第二章導(dǎo)數(shù)微分以及應(yīng)用.ppt

1、1,南京 海天 教育 考研 高輔 課程 高等數(shù)學(xué),授課人：周薔,2010年12月19日,2,聽課要求：,1.參考教材是知識(shí)體系的最大范圍，而考試范圍僅僅是教材的子集，對(duì)于（數(shù)一，二，三）要求是有差異的，并非教材上都是考點(diǎn)，即使考點(diǎn)也有主次之分，搞清楚主次有利于時(shí)間的利用率和復(fù)習(xí)重心的把握。 2.上課記筆記回去可以找到依據(jù)來進(jìn)一步消化 3.以課堂講授的概念為重點(diǎn)來消化知識(shí)和構(gòu)建自 己的知識(shí)體系，課后訓(xùn)練的習(xí)題均應(yīng)以此為主線來選取強(qiáng)化理解，切不可偏離主線。,3,授課提綱：,本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖表 章節(jié)內(nèi)容在考研中的知識(shí)點(diǎn)分布 章節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容串講 配合習(xí)題講解 答疑,4,一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用,第二章一元函

2、數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用,6,數(shù)學(xué)一，二，三考研大綱中涉及本章知識(shí)點(diǎn)分布：,理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與關(guān)系 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系 導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程法線方程 導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量 導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義（含邊際與彈性的概念）（數(shù)三） 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則，會(huì)求復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用一階微分形式的不變性求函數(shù)的微分以及逆向湊微分 高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),7,理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用 會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形

3、的凹凸性（會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形 （數(shù)一，數(shù)二）了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑 理解并會(huì)用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會(huì)用柯西(Cauchy)中值定理 掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法,8,近10年考研試題中與本章有關(guān)聯(lián)的題型,第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 題型 1 與函數(shù)導(dǎo)數(shù)或微分概念和性質(zhì)相關(guān)的命題辨析（選擇題） 題型 2函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖形關(guān)系或其他性質(zhì)的判定 題型 3 函數(shù)在某點(diǎn)處的可導(dǎo)性及導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性，分段函數(shù)在 分段點(diǎn) 的可導(dǎo)性判斷 題型 4 求各種形式函數(shù)

4、（包括復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)等）的導(dǎo)數(shù) 題型 5 某些實(shí)際問題利用提煉導(dǎo)數(shù)模型來求解 題型 6函數(shù)性態(tài)（極值點(diǎn)、拐點(diǎn)、曲線的漸近線方程等）判定 與求解 題型7 求一元函數(shù)在一點(diǎn)的切線方程或法線方程 題型8 求已知曲線的曲率（數(shù)二） 題型9 經(jīng)濟(jì)學(xué)中彈性相關(guān)的計(jì)算（數(shù)三） 題型10 函數(shù)單調(diào)性等性態(tài)的判斷或討論題型 11 證明不等式 題型 12證明某一區(qū)間至少存在一個(gè)點(diǎn)或兩個(gè)點(diǎn)使某個(gè)式子成立 題型 13 證明方程根的唯一性,9,學(xué)習(xí)內(nèi)容串講：,函數(shù)的幾種表達(dá)形式： 顯函數(shù)形式 反函數(shù)形式 分段函數(shù)形式 極限形式 隱函數(shù)形式 一般參數(shù)形式 極坐標(biāo)參數(shù)形式 變限積分形式 級(jí)數(shù)形式 復(fù)合結(jié)構(gòu) 抽象函數(shù) 其他

5、形式,10,11,12,一，導(dǎo)數(shù)的實(shí)際問題的模型,1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度,設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)函數(shù)為,則 到 的平均速度為,而在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為,13,2. 曲線的切線斜率,曲線,在 M 點(diǎn)處的切線,（割線 M N 的極限位置 M T）,(當(dāng) 時(shí)),割線 M N 的斜率,切線 MT 的斜率,14,兩個(gè)問題的共性:,瞬時(shí)速度,切線斜率,所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .,類似問題還有:,加速度,角速度,線密度,電流強(qiáng)度,是速度增量與時(shí)間增量之比的極限,是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限,是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限,是電量增量與時(shí)間增量之比的極限,變化率問題,15,二、導(dǎo)數(shù)的定義,定義1 . 設(shè)

6、函數(shù),在點(diǎn),存在,并稱此極限為,記作:,即,則稱函數(shù),若,的某鄰域內(nèi)有定義 ,16,1.運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù),在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度,2. 曲線,在 M 點(diǎn)處的切線斜率,若上述極限不存在 ,在點(diǎn) 不可導(dǎo).,就說函數(shù),的導(dǎo)數(shù)為無窮大 .,也稱,在,則前面的實(shí)際問題模型均可以用導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行改寫,17,導(dǎo)函數(shù)的定義,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內(nèi)每一點(diǎn)x都對(duì)應(yīng)一個(gè)導(dǎo)數(shù)值 則這一對(duì)應(yīng)關(guān)系所確定的函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù) 簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù) 記作,易見,求導(dǎo)函數(shù)的步驟,(1)求增量,(2)算比值,(3)求極限,18,例1. 求函數(shù),的導(dǎo)數(shù).,解:,則,即,類似可證得,19,基本求導(dǎo)公式,20,單側(cè)導(dǎo)數(shù),1.

