v組內(nèi)SS組內(nèi)（Na） 組內(nèi)均方表示各組內(nèi)均方的平均值，它是隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差的綜合估計

5、值。其代表性優(yōu)于每個組的組內(nèi)均方。它的分子和分母分別是各組內(nèi)離均差平方和之和及各組內(nèi)自由度之和。,關(guān)系式為： 由于組間均方包含由隨機(jī)誤差及處理因素引起的誤差，故其值比組內(nèi)均方大。理論上的組間均方的期望值可表示為： 式中為組內(nèi)均方的期望值 E（MS組內(nèi)），i及為分別對應(yīng)于及 的期望值。,F值的計算公式為 F值的實(shí)際意義表現(xiàn)為如下的比值：,H0：T=0 H1：T0,F統(tǒng)計量不可能是負(fù)值，因?yàn)榉肿蛹胺帜付际瞧椒巾?xiàng)。分子中的SS組間是各組平均值與總平均值之差的加權(quán)平方和。如果各處理組所代表的總體平均值彼此相等，則各組樣本平均值也就彼此接近。其結(jié)果是各組樣本平均值很接近總平均值。反之，如果各處理組所代表

6、的總體平均值差別很大，則相應(yīng)的各組樣本平均值也就彼此差別很大；某些組平均值就明顯不同于總平均值。因此一個大的組間均方MS組間可使F值變大，它提供足夠的把握來拒絕無效假設(shè)。若MS組間很小，則缺乏證據(jù)來拒絕無效假設(shè)。,由于分析數(shù)據(jù)都是來自樣本，故必須考慮資料的變異性。組內(nèi)均方MS組內(nèi)是隨機(jī)誤差方差的估計值，它是衡量樣本資料隨機(jī)變異性大小的指標(biāo)。如果資料的隨機(jī)變異性很大，則MS組內(nèi)也大。若資料的隨機(jī)變異性很小，則MS組內(nèi)也小。當(dāng)MS組間大，而MS組內(nèi)小時，F(xiàn)值就大。當(dāng)MS組間大，MS組內(nèi)也大時，則F值就不一定大。那么F值要多大才能有把握拒絕無效假設(shè)呢？這就要由F統(tǒng)計量的分布來決定了。當(dāng)F統(tǒng)計量達(dá)到一

7、個小的P值水平時，就可以拒絕無效假設(shè)。,t分布只有一個自由度。因?yàn)閮山M比較時，組間自由度恒為l。F分布有兩個自由度，即組間自由度v組間= a-l及組內(nèi)自由度v組內(nèi)=Na，又分別稱為分子自由度v1和分母自由度v2。F分布是一種偏態(tài)分布。它的分布曲線由這兩個自由度來決定。分子自由度v1 4及分母自由度v2 10的F分布曲線見圖8l。,F分布的隨機(jī)變量沒有負(fù)值。 依據(jù)不同 水準(zhǔn)下的F界值表。例如當(dāng)v1=10，v2=30時，0.05的臨界F值F0.05(10,30)2.16，當(dāng)計算出的統(tǒng)計量 F值等于或大于臨界 值時，就在水準(zhǔn)上拒絕無效假設(shè)，否則就不拒絕無效假設(shè)。根據(jù)計算出的F統(tǒng)計量與臨界F值 之間的

8、關(guān)系有如下的統(tǒng)計學(xué)推斷規(guī)則：,第二節(jié) 方差分析的步驟,方差分析的步驟為： 一、整理和描述資料。在第一節(jié)中已經(jīng)介紹了方差分析所用的資料表格式（見表8-l）。按格式整理后，計算出每組的測定值之和、組平均值，測定值平方和以及總平均值等。 二、提出檢驗(yàn)假設(shè)及規(guī)定類錯誤概率水準(zhǔn)的大小。 H0： 1 = 2= a ，各組所代表的總體平均值相等； H1： i h ，至少有一個不等式成立。i，hl，2，a。i h。 0.05。,離均差平方和的簡化計算公式：,式中C為校正數(shù),三、計算各種離均差平方和、自由度及均方。例一資料用式（8-l）、式（8-2）與式（8-3）計算出的結(jié)果如下： l總離均差平方和 SS總10

9、616（480）2241016.0?？傋杂啥葀總24l23。 2組間離均差平方和 組間自由度v14-l3，組間均方 MS組間568.33/3=189.44 3組內(nèi)離均差平方和SS組內(nèi)1016.0568.33447.67。 組內(nèi)自由度v2=4（6l）20，組內(nèi)均方MS組內(nèi)447.67/20=22.38,四、計算F值。應(yīng)用式（8-4）計算得 F189.44/22.38=8.46 將以上計算結(jié)果列于方差分析表中（見表8-2）。 五、確定P值并作出統(tǒng)計學(xué)推斷。查附表5：F界值表，得F0.05(3,20)3.10。由于FF0.05（3,20），故有概率P0.05，根據(jù)式（8-5）的推斷規(guī)則拒絕無效假設(shè)，

