《晶體的特征》PPT課件.ppt

1、固 體 物 理,高 偉 2010.03,1. 黃昆原著，韓汝琦改編，固體物理學(xué)，高等 教育出版社 2. 方俊鑫，陸棟主編，固體物理學(xué)，上?？茖W(xué) 技術(shù)出版社 3. C. 基泰爾著，項(xiàng)金鐘，吳興惠譯固體物理導(dǎo) 論（原著第八版），化學(xué)工業(yè)出版社 4. N.W. Ashcroft and N.D. Mermin, Solid State Physics, 世界圖書出版公司,主要參考書,第一章 晶體結(jié)構(gòu)和X-射線衍射,第一節(jié) 晶體的特征,1.1.1 固體的分類,1.1.2 晶體的宏觀特性,本節(jié)主要內(nèi)容:,1.1.1 固體的分類,固體,晶體:,非晶體:,準(zhǔn)晶體:,長(zhǎng)程有序,不具有長(zhǎng)程序的特點(diǎn),短程有序。,

2、有長(zhǎng)程取向性，而沒有長(zhǎng)程的平移對(duì)稱性。,單晶體,多晶體,至少在微米量級(jí)范圍內(nèi)原子排列具有周期性。,長(zhǎng)程有序:,1.固體分類(按結(jié)構(gòu)),1.1 晶體的特征,(a)晶體結(jié)構(gòu)的規(guī)則網(wǎng)格,非晶體中原子排列不具有長(zhǎng)程的周期性，但基本保留了原子排列的短程序，即近鄰原子的數(shù)目和種類、近鄰原子之間的距離(鍵長(zhǎng))、近鄰原子配置的幾何方位(鍵角)都與晶體相近。,(b)非晶體結(jié)構(gòu)的無規(guī)則網(wǎng)格,(c)Penrose拼接圖案,準(zhǔn)晶體具有長(zhǎng)程的取向序，但沒有長(zhǎng)程的平移對(duì)稱序，可以用Penrose拼接圖案顯示其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。,2.晶體的分類,晶 體,按晶胞分立方晶系六方晶系四方晶系三方晶系正交晶系單斜晶系三斜晶系,晶體所具有的

3、自發(fā)地形成封閉凸多面體的能力稱為自限性。,2.晶體的解理性:,晶體沿某些確定方位的晶面劈裂的性質(zhì)，稱為晶體的解理性，這樣的晶面稱為解理面。,1.1.2 晶體的宏觀特性,1.自限性:,晶面的交線稱為晶棱，晶棱互相平行的晶面的組合稱為晶帶，如右圖中a，1，b，2。,互相平行的晶棱的共同方向稱為該晶帶的帶軸，晶軸是重要的帶軸。如右圖中OO,3.晶面角守恒定律：,屬于同一品種的晶體，兩個(gè)對(duì)應(yīng)晶面間的夾角恒定不變。,石英晶體：,a、b 間夾角總是14147； a、c 間夾角總是11308； b、c 間夾角總是12000。,4.晶體的各向異性,在不同方向上，晶體的物理性質(zhì)不同。,由右圖可以看出，在不同的方

4、向上晶體中原子排列情況不同，故其性質(zhì)不同。,5.晶體的均勻性,晶體中任意兩點(diǎn)(在同一方向上)的物理性質(zhì)相同。,6.晶體的對(duì)稱性:,晶體在某幾個(gè)特定方向上可以異向同性，這種相同的性質(zhì)在不同的方向上有規(guī)律地重復(fù)出現(xiàn)，稱為晶體的對(duì)稱性。,7.晶體固定的熔點(diǎn):,給某種晶體加熱，當(dāng)加熱到某一特定溫度時(shí)，晶體開始熔化，且在熔化過程中保持不變，直到晶體全部熔化，溫度才開始上升，即晶體有固定的熔點(diǎn)。,晶體為什么具有這些宏觀特性呢?,晶體的宏觀特性是由晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的周期性決定的,即晶體的宏觀特性是微觀特性的反映。,自限性、晶面角守恒、解理性、晶體的各向異性、晶體的均勻性、晶體的對(duì)稱性、固定的熔點(diǎn)。,晶體的宏觀特

5、性：,第二節(jié) 晶體結(jié)構(gòu),本節(jié)主要內(nèi)容:,1.2.1 晶體結(jié)構(gòu)的周期性,1.2.2 原胞,1.2.3 密堆積、配位數(shù)和致密度,(a)、(b)、(c)為二維晶體結(jié)構(gòu)示意圖，它們有何異同?,1.2 晶體結(jié)構(gòu),1.2.1 晶體結(jié)構(gòu)的周期性,所有晶體的結(jié)構(gòu)可以用晶格來描述，這種晶格的每個(gè)格點(diǎn)上附有一群原子，這樣的一個(gè)原子群稱為基元，基元在空間周期性重復(fù)排列就形成晶體結(jié)構(gòu)。,一個(gè)理想的晶體是由完全相同的結(jié)構(gòu)單元在空間周期性重復(fù)排列而成的。,1.基元、格點(diǎn)和晶格,在晶體中適當(dāng)選取某些原子作為一個(gè)基本結(jié)構(gòu)單元，這個(gè)基本結(jié)構(gòu)單元稱為基元，基元是晶體結(jié)構(gòu)中最小的重復(fù)單元，基元在空間周期性重復(fù)排列就形成晶體結(jié)構(gòu)。,