7、左導(dǎo)數(shù):,2.右導(dǎo)數(shù):,函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等.,函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a b)內(nèi)可導(dǎo)是指函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一 點(diǎn)可導(dǎo),函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上可導(dǎo)是指函數(shù)f(x)在開區(qū)間 (a b)內(nèi)可導(dǎo) 且在a點(diǎn)有右導(dǎo)數(shù)、在b點(diǎn)有左導(dǎo)數(shù),21,.,練習(xí)：判斷是非(是： 非： )：,22,.,23,.,.,.,.,.,.,24,解: 因?yàn)?4. 設(shè),存在, 且,求,所以,25,例2.,若,且,存在 , 求,解:,原式 =,且,聯(lián)想到湊導(dǎo)數(shù)的定義式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,26,三、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系：,定理1.,證:,設(shè),在點(diǎn) x 處可導(dǎo),存在 ,因此,其中,

8、故,在點(diǎn) x 連續(xù) .,注意: 函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)未必可導(dǎo).,反例:,在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo).,即,27,解：,例3. 討論函數(shù),在x=0處不可導(dǎo),在x=0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性,28,設(shè),解:,又,例4.,處的連續(xù)性及可導(dǎo)性.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,29,解,例5.,即,30,例6. 設(shè), 問 a 取何值時(shí),在,都存在 , 并求出,解:,故,時(shí),此時(shí),在,都存在,顯然該函數(shù)在 x = 0 連續(xù) .,31,例7.設(shè),試確定常數(shù) a , b 使 f (x) 處處可導(dǎo),并求,解:,得,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,32,是否為連續(xù)函數(shù) ?,判別:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

9、 下頁(yè) 返回 結(jié)束,33,例8:試確定常數(shù) 之值, 使函數(shù),在 =0 處可導(dǎo)。,解 ( ) 在 =0 處可導(dǎo)的必要條件:是 ( ) 在 =0 處連續(xù),即,故 當(dāng) 時(shí), 在 處連續(xù),34,又因,故,當(dāng) 時(shí),解方程組,得,故 當(dāng) 時(shí), 在 處可導(dǎo),35,三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,1.幾何意義,切線方程為,法線方程為,36,解,所求法線方程為,并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程,所求切線及法線的斜率分別為,所求切線方程為,即4x+y-4=0,即2x-8y+15=0,例9.求等邊雙曲線 在點(diǎn) 處的切線的斜率,37,例10. 問曲線,哪一點(diǎn)有垂直切線 ? 哪一點(diǎn)處,的切線與直線,平行 ? 寫出其切線方程.,解

10、:,令,得,對(duì)應(yīng),則在點(diǎn)(1,1) , (1,1) 處與直線,平行的切線方程分別為,即,故在原點(diǎn) (0 , 0) 有垂直切線,38,小結(jié)：,1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):,2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:,3. 可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo);不連續(xù), 一定不可導(dǎo).,4. 判斷可導(dǎo)性,不連續(xù), 一定不可導(dǎo).,直接用導(dǎo)數(shù)定義;,看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.,增量比的極限;,切線的斜率;,法線的斜率,39,二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則,三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則,函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算,四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式,40,基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),41,0, sinx,cscxcotx,nxn1,0,.,.,.,

11、.,.,.,.,.,導(dǎo)數(shù)基本公式練習(xí),42,導(dǎo)數(shù)基本公式練習(xí),cosx,.,.,.,.,.,.,.,0,.,43,四則運(yùn)算求導(dǎo)法則,定理2.,的和、,差、,積、,商 (除分母,為 0的點(diǎn)外) 都在點(diǎn) x 可導(dǎo),且,則,推論:,( C為常數(shù) ),44,解,例1,例2 y=ex (sin x+cos x) 求y,=2excos x,解,y=(ex)(sin x+cos x)+e x (sin x+cos x),= e x,(sin x+cos x),+e x,(cos x -sin x),求導(dǎo)法則,45,反函數(shù)的求導(dǎo)法則,定理3.,y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),則,46,例3. 求(arcsin x),