10、接受備擇假設(shè)。處理因素的 4個水平中至少有一個組的總體平均值不同于其他各組。從表8-l所示的各 值可見，不同解毒藥物的效果是不同的。解毒藥物 A和 C與空白對照組 D相近。B組血中膽堿酯酶含量較其他組為高。,表8-2大白鼠血中膽堿酯酶含量方差分析表,第三節(jié) 平均值之間的多重比較,方差分析是對各觀察組的平均值是否來自相同總體進(jìn)行總的檢驗(yàn)，不能對各組間的差別作深人分析。這一點(diǎn)卻往往是研究者最關(guān)心的。對于一個實(shí)驗(yàn)，如果經(jīng)方差分析后不拒絕無效假設(shè)，則表示各組平均值所代表的總體是相等的。分析工作即可終止。但若結(jié)果拒絕了無效假設(shè)，則需進(jìn)行平均值之間的多重比較以進(jìn)一步確定哪些組的平均值之間的差別，具有統(tǒng)計學(xué)

11、意義。這時就涉及到累積類錯誤概率的問題。,當(dāng)有a個平均值需作兩兩比較時，比較的次數(shù)共有c=a!/2!(a-2)!。例如當(dāng)a3時c3，a4時c6。當(dāng)比較的次數(shù)越多，在無效假設(shè)為真時，拒絕無效假設(shè)時的累積類錯誤概率也越大。設(shè)每次檢驗(yàn)所用類錯誤的概率水準(zhǔn)為 ，累積類錯誤的概率為，則在對同一實(shí)驗(yàn)資料進(jìn)行c次檢驗(yàn)時，在樣本彼此獨(dú)立的條件下，根據(jù)概率乘法原理，其累積類錯誤概率與c有下列關(guān)系： 例如，設(shè)=0.05，c=6，其累積類錯誤的概率為l-(1-0.05)6=1-(0.95)6=0.26。目前有多種有效控制累積類錯誤概率的多重比較方法，下面介紹常用的Bonferroni法、SNK法和Tukey法。,均

12、數(shù)間多重（兩兩）比較的三種形式及比較的方法： 1.各均數(shù)間全部比較（探索性研究） 方法：SNK法（q檢驗(yàn)）、Bonferroni法、Tukey法等。 2.多個實(shí)驗(yàn)（處理）組與一個對照組比較 例：A B C三組分別與對照組比較 方法：Dunnett檢驗(yàn) 3.比較具有專業(yè)意義的組（確定性研究） 例：A、B、C、D四組，從專業(yè)意義認(rèn)為只需比較 A與C和B與D，其余各組不需比較。 方法：LSD法（最小顯著差法 least significant difference）,一、Bonferroni法,Bonferroni提出，如果在水準(zhǔn)上進(jìn)行c次假設(shè)檢驗(yàn)，當(dāng)無效假設(shè)為真時，至少有一次拒絕無效假設(shè)的累積類錯

13、誤概率不超過ca，即有不等式 ca 。例如設(shè)0.05，c=3時運(yùn)用概率乘法原理計算出的 0.143（30.05）。因此可以重新選擇類錯誤概率水準(zhǔn) ，以便使累積類錯誤概率0.05。根據(jù) Bonferroni不等式可得到要重新選擇的水準(zhǔn)為（/c） 。例如設(shè)定0.05，進(jìn)行 3次比較(c=3)時，重新選定的水準(zhǔn)為 =（0.05/3）0.016。 只有當(dāng)t檢驗(yàn)的類錯誤概率等于或小于0.016時才能拒絕無效假設(shè)。這樣當(dāng)無效假設(shè)為真時，其累積類錯誤概率不超過0.05。,用Bonferroni法進(jìn)行多個平均值之間的兩兩比較時所用的t檢驗(yàn)公式為： 式（8-7）的分母Se，為兩平均值之差的標(biāo)準(zhǔn)誤，計算公式為：

14、、 及ni、nh分別是兩個比較組的平均值及觀察例數(shù)。 例如對例8-1的四個平均值進(jìn)行兩兩比較時，c6。設(shè)累積 I類錯誤概率0.10。對用于每次檢驗(yàn)的類錯誤概率水準(zhǔn)進(jìn)行調(diào)整得（0.10/6）0.0167。故采用t(=0.0167/2,v)作為臨界值。但在通用的t分布表中查不到這一概率水準(zhǔn)下的t值，須通過下列公式換算：,式（89）中的v為組內(nèi)均方的自由度。Z是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布面積下的橫軸距離取值。本例為/20.0083，Z=2.395，v20，代入上式即得到臨界值為： 利用式（8-8）計算t檢驗(yàn)所需的標(biāo)準(zhǔn)誤Se： 利用式（8-7）計算各組平均值之間兩兩比較的t值為：,用相同的方法計算出t（A：C）0.

15、072.607，t（A：D）1.352.607；t（B：C）3.402.607；t（B：D）4.832.97；t（C：D）1.432.607。 從以上的兩兩比較中可知，只有B組與其他各組間的差別具有統(tǒng)計學(xué)意義，而其他各組間的差別無統(tǒng)計學(xué)意義。這一結(jié)果的累積類錯誤的概率不超過0.10。 當(dāng)比較次數(shù)不多時，Bonferroni法的效果較好。但當(dāng)比較次數(shù)較多（例如在10次以上）時，則由于其檢驗(yàn)水準(zhǔn)選擇得過低，結(jié)論偏于保守。,二、SNK法,SNK（student-Newman-Keuls）法又稱q檢驗(yàn)，是根據(jù)q值的抽樣分布作出統(tǒng)計推論。仍以例8l為例介紹其檢驗(yàn)過程。 1.將各組的平均值按由小到大的順序

