3.5__數(shù)列的綜合應用.ppt

1、要點梳理 1.解答數(shù)列應用題的基本步驟 (1)審題仔細閱讀材料，認真理解題意. (2)建模將已知條件翻譯成數(shù)學（數(shù)列）語言，將實際問題轉化成數(shù)學問題，弄清該數(shù)列的結構和特征. (3)求解求出該問題的數(shù)學解. (4)還原將所求結果還原到原實際問題中.,3.5 數(shù)列的綜合應用,基礎知識 自主學習,2.數(shù)列應用題常見模型 (1)等差模型：如果增加（或減少）的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加（或減少）的量就是公差. (2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比. (3)分期付款模型：設貸款總額為a，年利率為r,等額還款數(shù)為b,分n期還完，則

2、b=,基礎自測 1.數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列且a7、a10、a15是 等比數(shù)列bn的連續(xù)三項，若等比數(shù)列bn的首項 b1=3,則b2等于（ ） A. B.5 C.2 D. 解析 由條件知 =a7a15, （a7+3d）2=a7(a7+8d),d0 9d=2a7，q= b1=3，b2=b1q=5.,B,2.一套共7冊的書計劃每兩年出一冊，若出完全部各冊書，公元年代之和為13 958，則出齊這套書的年份是（） A.1994B.1996 C.1998 D.2000 解析 設出齊這套書的年份是x， 則（x-12）+(x-10)+(x-8)+x=13 958, 7x- =13 958,x=2000

3、.,D,3.（2009四川文，3）等差數(shù)列an的公差不為零，首項a1=1,a2是a1和a5的等比中項，則數(shù)列an的前10項之和是（） A.90 B.100 C.145 D.190 解析 由題意知，（a1+d）2=a1(a1+4d), 即 +2a1d+d2= +4a1d, d 0,d=2a1=2. S10=10a1+ d=10+90=100.,B,4.有一種細菌和一種病毒，每個細菌在每秒鐘末能在殺死一個病毒的同時將自身分裂為2個，現(xiàn)在有一個這樣的細菌和100個這樣的病毒，問細菌將病毒全部殺死至少需要（） A.6秒 B.7秒 C.8秒 D.9秒 解析 依題意1+21+22+2n-1100, 100

4、,2n101, n7,即至少需要7秒細菌將病毒全部殺死.,B,5.已知數(shù)列an中，a1=2，點（an-1,an） (n1且nN)滿足y=2x-1，則a1+a2+a10= . 解析 an=2an-1-1，an-1=2(an-1-1), an-1是等比數(shù)列，則an=2n-1+1. a1+a2+a10 =10+(20+21+22+29) =10+ =1 033.,1 033,題型一 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用 【例1】數(shù)列an的前n項和記為Sn，a1=1,an+1=2Sn+1 (n1). （1）求an的通項公式； （2）等差數(shù)列bn的各項為正，其前n項和為Tn，且T3=15，又a1+b1,a2+b

5、2,a3+b3成等比數(shù)列，求Tn. S1， n=1， Sn-Sn-1，n2. 求an. （2）注意等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的相互關系.,思維啟迪,（1）運用公式an=,題型分類 深度剖析,解 （1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1 (n2), 兩式相減得an+1-an=2an,則an+1=3an (n2). 又a2=2S1+1=3,a2=3a1. 故an是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，an=3n-1. （2）設bn的公差為d, 由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5, 故可設b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9, 由題意可得(5-d+1)(5+d

6、+9)=(5+3)2， 解得d1=2,d2=-10. 等差數(shù)列bn的各項為正，d0, d=2,b1=3,Tn=3n+ 2=n2+2n.,探究提高 對等差、等比數(shù)列的綜合問題的分析，應重點分析等差、等比數(shù)列的通項及前n項和；分析等差、等比數(shù)列項之間的關系.往往用到轉化與化歸的思想方法. 知能遷移1 （2009全國文，17）設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,公比是正數(shù)的等比數(shù)列bn的前n項和為Tn,已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求an,bn的通項公式. 解 設an的公差為d，bn的公比為q. 由a3+b3=17得1+2d+3q2=17, 由T3-S3=12得q2+q-d