12、解,因?yàn)閥=arcsin x是x=sin y的反函數(shù) 所以,反函數(shù)的求導(dǎo)法則:,47,.,.,.,48,在點(diǎn) x 可導(dǎo),復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,定理4.,在點(diǎn),可導(dǎo).,復(fù)合函數(shù),且,在點(diǎn) x 可導(dǎo),則,49,例如,關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).,推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.,50,.,2,0,0,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)練習(xí),.,.,.,.,.,.,.,51,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)練習(xí),.,52,解,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:,例5,53,例6,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:,例7,解,解,54,1. 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則,( C為常數(shù) ),3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,2.反

13、函數(shù)求導(dǎo)法則,總 結(jié),55,例8.,求,解:由于,56,例9. 設(shè),求,解:,57,例10. 若,存在 , 求,的導(dǎo)數(shù).,58,例11. 設(shè),求,解: 方法1 利用導(dǎo)數(shù)定義.,方法2 利用求導(dǎo)公式.,59,二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,一、高階導(dǎo)數(shù)的概念,高階導(dǎo)數(shù),60,定義.,若函數(shù),的導(dǎo)數(shù),可導(dǎo),或,即,或,類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) ,階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù) ,或,的二階導(dǎo)數(shù) ,記作,的導(dǎo)數(shù)為,依次類推 ,分別記作,則稱,61,所以 y 3y10,證明,例1,62,設(shè),存在，求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),解:（1）,例2.,（1）,（2）,（2）,63,設(shè),求,解:,依次類推 ,例3

14、.,可得,n 階導(dǎo)數(shù),64,例4. 設(shè),求,解:,特別有:,解:,規(guī)定 0 ! = 1,例5. 設(shè),求,65,例6. 設(shè),求,解:,一般地 ,類似可證:,66,例7. 設(shè),求使,存在的最高,分析:,但是,不存在 .,2,又,階數(shù),67,高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,都有 n 階導(dǎo)數(shù) , 則,(C為常數(shù)),萊布尼茲(Leibniz) 公式,68,例8.,求,解: 設(shè),則,代入萊布尼茲公式 , 得,69,(1) 逐階求導(dǎo)法,(2) 利用歸納法,(3) 間接法, 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式,(4) 利用萊布尼茲公式,總結(jié)：高階導(dǎo)數(shù)的求法,70,常用高階導(dǎo)數(shù)公式：,71,例9. 如何求下列函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)?,解:

15、,解:,(3),解:,72,二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo),三、相關(guān)變化率,73,一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),顯函數(shù)與隱函數(shù) 形如yf(x)的函數(shù)稱為顯函數(shù) 例如 ysin x yln xex 都是顯函數(shù) 由方程F(x y)0所確的函數(shù)稱為隱函數(shù),把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù) 叫做隱函數(shù)的顯化,例如 方程xy310確定的隱函數(shù)為,隱函數(shù)的求導(dǎo)法 把方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)數(shù) 然后從所得的新的方程中把隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解出.,74,例1 求由方程eyxye0所 確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù),(ey)(xy)(e)(0),即 eyyy+xy0,方程中每一項(xiàng)對(duì)x求導(dǎo)得,解,例2 求由方程y5

16、2yx3x70 所確定的隱函數(shù)yf(x)在 x0處的導(dǎo)數(shù)y|x0,因?yàn)楫?dāng)x0時(shí) 從原方程得 y0 所以,5y4y2y121x60,方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得,解,75,例3. 求橢圓,在點(diǎn),處的切線方程.,解: 橢圓方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo),故切線方程為,即,76,解,上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo) 得,方程兩邊對(duì)x求導(dǎo) 得,77,y f(x)ln f(x) 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于求冪指函數(shù)yu(x)v(x)的導(dǎo)數(shù)及多因子之積和商的導(dǎo)數(shù),此方法是先在yf(x)的兩邊取對(duì)數(shù) 然后用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出y的導(dǎo)數(shù),設(shè)yf(x) 兩邊取對(duì)數(shù) 得 ln yln f(x) 兩邊對(duì)x 求導(dǎo) 得,對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,78,例5 求yx sin

17、x (x0)的導(dǎo)數(shù),解法二,這種冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可按下面的方法求.,解法一,上式兩邊對(duì)x 求導(dǎo) 得,兩邊取對(duì)數(shù) 得,ln ysin xln x,yx sin xe sin xln x ,79,上式兩邊對(duì)x求導(dǎo) 得,說明 嚴(yán)格來說 本題應(yīng)分x4 x1 2x3三種情況討論 但結(jié)果都是一樣的,例6,先在兩邊取對(duì)數(shù) 得,解,80,設(shè)xj(t)具有反函數(shù)tj-1(x) 且tj-1(x)與yy(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)yyj-1(x) 若xj(t)和yy(t)都可導(dǎo) 則,二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),=,=,),(,),(,81,解,a,dx,4,82,.,.,參數(shù)方程的一、二階導(dǎo)數(shù),解:,83,例9. 設(shè),