6、(1)基元,任何兩個(gè)基元中相應(yīng)原子周圍的情況是相同的，而每一個(gè)基元中不同原子周圍情況則不相同。,(2)晶格,晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以概括為是由一些相同的點(diǎn)子在空間有規(guī)則地做周期性無限分布，通過這些點(diǎn)做三組不共面的平行直線族，形成一些網(wǎng)格，稱為晶格(或者說這些點(diǎn)在空間周期性排列形成的骨架稱為晶格)。,晶格是晶體結(jié)構(gòu)周期性的數(shù)學(xué)抽象，它忽略了晶體結(jié)構(gòu)的具體內(nèi)容，保留了晶體結(jié)構(gòu)的周期性。,用矢量表示 格點(diǎn)的排列。,(3)格點(diǎn),晶格中的點(diǎn)子代表著晶體結(jié)構(gòu)中相同的位置，稱為格點(diǎn)。,一個(gè)格點(diǎn)代表一個(gè)基元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的點(diǎn)子。,晶格+基元=晶體結(jié)構(gòu),2.布拉維晶格、簡(jiǎn)單晶格和復(fù)式

7、晶格,(1)布拉維晶格,格點(diǎn)的總體稱為布拉維晶格，這種格子的特點(diǎn)是每點(diǎn)周圍的情況完全相同。,(2)簡(jiǎn)單晶格和復(fù)式晶格,簡(jiǎn)單晶格：如果晶體由完全相同的一種原子組成，且每個(gè)原子周圍的情況完全相同，則這種原子所組成的網(wǎng)格稱為簡(jiǎn)單晶格。,復(fù)式晶格：如果晶體由兩種或兩種以上原子組成，同種原子各構(gòu)成和格點(diǎn)相同的網(wǎng)格，稱為子晶格，它們相對(duì)位移而形成復(fù)式晶格。,簡(jiǎn)單晶格,復(fù)式晶格,在晶格中取一個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)，以三個(gè)不共面的方向上的周期為邊長(zhǎng)形成的平行六面體作為重復(fù)單元，這個(gè)平行六面體沿三個(gè)不同的方向進(jìn)行周期性平移，就可以充滿整個(gè)晶格，形成晶體，這個(gè)平行六面體即為原胞，代表原胞三個(gè)邊的矢量稱為原胞的基本平移矢量，

8、簡(jiǎn)稱基矢。,1.2.2 原胞,在晶格中取一個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)，以三個(gè)不共面的方向上的周期為邊長(zhǎng)形成的平行六面體作為重復(fù)單元，這個(gè)平行六面體沿三個(gè)不同的方向進(jìn)行周期性平移，就可以充滿整個(gè)晶格，形成晶體，這個(gè)平行六面體即為原胞，代表原胞三個(gè)邊的矢量稱為原胞的基本平移矢量，簡(jiǎn)稱基矢。,特點(diǎn)：格點(diǎn)只在平行六面體的頂角上，面上和內(nèi)部均無格點(diǎn)，平均每個(gè)固體物理學(xué)原胞包含1個(gè)格點(diǎn)。它反映了晶體結(jié)構(gòu)的周期性。,構(gòu)造：取一格點(diǎn)為頂點(diǎn)，由此點(diǎn)向近鄰的三個(gè)格點(diǎn)作三個(gè)不共面的矢量，以此三個(gè)矢量為邊作平行六面體即為固體物理學(xué)原胞。,(1)固體物理學(xué)原胞(簡(jiǎn)稱原胞),1.原胞的分類,基矢：固體物理學(xué)原胞基矢通常用 表示。,體積

9、為：,原胞內(nèi)任一點(diǎn)的位矢表示為：,在任意兩個(gè)原胞的相對(duì)應(yīng)點(diǎn)上，晶體的物理性質(zhì)相同。,(2)結(jié)晶學(xué)原胞（簡(jiǎn)稱單胞）,構(gòu)造：使三個(gè)基矢的方向盡可能地沿著空間對(duì)稱軸的方向，它具有明顯的對(duì)稱性和周期性。,基矢：結(jié)晶學(xué)原胞的基矢一般用 表示。,特點(diǎn)：結(jié)晶學(xué)原胞不僅在平行六面體頂角上有格點(diǎn)，面上及內(nèi)部亦可有格點(diǎn)。其體積是固體物理學(xué)原胞體積的整數(shù)倍。,體積為：,(3)維格納-塞茨原胞,構(gòu)造：以一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn)，作原點(diǎn)與其它格點(diǎn)連接的中垂面(或中垂線)，由這些中垂面(或中垂線)所圍成的最小體積(或面積)即為W-S原胞。,特點(diǎn)：它是晶體體積的最小重復(fù)單元，每個(gè)原胞只包含1個(gè)格點(diǎn)。其體積與固體物理學(xué)原胞體積相同。,

