數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入的知識(shí)點(diǎn)

1、 備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解復(fù)數(shù)的基本概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法和幾何意義，會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算3.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.1.以選擇題的形式考查復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義，如2012年北京T3，江西T5等2.以選擇題或填空題的形式考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，特別是除法運(yùn)算，如2012年新課標(biāo)全國(guó)T3，山東T1，浙江T2等.歸納知識(shí)整合1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念內(nèi)容意義備注復(fù)數(shù)的概念設(shè)a，b都是實(shí)數(shù)，形如abi的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中實(shí)部為a，虛部為b，i叫做虛數(shù)單位若b0，則abi是實(shí)數(shù)，若b0，則abi是虛數(shù)，若a0且b0，則abi是純虛數(shù)復(fù)數(shù)相等abi

2、cdiac且bd(a，b，c，dR)共軛復(fù)數(shù)abi與cdi共軛ac且bd(a，b，c，dR)復(fù)平面建立平面直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面，x軸叫實(shí)軸，y軸叫虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)復(fù)數(shù)的模向量的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)zabi的模|z|abi|探究1.復(fù)數(shù)abi(a，bR)為純虛數(shù)的充要條件是a0嗎？提示：不是，a0是abi(a，bR)為純虛數(shù)的必要條件，只有當(dāng)a0，且b0時(shí)，abi才為純虛數(shù)2復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)zabi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)與平面向量 (a，bR)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系3復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1abi，z2cdi(a，

3、b，c，dR)，則加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；減法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)復(fù)數(shù)的加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何z1、z2、z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)(3)復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律、分配律，即對(duì)于任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)，z1(z2z3)z1z2z1z3.探究2.z1、z2是復(fù)數(shù)，z1z20，那么z1z2，這個(gè)命題是真命題嗎？提

4、示：假命題例如：z11i，z22i，z1z230，但z1z2無(wú)意義，因?yàn)樘摂?shù)無(wú)大小概念3若z1，z2R，zz0，則z1z20，此命題對(duì)z1，z2C還成立嗎？提示：不一定成立比如z11，z2i滿足zz0.但z10，z20.自測(cè)牛刀小試1(教材習(xí)題改編)復(fù)數(shù)z(2i)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選Az(2i)i2ii212i故復(fù)數(shù)z(2i)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,2)，位于第一象限2(教材習(xí)題改編)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是()Ai BiC.i Di解析：選Bi，其共軛復(fù)數(shù)為i.3(2012安徽高考)復(fù)數(shù)z滿足(zi)i2i，則z()A1i B1iC13i

5、 D12i解析：選B設(shè)zabi，則(zi)ib1ai2i，由復(fù)數(shù)相等的概念可知，b12，a1，所以a1，b1.4已知bi(a，bR)其中i為虛數(shù)單位，則ab_.解析：根據(jù)已知可得bi2aibi即從而ab1.答案：15設(shè)a是實(shí)數(shù)，且是實(shí)數(shù)，則a_.解析：為實(shí)數(shù)，故1a0，即a1.答案：1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念例1(1)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a為()A2B2CD.(2)(2012江西高考)若復(fù)數(shù)z1i(i為虛數(shù)單位)，是z的共扼復(fù)數(shù)，則z22的虛部為()A0 B1 C1 D2自主解答(1)若i為純虛數(shù)，則故a2.(2)z22(1i)2(1i)20，z22的虛部為0.答案(1)A(2)A若本例

6、(1)中為實(shí)數(shù)，則a為何值？解：若i為實(shí)數(shù)，則0，即a. 解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問(wèn)題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為abi(a，bR)的形式，以確定實(shí)部和虛部1(1)已知0a2，復(fù)數(shù)z的實(shí)部為a，虛部為1，則|z|的取值范圍是()A(1,5) B(1,3)C(1, ) D(1, )(2)設(shè)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的共軛復(fù)數(shù)為abi，則z為()A實(shí)數(shù) B純虛數(shù)C0 D零或純虛數(shù)解析：(1)選C由題意，zai，故|z|，0a2，1a215，從而1，