18、求,例10. 設(shè), 且,求,解:,解:,84,的函數(shù)yf(x)的二階導(dǎo)數(shù),解,(t2np n為整數(shù)),所確定,85,例12.設(shè)由方程,確定函數(shù),求,解:方程組兩邊對(duì) t 求導(dǎo),得,故,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,86,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,87,用定義.,寫成分段函數(shù)再求導(dǎo).,含絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)怎么求導(dǎo)？,在分段點(diǎn)處怎么求導(dǎo)？,.,分段函數(shù)的求導(dǎo),88,相關(guān)變化率,為兩可導(dǎo)函數(shù),之間有聯(lián)系,之間也有聯(lián)系,稱為相關(guān)變化率,相關(guān)變化率問題解法:,找出相關(guān)變量的關(guān)系式,對(duì) t 求導(dǎo),得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式,求出未知的相關(guān)變化率,89,例14. 一氣球從離開觀察員500 m 處

19、離地面鉛直上升,其速率為,當(dāng)氣球高度為 500 m 時(shí), 觀察員,視線的仰角增加率是多少?,解: 設(shè)氣球上升 t 分后其高度為h , 仰角為 ,則,兩邊對(duì) t 求導(dǎo),已知,h = 500m 時(shí),90,二、微分的幾何意義,一、微分的概念,函數(shù)的微分,三、微分的運(yùn)算法則,91,的微分,定義: 若函數(shù),在點(diǎn) 的增量可表示為,( A 為不依賴于x 的常數(shù)),則稱函數(shù),而 稱為,記作,即,定理: 函數(shù),在點(diǎn) 可微的充要條件是,即,在點(diǎn),可微,92,當(dāng)|Dx|很小時(shí) |Dydy|比|Dx|小得多 因此 在點(diǎn)M的鄰近 我們可以用切線段來近似代替曲線段,Dy是曲線上點(diǎn)的縱坐 標(biāo)的增量;,dy是過點(diǎn)(x0 f(

20、x0)的切 線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量.,當(dāng)x從x0變到x0+Dx時(shí),二、微分的幾何意義,則有,從而,導(dǎo)數(shù)也叫作微商,自變量的微分,記作,記,93,d(xm)m xm1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(a x)ax ln adx d(e x)exdx,(xm)m xm1 (sin x)cos x (cos x)sin x (tan x)sec2 x (cot x)csc2x (sec x)sec x tan x

21、 (csc x)csc x cot x (a x)ax ln a (e x)ex,微分公式:,導(dǎo)數(shù)公式:,1.基本初等函數(shù)的微分公式,三、微分的基本公式和運(yùn)算法則,94,微分公式:,導(dǎo)數(shù)公式:,95,2、 微分的四則運(yùn)算法則,設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則,(C 為常數(shù)),分別可微 ,的微分為,微分形式不變,3. 復(fù)合函數(shù)的微分,則復(fù)合函數(shù),96,在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí) 可以不寫出中間變量,例1 ysin(2x1) 求dy,2cos(2x1)dx,cos(2x1)2dx,cos(2x1)d(2x1),dyd(sin u),cos udu,若yf(u) uj(x) 則dyf (u)du

22、,解,把2x1看成中間變量u 則,例2,解,97,例3. 設(shè),求,解: 利用一階微分形式不變性 , 有,例4. 在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:,說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.,注意: 數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.,98,練習(xí),1.,99,總結(jié)： 導(dǎo)數(shù)與微分的概念,(1) 導(dǎo)數(shù)與微分的實(shí)質(zhì)各是什么？它們的關(guān)系及區(qū)別是什么？,它們的區(qū)別：,從 x , y的比值出發(fā)得導(dǎo)數(shù)概念；,從 y的近似值出發(fā)得微分概念。,導(dǎo)數(shù)是函數(shù)平均變化率的極限。,微分是函數(shù)的局部線性化。,它們的關(guān)系：,函數(shù)在 x 點(diǎn)可導(dǎo),函數(shù)在 x 點(diǎn)可微.,100,一元函數(shù) y = f ( x )在點(diǎn) x =