10、(1)一維原子鏈,2.幾種晶格的實(shí)例,一維單原子鏈,一維雙原子鏈,(2)二維,固體物理學(xué)原胞,維格納-塞茨單胞,(3)三維,立方晶系,布拉維原胞的體積:,設(shè)晶格常量(布拉維原胞棱邊的長(zhǎng)度)為a,取 為坐標(biāo)軸的單位矢量,即立方體邊長(zhǎng)為a,(a)簡(jiǎn)立方,每個(gè)布拉維原胞包含1個(gè)格點(diǎn)。,固體物理學(xué)原胞的體積,布拉維晶格(簡(jiǎn)單格),平均每個(gè)布拉維原胞包含4個(gè)格點(diǎn)。,(b)面心立方,固體物理學(xué)原胞的體積,(c)體心立方,平均每個(gè)布拉維原胞包含2個(gè)格點(diǎn)。,固體物理學(xué)原胞的體積,(a)金剛石結(jié)構(gòu),金剛石結(jié)構(gòu)屬面心立方，每個(gè)結(jié)晶學(xué)原胞包含4個(gè)格點(diǎn)。,金剛石結(jié)構(gòu)是由兩個(gè)面心立方子晶格沿體對(duì)角線位移1/4的長(zhǎng)度套構(gòu)

11、而成,其布拉維晶格為面心立方。,金剛石結(jié)構(gòu)每個(gè)固體物理學(xué)原胞包含1個(gè)格點(diǎn),基元由兩個(gè)碳原子組成,位于（000）和 處。,(b)氯化鈉結(jié)構(gòu),氯化鈉結(jié)構(gòu)由兩個(gè)面心立方子晶格沿體對(duì)角線位移1/2的長(zhǎng)度套構(gòu)而成。,Cl-和Na+分別組成面心立方子晶格。,其布拉維晶格為面心立方。,氯化鈉結(jié)構(gòu)屬面心立方。,每個(gè)固體物理學(xué)原胞包含1個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)結(jié)晶學(xué)原胞包含4個(gè)格點(diǎn)。,氯化鈉的固體物理學(xué)原胞選取方法與面心立方簡(jiǎn)單格子的選取方法相同。,基元由一個(gè)Cl-和一個(gè)Na+組成。,(c)氯化銫結(jié)構(gòu),氯化銫結(jié)構(gòu)是由兩個(gè)簡(jiǎn)立方子晶格沿體對(duì)角線位移1/2的長(zhǎng)度套構(gòu)而成。 Cl-和Cs+分別組成簡(jiǎn)立方格子，其布拉維晶格為簡(jiǎn)立方

12、，氯化銫結(jié)構(gòu)屬簡(jiǎn)立方。,每個(gè)固體物理學(xué)原胞包含1個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)結(jié)晶學(xué)原胞包含1個(gè)格點(diǎn)?；梢粋€(gè)Cl-和一個(gè)Cs+組成。,(d)鈣鈦礦結(jié)構(gòu),鈣鈦礦結(jié)構(gòu)常寫成ABO3的形式。,鋇、鈦和3個(gè)氧各組成簡(jiǎn)立方子晶格，鈦酸鋇是由5個(gè)簡(jiǎn)立方子晶格套構(gòu)而成的。,一個(gè)晶胞包含1個(gè)鋇原子、1個(gè)鈦原子和3個(gè)氧原子。,鈣鈦礦的氧八面體結(jié)構(gòu),(e)-鎢結(jié)構(gòu),兩個(gè)B原子和6個(gè)A原子各組成簡(jiǎn)立方。,-鎢結(jié)構(gòu)由8個(gè)子晶格套構(gòu)而成。,一個(gè)晶胞包含2個(gè)B原子和6個(gè)A原子。,1.2.3 密堆積、配位數(shù)和致密度,1.配位數(shù),一個(gè)粒子周圍最近鄰的粒子數(shù)稱為配位數(shù).,它可以描述晶體中粒子排列的緊密程度，粒子排列越緊密，配位數(shù)越大。,2.

13、密堆積,如果晶體由完全相同的一種粒子組成，而粒子被看作小圓球，則這些全同的小圓球最緊密的堆積稱為密堆積。,第一層：每個(gè)球與6個(gè)球相切，有6個(gè)空隙，如編號(hào)1,2,3,4,5,6。,第二層：占據(jù)1,3,5空位中心。,第三層：在第一層球的正上方形成ABABAB排列方式。,(1)六角密積,六角密積是復(fù)式格，其布拉維晶格是簡(jiǎn)單六角晶格。,(2)立方密積,第一層：每個(gè)球與6個(gè)球相切，有6個(gè)空隙，如編號(hào)為1,2,3,4,5,6。,第二層：占據(jù)1，3，5空位中心。,第三層：占據(jù)2，4，6空位中心，按ABCABCABC方式排列，形成面心立方結(jié)構(gòu)，稱為立方密積。,密堆積特點(diǎn)：結(jié)合能低，晶體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定；配位數(shù)最大為1

14、2。,3.配位數(shù)的可能值,配位數(shù)的可能值為：12(密堆積)，8(氯化銫型結(jié)構(gòu))，6(氯化鈉型結(jié)構(gòu))，4(金剛石型結(jié)構(gòu))，3(石墨層狀結(jié)構(gòu))，2(鏈狀結(jié)構(gòu))。,下面以幾個(gè)實(shí)例來看配位數(shù)與球半徑的關(guān)系。,1 氯化銫型和氯化鈉型結(jié)構(gòu)兩種球的半徑之比。,取大球中心為立方體的頂角，小球位于立方體的中心。,設(shè)大小球半徑分別為R和r，且晶格常量為a。,取配位數(shù)為8的氯化銫型結(jié)構(gòu)。,2 氯化鈉型結(jié)構(gòu),設(shè)大小球半徑分別為R和r，且晶格常量為a，當(dāng)大小球恰能相切時(shí)，,為氯化鈉型結(jié)構(gòu)，配位數(shù)為6。,3.致密度：,如果把等體積的硬球放置在晶體結(jié)構(gòu)中原子所在的位置上，球的體積取得盡可能大，以使最近鄰的球相切，我們把一個(gè)