16、排列： 排列順序 （1） （2） （3） （4） 平均值 28.0 18.7 18.5 14.8 原組號 B C A D 2.計算兩個平均值之間的差值及組間跨度k，見表8-3第(2)、(3)兩列。,表8-3SNK法兩兩比較的計算用表,3.計算兩對比組之差的標(biāo)準(zhǔn)誤S。計算公式為： 由于本例中各組例數(shù)相等都為n6，故有對任意兩對比組之差公用的標(biāo)準(zhǔn)誤Se1.9313。 4.按下列公式計算統(tǒng)計量q值： 按式（8-11）計算的平均值之間兩兩比較的q值見表8-3第（4）列。,5.計算 P值并作出統(tǒng)計推斷。按 v20，0.05及0.01兩個檢驗(yàn)水準(zhǔn)，根據(jù)不同組間跨度k查附表6：q界值表得的q0.05（20,

17、k）及q0.01（20,k）列于表8-3第（5）、（6）兩列。表8-3最后一列列出了概率P?？梢?與其他各組比較，都在0.01水準(zhǔn)上具有統(tǒng)計學(xué)意義。而 之間的差異均無統(tǒng)計學(xué)意義。結(jié)論為解毒藥B的效果顯著優(yōu)于其他各組。,三、Tukey法,Tukey法用稱為真正顯著差（honestly significant difference，HSD）的單一值作為判斷標(biāo)準(zhǔn)。該法的計算步驟為： 1.計算各組平均值兩兩之間的絕對差值。計算結(jié)果見表8-4第2列。 2.根據(jù)檢驗(yàn)水準(zhǔn)，觀察總例數(shù)N及比較組數(shù)k，從附表6:q界值表中查出q（k,N-k）的值。本例有k4，N24，N-k20。選取0.05，從附表6得q0.0

18、5（4,20）3.96。,3.用下列公式計算HSD值： 式（8-12）中的n是比較組的觀察例數(shù)。當(dāng)兩組的觀察例數(shù)相等時用n；當(dāng)兩組的觀察例數(shù)不相等時用例數(shù)較少的ni代替n。本例的HSD=7.65。 4.將差值d（i,h）與HSD值進(jìn)行比較。凡d（i:h）HSD者則拒絕無效假設(shè)；否則不拒絕無效假設(shè)。本例的比較結(jié)果見表8-4最后一列。 檢驗(yàn)結(jié)果表明，B組與A、C、D組之間的差別具有統(tǒng)計學(xué)意義，而A、C、D三組之間的差別無統(tǒng)計學(xué)意義。,表8-4HSD法計算用表,SAS軟件中的方差分析過程： Data anova; do group=1 to 4; do n=1 to 6; input y;outpu

19、t; end;end; Cards; 23 12 18 16 28 14 28 31 23 24 28 34 14 24 17 19 16 22 8 12 21 19 14 15 ; Proc anova; class group; model y=group; Means group/snk bon tukey dunnett lsd; Means group/hovtest; Run; Quit;,SPSS軟件中單因素方差分析過程： DATA LIST FRE/x group Begin data 23 1 12 1 18 1 16 1 28 1 14 1 28 2 31 2 23 2 2

20、4 2 28 2 34 2 14 3 24 3 17 3 19 3 16 3 22 3 8 4 12 4 21 4 19 4 14 4 15 4 End data. Oneway x by group /STATISTICS DESCRIPTIVES HOMOGENEITY /POSTHOC = SNK TUKEY ALPHA(.05).,第四節(jié) 方差分析的假定條件和數(shù)據(jù)變換,一、方差分析的假定條件 l.觀察值Yij獨(dú)立來自正態(tài)分布的總體 如果樣本含量較大，雖然總體分布偏離正態(tài)，由于有中心極限定理的保證，方差分析也是適用的。但是如果總體極度地偏離正態(tài)時，則須作數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，以改善其正態(tài)性。 2.方

21、差齊性（homogeneity）只有當(dāng)各組內(nèi)方差在總體上相等時，才能有效地分析各對比組平均值之間的差異。當(dāng)最大方差與最小方差之比值（ ）超過3時，由于增大了類錯誤的概率，就可能影響對方差分析結(jié)果的判斷。如果各對比組的觀察例數(shù)不相等，則其影響程度會更大。,二、方差齊性檢驗(yàn),第五章第五節(jié)介紹了檢驗(yàn)兩個總體方差齊性的方法。這里介紹檢驗(yàn)多個總體方差齊性的方法，并用例81的資料解釋其計算步驟。1.提出檢驗(yàn)假設(shè)。 2.計算每一組的中位觀察值mdi中位觀察值mdi是指在第i組內(nèi)所有觀察值按由大到小的順序排列后位置居中的觀察值。如果組內(nèi)觀察例數(shù)是偶數(shù)，則mdi取正中間兩個觀察值的平均值。例8-l的各組中位觀察

22、值為：md1（l816）/217， md2(2828）228，md3(17+19）218，md4（l415）214.5。,3.計算各組內(nèi)個體觀察值與中位觀察值之差的絕對值dij dij=|Yij-mdi| (8-13) 例如，d11=|2317| = 6，d12|1217|5，余類推。 用dij作單向方差分析。本例得 F0.37，v13和v2=20。查附表 6：F界值表得F0.05(3,20)=3.10F，故不拒絕H0，認(rèn)為這些組內(nèi)均方都來自具有相同理論均方的總體。 本例用原始測定值Yij計算的各組內(nèi)方差為 最大方差與最小方差之比 ，表明方差基本齊性。,測得的三組大白鼠營養(yǎng)試驗(yàn)中每組12只大鼠

