高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末分層突破學(xué)案 新人教B版選修

1、第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用自我校對(duì)斜率yf(x0)f(x0)(xx0)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)_導(dǎo)數(shù)的幾何意義利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程時(shí)，關(guān)鍵是搞清所給的點(diǎn)是不是切點(diǎn)，常見類型有兩種：(1)函數(shù)yf(x)“在點(diǎn)xx0處的切線方程”，這種類型中(x0，f(x0)是曲線上的點(diǎn)，其切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)(2)函數(shù)yf(x)“過某點(diǎn)的切線方程”，這種類型中，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，可先設(shè)切點(diǎn)Q(x1，y1)，則切線斜率為f(x1)，再由切線過點(diǎn)P(x0，y0)得斜率為，又由y1f(x1)，由上面兩個(gè)方程可得切點(diǎn)(x1，y1)，即求出了過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程已

2、知函數(shù)f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，直線m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使直線m既是曲線yf(x)的切線，又是yg(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【精彩點(diǎn)撥】(1)求f(x)f(1)0求得a(2)設(shè)直線m與yg(x)相切求出相應(yīng)切線的斜率與切線方程檢驗(yàn)切線是否與yf(x)相切得結(jié)論【規(guī)范解答】(1)因?yàn)閒(x)3ax26x6a，且f(1)0，所以3a66a0，得a2.(2)因?yàn)橹本€m過定點(diǎn)(0,9)，先求過點(diǎn)(0,9)，且與曲線yg(x)相切的直線方程設(shè)切點(diǎn)為(x0,3x6x012)，又因?yàn)間(

3、x0)6x06.所以切線方程為y(3x6x012)(6x06)(xx0)將點(diǎn)(0,9)代入，得93x6x0126x6x0，所以3x30，得x01.當(dāng)x01時(shí)，g(1)12，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,21)，所以切線方程為y12x9；當(dāng)x01時(shí)，g(1)0，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,9)，所以切線方程為y9.下面求曲線yf(x)的斜率為12和0的切線方程：因?yàn)閒(x)2x33x212x11，所以f(x)6x26x12.由f(x)12，得6x26x1212，解得x0或x1.當(dāng)x0時(shí)，f(0)11，此時(shí)切線方程為y12x11；當(dāng)x1時(shí)，f(1)2，此時(shí)切線方程為y12x10.所以y12x9不是公切線由f(x)0，得6x

4、26x120，解得x1或x2.當(dāng)x1時(shí)，f(1)18，此時(shí)切線方程為y18；當(dāng)x2時(shí)，f(2)9，此時(shí)切線方程為y9，所以y9是公切線綜上所述，當(dāng)k0時(shí)，y9是兩曲線的公切線此題直線m恒過點(diǎn)(0,9)是解題的突破口，即若m是f(x)，g(x)的公切線，則切線必過點(diǎn)(0,9)一般說來，求過定點(diǎn)的兩曲線公切線的一般思路是：先求出過定點(diǎn)的一曲線的切線方程，再令斜率值與另一曲線的導(dǎo)數(shù)相等，求出可能的切點(diǎn)，得出對(duì)應(yīng)切線方程若兩條直線方程相同，則為公切線；若不同，則不存在公切線當(dāng)然，也可能會(huì)存在切線斜率不存在的情況再練一題1已知函數(shù)f(x)x3x16.(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(2，6)處的切線的方程；(

5、2)直線l為曲線yf(x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如果曲線yf(x)的某一切線與直線yx3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程【解】(1)可判定點(diǎn)(2，6)在曲線yf(x)上f(x)(x3x16)3x21，f(x)在點(diǎn)(2，6)處的切線的斜率為kf(2)13.切線的方程為y(6)13(x2)，即y13x32.(2)法一設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則直線l的斜率為f(x0)3x1，直線l的方程為y(3x1)(xx0)xx016.又直線l過點(diǎn)(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得，x8，x02.y0(2)3(2)1626.k3(2)2113.直線l的方程為y13x，切點(diǎn)