15、晶胞中被硬球占據(jù)的體積和晶胞體積之比稱為致密度(堆積比率或最大空間利用率)。,設(shè)晶格常量為a，原子半徑為R，則,例1：求面心立方的致密度.,N是單胞中原子個(gè)數(shù),內(nèi)部原子數(shù),面上原子數(shù),棱上原子數(shù),頂角上原子數(shù),典型的晶體結(jié)構(gòu),(Cu),4,(000),(W),2,(000),CsCl,Cs+ 1,Cl- 1,(000),12,8,8,典型的晶體結(jié)構(gòu),8,(000),4,金剛石,NaCl,Na+ 4,Cl- 4,(000),6,第三節(jié) 晶向、晶面和它們的標(biāo)志,本節(jié)主要內(nèi)容:,1.3.1 晶向及晶向指數(shù),1.3.2 晶面及密勒指數(shù),1.3 晶向、晶面和它們的標(biāo)志,1.3.1 晶向及晶向指數(shù),1.晶

16、向,通過晶格中任意兩個(gè)格點(diǎn)連一條直線稱為晶列，晶列的取向稱為晶向，描寫晶向的一組數(shù)稱為晶向指數(shù)(或晶列指數(shù))。,過一格點(diǎn)可以有無數(shù)晶列。,(3)晶列族中的每一晶列上， 格點(diǎn)分布都是相同的；,(4)在同一平面內(nèi)，相鄰晶列間的距離相等。,(1)平行晶列組成晶列族，晶列族包含所有的格點(diǎn)；,(2)晶列上格點(diǎn)分布是周期性的；,晶列的特點(diǎn),2.晶向指數(shù),如果從晶列上一個(gè)格點(diǎn)沿晶向到任一格點(diǎn)的位矢為, 晶列上格點(diǎn)的周期= ?,為固體物理學(xué)原胞基矢,如遇到負(fù)數(shù)，將該數(shù)的上面加一橫線。,其中 為整數(shù)，將 化為互質(zhì)的整數(shù) ， 記為 ， 即為該晶列的晶列指數(shù)。,(2)以布拉維原胞基矢表示,如果從晶列上一個(gè)格點(diǎn)沿晶向

17、到任一格點(diǎn)的位矢為,其中 為有理數(shù),將 化為互質(zhì)的整數(shù) m,n,p, 記為mnp，mnp即為該晶列的晶列指數(shù).,例1：如圖在立方體中， D是BC的中點(diǎn)，求BE,AD的晶列指數(shù)。,解：,晶列BE的晶列指數(shù)為：,011,AD的晶列指數(shù)為:,求AD的晶列指數(shù)。,注意:,(1)晶列指數(shù)一定是一組互質(zhì)的整數(shù)； (2)晶列指數(shù)用方括號(hào)表示 ； (3)遇到負(fù)數(shù)在該數(shù)上方加一橫線。,(4)等效晶向。,在立方體中有，沿立方邊的晶列一共有6個(gè)不同的晶向，由于晶格的對(duì)稱性，這6個(gè)晶向并沒有什么區(qū)別，晶體在這些方向上的性質(zhì)是完全相同的，統(tǒng)稱這些方向?yàn)榈刃Ь颍瑢懗伞?1.3.2 晶面及密勒指數(shù),在晶格中，通過任意三個(gè)

18、不在同一直線上的格點(diǎn)作一平面，稱為晶面，描寫晶面方位的一組數(shù)稱為晶面指數(shù)。,1.晶面,(1)平行的晶面組成晶面族，晶面族包含所有格點(diǎn)；,(3)同一晶面族中的每一晶面上，格點(diǎn)分布(情況)相同；,(4)同一晶面族中相鄰晶面間距相等。,(2)晶面上格點(diǎn)分布具有周期性；,2.晶面指數(shù),晶面方位,晶面的法線方向(法線方向與三個(gè)坐標(biāo)軸夾角),晶面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距,(1)以固體物理學(xué)原胞基矢表示,如圖取一格點(diǎn)為頂點(diǎn)，原胞的三個(gè)基矢 為坐標(biāo)系的三個(gè)軸，設(shè)某一晶面與三個(gè)坐標(biāo)軸分別交于A1,A2,A3,設(shè)晶面的法線ON交晶面A1A2A3于N，ON長(zhǎng)度為d，d為該晶面族相鄰晶面間的距離，為整數(shù)，該晶面法線方向的