23、 a處： a. 有定義 b. 有極限 c. 連續(xù) d. 可導(dǎo) e. 可微 等五個(gè)命題之間有什么關(guān)系？ 將它們的序號(hào)填入空格：,單向箭頭都不可逆，試舉反例。,d,e,c,a,b,.,101,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,一、求曲線的切線方程與法線方程 二、函數(shù)的增減性與極值 定理：設(shè) 在 內(nèi)有定義且可導(dǎo) （1）若對(duì)任意的 有 ，則 在 內(nèi)單調(diào)遞增； （2）若對(duì)任意的 有 ，則 在 內(nèi)單調(diào)遞減。 定理（極值的必要條件）設(shè) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，且 為極值點(diǎn)，則 。 定理（極值的第一充分條件）設(shè) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 ，則,102,（1）若 時(shí)， 且 時(shí)， ，則 為 的極大值點(diǎn)； （2）若 時(shí)， 且 時(shí)， ，則 為 的極

24、小值點(diǎn)； （3）若 在 的兩側(cè)同號(hào)，則 不是 的極值點(diǎn)。 定理（極值的第二充分條件）設(shè) 在點(diǎn) 處二階可導(dǎo)且 ，則 （1）若 ，則 為的極大值點(diǎn)； （2）若 ，則 為的極小值點(diǎn)； （3）若 ，則此方法失效。 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值的步驟： （1）求 的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù) ，令 求出駐點(diǎn)，并求導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)（如果有的話）,103,（3）駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)將定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表討論函數(shù)在這些區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而求出單調(diào)區(qū)間和極值。 三、函數(shù)的最值 求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最大值和最小值的一般方法是： （1）求出 在 內(nèi)所有可能的極值點(diǎn)（駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)）； （2）求出上述各點(diǎn)和端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函

25、數(shù)值，其中最大的就是函數(shù)在此區(qū)間上的最大值，最小的就是函數(shù)在此區(qū)間上的最小值。 四、曲線的凹凸性 1、定義 定理：設(shè) 在 內(nèi)二階可導(dǎo) （1）若對(duì)任意的 ，有 ，則曲線弧上凹；,104,（2）若對(duì)任意的 ，有 ，則曲線弧下凹。 2、拐點(diǎn)：曲線弧上的上凹和下凹的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn) 求函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的一般方法是： （1）求定義域； （2）求一階、二階導(dǎo)數(shù)，并求出二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)； （3）求出二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)（如果有的話）； （4）上述各點(diǎn)將定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，列表討論各區(qū)間內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而求出函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。 3、漸進(jìn)線 （1）水平漸進(jìn)線： 若 ，則 是曲線 的水平漸進(jìn)線

26、； （2）垂直漸進(jìn)線： 若 ，則 是曲線 的垂直漸進(jìn)線；,105,（3）斜漸進(jìn)線： 若 ，則直線 是曲線的斜漸進(jìn)線，其中,106,2. 切線與法線方程,如果函數(shù),107,一、函數(shù)單調(diào)性的判定法,定理1 設(shè)函數(shù)f(x)在a b上連續(xù) 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo) (1)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)減少,108,函數(shù)yexx1的定義域?yàn)? ) 因?yàn)樵? 0)內(nèi) y0 所以函數(shù) yexx1在0 )上單 調(diào)增加,解 yex1,例1 討論函數(shù) yex x1的單調(diào)性,解 函數(shù)的定義域?yàn)? ),所以函數(shù)在0 )上單調(diào)增加

27、,因?yàn)閤0時(shí) y0,所以函數(shù)在( 0 上單調(diào)減少,因?yàn)閤0時(shí) y0,例2,討論函數(shù),的單調(diào)性,.,(,x,0),函數(shù)在,x,=,0,處不可導(dǎo),.,109,(1)確定函數(shù)的定義域 (2)求出導(dǎo)數(shù)f (x) (3)求出f (x)全部零點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn) (4)判斷或列表判斷 (5)綜合結(jié)論,確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟,例3. 確定函數(shù),的單調(diào)區(qū)間.,解:,令,得,利用,劃分函數(shù)的定義域,列表討論.,110,例3. 確定函數(shù),的單調(diào)區(qū)間.,解:,令,得,故,的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為,111,因?yàn)楫?dāng)x1時(shí) f (x)0 所以f(x)在1 )上f(x)單調(diào)增加,因此當(dāng)x1時(shí) f(x)f(1)=0 即,例4,

28、.,證明,:,當(dāng),x,1,時(shí),.,證明,:,令,則,也就是,(,x,1),.,112,例5. 證明,時(shí), 成立不等式,證: 令,從而,因此,且,113,二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn),問題:如何研究曲線的彎曲方向?,圖形上任意弧段位于所張弦的上方,圖形上任意弧段位 于所張弦的下方,114,定義 . 設(shè)函數(shù),在區(qū)間 I 上連續(xù) ,(1) 若恒有,則稱,圖形是凹的;,(2) 若恒有,則稱,連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn) 稱為拐點(diǎn) .,圖形是凸的 .,二、曲線的凹凸與拐點(diǎn),115,觀察與思考 觀察切線斜率的變化與曲線凹凸性的關(guān)系.,定理2(曲線凹凸性的判定法),設(shè)f(x)在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)具有二階