23、尿中氨氮的排出量X（mg/6天）,A組：30 27 35 35 29 33 32 36 26 41 33 31 B組：43 45 53 44 51 53 54 37 47 57 48 42 C組：82 66 66 86 56 52 76 83 72 73 59 53,方差不齊性,Levenes檢驗(yàn) F=9.44 P0.01,三、數(shù)據(jù)變換,對于一些明顯偏離正態(tài)性和方差齊性條件的資料，可以通過數(shù)據(jù)變換的方法以改善其假定條件，使方差分析的結(jié)果趨于穩(wěn)健。常用的數(shù)據(jù)變換方法有： 1.平方根反正弦變換（arcsine square root transformation） 當(dāng)觀察值為服從二項(xiàng)分布的比例資料

24、時，由于當(dāng)樣本平均值靠近0或1時方差小，而在0.5時方差最大，這時宜采用平方根反正弦變換，將比例數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為新數(shù)據(jù)后再進(jìn)行方差分析。設(shè)原觀察值為Y（用小數(shù)表示），變換后的新值為X。變換公式有兩種：,（1）用角度表示的變換公式為： （2）用弧度表示的變換公式為： 上面兩個公式中的sin-1為反正弦函數(shù)，為圓周率。例如 Y0.53（即53），用式（8-14）變換為用式（8-15）變換為,2.平方根變換（squae root transformation）平方根變換法適用于觀察值為服從泊松分布的計數(shù)資料。由于這類資料的方差等于平均值，當(dāng)平均值大時方差也大。平方根變換公式為： 3.對數(shù)變換（logari

25、thm transformation）對數(shù)變換適用于某些服從對數(shù)正態(tài)分布的資變換公式為： （當(dāng)cv接近于一個常數(shù)時） Xlog10(Y)（8-17） 由于0和負(fù)值無對數(shù)，這時可改用，Xlog10(Y+a),a為任意常數(shù)。數(shù)據(jù)變換的缺點(diǎn)是對分析結(jié)果作解釋欠直觀。,對上例數(shù)據(jù)用對數(shù)轉(zhuǎn)換： 令 y= log10(x),得:,轉(zhuǎn)換后：方差齊性,Levenes檢驗(yàn) F=1.53 P=0.23,方差分析（二） Analysis of Variance (ANOVA),學(xué)習(xí)要點(diǎn),兩因素方差分析的定義； 兩因素方差分析設(shè)計基本思想； 多因素方差分析； 重復(fù)測量方差分析,方差分析,單因素：完全隨機(jī)設(shè)計 兩因素：

26、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計 多因素：析因、拉丁方、正交設(shè)計,重復(fù)測量設(shè)計,單組 多組,方差分析（二） 兩因素、多因素方差分析,第一節(jié) 兩因素方差分析（隨機(jī)區(qū)組設(shè)計） 第二節(jié) 多因素方差分析（析因設(shè)計） 第三節(jié) 重復(fù)測量設(shè)計方差分析,第一節(jié) 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計資料（配伍組） 雙因素,資料類型： 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計（randomized block design）是將受試對象按自然屬性（如實(shí)驗(yàn)動物的窩別、體重，病人的性別、年齡及病情等）相同或相近者組成區(qū)組，然后把每個區(qū)組中的受試對象隨機(jī)地分配給不同處理。設(shè)計中有兩個因素，一個是處理因素，另一個是按自然屬性形成的區(qū)組。區(qū)組的選擇原則是“區(qū)組間差別越大越好，區(qū)組內(nèi)差別越小越好

27、”。,它是比完全隨機(jī)設(shè)計更精細(xì)的一種設(shè)計方法，這樣設(shè)計的資料作方差分析的檢驗(yàn)效能較高，因?yàn)樵诖朔N設(shè)計的方差分析表中多了一個分析內(nèi)容區(qū)組間的變異，致使誤差均方有一定程度的縮小。,兩因素方差分析定義： 既分析各處理組間有無差別，又同時分析各配伍組間有無差別，以說明研究因素和配伍因素有無影響均數(shù)間比較的檢驗(yàn)方法。,兩因素方差分析基本思想： 將所有測量值上的總變異按照其變異的來源分解為三個部分： 1）處理組間變異（處理因素的影響）用MS處理表示 2）區(qū)組間的變異（配伍因素的影響）用MS區(qū)組表示 3）誤差變異（個體因素的影響）用MS誤差表示 F處理= MS處理/ MS誤差 ；F區(qū)組 = MS區(qū)組/ MS

28、誤差 如果：處理因素（或配伍因素）確無效的話， F 1； 處理組因素（或配伍因素）確有效的話，F(xiàn) 1 F越大，P值越小，就越有理由認(rèn)為組間有差別。,隨機(jī)區(qū)組設(shè)計的方差分析表,表8 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計的方差分析表,例2: 利用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計研究不同溫度對家兔血糖濃度的影響，某研究者進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)：將24只家兔按窩別配成6個區(qū)組，每組4只，分別隨機(jī)分配到溫度15、20、25、30的4個處理組中，測量家兔的血糖濃度值(mmol/L)，結(jié)果如下表9.4所示，分析4種溫度下測量家兔的血糖濃度值是否不同？,表9 四種溫度下測量家兔的血糖濃度值(mmol/L),離均差平方和與自由度的分解,總變異 4種溫度的影響、6