19、單位矢量用 表示，則晶面A1A2A3的方程為：,取 為天然長(zhǎng)度單位，則得：,晶面的法線方向與三個(gè)坐標(biāo)軸(基矢)的夾角的余弦之比，等于晶面在三個(gè)軸上的截距的倒數(shù)之比。,可以證明：r,s,t必是一組有理數(shù)-阿羽依的有理數(shù)定理。,(2)同一晶面族中的晶面平行且相鄰晶面間距相等,故在原點(diǎn)與基矢的末端間一定只有整數(shù)個(gè)晶面。,(1)所有格點(diǎn)都包容在一族晶面上；因此給定晶面族中必有一個(gè)晶面通過坐標(biāo)系的原點(diǎn)；在基矢 末端上的格點(diǎn)也一定落在該晶面族的晶面上；,取 為天然長(zhǎng)度單位得：,又,晶面的法線與三個(gè)基矢的夾角余弦之比等于三個(gè)整數(shù)之比。,可以證明h1，h2，h3一定是互質(zhì)的，稱它們?yōu)樵摼孀宓拿嬷笖?shù)，記為(h

20、1h2h3 ) 。,任一晶面在坐標(biāo)軸上的截距r，s，t必是一組有理數(shù)。,因?yàn)閔1、h2、h3為整數(shù)，所以r、s、t必為有理數(shù)。,綜上所述，晶面指數(shù)(h1h2h3 )表示的意義是；,(3)晶面的法線與基矢夾角的方向余弦的比值。,(2)以 為各軸的長(zhǎng)度單位所求得的晶面在坐標(biāo)軸上的截距倒數(shù)的互質(zhì)比；,(1)基矢 被平行的晶面等間距的分割成h1、h2、h3 等份；,例2：如圖所示 ，I和H分別為BC，EF之中點(diǎn)，試求晶面AEG，ABCD，OEFG，DIHG的密勒指數(shù)。,AEG ABCD DIHG,1,1,1,1,2,1,在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距,1:1:1,(hkl),(111),(001),(120),

21、AEG 的密勒指數(shù)是(111)；,OEFG的密勒指數(shù)是(001)；,DIHG的密勒指數(shù)是(120)。,例3: 在立方晶系中畫出(210)、 晶面。,晶面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為：,1,(210),1,1,密勒指數(shù)是(210) 的晶面是ABCD面；,第四節(jié) 倒格,本節(jié)主要內(nèi)容:,1.4.1 倒格定義,1.4.3 倒格與傅里葉變換,1.4.2 倒格與正格的關(guān)系,1.4 倒格,倒格,正格（點(diǎn)位）矢：,倒格基矢,倒格（點(diǎn)位）矢：,晶體結(jié)構(gòu)=晶格+基元,正格基矢,正格,一個(gè)晶體結(jié)構(gòu)有兩個(gè)格子，一個(gè)是正格，另一個(gè)為倒格。,1.4.1 倒格定義,倒格基矢定義為：,其中 是正格基矢，,是固體物理學(xué)原胞體積,

22、倒格基矢的方向和長(zhǎng)度如何呢？,一個(gè)倒格基矢是和正格原胞中一組晶面相對(duì)應(yīng)的，它的方向是該晶面的法線方向，它的大小則為該晶面族面間距倒數(shù)的2倍。,1.4.2 倒格與正格的關(guān)系,其中 分別為正格點(diǎn)位矢和倒格點(diǎn)位矢。,4.倒格矢 與正格中晶面族(h1h2h3) 正交，且其長(zhǎng)度為 。,設(shè)ABC為晶面族(h1h2h3)中離原點(diǎn)最近的晶面，,ABC在基矢 上的 截距分別為 。,由圖可知：,(2)證明 的長(zhǎng)度等于 。,由平面方程： 得：,在晶胞坐標(biāo)系 中，,1.4.3 倒格與傅里葉變換,在任意兩個(gè)原胞的相對(duì)應(yīng)點(diǎn)上，晶體的物理性質(zhì)相同。,上式兩邊分別按傅里葉級(jí)數(shù)展開：,是正格矢。,一定是倒格矢。,晶體結(jié)構(gòu),1.

23、,1.,2.與晶體中原子位置 相對(duì)應(yīng)；,2.與晶體中一族晶面相對(duì)應(yīng)；,3.是與真實(shí)空間相聯(lián)系的傅里葉空間中點(diǎn)的周期性排列；,3.是真實(shí)空間中點(diǎn)的周期性排列；,4.線度量綱為長(zhǎng)度,4.線度量綱為長(zhǎng)度-1,已知晶體結(jié)構(gòu)如何求其倒格呢？,晶體結(jié)構(gòu),正格,正格基矢,倒格基矢,倒格,例1：下圖是一個(gè)二維晶體結(jié)構(gòu)圖，試畫出其倒格點(diǎn)的排列。,倒格是邊長(zhǎng)為的正方形格子。,例2：證明體心立方的倒格是面心立方。,倒格矢：,同理得：,體心立方的倒格是邊長(zhǎng)為4/a的面心立方 。,例3：證明簡(jiǎn)立方晶面(h1h2h3)的面間距為,證明：,簡(jiǎn)立方：,法一：,法二：,設(shè)ABC為晶面族(h1h2h3)中離原點(diǎn)最近的晶面，,AB

