電路ch13拉氏變換.ppt

1、1,第十三章,拉普拉斯變換,2,要求掌握：,拉普拉斯變換的積分定義式；,拉普拉斯變換的主要性質(zhì)；,求拉普拉斯反變換的部分分式展開法；,復(fù)頻域分析法(運算法),3, 1 拉普拉斯變換的定義,一. 拉氏變換的定義,時域 f(t) 稱為 原函數(shù)，用小寫字母表示，如 i(t ), u(t )。 復(fù)頻域 F(s) 稱為 象函數(shù)，用大寫字母表示 ，如 I(s)、U(s)。,一個定義在0，)區(qū)間的函數(shù)f(t)，它的拉普拉斯變換式F(s)定義為：,f(t)與F(s)一 一對應(yīng),式中,為復(fù)數(shù),4,從定義式 可看出，把原函數(shù)f(t)與 e-st的乘積從 t =0-到對 t 進行積分，則此積分的結(jié)果不再是t 的函數(shù)

2、。所以拉氏變換是把一個時間域的函數(shù)f(t) 變換到s 域內(nèi)的復(fù)變函數(shù) F(s)。變量s 稱為復(fù)頻率。,如果F(s)已知，要求出與之對應(yīng)的原函數(shù)f(t) ，由F(s)到f(t)的變換稱為拉普拉斯反變換，它定義為：,5,二. 常用函數(shù)的拉氏變換,= 1,(a為實數(shù)),6,2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì),一. 線性性質(zhì),7,二. 微分性質(zhì),8,三. 積分性質(zhì),依次類推有：,9,四. 延遲性質(zhì)(延遲定理) -時域平移,為什么加階躍函數(shù)見書證明過程.,10,例1：,11,五. 復(fù)頻域平移性質(zhì),12,比較時域平移和復(fù)頻域平移,13,3 拉普拉斯反變換,一. 由象函數(shù)求原函數(shù),(1)利用公式,(2)經(jīng)數(shù)學(xué)處理后

3、查拉普拉斯變換表,象函數(shù)的一般形式：,二. 將F(s)進行部分分式展開,f(t)=L-1F(s),式中m, n均為正整數(shù)，且 nm 。,14,把F(s)分解成若干簡單項之和，而這些簡單項可以在拉氏變換表中找到，這種方法稱為部分分式展開法，或稱為分解定理。,用部分分式展開F(s)時，需要化為真分式。,若nm，則F(s)是真分式。,若n=m，則,A是一個常數(shù)，對應(yīng)的時間函數(shù)為A(t)，余數(shù)項為真分式。,15,用部分分式展開真分式時，需對分母D(s)作因式分解，求出D(s)=0的根，根據(jù)根的形式確定原函數(shù)的形式。,F(s) 可以展開為：,式中K1、K2、Kn為待定系數(shù)。,將上式兩邊都乘以(s-p1)

4、，得,令s=p1，得,16,同理可求得,確定各系數(shù)后，得相應(yīng)的原函數(shù)：,17,Ki也可用求極限的方法求,i=1,2,3n,相應(yīng)的原函數(shù)為：,即求 Ki 的另一公式：,18,例1,D(s)的根為：p1= 0, p2= -1, p3= -2,根據(jù)第一個求系數(shù)公式得：,得原函數(shù)：,19,例2,用求極限法求系數(shù)：,20,例3,21,這時F(s)的形式為：,由于F(s)是實系數(shù)多項式之比，故 K1,K2也是一對共軛復(fù)數(shù),系數(shù)K1、K2為：,設(shè),則,22,則原函數(shù),23,例,解：,求得D(s)的根為:,則原函數(shù)為:,24,3. D(s)=0具有重根，即D(s)含有 (s-p1)n 的因子。,設(shè) D(s)中