29、個窩別的影響和隨機(jī)誤差 處理組變異(variation between treatment) 區(qū)組變異(variation between block) 誤差變異,建立假設(shè)檢驗(yàn)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn),處理組 ：4個總體均數(shù)全相等，即4種溫度下家兔血糖 濃度值相同 ：4個總體均數(shù)不全相等，即4種溫度下家兔血 糖濃度值不全相同 區(qū)組 ：6個總體均數(shù)全相等，即不同窩別家兔血糖濃 度相同 ：6個總體均數(shù)不全相等，即不同窩別家兔血糖 濃度不全相同,表10 例2資料的方差分析表,確定P值并作出統(tǒng)計推斷,在隨機(jī)區(qū)組設(shè)計的方差分析時，研究者感興趣的是研究因素。但是區(qū)組效應(yīng)是否有統(tǒng)計學(xué)意義也是相當(dāng)重要。,當(dāng)設(shè)計方案配對

30、設(shè)計時，隨機(jī)區(qū)組設(shè)計方差分析所算得處理因素統(tǒng)計量F與配對t檢驗(yàn)所得統(tǒng)計量t 有如下關(guān)系： F=t2,N-g (n1-1 + n2-1 + n3-1 +.ng -1）,第二節(jié) 析因設(shè)計方差分析 （析因設(shè)計是一種多因素的交叉分組設(shè)計）,回顧：什么是析因設(shè)計,例：在評價藥物療效時，除需知道A藥和B藥各劑量的療效外（主效應(yīng)），還需知道兩種藥同時使用的交互效應(yīng)。 析因設(shè)計及相應(yīng)的方差分析能分析藥物的單獨(dú)效應(yīng)、主效應(yīng)和交互效應(yīng)。,析因設(shè)計 factorial design是一種多因素的交叉分組設(shè)計。它不僅可檢驗(yàn)每個因素各水平間的差異，而且可檢驗(yàn)各因素間的交互作用。兩個或多個因素如存在交互作用，表示各因素不

31、是各自獨(dú)立的，而是一個因素的水平有改變時，另一個或幾個因素的效應(yīng)也相應(yīng)有所改變；反之，如不存在交互作用，表示各因素具有獨(dú)立性，一個因素的水平有所改變時不影響其他因素的效應(yīng)。,22析因設(shè)計,22=4種處理,2因素2水平全面組合,23=6種處理,23析因設(shè)計,222 =8種處理,222析因設(shè)計,33析因試驗(yàn)舉例,考察不同劑量考的松和黨參對ATP酶活力的作用。 A因素(考的松) 不用 低劑量 高劑量 不用 O A1 A2 B因素 低劑量 B1 A1 B1 A2 B1 高劑量 B2 A1 B2 A2 B2,析因設(shè)計的方差分析,是一種多因素設(shè)計。 例如，兩個因素時，第1個因素有3個水平，第2個因素有2個

32、水平，全部因素組合共有326種組合。 每種組合都作試驗(yàn)時就是析因試驗(yàn)設(shè)計。此試驗(yàn)設(shè)計也可稱為32析因試驗(yàn)設(shè)計。 342析因試驗(yàn)設(shè)計，有 因素， 個水平。,3個,3，4和2,衛(wèi)生統(tǒng)計學(xué)教研室,二、 析因設(shè)計的有關(guān)術(shù)語,單獨(dú)效應(yīng)（simple effects）： 主效應(yīng)（main effects）： 交互作用（Interaction）：,（一）單獨(dú)效應(yīng),其它因素水平固定時，同一因素不同水平間效應(yīng)的差別,B因素固定在1水平時，A因素的單獨(dú)效應(yīng)為？,4,（二）主效應(yīng),某一因素各水平單獨(dú)效應(yīng)的平均差別,Am=(a2b2- a1b2)+(a2b1- a1b1)/2=16+4/2=10,Bm=(a1b2-

33、a1b1)+( a2b2- a2b1)/2 =10+22/2=16,(三)交互效應(yīng),若一個因素的單獨(dú)效應(yīng)隨另一個因素水平的變化而變化，且變化的幅度超出隨機(jī)波動的范圍時，稱該兩因素間存在交互效應(yīng)。,AB=( a2b2- a1b2)-(a2b1- a1b1)/2= (16-4)/2=6,AB=( a2b2- a2b1)-(a1b2- a1b1)/2=(22-10)/2=6,正交互效應(yīng)（協(xié)同作用）：,負(fù)交互作用（拮抗作用）：,存在交互效應(yīng),表示4個處理組A1B1,A2B1 ,A1B2,A2B2對應(yīng)的總體均值,兩因素聯(lián)合（共同）作用大于其單獨(dú)作用之和,兩因素聯(lián)合作用小于其單獨(dú)作用之和,協(xié)同作用,未用a

34、藥,用a藥,未用b藥,用b藥,拮抗作用,析因設(shè)計的方差分析,析因試驗(yàn)設(shè)計能夠檢驗(yàn)每個因素的各水平間主要變量的平均值的統(tǒng)計差異，也能檢驗(yàn)因素間的交互影響。 當(dāng)存在交互影響時，表示一個因素各水平間的差異隨著另一個因素的水平改變而不同； 當(dāng)不存在交互作用時，則各因素獨(dú)立，即一個因素各水平改變時，不影響另另一個因素的各水平之效應(yīng)。,析因設(shè)計的方差分析,某研究所對甲、乙兩藥的降膽固醇作用進(jìn)行研究，將甲藥視作因素1，下有兩個水平，水平1為不加甲藥，水平2為加甲藥。乙藥為因素2，水平1為不加乙藥，水平2為加乙藥。構(gòu)成了2 2=4個水平組合。試驗(yàn)中將12個高膽固醇病人隨機(jī)分為四組進(jìn)行治療，觀察膽固醇的下降值（