24、C在基矢 上的截距分別為 ，,由平面方程 得：,對(duì)于立方晶系：,且：,第五節(jié) 晶體的對(duì)稱性,本節(jié)主要內(nèi)容:,1.5.1 對(duì)稱性與對(duì)稱操作,1.5.2 晶系和布拉維原胞,1.5.1 對(duì)稱性與對(duì)稱操作,對(duì)稱操作所依賴的幾何要素。,1.對(duì)稱操作與線性變換,經(jīng)過某一對(duì)稱操作，把晶體中任一點(diǎn) 變?yōu)?可以用線性變換來表示。,1.5 晶體的對(duì)稱性,對(duì)稱性：,經(jīng)過某種動(dòng)作后，晶體能夠自身重合的特性。,對(duì)稱操作：,使晶體自身重合的動(dòng)作。,對(duì)稱素：,操作前后，兩點(diǎn)間的距離保持不變，,O點(diǎn)和X點(diǎn)間距與O點(diǎn)和 點(diǎn)間距相等。,I為單位矩陣，即：,或者說A為正交矩陣，其矩陣行列式 。,2.簡(jiǎn)單對(duì)稱操作(旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、中心反映

25、、鏡象、旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱),(1)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(Cn,對(duì)稱素為線),若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn) 以后自身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。,下面我們計(jì)算與轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的變換矩陣。,當(dāng)OX繞Ox1轉(zhuǎn)動(dòng)角度時(shí)，圖中,若OX在Ox2x3平面上投影的長(zhǎng)度為R，則,晶體中允許有幾度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸呢?,設(shè)B1ABA1是晶體中某一晶面上的一個(gè)晶列，AB為這一晶列上相鄰的兩個(gè)格點(diǎn)。,若晶體繞通過格點(diǎn)A并垂直于紙面的u軸順時(shí)針轉(zhuǎn)角后能自身重合，則由于晶體的周期性，通過格點(diǎn)B也有一轉(zhuǎn)軸u。,是 的整數(shù)倍，,相反若逆時(shí)針轉(zhuǎn) 角后能自身重合，則,是 的整數(shù)倍，,晶體中允許的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸只能是1，2，3，4，6度軸。,綜合上述證明得：,正

26、五邊形沿豎直軸每旋轉(zhuǎn)720恢復(fù)原狀，但它不能重復(fù)排列充滿一個(gè)平面而不出現(xiàn)空隙。因此晶體的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸中不存在五次軸，只有1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。,(2)中心反映(i，對(duì)稱素為點(diǎn)),取中心為原點(diǎn)，經(jīng)過中心反映后，圖形中任一點(diǎn),變?yōu)?(3)鏡象(m，對(duì)稱素為面),如以x3=0面作為對(duì)稱面，鏡象是將圖形的任何一點(diǎn),變?yōu)?(4)旋轉(zhuǎn)-反演對(duì)稱,若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn) 以后，再經(jīng)過中心反演,晶體自身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉(zhuǎn)-反演對(duì)稱軸。,旋轉(zhuǎn)-反演對(duì)稱軸只能有1，2，3，4，6度軸。,旋轉(zhuǎn)-反演對(duì)稱軸用 表示。,旋轉(zhuǎn)-反演對(duì)稱軸并不都是獨(dú)立的基本對(duì)稱素。如：,正四面體既無四度軸也無對(duì)稱心,1，

27、2，3，4，6 度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作。,1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱操作。,(3)中心反映：i。,(4)鏡象反映：m。,C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符號(hào)表示）,S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符號(hào)表示）,點(diǎn)對(duì)稱操作：,(2)旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱操作：,(1)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作：,獨(dú)立的對(duì)稱操作有8種,即1，2，3，4，6，i，m， 。 或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。,立方體對(duì)稱性,(1)立方軸C4：,3個(gè)立方軸；,4個(gè)3度軸；,(2)體對(duì)角線C3：,(3)面對(duì)角線C2：,6個(gè)2度軸；,與4度軸正交的對(duì)稱面,與2度軸正交的對(duì)稱面,所有點(diǎn)對(duì)稱操作都可由這8種操作或它們的組合

28、來完成。一個(gè)晶體的全部對(duì)稱操作構(gòu)成一個(gè)群，每個(gè)操作都是群的一個(gè)元素。對(duì)稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、鏡象和旋轉(zhuǎn)-反演點(diǎn)對(duì)稱操作構(gòu)成的群，稱作點(diǎn)群。,理論證明，所有晶體只有32種點(diǎn)群，即只有32種不同的點(diǎn)對(duì)稱操作類型。這種對(duì)稱性在宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對(duì)稱及物理性質(zhì)在不同方向上的對(duì)稱性。所以又稱宏觀對(duì)稱性。,如果考慮平移，還有兩種情況，即螺旋軸和滑移反映面。,（5）n度螺旋軸：若繞軸旋轉(zhuǎn)2/n角以后，再沿軸方向平移l(T/n)，晶體能自身重合，則稱此軸為n度螺旋軸。其中T是軸方向的周期， l是小于n的整數(shù)。 n只能取1、2、3、4、6。,（6）滑移反映面：若經(jīng)過某面進(jìn)行鏡象操作后