6、坐標(biāo)為(2，26)法二設(shè)直線l的方程為ykx，切點(diǎn)為(x0，y0)，則k，又kf(x0)3x1，3x1.解之得x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直線l的方程y13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，26)(3)切線與直線y3垂直，切線的斜率k4.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則f(x0)3x14，x01，或即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，14)或(1，18)切線方程為y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)；如果f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)應(yīng)注意：在區(qū)間內(nèi)f(x)0或f(x

7、)0是f(x)在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)(或減函數(shù))的充分條件，而不是必要條件如果f(x)在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)，那么f(x)0；如果f(x)在某個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)，那么f(x)0.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟為：(1)求f(x)；(2)解不等式f(x)0或f(x)0；(3)確定并指出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間、遞減區(qū)間已知函數(shù)f(x)，x0,1(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域；(2)設(shè)a1，函數(shù)g(x)x33a2x2a，x0,1，若對(duì)于任意x10,1，總存在x00,1，使得g(x0)f(x1)成立，求a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【精彩點(diǎn)撥】(1)求f(x)，列表，求單調(diào)區(qū)間及最值；(2)任意存在型問題，轉(zhuǎn)化為

8、f(x)的值域是g(x)值域的子集【規(guī)范解答】(1)f(x)，令f(x)0，得x或x(舍去)當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x01f(x)0f(x)43當(dāng)x時(shí)，f(x)是減函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，f(x)是增函數(shù)當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)的值域?yàn)?，3(2)對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)，得g(x)3(x2a2)a1，當(dāng)x0,1時(shí)，g(x)3(1a2)0，且g(x)0的根為有限個(gè)當(dāng)x0,1時(shí)，g(x)為減函數(shù)當(dāng)x0,1時(shí)，g(x)g(1)，g(0)又g(1)12a3a2，g(0)2a，即g(x)12a3a2，2a任給x10,1，f(x1)4，3存在x00,1，使得g(x0)f(x1)，則12a3a2，2

9、a4，3，即解式得a1或a，解式得a.又a1，a的取值范圍為.1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，也就是求函數(shù)定義域內(nèi)不等式f(x)0或f(x)0的解集2已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)，求參數(shù)問題，通常是轉(zhuǎn)化為恒成立問題再練一題2已知aR函數(shù)f(x)(x2ax)ex(xR)(1)當(dāng)a2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍【解】當(dāng)a2時(shí)，f(x)(x22x)ex，f(x)(x22)ex.當(dāng)f(x)0時(shí)，(x22)ex0，注意到ex0，所以x220，解得x.所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)同理可得，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，)和(，)(2)因?yàn)楹?/p>

10、數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增，所以f(x)0在(1,1)上恒成立又f(x)x2(a2)xaex，即x2(a2)xaex0，注意到ex0，因此x2(a2)xa0在(1,1)上恒成立，也就是ax1在(1,1)上恒成立設(shè)yx1，則y10，即yx1在(1,1)上單調(diào)遞增，則y11，故a.即a的取值范圍為.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值(最值)及恒成立問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值應(yīng)明確求解步驟，求解時(shí)切記函數(shù)的定義域，正確區(qū)分最值與極值的不同函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點(diǎn)附近的情況，是在局部對(duì)函數(shù)值比較大??；而最值是在整個(gè)區(qū)間上對(duì)函數(shù)值比較大小函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只能有一個(gè)，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，而最值還可

11、以在端點(diǎn)處取得，最值只要不在端點(diǎn)處，必是一個(gè)極值已知函數(shù)f(x)x33ax29a2xa3.(1)設(shè)a1，求函數(shù)f(x)的極值；(2)若a，且當(dāng)x1,4a時(shí)，f(x)a312a恒成立，試確定a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【規(guī)范解答】(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x33x29x1且f(x)3x26x9，由f(x)0得x1或x3.當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，當(dāng)1x3時(shí)，f(x)0，因此x1是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為f(1)6；當(dāng)1x3時(shí)，f(x)0，當(dāng)x3時(shí)，f(x)0，因此x3是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為f(3)26.(2)f(x)3x26ax9a23(xa)(x3a)，a，當(dāng)1x3a時(shí)，f(x)0；當(dāng)3ax4a

