導數(shù)與積分經(jīng)典例題以及答案

1、高三數(shù)學 導數(shù)與積分經(jīng)典例題以及答案一. 教學內(nèi)容：導數(shù)與積分二. 重點、難點：1. 導數(shù)公式：2. 運算公式 3. 切線，過P（）為切點的的切線， 4. 單調(diào)區(qū)間 不等式，解為的增區(qū)間，解為的減區(qū)間。 5. 極值（1）時，時， 為極大值（2）時，時， 為的極小值?！镜湫屠}】例1 求下列函數(shù)的導數(shù)。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。分析：直接應用導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則解析：（1）（2）當時，；當時， （3）（4）（5）（6）例2 如果函數(shù)的圖象在處的切線過點（0，）并且與圓C：相離，則點（）與圓C的位置關系 。解： 切 過（0，） 與圓相離， 點（）在圓內(nèi)例3 函數(shù)在上可導，

2、且，則時有（ ）A. B. C. D. 解：令 任取 即 故選C例4 分別為定義在R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)。時，則不等式的解為 。解：令 奇，偶奇函數(shù) 解為例5 已知函數(shù)在處取得極值2。（1）求的解析式；（2）滿足什么條件時，區(qū)間（）為函數(shù)增區(qū)間；（3）若P（）為圖象上任一點，與切于點P求的傾斜角的正切值的取值范圍。解： 列表 （1，1） （1，+）令 例6 （1）在x=1，x=3處取得極值，求；（2）在，且，求證：（3）在（2）的條件下，比較與大小關系。解：（1） （2） （3）* *式 例7 已知拋物線和。如果直線同時是和的切線，稱是和的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段。（1）

3、取什么值時，和有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；（2）若和有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分。分析：分別利用曲線 方程求切線的方程再比較，從而求得滿足條件；對于（2）兩條公切線段互相平分，也就是兩公切線段的中點坐標相同。解析：（1）函數(shù)的導數(shù)，曲線在點的切線方程是即 函數(shù)的導數(shù)曲線在點的切線方程是即 如果直線是過P和Q的公切線，則式和式都是的方程所以消去得方程若判別式，即時解得，此時點P與Q重合即當時，和有且僅有一條公切線由得公切線方程為（2）由（1）可知，當時和有兩條公切線設一條公切線上切點為，其中P在上，Q在上，則有線段PQ的中點為同理，另一條公切線段的中點也是所以公切線段

4、PQ和互相平分例8 已知拋物線過點，且在點處與直線相切，求的值。解析： 拋物線在點處與直線相切 ，且即又拋物線過點（1，1） （3）將（1）（2）（3）聯(lián)立解得例9 設函數(shù)的圖象與軸的交點為P點，且曲線在P點處的切線方程為，若函數(shù)在處取得極值為0，試確定函數(shù)的解析式。解析： 的圖象與y軸交點為P 點P的坐標為 曲線在P點處的切線方程為，故P點坐標適合此方程，將代入后得又切線的斜率為而， 又函數(shù)在處取得極值0 且即由（1）（2）解得 例10 已知曲線。（1）求曲線在點P（1，1）處的切線方程；（2）求曲線過點Q（1，0）的切線方程；（3）求滿足斜率為的曲線的切線方程。解析：（1） ，又P（1，1

5、）是曲線上的點 P為切點，所求切線的斜率為 曲線在P點處的切線方程為，即（2）顯然Q（1，0）不在曲線上，則可設過該點的切線的切點為，則該切線斜率為則切線方程為（*）將Q（1，0）代入方程（*）得得。故所求切線方程為（3）設切點坐標為，則切線的斜率為解得 或，代入點斜式方程得或即切線方程為或例11 已知，函數(shù)，設，記曲線在點處的切線為。（1）求的方程；（2）設與x軸交點為，證明： ； 若，則。解析：（1）求的導數(shù)：，由此得切線的方程：（2）依題意，切線方程中令 當且僅當時等號成立 若，則，且由，所以例12 設函數(shù)，其中，求的單調(diào)區(qū)間。解析：由已知得函數(shù)的定義域為，且（1）當時，由知，函數(shù)在上單