7、即1|z|.(2)選Dz(abi)(abi)2bi，當(dāng)b0時(shí)，z為0；當(dāng)b0時(shí)，z為純虛數(shù)復(fù)數(shù)的幾何意義例2(1)(2012北京高考)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A(1,3)B(3,1)C(1,3) D(3，1)(2)(2012東營(yíng)模擬)若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()AE BFCG DH自主解答(1)由13i得，該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,3)(2)依題意得z3i，2i，該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2，1)答案(1)A(2)D復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)(1)實(shí)數(shù)、純虛數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別在實(shí)軸和虛軸上；(2)若實(shí)部為正且虛部為正，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限；(3)若實(shí)部為負(fù)

8、且虛部為正，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限；(4)若實(shí)部為負(fù)且虛部為負(fù)，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限；(5)若實(shí)部為正且虛部為負(fù)，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限；(6)此外，若復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在某些曲線上，還可寫出代數(shù)形式的一般表達(dá)式如：若復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線x1上，則z1bi(bR)；若復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線yx上，則zaai(aR)，這在利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式解題中能起到簡(jiǎn)化作用2復(fù)數(shù)z134i，z20，z3c(2c6)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若BAC是鈍角，求實(shí)數(shù)c的取值范圍解：在復(fù)平面內(nèi)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,4)，B(0,0)，C(c,2c6)，由BAC是鈍角得0，且A，B，C不共線，由(3，4)(c3

9、,2c10).其中當(dāng)c9時(shí)，(6,8)2，此時(shí)A，B，C三點(diǎn)共線，故c9.所以c的取值范圍是.復(fù)數(shù)的運(yùn)算例3(1)(2012山東高考)若復(fù)數(shù)z滿足z(2i)117i(i為虛數(shù)單位)，則z為()A35iB35iC35i D35i(2)(2012江蘇高考)設(shè)a，bR，abi(i為虛數(shù)單位)，則ab的值為_自主解答(1)由題意知z35i.(2)53iabi，ab8.答案(1)A(2)8在本例(1)中，試求(1z)的值解：z35i，35i(1z)(45i)(35i)1220i15i25375i. 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算技巧復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，此時(shí)含有虛數(shù)單位i的看作一類，不含i的看作另一類，

10、分別合并即可，但要注意把i的冪寫成最簡(jiǎn)單的形式，在運(yùn)算過(guò)程中，要熟悉i的特點(diǎn)及熟練應(yīng)用運(yùn)算技巧3已知z1(3xy)(y4x)i(x，yR)，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)設(shè)zz1z2，且z132i，求z1，z2.解：zz1z2(3xy)(y4x)i(4y2x)(5x3y)i(5x3y)(x4y)i，又z132i，故解得于是，z1(321)(142)i59i，z2(422)(5231)i87i.1個(gè)分類復(fù)數(shù)的分類對(duì)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，當(dāng)b0時(shí)，z為實(shí)數(shù)；當(dāng)b0時(shí)，z為虛數(shù)；當(dāng)a0，b0時(shí)，z為純虛數(shù)2個(gè)技巧復(fù)數(shù)的運(yùn)算技巧(1)設(shè)zabi(a，bR)，利用復(fù)數(shù)相等和相關(guān)性質(zhì)將復(fù)數(shù)

11、問(wèn)題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的常用方法(2)在復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算中，加、減、乘運(yùn)算按多項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)行，除法則需分母實(shí)數(shù)化3個(gè)結(jié)論復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算中常用的幾個(gè)結(jié)論在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，記住以下結(jié)論，可提高計(jì)算速度(1)(1i)22i；i；i；(2)baii(abi)；(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*.創(chuàng)新交匯復(fù)數(shù)命題新動(dòng)向1復(fù)數(shù)多以客觀題的形式考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算，也經(jīng)常將復(fù)數(shù)的基本概念與基本運(yùn)算相結(jié)合，復(fù)數(shù)冪的運(yùn)算與復(fù)數(shù)除法相結(jié)合，復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算與復(fù)數(shù)的幾何意義相結(jié)合，復(fù)數(shù)與方程相結(jié)合，復(fù)數(shù)與集合相結(jié)合等形成交匯命題2解決此類問(wèn)題的關(guān)