7、=4. 由、及q0解得q=2,d=2. 故所求的通項公式為an=2n-1,bn=32n-1.,題型二 數(shù)列與函數(shù)的綜合應用 【例2】 （12分）已知f(x)=logax(a0且a1)，設f(a1),f(a2),f(an) (nN*)是首項為4，公差為2的等差數(shù)列. （1）設a為常數(shù)，求證：an是等比數(shù)列； （2）若bn=anf(an),bn的前n項和是Sn,當a= 時,求Sn. 利用函數(shù)的有關知識得出an的表達式，再利用表達式解決其他問題.,思維啟迪,（1）證明 f(an)=4+(n-1)2=2n+2, logaan=2n+2,2分 an=a2n+2. （n2）為定值. an為等比數(shù)列.5分

8、(2)解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2. 當a= 時，bn=(2n+2) ( )2n+2=(n+1)2n+2. 7分 Sn=223+324+425+(n+1)2n+2 2Sn=224+325+426+n2n+2+(n+1)2n+3 -得 -Sn=223+24+25+2n+2-(n+1)2n+3,解題示范,=16+ -(n+1)2n+3 =16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n+3. Sn=n2n+3. 12分 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：（1）已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題.此類問題一般利用函數(shù)的性質、圖象研究數(shù)列問題；（2）已知

9、數(shù)列條件，解決函數(shù)問題.解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形.,探究提高,知能遷移2 設等比數(shù)列an的前n項和Sn，首項a1=1, 公比q=f ( -1,0). （1）證明：Sn=（1+ ）- an； （2）若數(shù)列bn滿足b1= ,bn=f(bn-1) (nN*, n2),求數(shù)列bn的通項公式; （3）若 =1,記cn=an ,數(shù)列cn的前n項和為 Tn,求證:當n2時,2Tn4.,(1)證明,(2)解, 是首項為 =2,公差為1的等差數(shù)列. =2+(n-1)=n+1,即bn=,(3)證明 當 =1時,又Tn+1-Tn0, Tn單調遞增.TnT2=2. 故當n2時

10、,2Tn4.,兩式相減得,題型三 數(shù)列的實際應用 【例3】假設某市2008年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房，預計在今后的若干年內,該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么，到哪一年底， （1）該市歷年所建中低價房的累計面積（以2008年為累計的第一年）將首次不少于4 750萬平方米？ （2）當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？（參考數(shù)據(jù)：1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59),（1）要求學生會把實際問題轉化為數(shù)學 問題:Sn=250n+ 50=25n2

11、+225n4 750. (2)an0.85bn,bn=4001.08n-1. 解 （1）設中低價房的面積形成的數(shù)列為an， 由題意可知an是等差數(shù)列， 其中a1=250,d=50, 則an=250+(n-1)50=50n+200 Sn=250n+ 50=25n2+225n, 令25n2+225n4 750, 即n2+9n-1900,而n是正整數(shù)，n10. 因此到2017年底，該市歷年所建中低價房的累計面 積將首次不少于4 750萬平方米.,思維啟迪,（2）設新建住房面積形成數(shù)列bn，由題意可知bn是等比數(shù)列，其中b1=400,q=1.08,則bn=400(1.08)n-1. 由題意可知an0.

12、85bn, 即50n+200400(1.08)n-10.85. 當n=5時，a50.85b5, 當n=6時，a60.85b6, 因此滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6. 因此到2013年底，當年建造的中低價房的面積占該年 建造住房面積的比例首次大于85%.,解決此類問題的關鍵是如何把實際問題轉化為數(shù)學問題，通過反復讀題，列出有關信息，轉化為數(shù)列的有關問題，這也是數(shù)學實際應用的具體體現(xiàn).,探究提高,知能遷移3 某市2008年共有1萬輛燃油型公交車, 有關部門計劃于2009年投入128輛電力型公交車, 隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%, 試問: (1)該市在2015年應該投入多少輛電力型