12、時(shí)f(x)0.x1,4a時(shí)，f(x)的最小值為f(3a)26a3.由f(x)a312a在1,4a上恒成立得26a3a312a.解得a.又a，a.即a的取值范圍為.一般地，已知不等式在某區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的取值范圍問題，都可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，而導(dǎo)數(shù)是解讀函數(shù)最值問題的有力工具再練一題3已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx在點(diǎn)x0處取得極小值4，使其導(dǎo)函數(shù)f(x)0的x的取值范圍為(1,3)(1)求f(x)的解析式及f(x)的極大值；(2)當(dāng)x2,3時(shí)，求g(x)f(x)6(m2)x的最大值【解】(1)由題意知f(x)3ax22bxc3a(x1)(x3)(由題意f(x)0的x的范圍(1,3)

13、可知a0)，在(，1)上f(x)0，f(x)是減函數(shù)，在(1,3)上f(x)0，f(x)是增函數(shù)，在(3，)上f(x)0，f(x)是減函數(shù)因此f(x)在x01處取得極小值4，在x3處取得極大值解得a1，b6，c9，f(x)x36x29x.則f(x)在x3處取得極大值f(3)0.(2)g(x)3x212x96(m2)x3(x22mx3)，g(x)6x6m0，得xm.當(dāng)2m3時(shí)，g(x)maxg(m)3m29；當(dāng)m2時(shí)，g(x)在2,3上是遞減的，g(x)maxg(2)12m21；當(dāng)m3時(shí)，g(x)在2,3上是遞增的，g(x)maxg(3)18m36.因此g(x)max導(dǎo)數(shù)與不等式問題利用導(dǎo)數(shù)研究

14、函數(shù)是高考的必考內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)考題利用導(dǎo)數(shù)作為工具，考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的極值與最值，參數(shù)的取值范圍等問題，若以選擇題、填空題出現(xiàn)，以中低檔題為主；若以解答題形式出現(xiàn)，則難度以中檔以上為主，有時(shí)也以壓軸題的形式出現(xiàn)考查中常滲透函數(shù)、不等式等有關(guān)知識(shí)，綜合性較強(qiáng)已知函數(shù)f(x)(k為常數(shù)，e2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與x軸平行(1)求k的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)g(x)xf(x)，其中f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)證明：對(duì)任意x0，g(x)1e2. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【精彩點(diǎn)撥】(3)中要借助于(2)的結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)【規(guī)范

15、解答】(1)f(x)，由已知，f(1)0，k1.(2)由(1)知，f(x).設(shè)k(x)ln x1，則k(x)0，即k(x)在(0，)上是減函數(shù)，由k(1)0知，當(dāng)0x1時(shí)，k(x)0，從而f(x)0，當(dāng)x1時(shí)，k(x)0，從而f(x)0.綜上可知，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，)(3)由(2)可知，當(dāng)x1時(shí)，g(x)xf(x)01e2，故只需證明g(x)1e2在0x1時(shí)成立當(dāng)0x1時(shí)，ex1，且g(x)0，g(x)1xln xx.設(shè)F(x)1xln xx，x(0,1)，則F(x)(ln x2)，當(dāng)x(0，e2)時(shí)，F(xiàn)(x)0，當(dāng)x(e2,1)時(shí)，F(xiàn)(x)0，所以當(dāng)xe

16、2時(shí)，F(xiàn)(x)取得最大值F(e2)1e2.所以g(x)F(x)1e2.綜上，對(duì)任意x0，g(x)1e2.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題(如：證明不等式，比較大小等)，其實(shí)質(zhì)就是利用求導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，而證明不等式(或比較大小)常與函數(shù)最值問題有關(guān)因此，解決該類問題通常是構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，然后判斷這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合給定的區(qū)間和函數(shù)在該區(qū)間上的最值使問題得以求解再練一題4已知函數(shù)f(x)x2aln x(aR)，(1)若f(x)在x2時(shí)取得極值，求a的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：當(dāng)x1時(shí)，x2ln xx3.【解】(1)f(x)x，因?yàn)閤2是一個(gè)極值點(diǎn)，所以20，則a4.此時(shí)f(x)