5、含有 (s-p1)3的因子，即p1為D(s)的三重根，其余為單根，F(xiàn)(s)可分解為：,K2、K3、.的確定同前。,將上式兩邊同乘以(s-p1)3，則K11被分離出來，即,K11、K12、K13的確定：,25,對同乘以(s-p1)3后的式子求導(dǎo)：,則K12被分離出來，即,對求過一次導(dǎo)的式子再求導(dǎo)：,則K13被分離出來，即,26,以上結(jié)論推廣到D(s)=0有q 階重根，其余為單根的分解式：,式中,27,例1：求 的原函數(shù) 。,D(s)=0具有兩重根，F(xiàn)(s)的分解式為：,解：,即F(s)的分解式為：,則原函數(shù)為：,28,例2,解：,29,相量形式KCL、KVL,元件 復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納,4 復(fù)頻域中的

6、電路元件與模型、電路定律,類似地,元件 運算阻抗、運算導(dǎo)納,運算形式KCL、KVL,30,一. 電路元件的運算形式,R：,u=Ri,31,L:,電感的運算電路,iL(0_) ：電感的初始電流；,LiL(0_) ：附加電壓源的大小，它反映了電感初始電流的作用。,sL ：電感的運算阻抗；,32,L:,上式改寫為：,-電感的運算導(dǎo)納；,-附加電流源的大小。,33,C :,Cu(0_) ：電容附加電流源的大小。,sC ：電容C的運算導(dǎo)納；,附加電源的大小反映了電容初始電壓的作用。,34,二. 電路定律的運算形式,35,36,思考:比較運算電路和相量電路.,37,三. 運算電路模型,運算電路,時域電路,

7、1. 電壓、電流用象函數(shù)形式,2. 元件用運算阻抗或運算導(dǎo)納,3.電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示,38,時域電路,uC(0-)=25V iL(0-)=5A,39,5 拉普拉斯變換法分析電路,步驟：,1. 由換路前電路計算uC(0-) , iL(0-) 。,2. 畫運算電路模型,3. 應(yīng)用電路分析方法求象函數(shù)。,4. 反變換求原函數(shù)。,注意：,在運算電路中，對電容、電感及耦合電感元件不能遺漏附加電源 (特別注意方向)，要正確寫出其運算阻抗(或運算導(dǎo)納)； 運算電路中的電容電壓和電感電壓應(yīng)包含其運算阻抗兩端電壓和附加電源電壓兩部分。,40,t = 0時閉合k,求iL，uL。,(2) 畫運算

8、電路,解：,41,42,(4)反變換求原函數(shù),t0,43,思考:,求UL(t),44,求UL(s),45,例2 求沖激響應(yīng),解 畫出運算電路：,激勵是沖激函數(shù)的電路適合用運算法求解.,46,t = 0時打開開關(guān)k , 求電流 i1, i2。,解： 畫出運算電路：,t0的運算電路,47,48,49,uL1+uL2中并無沖擊函數(shù)，因為L1、L2中的電流發(fā)生了躍變，因而有沖激電壓出現(xiàn)，但兩者大小相同而方向相反，故在整個回路，不會出現(xiàn)沖激電壓，滿足KVL。,含兩個及兩個以上的動態(tài)元件的電路適合用運算法求解.,50,思考1:驗證uL1和i1的關(guān)系,滿足uL1 =L1di1/dt 嗎?,思考2:能否用三要

9、素法求解此題?,51,本章小結(jié),復(fù)頻域分析法 (運算法),52,本章小結(jié),復(fù)頻域分析法 (運算法),拉普拉斯變換的積分定義式,計算象函數(shù)的方法：,按照定義計算廣義積分；,利用拉普拉斯變換的有關(guān)性質(zhì)；,查積分變換表。,53,本章小結(jié),拉普拉斯變換的主要性質(zhì),線性性質(zhì),微分性質(zhì),積分性質(zhì),54,本章小結(jié),部分分式展開法,把象函數(shù),分解成若干簡單項之和以便在拉氏變換表中找到，這種方法稱為部分分式展開法。,若n=m，則象函數(shù)形式為：,常數(shù)A對應(yīng)的時間函數(shù)為A(t)，余數(shù)項為真分式。,55,本章小結(jié),部分分式展開法,對分母D(s)作因式分解：,F(s) 可以展開為：,相應(yīng)的原函數(shù)：,或,求出D(s)=0的根。,56,本章小結(jié),部分分式展開法