35、mmol/L）。 因素2 因素1 水平1 水平2 小計 水平1 0.416 0.728 0.650 0.806 0.468 0.598 3.666 水平2 1.456 1.664 1.144 2.028 1.092 2.080 9.464 小計 5.226 7.904 13.130,假 設(shè) 檢 驗(yàn),1. H0: 因素1各水平的膽固醇的平均降低值相同; H1: 因素1各水平的膽固醇的平均降低值不相同; 2. H0: 因素2各水平的膽固醇的平均降低值相同; H1: 因素2各水平的膽固醇的平均降低值不相同; 3. H0: 因素1各水平的膽固醇的平均下降值的差異,獨(dú)立于因素2,或者因素2各水平的膽固醇

36、的平均下降值的差異, 獨(dú)立于因素1; H1: 兩者不獨(dú)立; (即檢驗(yàn)兩個因素的交互作用),SAS程序,Data dat4; Do a = 1 to 2; Do b = 1 to 2; proc glm data=dat4; Do i = 1 to 3; class a b; Input x ; model x=a b a*b; Output; means a b a*b; End; run; End; End; Cards; ;,優(yōu)點(diǎn)： 研究多因素的效應(yīng) 分析因素的交互作用 節(jié)約樣本含量 缺點(diǎn) 統(tǒng)計分析較復(fù)雜 臨床科研中不宜得到適宜交互作用分析的資料 因素和水平數(shù)均不宜過多，否則實(shí)驗(yàn)量太大,例

37、3：,為研究某降血糖藥物對糖尿病及正常大鼠心肌磺脲類藥物受體SUR1的mRNA的影響，某研究者進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)：將24只大鼠隨機(jī)等分成4組：兩組正常大鼠，另兩組制成糖尿病模型，糖尿病模型的兩組分別進(jìn)行給藥物和不給藥物處理，剩余兩組正常大鼠也分別進(jìn)行給藥物和不給藥物處理,表12 4種不同處理情況下吸光度的值(%),單獨(dú)效應(yīng) (simple effect) 主效應(yīng) (main effect) 交互效應(yīng),表13 例3資料吸光度均數(shù)的差別,A因素的主效應(yīng),B因素的單獨(dú)效應(yīng),B因素的單獨(dú)效應(yīng),交互效應(yīng),指兩個或多個因素間的效應(yīng)互不獨(dú)立的情形 AB兩因素的交互效應(yīng)的計算公式為：,AB交互效應(yīng) BA交互效應(yīng),

38、圖 22析因設(shè)計交互作用示意圖,吸光度均數(shù)（）,正常大鼠,離均差平方和與自由度的分解,建立檢驗(yàn)假設(shè)并確定檢驗(yàn)水準(zhǔn),因素A H0：糖尿病和正常大鼠吸光度值的總體均數(shù)相等 H1：糖尿病和正常大鼠吸光度值的總體均數(shù)不相等 因素B H0：使用藥物和不使用藥物治療吸光度值的總體均 數(shù)相等 H1：使用藥物和不使用藥物治療吸光度值的總體均 數(shù)不相等 AB交互作用 H0：使用和不使用藥物治療對糖尿病和正常大鼠吸 光度值無影響 H1：使用和不使用藥物治療對糖尿病和正常大鼠吸光 度值有影響,計算檢驗(yàn)統(tǒng)計量,總=-1= 24 -1=2 3 處理=(A的水平數(shù)B的水平數(shù))-1 =(2 2)-1=3 A=A的水平數(shù)-1

39、=2-1=1 B=B的水平數(shù)-1=2-1=1 AB= (2 -1) (2 -1) = 1 e =(2 2) (6-1)=20,總-處理=23-3,表14 例3資料方差分析表,確定p值并作出推斷結(jié)論,如要分析A因素或B因素的單獨(dú)效應(yīng)，應(yīng)固定在A因素的基線水平來分析B因素的作用，或者固定在B因素的基線水平來分析A因素的作用 。,若交互作用無統(tǒng)計學(xué)意義 SS總= SSA+SSB+SS誤差 其中SS誤差為交互作用的離均差平方與誤差離均差平方相加而得。它們的自由度是由兩者的自由度相加而得。,SAS程序 兩因素方差分析（two-way anova）,例4 ： 為探索丹參對肢體缺血再灌注損傷的影響，將30只

40、純種新西蘭實(shí)驗(yàn)用大白兔，按窩別相同、體重相近劃分為10個區(qū)組。每個區(qū)組3只大白兔隨機(jī)采用A、B、C三種處理方案，即在松止血帶前分別給予丹參2ml/kg、丹參1ml/kg、生理鹽水2ml/kg，在松止血帶前及松后1小時分別測定血中白蛋白含量(g/L)，算出白蛋白減少量如下表9-6所示，問A、B兩方案分別與C方案的處理效果是否不同？,data aa2; do treat=1 to 3; do block=1 to 10; input x; output; end;end; cards; 2.21 2.32 3.15 1.86 2.56 1.98 2.37 2.88 3.05 3.42 2.91 2