13、公交車? (2)到哪一年底,電力型公交車的數(shù)量開始超過該 市公交車總量的 ?(lg 657=2.82,lg 2=0.30, lg 3=0.48) 解 (1)該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)量組成等比數(shù)列an,其中a1=128,q=1.5,則在2015年應該投入的電力型公交車為a7=a1q6=1281.56 =1 458（輛）.,（2）記Sn=a1+a2+an， 依據(jù)題意，得 ， 于是Sn= 5 000（輛），即1.5n 兩邊取常用對數(shù)，則nlg 1.5lg 即n 7.3,又nN*，因此n8. 所以到2016年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該 市公交車總量的 .,方法與技巧 1.深刻理解等差（比）

14、數(shù)列的性質，熟悉它們的推導過程是解題的關鍵.兩類數(shù)列性質既有相似之處，又有區(qū)別，要在應用中加強記憶.同時，用好性質也會降低解題的運算量，從而減少差錯. 2.在等差數(shù)列與等比數(shù)列中，經常要根據(jù)條件列方程（組）求解，在解方程組時，仔細體會兩種情形中解方程組的方法的不同之處.,思想方法 感悟提高,3.數(shù)列的滲透力很強，它和函數(shù)、方程、三角形、不等式等知識相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無形中加大了綜合的力度.解決此類題目，必須對蘊藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學思想有所了解，深刻領悟它在解題中的重大作用，常用的數(shù)學思想方法有：“函數(shù)與方程”、“數(shù)形結合”、“分類討論”、“等價轉換”等. 4.在現(xiàn)實生活中，人口的增長、

15、產量的增加、成本的降低、存貸款利息的計算、分期付款問題等，都可以利用數(shù)列來解決，因此要會在實際問題中抽象出數(shù)學模型，并用它解決實際問題.,失誤與防范 1.等比數(shù)列的前n項和公式要分兩種情況：公比等于1和公比不等于1.最容易忽視公比等于1的情況，要注意這方面的練習. 2.數(shù)列的應用還包括實際問題，要學會建模，對應哪一類數(shù)列，進而求解. 3.在有些情況下，證明數(shù)列的不等式要用到放縮法.,一、選擇題 1.各項都是正數(shù)的等比數(shù)列an中，a2， a3，a1成等 差數(shù)列，則 的值為（） A. B. C. D. 或 解析 設an的公比為q (q0)，由a3=a2+a1, 得q2-q-1=0，解得q= . 因

16、此,B,定時檢測,2.數(shù)列an中,an=3n-7 (nN*), 數(shù)列bn滿足 b1= ,bn-1=27bn(n2且nN*),若an+logkbn為 常數(shù),則滿足條件的k值（） A.唯一存在,且為 B.唯一存在,且為3 C.存在且不唯一 D.不一定存在,解析 依題意, an+logkbn=3n-7+logk( )3n-2 =3n-7+(3n-2)logk =(3+3logk )n-7-2logk , an+logkbn是常數(shù)，3+3logk =0, 即logk =-1,k=3. 答案 B,3.有一塔形幾何體由若干個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中

17、點.已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面面積）超過39，則該塔形中正方體的個數(shù)至少是（） A.4 B.5 C.6 D.7,解析 正方體按從下向上的順序其棱長構成等比數(shù) 列，其棱長分別為：2， ，1， ， ， n層正方體的表面積為 由已知：40-32（ ）n39， 整理得2n32,n5. 答案 C,4.氣象學院用3.2萬元買了一臺天文觀測儀，已知這臺觀測儀從啟用的第一天起連續(xù)使用，第n天的維修保養(yǎng)費為 元(nN*), 使用它直至報廢最合算（所謂報廢最合算是指使用這臺儀器的平均耗資最少）為止,一共使用了 （ ） A.800天 B.600天 C.1 000天 D.1 2

18、00天,解析 由第n天的維修保養(yǎng)費為 元(nN*)， 可以得出觀測儀的整個耗資費用，由平均費用最少 而求得最小值成立時的相應n的值. 設一共使用了n天，則使用n天的平均耗資為 當且僅當 時取得最小值，此時n=800. 答案 A,5.2008年春，我國南方部分地區(qū)遭受了罕見的特大凍災.大雪無情人有情，柳州某中學組織學生在學校開展募捐活動，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通過積極宣傳，從第二天起，每天的捐款人數(shù)是前一天的2倍，且當天人均捐款數(shù)比前一天多5元，則截止到第5天（包括第5天）捐款 總數(shù)將達到 （ ） A.4 800元 B.8 000元 C.9 600元 D.11 200元 解析