29、導(dǎo)數(shù). 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凸的,116,例6 判斷曲線yx3的凹凸性 解 y3x 2 y6x 由y0 得x0. 因?yàn)楫?dāng)x0時(shí) y0 所以曲線在0 )內(nèi)是凹的 (0,0)是曲線的拐點(diǎn).,設(shè)f(x)在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù). 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凸的,定理2(曲線凹凸性的判定法),117,例7. 判斷曲線,的凹凸性.,解:,故曲線,在,上是向上凹的.,注:,1) 若在某點(diǎn)二階導(dǎo)

30、數(shù)為 0 ,2) 根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理, 可得拐點(diǎn)的判別法如下:,若曲線,或不存在,的一個(gè)拐點(diǎn).,則曲線的凹凸性不變 .,在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),118,例8. 求曲線,的拐點(diǎn).,解:,不存在,因此點(diǎn) ( 0 , 0 ) 為曲線,的拐點(diǎn) .,凹,凸,119,例9. 求曲線,的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).,解:,1) 求,2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo),令,得,對(duì)應(yīng),3) 列表判別,故該曲線在,及,上向上凹,向上凸 ,點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及,均為拐點(diǎn).,凹,凹,凸,120,例10. 證明不等式,證明 設(shè),則,當(dāng)n1時(shí);在(0,+),所以在(0,+)內(nèi), f(t)是凹函數(shù),所以對(duì)于任意的x,y滿足,有,即,所

31、以,121,內(nèi)容小結(jié),1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別,在 I 上單調(diào)遞增,在 I 上單調(diào)遞減,2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別,拐點(diǎn), 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn),122,思考與練習(xí),上,則,或,的大小順序是 ( ),提示: 利用,單調(diào)增加 ,及,B,1. 設(shè)在,123,.,2. 曲線,的凹區(qū)間是,凸區(qū)間是,拐點(diǎn)為,提示:,及,;,;,證明:,當(dāng),時(shí)，,有,提示:,令, 則,3 .,124,的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù),例4. 填空題,(1) 設(shè)函數(shù),其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,單調(diào)減區(qū)間為 ;,極小值點(diǎn)為 ;,極大值點(diǎn)為 .,提示:,的正負(fù)作 f (x) 的示意圖.,單調(diào)增區(qū)間為 ;,125,.,在區(qū)間 上是凸弧 ;,拐點(diǎn)

32、為,提示:,的正負(fù)作 f (x) 的示意圖.,形在區(qū)間 上是凹弧;,則函數(shù) f (x) 的圖,(2) 設(shè)函數(shù),的圖形如圖所示,126,函數(shù)的極值與最大值最小值,一、函數(shù)的極值及其求法,二、最大值最小值問題,127,函數(shù)的極值,x1,x2,x3,x4,x5,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值, 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).,一、函數(shù)的極值及其求法,對(duì)常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn) 在導(dǎo)數(shù)為 0 或不存在的點(diǎn).,函數(shù)的極值是函數(shù)的 局部性質(zhì).,128,設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo), 且在x0處取得極值, 那么f (x0)0.,駐點(diǎn) 使導(dǎo)數(shù)f (x)為零的點(diǎn)(方程f (x)0的實(shí)根)稱為函數(shù)f(x)的

33、駐點(diǎn).,定理1(必要條件),思考: 極值點(diǎn)是否一定是駐點(diǎn)？ 駐點(diǎn)是否一定是極值點(diǎn)？,思考: 極值點(diǎn)不一定是駐點(diǎn). 如y=|x|,x=0是極值點(diǎn),但不可導(dǎo) 駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).如y=x3,x=0是駐點(diǎn),但不是極值點(diǎn).,129,定理 2 (極值第一判別法),且在空心鄰域,內(nèi)有導(dǎo)數(shù),點(diǎn)擊圖中任意處動(dòng)畫播放暫停,確定極值點(diǎn)和極值的步驟,(1)求出導(dǎo)數(shù)f (x); (2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn); (3)考察在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近f (x)的符號(hào); (4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值.,130,例1. 求函數(shù),的極值 .,解:,1) 求導(dǎo)數(shù),2) 求極值可疑點(diǎn),令,得,令,得,3) 列表