41、.64 3.67 3.29 2.45 2.74 3.15 3.44 2.61 2.86 4.25 4.56 4.33 3.89 3.78 4.62 4.71 3.56 3.77 4.23 ;,proc glm; class treat block; model x=treat block/SS1; /*treat處理組，block為區(qū)組*/ means treat/dunnett (3); /*指定第三組為對照組*/ run;,第三節(jié) 重復(fù)測量設(shè)計方差分析,方差分析,單因素：完全隨機(jī)設(shè)計 兩因素：隨機(jī)區(qū)組設(shè)計 多因素：析因、拉丁方、正交設(shè)計,重復(fù)測量設(shè)計,單組 多組,一、重復(fù)測量資料的數(shù)據(jù)特征

42、,當(dāng)對同一受試對象在不同時間重復(fù)測量次數(shù)p3時，稱為重復(fù)測量設(shè)計或重復(fù)測量數(shù)據(jù)。,重復(fù)測量資料,同一受試對象的同一觀察指標(biāo)在不同時間點(diǎn)上進(jìn)行多次測量所得的資料，常用來分析該觀察指標(biāo)在不同時間點(diǎn)上的變化。有時是從同一個體的不同部位（或組織）上重復(fù)測量獲得的指標(biāo)的觀測值。,目的：就是比較不同時間點(diǎn)動態(tài)變化趨勢的特征,想一想？,同一觀察單位具有多個觀察值，而這些觀察值來自同一受試對象的不同時點(diǎn)（部位等）,這類數(shù)據(jù)間往往有相關(guān)性存在，違背了方差分析要求數(shù)據(jù)滿足獨(dú)立性基本條件。,在這種情況下：,若使用一般的方差分析，就不能充分揭示出內(nèi)在的特點(diǎn)，有時甚至?xí)贸鲥e誤結(jié)論。,所以重復(fù)測量資料需要采用專門的統(tǒng)計

43、分析方法，該方法是近代統(tǒng)計學(xué)研究的熱點(diǎn)之一。,實(shí)際中：重復(fù)測量資料比獨(dú)立資料更多見,臨床研究中，需要觀察病人在不同時間的某些生理、生化或病理指標(biāo)的變化趨勢，研究不同時間或療程的治療效果。 流行病學(xué)研究中，觀察隊(duì)列人群在不同時間上的發(fā)病情況。研究不同職業(yè)、性別人群實(shí)施某種控制后，不同時間的多次效果考察。 衛(wèi)生學(xué)研究中，縱向觀察兒童生長發(fā)育規(guī)律等，不同地區(qū)和環(huán)境營養(yǎng)狀況。,重復(fù)測量數(shù)據(jù)在醫(yī)學(xué)研究中十分常見，而且統(tǒng)計表達(dá)和分析誤用情況嚴(yán)重。,主要優(yōu)點(diǎn),減少樣本含量 控制個體變異 非實(shí)驗(yàn)因素（干擾因素）,主要缺點(diǎn),滯留效應(yīng)（carry-over effect） 潛隱效應(yīng)（latent effect）

44、學(xué)習(xí)效應(yīng)（learning effect）,120,重復(fù)測量設(shè)計與配對設(shè)計的區(qū)別？,1. 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計要求每個區(qū)組內(nèi)實(shí)驗(yàn)單位彼此獨(dú)立,區(qū)組號 A營養(yǎng)素 B營養(yǎng)素 C營養(yǎng)素 1 50.10 58.20 64.50 2 47.80 48.50 62.40 3 53.10 53.80 58.60 4 63.50 64.20 72.50 5 71.20 68.40 79.30 6 41.40 45.70 38.40 7 61.90 53.00 51.20 8 42.20 39.80 46.20,表 A、B、C 3種營養(yǎng)素喂養(yǎng) 小白鼠所增體重（克）,處理因素只能在 區(qū)組內(nèi)隨機(jī)分配 每個實(shí)驗(yàn)單位接 受處理

45、是不同的 見右表：,重復(fù)測量設(shè)計與隨機(jī)區(qū)組設(shè)計的區(qū)別？,2. 重復(fù)測量設(shè)計區(qū)組內(nèi)實(shí)驗(yàn)單位彼此不獨(dú)立,同一受試的血樣重復(fù)測量結(jié)果是高度相關(guān),提示：分析存在一定的復(fù)雜性。,小結(jié) 重復(fù)測量資料的特點(diǎn),重復(fù)測量數(shù)據(jù)：是對同一受試對象的某個觀察指標(biāo)進(jìn)行連續(xù)觀測所得到的數(shù)據(jù) 至少有兩個因素：處理因素、時間因素 重復(fù)測量的試驗(yàn)結(jié)果是按時間順序固定排列的，不能像隨機(jī)區(qū)組設(shè)計的處理那樣經(jīng)過隨機(jī)排列 同一個體不同時間測量值之間高度相關(guān),重復(fù)測量資料,多變量重復(fù)測量方差分析,單變量重復(fù)測量方差分析,二、重復(fù)測量資料分類repeated measurement data,多變量重復(fù)測量方差分析,單變量重復(fù)測量方差分析

46、,二、重復(fù)測量資料分類repeated measurement data,兩組,單組,重復(fù)測量資料,單變量重復(fù)測量方差分析,1. 單組重復(fù)測量 指同一組內(nèi)（或接受同一種處理）的多個受試者，在多個時間點(diǎn)上的反應(yīng)變量所作的測量，又稱為單變量重復(fù)測量。,2.多組重復(fù)測量（多組并不等于多因素） 指將受試者按處理的不同水平分為幾個組，對這些組內(nèi)的每一受試者，都在不同時間點(diǎn)對他們的反應(yīng)變量進(jìn)行測量。,重復(fù)測量資料方差分析的條件： 1. 正態(tài)性 處理因素的各處理水平的樣本個體之間是相互獨(dú)立的隨機(jī)樣本，其總體均數(shù)服從正態(tài)分布； 2. 方差齊性 相互比較的各處理水平的總體方差相等，即具有方差齊同 3. 各時間點(diǎn)