19、 由題意知，5天共捐款 1010+（102）（10+5）+（1022）（15+5）+（1023）（20+5）+（1024）（25+5）=8 000（元）.,B,6.已知數(shù)列an,bn滿足a1=1,且an,an+1是方程x2-bnx+2n=0的兩個實根，則b10等于（） A.24 B.32 C.48 D.64 解析 依題意有anan+1=2n，所以an+1an+2=2n+1, 兩式相除得 =2,所以a1,a3,a5,成等比數(shù)列，a2,a4,a6,成等比數(shù)列，而a1=1,a2=2,所以a10=224=32,a11=125=32. 又因為an+an+1=bn，所以b10=a10+a11=64.,D,

20、二、填空題 7.已知數(shù)列an滿足a1=1,a2=-2,an+2=- ,則該數(shù)列前26項的和為 . 解析 由于a1=1,a2=-2,an+2=- ， 所以a3=-1,a4= ,a5=1,a6=-2, 于是an是周期為4的數(shù)列， 故S26=6（1-2-1+ ）+1-2=-10.,-10,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ,8.（2008江蘇，10）將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：,按照以上排列的規(guī)律，第n行（n3）從左向右的第 3個數(shù)為 . 解析 前n-1行共有正整數(shù)1+2+(n-1)個,即 個,因此第n行第3個數(shù)是全體正整數(shù)中第 +3 個,即為 .,9.（2009福建理，15）五位同學圍

21、成一圈依序循環(huán)報數(shù)，規(guī)定： 第一位同學首次報出的數(shù)為1，第二位同學首次報出的數(shù)也為1，之后每位同學所報出的數(shù)都是前兩位同學所報出的數(shù)之和; 若報出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學需拍手一次. 已知甲同學第一個報數(shù)，當五位同學依序循環(huán)報到第100個數(shù)時，甲同學拍手的總次數(shù)為 .,解析 設第n個同學報出的數(shù)為an,則an+an+1=an+2, an+2=an+an+1,an+3=an+1+an+2=an+2an+1, an+4=an+3+an+2=2an+3an+1, an+4+an=3an+3an+1=3(an+an+1). 又an為大于0的整數(shù), an被3整除時，an+4也被3整除； an不被3

22、整除時，an+4也不被3整除. 又a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5, an中被3整除的數(shù)為a4+4k(kN), 又甲報出的數(shù)為a1+5m(mN), 甲報出的數(shù)a1+5m被3整除時，存在kN, 使1+5m=4+4k,k= m-3被4整除，設m-3=4p(pZ)，則m=4p+3. 11+5m100,0m19.8, 04p+319.8,- p4.2, p只能取0，1，2，3，4共5個整數(shù)， m只能取3，7，11，15，19共5個整數(shù)， 甲報出的數(shù)只有5次能被3整除. 甲拍了5次手. 答案 5,三、解答題 10.為保護我國的稀土資源，國家限定某礦區(qū)的出口總量不能超過80噸，該礦區(qū)計劃從

23、2010年開始出口，當年出口a噸，以后每年出口量均比上一年減少10%. （1）以2010年為第一年，設第n年出口量為an噸，試求an的表達式； （2）因稀土資源不能再生，國家計劃10年后終止該礦區(qū)的出口，問2010年最多出口多少噸？（結果保留一位小數(shù)參考數(shù)據(jù)：0.9100.35 ）.,解 （1）由題意知每年的出口量構成等比數(shù)列，且 首項a1=a,公比q=1-10%=0.9, an=a0.9n-1. （2）10年出口總量S10= =10a(1-0.910). S1080，10a（1-0.910）80， 即a a12.3. 故2010年最多出口12.3噸.,11.設數(shù)列an的前n項和為Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3 （nN