34、判別,是極大點(diǎn)，,其極大值為,是極小點(diǎn)，,其極小值為,131,定理3 (極值第二判別法),二階導(dǎo)數(shù) , 且,則 在點(diǎn) 取極大值 ;,則 在點(diǎn) 取極小值 .,證: (1),存在,由第一判別法知,(2) 類似可證 .,132,例2 求函數(shù)f(x)(x21)31的極值,解,f (x)6x(x21)2,令f (x)0,求得駐點(diǎn)x11 x20 x31,f (x)6(x21)(5x21),因?yàn)閒 (0)60,所以f (x)在x0處取得極小值,極小值為f(0)0,因?yàn)閒 (1)f (1)0 所以用定理3無法判別,因?yàn)樵?的左右鄰域內(nèi)f (x)0,所以f(x)在1處沒有極值,同理 f(x)在1處也沒有極值,1

35、33,試問,為何值時(shí),還是極小.,解:,由題意應(yīng)有,又,取得極大值為,求出該極值,并指出它是極大,例3,134,二、最大值與最小值問題,則其最值只能,在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到 .,求函數(shù)最值的方法:,若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù),(1)求出函數(shù)f(x)在(a b)內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn) 設(shè)這此 點(diǎn)為x1 x2 xn; (2)計(jì)算函數(shù)值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ; (3)上述函數(shù)值中的最大者是函數(shù)f(x)在a b上的最 大值 最小者是函數(shù)f(x)在a b上的最小值,特別:,當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),若在此點(diǎn)取極大(小) 值 , 則也是最大(大) 值 .,對(duì)應(yīng)用問題 , 有

36、時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出.,135,例4. 求函數(shù),在閉區(qū)間,上的最大值和最小值 .,解: 顯然,且,故函數(shù)在,取最小值 0 ;,136,( k 為某一常數(shù) ),例5. 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠C 距 A 處20,AC AB ,要在 AB 線上選定一點(diǎn) D 向工廠修一條,已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為 3:5 ,為使貨,D 點(diǎn)應(yīng)如何選取?,解: 設(shè),則,令,得,又,所以 為唯一的,極小點(diǎn) ,故 AD =15 km 時(shí)運(yùn)費(fèi)最省 .,總運(yùn)費(fèi),物從B 運(yùn)到工廠C 的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小點(diǎn) ,問,Km ,公路,137,例6. 假設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x千件的成本是,售出該產(chǎn)品x件的

37、收入是,解: 由題意，售出x千件產(chǎn)品的利潤(rùn)是,即,令,而在,得,發(fā)生局部,處達(dá)到最大利潤(rùn)，,又,故在,問是否存在一個(gè)能取得最大利潤(rùn)生產(chǎn)水平？若存在，找出這個(gè)水平.,解得,最大虧損.,138,內(nèi)容小結(jié),1. 連續(xù)函數(shù)的極值,(1) 極值可疑點(diǎn) :,使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn),(2) 第一充分條件,過,由正變負(fù),為極大值,過,由負(fù)變正,為極小值,(3) 第二充分條件,為極大值,為極小值,最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找 ;,應(yīng)用題可根據(jù)問題的實(shí)際意義判別 .,2. 連續(xù)函數(shù)的最值,139,一、 曲線的漸近線,無漸近線 .,點(diǎn) M 與某一直線 L 的距離趨于 0,定義 . 若曲線 C上的點(diǎn)M 沿著曲線無限

38、地遠(yuǎn)離原點(diǎn),時(shí),則稱直線 L 為,曲線C 的漸近線 .,例如, 雙曲線,有漸近線,但拋物線,或?yàn)椤翱v坐標(biāo)差”,140,1. 水平與鉛直漸近線,若,則曲線,有水平漸近線,若,則曲線,有垂直漸近線,例1. 求曲線,的漸近線 .,解:,為水平漸近線;,為垂直漸近線.,141,2. 斜漸近線,斜漸近線,若,142,例2. 求曲線,的漸近線 .,解:,又因,為曲線的斜漸近線 .,143,曲率,一、弧微分,二、曲率及其計(jì)算公式,三、曲率圓與曲率半徑,144,曲線的基點(diǎn)與正向 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a b)內(nèi)具有 連續(xù)導(dǎo)數(shù) 在曲線yf(x)上取固定點(diǎn) M0(x0 y0)作為度量弧長(zhǎng)的基點(diǎn) 并 規(guī)定依 x 增

39、大的方向作為曲線的正向,一、弧微分,弧)如下 s 的絕對(duì)值等于這弧段 的長(zhǎng)度 當(dāng)有向弧段的方向與曲 線的正向一致時(shí)s0 相反時(shí)s0,對(duì)曲線上任一點(diǎn) M(x y),145,上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M N 并設(shè)對(duì)應(yīng)于x的增量Dx 弧 s 的增量 為Ds.,因?yàn)楫?dāng)Dx0時(shí) Ds MN 又Dx與Ds同號(hào) 所以,由此得弧微分公式:,或者,弧微分公式 設(shè)x xDx為(a b)內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn) 它們?cè)谇€yf(x),146,曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量,彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大,轉(zhuǎn)角相同弧段短的彎曲大,1、曲率的定義,二、曲率及其計(jì)算公式,問題: 怎樣刻畫曲線的彎曲程度？,提示： 可以用單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度的大