29、，再沿平行于該面的某個(gè)方向平移T/n后，晶體能自身重合，則稱此面為滑移反映面。 T是平行方向的周期， n可取2或4。,點(diǎn)對(duì)稱操作加上平移操作構(gòu)成空間群。全部晶體構(gòu)有230種空間群，即有230種對(duì)稱類型。,1.5.2 晶系和布拉維原胞,根據(jù)不同的點(diǎn)對(duì)稱性，將晶體分為7大晶系，14種布拉維晶格。,7大晶系的特征及布拉維晶格如下所述：,1.三斜晶系：,2.單斜晶系：,3.三角晶系：,簡(jiǎn)單三斜(1),簡(jiǎn)單單斜(2),底心單斜(3),三角(4),4.正交晶系：,簡(jiǎn)單正交(5)，底心正交(6)體心正交(7)，面心正交(8),5.四角系： (正方晶系),簡(jiǎn)單四角(9)，體心四角(10),6.六角晶系：,六角

30、(11),7.立方晶系：,簡(jiǎn)立方(12)，體心立方(13)，面心立方(14),簡(jiǎn)單三斜(1),簡(jiǎn)單單斜(2),底心單斜(3),1.三斜晶系：,2.單斜晶系：,3.三角晶系：,三角(4),4.正交晶系：,簡(jiǎn)單正交(5),底心正交(6),體心正交(7),面心正交(8),5.四角系：(正方晶系),體心四角(10),簡(jiǎn)單四角(9),6.六角晶系：,六角(11),7.立方晶系：,簡(jiǎn)立方(12),體心立方(13),面心立方(14),第六節(jié) 晶體的X射線衍射,本節(jié)主要內(nèi)容:,1.6.1 晶體衍射的基本方法,1.6.3 晶體X射線衍射的幾種方法,1.6.2 X射線衍射方程,1.6.4 原子散射因子和幾何結(jié)構(gòu)因

31、子,1.6.1 晶體衍射的基本方法,1.6 晶體衍射,1.X射線衍射,(nm),X射線是由被高電壓V加速了的電子，打擊在“靶極”物質(zhì)上而產(chǎn)生的一種電磁波。,nm,在晶體衍射中，常取U-40千伏，所以-0.03nm 。,(nm),nm,2.電子衍射,電子波受電子和原子核散射，散射很強(qiáng)透射力較弱，電子衍射主要用來觀察薄膜。,3.中子衍射,中子主要受原子核的散射，輕的原子對(duì)于中子的散射也很強(qiáng)，所以常用來決定氫、碳在晶體中的位置。,中子具有磁矩，尤其適合于研究磁性物質(zhì)的結(jié)構(gòu)。,1.布拉格反射公式,衍射加強(qiáng)的條件：,n為整數(shù)，稱為衍射級(jí)數(shù)。,1.6.2 X射線衍射方程,是否可以用可見光進(jìn)行晶體衍射呢？,

32、不能用可見光進(jìn)行晶體衍射。,由上式可以看出：,，,設(shè)X射線源和晶體的距離以及觀測(cè)點(diǎn)和晶體的距離都比晶體線度大得多。,(1)入射線和衍射線為平行光線；,(2)略去康普頓效應(yīng)；,(3) 分別為入射和衍射線方向的單位矢量；,(4)只討論布拉維晶格。,2.勞厄衍射方程,波程差,衍射加強(qiáng)條件為：,-勞厄衍射方程,設(shè)A為任一格點(diǎn)，格矢,波矢,面指數(shù)，,衍射面指數(shù)。,3.反射公式與衍射方程是等價(jià)的,4.反射球,則 必落在以 和 的交點(diǎn)C為中心，2/為半徑的球面上，反之，落在球面上的倒格點(diǎn)必滿足，這些倒格點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的晶面族將產(chǎn)生反射，所以這樣的球稱為反射球。,反射球中心C并非倒格點(diǎn)位置，O為倒格點(diǎn)。,如何作反射

33、球呢?,若,設(shè)入射線沿CO方向，取線段 ，其中是所用單色X射線的波長(zhǎng)，再以C為心，以 為半徑所作的球就是反射球。,O、P、Q是反射球上的倒格點(diǎn)， CO是X射線入射方向，則CP是以O(shè)P為倒格矢的一族晶面(h1h2h3)的反射方向，OP間無倒格點(diǎn),所以CP方向的反射是n=1的一級(jí)衍射。,而OQ聯(lián)線上還有一倒格點(diǎn)，所以CQ方向的反射是二級(jí)衍射。,問題：,如果入射方向一定， 波長(zhǎng)一定，一族晶面是否可能同時(shí)產(chǎn)生不同的反射級(jí)呢？,1.6.3 晶體X射線衍射的幾種方法,1.勞厄法,(1)單晶體不動(dòng)，入射光方向不變；,(2)X射線連續(xù)譜，波長(zhǎng)在 間變化，反射球半徑 。,在紅色區(qū)域的倒格點(diǎn)和各球心的連線都表示晶

34、體可以產(chǎn)生反射的方向(衍射極大方向)。,倒格點(diǎn)的分布,衍射斑點(diǎn)分布,倒格點(diǎn)對(duì)稱性,晶格的對(duì)稱性,當(dāng)X光入射方向與晶體的某對(duì)稱軸平行時(shí)，勞厄衍射斑點(diǎn)具有對(duì)稱性。,衍射斑點(diǎn)與倒格點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。,2.轉(zhuǎn)動(dòng)單晶法,(1)X射線是單色的；,(2)晶體轉(zhuǎn)動(dòng)。,用勞厄法可確定晶體的對(duì)稱性,CO為入射方向,晶體在O點(diǎn)處,晶體轉(zhuǎn)動(dòng),倒格轉(zhuǎn)動(dòng),反射球繞過O的軸轉(zhuǎn)動(dòng),CP的方向即為反射線的方向,實(shí)際反射線是通過晶體O的,反射線構(gòu)成以轉(zhuǎn)軸為軸的一系列圓錐,在圓筒形底片上衍射斑點(diǎn)形成一系列直線,由直線間距計(jì)算晶格常量,根據(jù)衍射斑點(diǎn)間的距離可以求晶體的晶格常量。,3.粉末法,(1)X射線單色(固定)；,(2)樣品為取向各異的

