軸對(duì)稱與最短路徑問(wèn)題.ppt

1、軸對(duì)稱,課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題,人民教育出版社義務(wù)教育教科書八年級(jí)數(shù)學(xué)（上冊(cè)）,如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？,兩點(diǎn)之間,線段最短, ,()兩點(diǎn)在一條直線異側(cè),已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。,P,連接AB,線段AB與直線L的交點(diǎn)P ，就是所求。,思考？ 為什么這樣做就能得到最短距離呢？,根據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.,如圖，要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？,P,所以泵站建在點(diǎn)P可使輸氣管線最短,應(yīng)用,B/,點(diǎn)P的位置即為所求.,作法： 作點(diǎn)B關(guān)于直

2、線l的對(duì)稱點(diǎn)B/., 連接AB/,交直線l于點(diǎn)P.,() 兩點(diǎn)在一條直線同側(cè),已知：如圖,A、B在直線L的同一側(cè)，在L上求一點(diǎn)，使得PA+PB最小.,為什么這樣做就能得到最短距離呢？,MA + MBPA+PB ,即MA + MBPA+PB,三角形任意兩邊之和大于第三邊,問(wèn)題：如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短,練習(xí),請(qǐng)你自己動(dòng)手 試一試！,只有A、C、B在一直線上時(shí)，才能使AC+BC最小作點(diǎn)A關(guān)于直線“街道”的對(duì)稱點(diǎn)A，然后連接AB，交“街道”于點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是所求的點(diǎn),()一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部,已知：如圖A是銳角MO

3、N內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.,B,C,D,E,分析：當(dāng)AB、BC和AC三條邊的長(zhǎng)度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最小,()一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部,已知：如圖A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.,分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)A，A；連接A，A，分別交OM，ON于點(diǎn)B、點(diǎn)C，則點(diǎn)B、點(diǎn)C即為所求,1. 如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）,作法：1.將點(diǎn)B沿垂

4、直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E， 2.連接AE交河對(duì)岸與點(diǎn)M, 則點(diǎn)M為建橋的位置，MN為所建的橋。 證明：由平移的性質(zhì)，得 BNEM 且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE, 所以A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若橋的位置建在CD處，連接AC.CD.DB.CE, 則AB兩地的距離為： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN, 即AC+CD+DB AM+MN+BN 所以橋的位置建在CD處，AB兩地的路程最短。,A,B,M,N,E,C,D,2. 如圖，A、B是兩個(gè)蓄水池，都在

5、河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個(gè)抽水站，將河水送到A、B兩地，問(wèn)該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)。 作法：作點(diǎn)B關(guān)于直線 a 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)C,連接AC交直線a于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為建抽水站的位置。 證明：在直線 a 上另外任取一點(diǎn)E，連接AE.CE.BE.BD, 點(diǎn)B.C關(guān)于直線 a 對(duì)稱,點(diǎn)D.E 在直線 a上，DB=DC,EB=EC, AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC 在ACE中，AE+ECAC, 即 AE+ECAD+DB 所以抽水站應(yīng)建在河邊的點(diǎn)D處，,3.某班舉行晚會(huì)，桌子擺成兩直條(如圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了桔子，OB

6、桌面上擺滿了糖果，坐在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？ 作法：1.作點(diǎn)C關(guān)于直線 OA 的 對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)D, 2. 作點(diǎn)C關(guān)于直線 OB 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E, 3.連接DE分別交直線OA.OB于點(diǎn)M.N， 則CM+MN+CN最短,A,O,B,. .,E,D,M,N,G,H,證明：在直線OA 上另外任取一點(diǎn)G，連接 點(diǎn)D,點(diǎn)C關(guān)于直線OA對(duì)稱， 點(diǎn)G.H在OA上，DG=CG, DM=CM, 同理NC=NE，HC=HE, CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE, CG+GH+HC=DG+GH+HE, DG+GH+HEDE（兩點(diǎn)之間，線段最短）， 即CG+GH+HCCM+CN+MN 即CM+CN+MN最短,4. 如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。 作法：1.作點(diǎn)C關(guān)于直線 OA 的 對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)F, 2. 作點(diǎn)D關(guān)于直線 OB 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E, 3.連接EF分別交直線OA.OB于點(diǎn)G.H， 則CG+GH+DH最短,F,A,O,B,D , C,E,G,H,A/,B/,P,Q,證明：在直線OA 上另外任取一點(diǎn)G，連接 點(diǎn)F,點(diǎn)C關(guān)于直線OA對(duì)稱，點(diǎn)G.M在OA上，GF=GC,FM=CM, 同理HD=HE，ND=NE,