高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線 2.5 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 旋轉(zhuǎn)曲面的應(yīng)用素材 北師大版選修4-1（通用）

1、旋轉(zhuǎn)曲面的應(yīng)用1一般的旋轉(zhuǎn)曲面方程定義4.3.1 在空間，一條曲線G 繞一定直線l旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的曲面S叫做旋轉(zhuǎn)曲面（或回轉(zhuǎn)曲面）. G 叫做S的母線，l稱為S的的旋轉(zhuǎn)軸，簡(jiǎn)稱為軸. 設(shè)為旋轉(zhuǎn)曲面S的母線G上的任一點(diǎn)，在G 繞軸l旋轉(zhuǎn)時(shí)，也繞l旋轉(zhuǎn)而形成一個(gè)圓，稱其為S的緯圓、緯線或平行圓. 以l為邊界的半平面與S的交線稱為S的經(jīng)線. S的緯圓實(shí)際上是過母線G 上的點(diǎn)且垂直于軸l的平面與S的交線. S的所有緯圓構(gòu)成整個(gè)S. S的所有經(jīng)線的形狀相同，且都可以作為S的母線，而母線不一定是經(jīng)線. 這里因?yàn)槟妇€不一定為平面曲線，而經(jīng)線為平面曲線. 在直角坐標(biāo)系下，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面S的母線為G：(1)旋轉(zhuǎn)軸為

2、l(2)這里為l上一點(diǎn)，X，Y，Z為l的方向數(shù). 設(shè)M1 (x1，y1，z1) 為母線G 上的任意點(diǎn)，過M1的緯圓總可看成過且垂直于軸l的平面與以P0為中心，為半徑的球面的交線. 故過M1的緯圓的方程為 (3) (4)當(dāng)M1跑遍整個(gè)母線時(shí)，就得出旋轉(zhuǎn)曲面的所有緯圓，所求的旋轉(zhuǎn)曲面就可以看成是由這些緯圓構(gòu)成的. 由于M1 (x1，y1，z1) 在母線G 上，有(5)從（3）、（4）、（5）4個(gè)等式消去參數(shù)x1，y1，z1得一個(gè)方程F (x，y，z) = 0即為S的方程. 例1 求直線G ：繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面S的方程.解 設(shè)M1 (x1，y1，z1) 為母線G 上的任一點(diǎn)，因旋轉(zhuǎn)軸過原點(diǎn)，過

3、M1的緯圓方程為(7)因M1在母線上，有(8)由（8）得 (9)將(9)代入(7)得，且最后得即S的方程是.2坐標(biāo)平面上的曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程任一旋轉(zhuǎn)曲面總可以看作是由其一條經(jīng)線繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而生成的. 故今后為了方便，總是取旋轉(zhuǎn)曲面的一條經(jīng)線作為母線. 更進(jìn)一步，在直角坐標(biāo)系下導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)曲面的方程時(shí)，我們常把母線所在的平面取作坐標(biāo)平面，從而使旋轉(zhuǎn)曲面的方程具有特殊的形式. 設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面S的母線為yOz平面上的曲線旋轉(zhuǎn)軸為y軸設(shè)M1(0，y1，z1)為母線上任一點(diǎn)，則過M1的緯圓為且有由以上兩個(gè)方程組消可得，最后得旋轉(zhuǎn)曲面的方程是實(shí)際上，此旋轉(zhuǎn)曲面的方程也可由前面的圖直接得出. 設(shè)M1

4、(0，y1，z1)為母線上任一點(diǎn)，M(x，y，z)為過M1的緯圓上的任意一點(diǎn)，則由上圖中的輔助圖可知y1 = y，z1 = |OM1| =|OM| = (10)因M1(0，y1，z1)在母線上，F(xiàn)(y1，z1) = 0，將(10)的結(jié)果代入，就得所求的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為. 類似地，母線為，旋轉(zhuǎn)軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：.對(duì)于其它坐標(biāo)平面上的曲線，繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面，其方程可類似求出. 于是我們得到如下的規(guī)律：當(dāng)坐標(biāo)平面上的曲線G 繞此坐標(biāo)平面的一個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程可根據(jù)下面的方法直接寫出：保持方程的形式不變，將曲線G 在坐標(biāo)面里的方程中的與旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)保持不變，而以其它兩個(gè)坐標(biāo)的平方和的平方根來代替方程中的另一坐標(biāo). 例如，S為由面上的繞軸所得，則S的方程為. 例2 讓橢圓分別繞其長(zhǎng)軸（x軸）和短軸（y軸）旋轉(zhuǎn)，所得旋轉(zhuǎn)曲面方程分別是：和圖形分別叫做