數(shù)值分析9-常微分方程的差分方法.ppt

1、第三章 常微分方程的差分方法,高 云,問題的提出,實(shí)際中，很多問題的數(shù)學(xué)模型都是微分方程。我們可以研究它們的一些性質(zhì)。但是，只有極少數(shù)特殊的方程有解析解。對(duì)于絕大部分的微分方程是沒有解析解的。,常微分方程作為微分方程的基本類型之一，在自然界與工程界有很廣泛的應(yīng)用。很多問題的數(shù)學(xué)表述都可以歸結(jié)為常微分方程的定解問題。很多偏微分方程問題，也可以化為常微分方程問題來近似求解。,常微分方程的定解問題, 考慮一階常微分方程的初值問題,只要 f (x, y) 在a, b R1 上連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足 Lipschitz 條件，即存在與 x, y 無關(guān)的常數(shù) L 使 對(duì)任意定義在 a, b 上的 y1(x

2、) 和 y2(x) 都成立，則上述問題存在唯一解。,差分方法,要計(jì)算出解函數(shù) y(x) 在一系列節(jié)點(diǎn) a = x0 x1 xn= b 處的近似值,節(jié)點(diǎn)間距 為步長，通常采用等距節(jié)點(diǎn)，即取 hi = h (常數(shù))。,在這些節(jié)點(diǎn)上采用離散化方法，（通常用數(shù)值積分、微分、 泰勒展開等）將上述初值問題化成關(guān)于離散變量的相應(yīng)問題。 把這個(gè)相應(yīng)問題的解yn作為y(xn)的近似值。這樣求得的yn就是 上述初值問題在節(jié)點(diǎn)xn上的數(shù)值解。一般說來，不同的離散化 導(dǎo)致不同的方法。,歐拉公式,向前差商近似導(dǎo)數(shù),亦稱為歐拉折線法,歐拉格式的誤差,Ri 的主項(xiàng), 歐拉法的局部截?cái)嗾`差：,歐拉法具有 1 階精度。,例題1

3、,如何求解此問題？,隱式歐拉格式,由于未知數(shù) yi+1 同時(shí)出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為隱式 /* implicit */ 歐拉公式，而前者稱為顯式 /* explicit */ 歐拉公式。,隱式歐拉格式的代數(shù)精度是幾階的？,兩步歐拉格式,中心差商近似導(dǎo)數(shù),假設(shè) ，則可以導(dǎo)出 即中點(diǎn)公式具有 2 階精度。,需要2個(gè)初值 y0和 y1來啟動(dòng)遞推 過程，這樣的算法稱為雙步法 /* double-step method */，而前面的三種算法都是單步法 /* single-step method */。,初值問題的積分形式,一階方程的初值問題與積分方程,當(dāng)x = x1時(shí)，,借助于數(shù)值積分，

4、求y(x1)的值,用矩形公式,是等價(jià)的,梯形公式,用梯形公式,同理,簡單,精度低,穩(wěn)定性最好,精度低, 計(jì)算量大,精度提高,計(jì)算量大,精度提高, 顯式,多一個(gè)初值, 可能影響精度,各種方法的比較,改進(jìn)的歐拉格式,注：此法亦稱為預(yù)測-校正法 /* predictor-corrector method */?？梢宰C明該算法具有 2 階精度，同時(shí)可以看到它是個(gè)單步遞推格式，比隱式公式的迭代求解過程簡單。后面將看到，它的穩(wěn)定性高于顯式歐拉法。,龍格-庫塔方法,龍格-庫塔方法的設(shè)計(jì)思想,根據(jù)微分中值定理,根據(jù)初值條件定義,則,平均斜率,改進(jìn)的歐拉格式,斜率 一定取K1 K2 的平均值嗎？,步長一定是一個(gè)

5、h 嗎？,二階龍格-庫塔方法,首先希望能確定系數(shù) 1、2、p，使得到的算法格式有2階精度，即在 的前提假設(shè)下，使得,Step 1: 將 K2 在 ( xi , yi ) 點(diǎn)作 Taylor 展開,二階龍格-庫塔方法（續(xù)）,Step 2: 將 K2 代入第1式，得到,Step 3: 將 yi+1 與 y( xi+1 ) 在 xi 點(diǎn)的泰勒展開作比較,二階龍格-庫塔方法（續(xù)）,要求 ，則必須有：,這里有 個(gè)未知數(shù)， 個(gè)方程。,3,2,存在無窮多個(gè)解。所有滿足上式的格式統(tǒng)稱為2階龍格 - 庫塔格式。,注意到， 就是改進(jìn)的歐拉法。,Q: 為獲得更高的精度，應(yīng)該如何進(jìn)一步推廣？,龍格-庫塔方法一般推導(dǎo)公