6、調(diào)遞減（2）當時，由，解得隨x的變化情況如下表：x0+極小值從上表可知當時，0，函數(shù)在上單調(diào)遞減當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增綜上所述：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增例13 已知函數(shù)在R上是減函數(shù)，求的取值范圍。分析：因為在R上為減函數(shù)，即在R上恒成立，再解不等式即可得解。解析：求函數(shù)的導數(shù)：（1）當時，是減函數(shù)，且所以，當時，由知是減函數(shù)；（2）當時，由函數(shù)在R上的單調(diào)性，可知當時，是減函數(shù)；（3）當時，在R上存在一個區(qū)間，其上有所以，當時，函數(shù)不是減函數(shù)綜上，所求的取值范圍是例14 設為實數(shù)，函數(shù)在和上都是增函數(shù)，求的取值范圍。解析：其判別式（1）若，即當或時，在上為增

7、函數(shù) （2）若，恒有，在上為增函數(shù) 即（3）若，即，令解得，當或時，為增函數(shù)當時，為減函數(shù)依題意得由得，解得由得解得從而 綜上，的取值范圍為即【模擬試題】（答題時間：60分鐘）1. 已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為（ ）A. 3B. 2C. 1D. 2. 設，曲線在點處切線的傾斜角的取值范圍為，則到曲線對稱軸距離的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 3. 在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數(shù)的點的個數(shù)是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 04. 的導數(shù)為（ ）A. B. C. D. 5. 已知函數(shù)在處的導數(shù)為3，則的解析式可能為（ ）A. B. C. D. 6.

8、 設分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時，且，則不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 7. 函數(shù)的導數(shù)為（ ）A. B. C. D. 8. 設是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如下圖所示，則的圖象最有可能的是（ ） 9. 函數(shù)在處的導數(shù)等于（ ） A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知與是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，如果與僅當時的函數(shù)值為0，且，那么下列情形不可能出現(xiàn)的是（ ）A. 0是的極大值，也是的極大值B. 0是的極小值，也是的極小值C. 0是的極大值，但不是的極值D. 0是的極小值，但不是的極值11. 已知二次函數(shù)的導數(shù)為，對于任意實數(shù)，都有，則的最小值為（ ）A. 3B. C. 2D.

9、12. 設函數(shù)是R上以5為周期的可導偶函數(shù)，則曲線在處的切線的斜率為（ ）A. B. 0C. D. 513. 已知對任意實數(shù)x，有，且時，則時（ ）A. B. C. D. 14. 若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）A. B. C. D. 15. 設是函數(shù)的導函數(shù)，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（ ） 16. 若對任意，則是（ ） A. B. C. D. 17. 是定義在上的非負可導函數(shù)，且滿足 任意正數(shù)，若，則必有（ ）A. B. C. D. 18. 曲線在點處切線的傾斜角為（ ）A. 30B. 45C. 135D. 4519. 設，則等于（ ）A. B. C. D

10、. 20. 拋物線到直線的最短距離為（ ）A. B. C. D. 以上答案都不對 21. 已知函數(shù)的圖象與x軸切于非原點的一點，且。（1）求的值；（2）函數(shù)，若函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)，求m的取值范圍。 22. 已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且，。（1）求的值；（2）在的圖象C上任取一點P，在點P處的切線與圖象C的另一個交點為Q，設點P的橫坐標為，線段PQ中點R的縱坐標為。 用表示； 當時，求的最大值。 23. 已知函數(shù)，（為常數(shù)），若直線與，的圖象都相切，且與的圖象相切的切點橫坐標為1。（1）求直線的方程及的值；（2）當時，求在上的最大值。 24. 已知函數(shù)。（1）若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若方程至多有兩個解，求實數(shù)的取值范圍。【試題答案】1. A 2. B3. D4. C5. A6. D7. C8. C 9. D10. C11. C12. B13. B14. A15. D 16. B17. C18. B19. C20. B21. 解：（1）設函數(shù)的圖象與x軸切于點 又 由，代入式得把代入中，則令，當時，當時，不符合題意綜上所述，（2）由（1）知 在上單調(diào)，即在上恒大于零或恒小于零又由二次函數(shù)性質(zhì)，有恒大于零當時， 當時， m無解 綜上所述22. 解：（1）由為奇函數(shù)可知 ，由 ，（2