40、小來表 達(dá)弧段的平均彎曲程度.,147,二、曲率及其計(jì)算公式,在光滑弧上自點(diǎn) M 開始取弧段, 其長(zhǎng)為,對(duì)應(yīng)切線,定義,弧段 上的平均曲率,點(diǎn) M 處的曲率,注: 直線上任意點(diǎn)處的曲率為 0 !,轉(zhuǎn)角為,148,例1. 求半徑為R 的圓上任意點(diǎn)處的曲率 .,解: 如圖所示 ,可見: R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;,R 愈大, 則K 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 .,149,有曲率近似計(jì)算公式,故曲率計(jì)算公式為,又,曲率K 的計(jì)算公式,二階可導(dǎo),設(shè)曲線弧,則由,150,注:參數(shù)方程下曲率的計(jì)算,151,例2 計(jì)算等邊雙曲線xy1在 點(diǎn)(1, 1)處的曲率.,曲線在點(diǎn)(1 1)處的曲

41、率為,因此y|x11 y|x12,解,152,例3 拋物線yax2bxc上 哪一點(diǎn)處的曲率最大？,解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得,顯然 當(dāng)2axb0時(shí)曲率最大,因此 拋物線在頂點(diǎn)處的曲率最大 此處K|2a|,153,例4. 求橢圓,在t=0處的曲率.,解:,故曲率為,在t=0處,即在點(diǎn)(a,0)的曲率為,154,三、 曲率圓與曲率半徑,設(shè) M 為曲線 C 上任一點(diǎn) ,在點(diǎn),在曲線,把以 D 為中心, R 為半徑的圓叫做曲線在點(diǎn) M 處的,曲率圓,( 密切圓 ) ,R 叫做曲率半徑,D 叫做,曲率中心.,在點(diǎn)M 處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:,(1) 有公切線;,

42、(2) 凹向一致;,(3) 曲率相同 .,M 處作曲線的切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點(diǎn) D 使,155,1.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲 率互為倒數(shù).,注:,2.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑越大,曲線在該點(diǎn)處 的曲率越小(曲線越平坦);曲率半徑越小,曲率越大 (曲線越彎曲).,3.曲線上一點(diǎn)處的曲率圓弧可近似代替該點(diǎn)附 近曲線弧(稱為曲線在該點(diǎn)附近的二次近似).,156,內(nèi)容小結(jié),1. 弧長(zhǎng)微分,或,2. 曲率公式,3. 曲率圓,曲率半徑,157,謝謝大家！,158,提問時(shí)間：10分鐘,159,邊際與彈性問題,一、邊際分析,19世紀(jì)中后葉，勒翁瓦爾拉斯和杰文斯提出“邊際效用 理論”的經(jīng)

43、濟(jì)學(xué)，格森和門格爾也致力于這種理論的研究并獲 得了很大成果。后來經(jīng)濟(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，“邊際”就是數(shù)學(xué)中的“導(dǎo) 數(shù)”或“偏導(dǎo)數(shù)”。 例如： 定義 總成本函數(shù)C(Q)的導(dǎo)數(shù)C(Q)稱為邊際成本函數(shù)， 也記作MC；總收入函數(shù)R(Q)的導(dǎo)數(shù)R(Q)稱為邊際收入函 數(shù)，也記作MR；總利潤(rùn)函數(shù)L(Q)的導(dǎo)數(shù)L(Q)稱為邊際利潤(rùn)函數(shù)，也記作ML。 顯然有L(Q)= R(Q)- C(Q) 。,160,例 設(shè)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為C(Q)=400+3Q+0.5Q2。而需 求量(產(chǎn)量)Q與價(jià)格p的關(guān)系為 和邊際利潤(rùn)。 答案 練習(xí) 某酸乳酪商行發(fā)現(xiàn)酸乳酪的收入函數(shù)和成本函數(shù)分 別為 單位為千升，C(Q)、R(Q)的單位為千元，求邊際成本、邊際 收入和邊際利潤(rùn)。 答案,161,對(duì)于多元函數(shù)，同樣稱其偏導(dǎo)數(shù)為邊際函數(shù)。 設(shè)甲、乙兩種商品，他們的價(jià)格分別為p1和p2，需求量Q1 和Q2由價(jià)格p1和p2和消費(fèi)者的收入M確定，記需求函數(shù)為： Q1( p1, p2 ,M)、 Q2( p1, p2 ,M)，則Q1和Q2關(guān)于p1、p2 和M的