6、式,其中i ( i = 1, , m )，i ( i = 2, , m ) 和 ij ( i = 2, , m; j = 1, , i1 ) 均為待定系數(shù)，確定這些系數(shù)的步驟與前面相似。,龍格-庫塔方法的注意事項(xiàng), 由于龍格-庫塔法的導(dǎo)出基于泰勒展開，故精度主要受解函數(shù)的光滑性影響。對(duì)于光滑性不太好的解，最好采用低階算法而將步長h 取小。,亞當(dāng)姆斯方法-線性多步法,用若干節(jié)點(diǎn)處的 y 及 y 值的線性組合來近似y(xi+1)。,其通式可寫為：,當(dāng) 10 時(shí)，為隱式公式; 1=0 則為顯式公式。,線性多步法,亞當(dāng)姆斯格式的基本思想,利用前面已知點(diǎn)上的斜率的加權(quán)平均來近似平均斜率,兩種構(gòu)造方法,

7、基于泰勒展開的構(gòu)造法,將通式中的右端各項(xiàng) yi1, , yik ; fi+1, fi1, , fik 分別在 xi 點(diǎn)作泰勒展開，與精確解y(xi+1) 在 xi 點(diǎn)的泰勒展開作比較。通過令同類項(xiàng)系數(shù)相等，得到足以確定待定系數(shù)0, , k ; 1, 0, , k 的等式，則可構(gòu)造出線性多步法的公式。,兩種構(gòu)造方法, 基于數(shù)值積分的構(gòu)造法,將 在 上積分，得到,只要近似地算出右邊的積分 ，則可通過 近似y(xi+1) 。而選用不同近似式 Ik，可得到不同的計(jì)算公式。,泰勒展開方法舉例,解：,/* y(xi) = yi */,泰勒展開方法舉例,7,5,個(gè)未知數(shù) 個(gè)方程,此方程的解不唯一，可以根據(jù)自

8、己的需要另設(shè)兩個(gè)條件。,收斂性與穩(wěn)定性,常微分方程的解是一個(gè)函數(shù)，但是，計(jì)算機(jī)沒有辦法對(duì)函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。因此，常微分方程的數(shù)值解并不是求函數(shù)的近似，而是求解函數(shù)在某些節(jié)點(diǎn)的近似值。,為了考察數(shù)值方法提供的數(shù)值解，是否有實(shí)用價(jià)值，需要知道如下幾個(gè)結(jié)論：, 步長充分小時(shí)，所得到的數(shù)值解能否逼近問題得真解；即收斂性問題, 誤差估計(jì)（局部截?cái)嗾`差和全局誤差）, 產(chǎn)生得舍入誤差，在以后得各步計(jì)算中，是否會(huì)無限制擴(kuò)大；穩(wěn)定性問題,收斂性與穩(wěn)定性,收斂性,對(duì)于任意固定的 xn =x0+ nh，如果數(shù)值解 yn當(dāng) h 0（同時(shí)n ）時(shí)趨向于準(zhǔn)確解 y（xn），則稱該方法是收斂的.,歐拉公式的收斂性,存在常數(shù)C使

9、得,收斂性與穩(wěn)定性,收斂性與穩(wěn)定性,稱為整體截?cái)嗾`差,是1階,收斂性與穩(wěn)定性,收斂性與穩(wěn)定性,穩(wěn)定性,如果一種差分方法在節(jié)點(diǎn)值 yn上大小為 的擾動(dòng)，于以后各節(jié)點(diǎn)值 ym（m n）上產(chǎn)生的偏差均不超過 ，則稱該方法是穩(wěn)定的.,穩(wěn)定性問題比較復(fù)雜，為簡化討論，我們僅考察下列模型方程 y = y， 0,收斂性與穩(wěn)定性,模型的歐拉格式為,yn+1=（1 + h）yn,模型的歐拉格式為,則,n+1=（1 + h）n,要使,|yn+1|yn|,則,|1 + h|1,穩(wěn)定條件,0 h -2/ ,收斂性與穩(wěn)定性,模型的隱式歐拉格式為,yn+1= yn+ hyn+1,解出,恒成立,總有,結(jié)論,恒穩(wěn)定,|yn+

10、1|yn|,方程組與高階方程的情形,一階方程組的一般形式,方程組與高階方程的情形,化高階方程為一階方程,方程組與高階方程的情形,令,則有,邊值問題,考慮常微分方程的邊值問題：,其中p(x)，q(x)和f (x)均為a, b上給定的函數(shù)，,，為已知數(shù)。,假定p(x)、q(x)及f (x)均為a, b上充分光滑的函數(shù)， 且q(x)0，這時(shí)，邊值問題存在連續(xù)可微的解，且唯一。,邊值問題,用差分法解邊值問題的主要步驟是：,（1）將區(qū)間a, b離散化；,（2）在這些節(jié)點(diǎn)上，將導(dǎo)數(shù)差商化，從而把微分方程 化為差分方程；,(3) 解差分方程實(shí)際上就是解線代數(shù)方程組。,將a, b區(qū)間用節(jié)點(diǎn),分成N等分，其中x0 = a與xN =