47、組成的協(xié)方差陣(covariance matrix)具有球形性(sphericity)特征。,Box（1954）指出，若球形性質(zhì)得不到滿足，則方差分析的F值是有偏的，這會造成過多的拒絕本來是真的無效假設(shè)(增加型錯誤)。,三、重復(fù)測量資料分析的前提條件,概念：,協(xié)方差陣的球?qū)ΨQ性是指該對角線元素（方差）相等、非主對角線元素（協(xié)方差）為零,球形性,協(xié)方差陣的球形性質(zhì)是指該矩陣主對角線元素(方差)相等、非主對角線元素(協(xié)方差)為零。 常用Mauchly氏法檢驗(yàn)協(xié)方差陣的球形性質(zhì)。 Mauchly氏檢驗(yàn)的P值若大于研究者所選擇的顯著性水準(zhǔn)時，說明協(xié)方差陣的球形性質(zhì)得到滿足。否則，必須對與時間有關(guān)的F統(tǒng)

48、計量的分子、分母自由度進(jìn)行調(diào)整，以便減少犯I類錯誤的概率。調(diào)整系數(shù)為(讀作epsilon)。,球形對稱的實(shí)際意義舉例,s1-22 = 10 + 20 - 2(5) = 20 s1-32 = 10 + 30 - 2(10) = 20 s1-42 = 10 + 40 - 2(15) = 20 s2-32 = 20 + 30 - 2(15) = 20 s2-42 = 20 + 40 - 2(20) = 20 s3-42 = 30 + 40 - 2(25) = 20,本例差值對應(yīng)的方差精確相等，說明球形對稱。,球形對稱的檢驗(yàn),用Mauchly法檢驗(yàn)協(xié)方差陣是否為球形 H0：資料符合球形要求， H1：資

49、料不滿足球形要求 檢驗(yàn)的P值若大于研究者所選擇的顯著性水準(zhǔn)時，說明協(xié)方差陣的球形性質(zhì)得到滿足。,球形條件不滿足怎么辦,常有兩種方法可供選擇： 采用MANOVA（多變量方差分析方法） 2. 對重復(fù)測量ANOVA檢驗(yàn)結(jié)果中與時間有關(guān)的F值的自由度進(jìn)行調(diào)整（調(diào)小）,(1) Geenhouse-Geisser調(diào)整系數(shù)(G-G) (2) Huynh-Feldt調(diào)整系數(shù)(H-F),分子自由度,分母自由度,自由度調(diào)整方法1,自由度調(diào)整方法2,調(diào)整規(guī)則,對具有重復(fù)測定性質(zhì)的時間效應(yīng)和處理*時間的交互作用的F值的自由度進(jìn)行調(diào)整。 調(diào)整后的F臨界值較原先大，提高了拒絕H0的門檻。減少了犯I類錯誤的概率。,四舉例：

50、單組重復(fù)測量數(shù)據(jù)的方差分析,觀察10名慢性乙型肝炎患者治療前、治療12周、24周、36周四個時間點(diǎn)上谷丙轉(zhuǎn)氨酶（ALT）水平的變化趨勢，結(jié)果見下表，試進(jìn)行統(tǒng)計推斷。,分析: 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上與完全區(qū)組設(shè)計相似但實(shí)質(zhì)不同,各觀測點(diǎn)時間順序是固定的，不能隨機(jī)分配；不同觀測點(diǎn)數(shù)據(jù)彼此不獨(dú)立或不完全獨(dú)立，存在一定的相關(guān)性。,SAS結(jié)果中包括偏相關(guān)陣,例題 1.建立假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)0.01,2.進(jìn)行球?qū)ΨQ性檢驗(yàn),球?qū)ΨQ性通常采用Mauchlys test檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)來判斷,3.調(diào)整時間點(diǎn)F值的自由度,當(dāng)資料滿足“球?qū)ΨQ”(Sphericity)條件時（ P） ，不作調(diào)整。 當(dāng)資料不滿足“球?qū)ΨQ” 條件時（ P） ，時間點(diǎn)間F值的自由度需要調(diào)整。,4. 計算F值,球?qū)ΨQ性通常采用Mauchlys test檢驗(yàn)來判斷,其結(jié)果按0.1水準(zhǔn)檢驗(yàn)，不滿足球?qū)ΨQ性，對系數(shù)進(jìn)行校正，其結(jié)果如下：,結(jié)果顯示：治療前與治療后不同時間轉(zhuǎn)氨酶平均水平不同。,5.單組重復(fù)測量方差分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),6.基本程序格式,Nouni 不打印輸出單變量分析結(jié)果 Printe 產(chǎn)生Mauchly 球性檢驗(yàn)的統(tǒng)計量2、P值,分析：單組重復(fù)測量數(shù)據(jù)分析的缺陷只能分析觀察對象的觀測值在不同時間點(diǎn)的差別。,專業(yè)認(rèn)為：不同時間點(diǎn)上的觀測值變化可能是“處理”的作用，也可能是患