12、鍵是把握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則準(zhǔn)確進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算典例(2011陜西高考)設(shè)集合My|y|cos2xsin2x|，xR，N，則MN為()A(0,1)B(0,1C0,1) D0,1解析對(duì)于集合M，函數(shù)y|cos2x|，其值域?yàn)?,1，所以M0,1根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算方法得不等式 ，即x21，所以N(1,1)，則MN0,1)正確選項(xiàng)為C.答案C1本題具有以下創(chuàng)新點(diǎn)不同于以往的復(fù)數(shù)高考題，不是單獨(dú)考查復(fù)數(shù)的基本知識(shí)，而是和三角函數(shù)、不等式、集合相交匯出題，綜合性較大，是高考題的一個(gè)新動(dòng)向2解決本題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn)(1)弄清集合的元素集合M為函數(shù)的值域，集合N為不等式的解集，把M、N具體化(2)正

13、確識(shí)別為復(fù)數(shù)的模，而非實(shí)數(shù)的絕對(duì)值1(2012上海高考)若1i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2bxc0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則()Ab2，c3 Bb2，c3Cb2，c1 Db2，c1解析：選B由于1i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2bxc0的一個(gè)根，則(1i)2b(1i)c0，整理得(bc1)(2b)i0，則解得2已知定義在復(fù)數(shù)集C上的函數(shù)滿足f(x)則f(f(1i)等于_解析：由已知得f(1i)|i|1，故f(1)1132，即f(f(1i)2.答案：2一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1(2012陜西高考)設(shè)a，bR，i是虛數(shù)單位，則“ab0”是“復(fù)數(shù)a為純虛數(shù)”的()A充分不必要條件B必要不充分條

14、件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B復(fù)數(shù)aabi為純虛數(shù)，則a0，b0；而ab0表示a0或者b0，故“ab0”是“復(fù)數(shù)a為純虛數(shù)”的必要不充分條件2(2012新課標(biāo)全國(guó)卷)下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z的四個(gè)命題：p1：|z|2, p2：z22i，p3：z的共軛復(fù)數(shù)為1i, p4：z的虛部為1.其中的真命題為()Ap1，p3 Bp1，p2Cp2，p4 Dp3，p4解析：選C復(fù)數(shù)z1i，|z|，z2(1i)2(1i)22i，z的共軛復(fù)數(shù)為1i，z的虛部為1，綜上可知p2，p4是真命題3已知f(x)x2，i是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面中復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：

15、選Af(1i)(1i)22i，則i，故對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限4(2013臨汾模擬)復(fù)數(shù)zi(i1)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是()A1i B1iC1i D1i解析：選Azi(i1)1i，z的共軛復(fù)數(shù)是1i.5若(xi)iy2i，x，yR，則復(fù)數(shù)xyi()A2i B2iC12i D12i解析：選B由(xi)iy2i得xi1y2i.x，yR，x2，y1，故xyi2i.6若復(fù)數(shù)za21(a1)i(aR)是純虛數(shù)，則的虛部為()A BiC. D.i解析：選A由題意得所以a1，所以i，根據(jù)虛部的概念，可得的虛部為.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7(2012湖北高考)若abi(a，b為實(shí)數(shù)，

16、i為虛數(shù)單位)，則ab_.解析：由abi，得a，b，解得b3，a0，所以ab3.答案：38i為虛數(shù)單位，_.解析：iiii0.答案：09已知復(fù)數(shù)x26x5(x2)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_解析：x為實(shí)數(shù)，x26x5和x2都是實(shí)數(shù)由題意，得解得即1x2.故x的取值范圍是(1,2)答案：(1,2)三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4).解：(1)13i.(2)i.(3)1.(4)i.11實(shí)數(shù)m分別取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z(m25m6)(m22m15)i(1)與復(fù)數(shù)212i相等；(2)與復(fù)數(shù)1216i互為共軛復(fù)數(shù)；(3)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸上方解：(1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得解之得m1.(2)根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義得解之得m1.(3)根據(jù)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)在x軸上方可得m22m150，解之得m3或m5.12復(fù)數(shù)z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值解：1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是實(shí)數(shù)，a22a150.解得a5或a3.分母a50，a5，故a3.1若復(fù)數(shù)z(x21)(x1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為()A1B0C1 D1或1解析：選A由復(fù)數(shù)的概念，若復(fù)數(shù)z(x21)(x1