17、x，因?yàn)閒(x)的定義域是(0，)，所以當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(2，)，f(x)0，所以當(dāng)a4時(shí)，x2是一個(gè)極小值點(diǎn)，則a4.(2)因?yàn)閒(x)x，所以當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(，)；遞減區(qū)間為(0，)(3)證明設(shè)g(x)x3x2ln x，則g(x)2x2x，因?yàn)楫?dāng)x1時(shí)，g(x)0，所以g(x)在x(1，)上為增函數(shù)，所以g(x)g(1)0，所以當(dāng)x1時(shí)，x2ln xx3.導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大(小)值、求函數(shù)在區(qū)間a，b上的最大(小)值或利用求導(dǎo)法解決一些實(shí)際問題是函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)與延伸，這種解決問

18、題的方法使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，因而已逐漸成為高考的又一新熱點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，應(yīng)注意的問題：(1)求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，一定要符合問題的實(shí)際意義，不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去(2)在實(shí)際問題中，由f(x)0常常僅得到一個(gè)根，若能判斷出函數(shù)的最大(小)值在x的變化區(qū)間內(nèi)部得到，則這個(gè)根處的函數(shù)值就是所求的最大(小)值某企業(yè)擬建造如圖31所示的容器(不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米，且l2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c3)千元設(shè)該

19、容器的建造費(fèi)用為y千元圖31(1)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【規(guī)范解答】(1)設(shè)容器的容積為V，由題意知Vr2lr3，又V，故lr.由于l2r，因此0r2.所以建造費(fèi)用y2rl34r2c2r34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r，0r2.由于c3，所以c20，當(dāng)r30時(shí)，r.令m，則m0.所以y(rm)(r2rmm2)當(dāng)0m2，即c時(shí)，當(dāng)rm時(shí)，y0；當(dāng)r(0，m)時(shí)，y0；當(dāng)r(m,2)時(shí)，y0，所以rm是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)當(dāng)m2，即3c時(shí)，當(dāng)r(0,2)時(shí)，y0，函數(shù)單調(diào)遞減

20、，所以r2是函數(shù)y的最小值點(diǎn)綜上所述，當(dāng)3c時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r2；當(dāng)c時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r.利用導(dǎo)數(shù)解答實(shí)際問題的一般步驟：(1)利用題設(shè)中的條件建立目標(biāo)函數(shù)；(2)根據(jù)題目中所要求解的問題，利用導(dǎo)數(shù)解答，通常是通過判斷函數(shù)的單調(diào)性來求最值再練一題5張林在李明的農(nóng)場(chǎng)附近建了一個(gè)小型工廠，由于工廠生產(chǎn)需占用農(nóng)場(chǎng)的部分資源，因此李明每年向張林索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定凈收入，工廠在不賠付農(nóng)場(chǎng)的情況下，工廠的年利潤(rùn)x(元)與年產(chǎn)量t(噸)滿足函數(shù)關(guān)系x2 000，若工廠每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付農(nóng)場(chǎng)s元(以下稱s為賠付價(jià)格)(1)將工廠的年利潤(rùn)W(元)表示為年產(chǎn)量t(噸)的函數(shù)，并求出工廠獲得最大年利潤(rùn)時(shí)的年產(chǎn)量(2)若農(nóng)場(chǎng)每年受工廠生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額為y0.002t2(元)，在工廠按照獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，農(nóng)場(chǎng)要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向張林的工廠要求賠付價(jià)格s是多少？【解】(1)工廠的實(shí)際年利潤(rùn)為：W2 000st(t0)，W2 000sts2，當(dāng)t2時(shí)，W取得最大值所以工廠取得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為2噸(2)設(shè)農(nóng)場(chǎng)凈收入為v元，則vst0.002t2.將t2代入上式，得：v，v.又令v0，得s20.當(dāng)0s0；當(dāng)s20時(shí)，v0，所以s20時(shí)，v取得最大值1(2015北京高考)某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)