高等數(shù)學B：10_3格林公式及其應用

1、10.3格林公式及其應用10.3.1格林公式1單連通區(qū)域與復連通區(qū)域若平面區(qū)域內(nèi)任一封閉曲線圍成的部分都，則單連通區(qū)域，否則稱為復連通區(qū)域。例如：圓形區(qū)域、上半平面是單連通區(qū)域；圓環(huán)區(qū)域、是復連通區(qū)域。通俗地說，單連通域就是不含有“洞”（包括點“洞” ）的區(qū)域。2區(qū)域D的邊界曲線C的正向規(guī)定正向如下：當觀察者沿此方向行走時，他的部分總在他的左側。例如由邊界曲線和所圍成的復連通區(qū)域，正向是逆時針方向，正向是順時針方向。3定理1（格林定理）設以逐段光滑曲線邊界的平面閉區(qū)域，函數(shù)、在具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有格林（）公式 其中。公式（1）稱為格林（）公式。證明：先假設穿過區(qū)域且平行坐標軸的直線與邊界曲

2、線交點恰好為兩點。即既是。設，連續(xù)，另一方面，有，。又設，類似可證，合并、得。若閉區(qū)域滿足以上條件，則可作輔助線將幾個小閉區(qū)域，使每個小閉區(qū)域都滿足上述條件，在這些小閉區(qū)域上應用格林公式，然后相加，注意到沿輔助線上的積分出現(xiàn)兩次，但方向相反，所以相加時相互抵消。便可證明格林公式仍成立。例如，就右圖來說，作一條輔助線把分成和兩個部分區(qū)域，則。若是由兩條閉曲線和所圍成復連通區(qū)域，則同樣可以通過作輔助線證明格林公式仍然成立。通過格林公式，沿封閉曲線的正向的曲線積分，可以轉化為由此封閉曲線圍成的平面區(qū)域上的二重積分。注意：公式的條件是：封閉、正向、偏導數(shù)連續(xù)。三者缺一不可。若積分曲線封閉，則添加輔助曲

3、面使之封閉；當封閉曲面取內(nèi)側時，高斯公式中的符號應為負號；應用公式前首先要檢驗的連續(xù)條件。4.用格林公式求平面圖形的面積若在公式中，取，則得，。 （其中是區(qū)域面積。）例1求由星形線：所圍成的面積。解： 的參數(shù)方程為（）。例2計算，其中順時針方向的圓周。解：，。注意：。不能將曲線方程代入被積函數(shù)。例3計算曲線積分，其中由點至點的上半圓周（）。解：添加有向線段，則是一條正向封閉曲線，設其圍成的區(qū)域。，。例4計算，其中為：（1）不包圍原點的分段光滑閉曲線；（2）圓周；（3）包圍原點的分段光滑閉曲線。解：，當時，。（1）設閉曲線圍的區(qū)域， ，在有一階連續(xù)偏導數(shù)，由公式得。（2）當圓周時，在原點不連續(xù)，

4、不能直接用公式。方法一：的參數(shù)方程為，：，。方法二：先把方程代入曲線積分得，這時奇點已清除，可應用公式，故（3）當包圍原點時，以為圓心，作半徑為的小圓，使小圓域包含在圍成的區(qū)域內(nèi)。記的逆時針方向為，順時針方向為，并設由所圍成的區(qū)域（環(huán)域），在區(qū)域上由公式得，。課堂練習 計算，其中為：（1）橢圓所圍成區(qū)域的正向邊界；（2）橢圓所圍成區(qū)域的正向邊界。10.3.2 平面上曲線積分與路徑無關的條件1曲線積分與路徑無關的定義設一個平面區(qū)域，若對任意兩點及從點到點的任意兩 條曲線，等式 或恒成立，則稱曲線積分在內(nèi)與路徑無關。2定理2 若向量值函數(shù)在單連通域上有一階連續(xù)偏導數(shù)，則以下四個命題等價：（1），有

5、；（2）沿內(nèi)任意的逐段光滑閉曲線，有；（3）曲線積分與路徑無關，只與位于內(nèi)的起點與終點有關。（4）在存在二元函數(shù)，使得。證明：由（1）（2）。設是所包圍的區(qū)域，是單連通域，。在上有，由公式得。由（2）（3）。，以不同的路線，連結與。若不相交，由（2）得，。若相交，則再引，使，由由（3）（4）。曲線積分與路徑無關，取定起點后，曲線積分則是終點的函數(shù)，記為，即。下面來證明。曲線積分與路徑無關，取由到是沿任意光滑曲線，到是平行的線段。，(上，是常數(shù)，.)，。(積分中值定理)而在點上連續(xù)，即。同理可證，從而。由（4）（1）。，有一階連續(xù)偏導數(shù)，即連續(xù)，。定理2表明，在單連通域內(nèi)，如果，則曲線積分與路徑

6、無關，此時可以選擇特殊的路徑計算給定的曲線積分。定理2 中的區(qū)域必須是單連通域，若是復連通域定理就不一定成立。例如：，在復連通域中，具有連續(xù)偏導數(shù)，且，但。例5計算，其中擺線，從點到點的一段弧。解：, ,、在全平面上連續(xù)，且,曲線積分在全平面上與路徑無關。把積分路徑改為從點到點的直線段，則。例6計算，其中是沿點從點到的曲線弧。解：， ，在任何不含原點的單連通域內(nèi)曲線積分與路徑無關。注意：不能選擇連接的直線段作為積分路徑。（1）選取平行于坐標軸的折線作為積分路徑，：，；：，；：，。則。（2）選取圓弧作為積分路徑，其方程為，。例7設位于點的質點質點引力大小為（常數(shù)，），質點沿曲線自運動到，求在此運

7、動中質點質點引力所作的。解：設質點位置為，則，：，。，曲線積分與路徑無關，取直線段為積分路徑，。3定義1 若函數(shù)的全微分，則稱是表達式 的一個原函數(shù)。由定理2知，若在單連通域上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則在存在原函數(shù)的充要條件是設為內(nèi)一定點，取為積分路線，得：；取為積分路線，得：或。4定理3 （曲線積分基本定理）若在單連通域內(nèi)函數(shù)是的一個原函數(shù)，而和是內(nèi)任意兩點，則。例8驗證：在右半平面內(nèi)是某個函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的函數(shù)。證明：令，則有在右半平面內(nèi)恒成立，故是某個函數(shù)的全微分。取如圖所示的積分路線，則有。例9已知曲線積分與路徑無關，其中具有連續(xù)導數(shù)，且，計算。解：，此曲線積分與路徑無關，即。，解之得，由，得，故。此時，的一個原函數(shù)為，從而。另解：取折線（）作為積分路線，則 。10.3.3 全微分方程定義2 若存在二元函數(shù)，使得，則稱為全微分方程或恰當方程。此時，全微分方程的通解為或。若在單連通域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則方