35、單晶粉末。,由于樣品對(duì)入射線方向是“軸對(duì)稱”的，不同晶面族的衍射線構(gòu)成不同圓錐。衍射線與圓筒形相交，形成圖示衍射條紋。,據(jù)不同的晶面族的衍射條紋位置和波長(zhǎng)，可求出晶面族面間距，進(jìn)而確定晶格常量。,例1：設(shè)有某一晶體具有簡(jiǎn)單正交格子的結(jié)構(gòu)，其棱邊長(zhǎng)度分別為a、b、c，現(xiàn)在沿該晶體的1，0，0方向入射X射線。（1）確定在哪些方向上出現(xiàn)衍射極大？并指出在什么樣的波長(zhǎng)下，能觀察到這些衍射極大。（2）如果采用勞厄法作X-射線衍射實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)指出衍射斑點(diǎn)的分布。,解：,簡(jiǎn)單正交格子正格基矢：,表示沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量。,其倒格基矢：,倒格矢：,據(jù)題意，入射的X射線的波矢,設(shè)衍射波矢為,（衍射前后波長(zhǎng)保持

36、不變）,簡(jiǎn)單正交格子正格基矢：,由勞厄衍射方程：,得：,（2）由波長(zhǎng)一式可以看出，如果（nh,nk,nl）滿足衍射極大的話，那么 也滿足衍射極大。,與 對(duì)應(yīng)的衍射方向表示成 。,它們是以1，0，0為軸二度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的，所以其衍射斑點(diǎn)將呈現(xiàn)出二度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。,1.6.4 原子散射因子和幾何結(jié)構(gòu)因子,X射線與晶體相互作用,X射線受原子散射,X射線受原子中電子的散射,各原子的散射波間相互干涉,某些方向干涉極大某些方向干涉極小,原子散射因子,幾何結(jié)構(gòu)因子,原子內(nèi)每個(gè)電子對(duì)X射線散射波振幅Ae,原子內(nèi)所有電子對(duì)X射線散射波振幅Aa,原子散射因子f=Aa/Ae,1.原子散射因子,(1)定義,原子內(nèi)所有電子的

37、散射波的振幅的幾何和與一個(gè)電子的散射波的振幅之比稱為該原子的散射因子。,(2)計(jì)算,為原子中某一點(diǎn)P的位矢，,設(shè)O處一個(gè)電子在觀測(cè)點(diǎn)產(chǎn)生的振幅為Ae，則P點(diǎn)的一個(gè)電子在觀測(cè)點(diǎn)產(chǎn)生的振幅就是：,和 分別為入射方向和散射方向的單位矢量，則P點(diǎn)和O點(diǎn)散射波之間的位相差為：,為電子分布函數(shù)(概率密度)， 在P點(diǎn)附近體積元d內(nèi)的電子個(gè)數(shù)為： 。,這 個(gè)電子在觀測(cè)點(diǎn)產(chǎn)生的振幅就是：,原子中所有電子引起的散射波在觀察點(diǎn)的總振幅為：,原子散射因子：,討論：,(1)因?yàn)?一定， 只依賴于散射方向，因此，散射因子是散射方向的函數(shù)；,(2)不同原子， 不同，因此，不同原子具有不同的散射因子；,(3),原子所引起的散

38、射波的總振幅也是散射方向的函數(shù)，也因原子而異。,若電子分布函數(shù)是球面對(duì)稱的，,當(dāng),沿入射方向，原子散射波的振幅等于各個(gè)電子散射波的振幅的代數(shù)和。,由傅里葉逆變換得：,實(shí)驗(yàn)測(cè)知原子散射因子，可求出電子在原子內(nèi)的分布。,2.幾何結(jié)構(gòu)因子,總的衍射強(qiáng)度取決于兩個(gè)因素：,(1)各衍射極大的位相差； (2)各衍射極大的強(qiáng)度。,-各子晶格的相對(duì)位置。,-不同原子的散射因子。,(1)定義,原胞內(nèi)所有原子的散射波，在所考慮方向上的振幅與一個(gè)電子的散射波的振幅之比。,(2)計(jì)算,設(shè)原胞內(nèi)有n個(gè)原子，它們的位矢分別為,位矢為 的原子和原點(diǎn)處的原子的散射波的位相差為：,在所考慮方向上,幾何結(jié)構(gòu)因子為,例2：面心立方

39、晶格的幾何結(jié)構(gòu)因子。,得：,當(dāng) 部分為奇數(shù)或部分為偶數(shù)時(shí)，幾何結(jié)構(gòu)因子為零，相應(yīng)的反射消失。,例3： 金剛石結(jié)構(gòu)的幾何結(jié)構(gòu)因子,金剛石結(jié)構(gòu)平均每個(gè)布拉維原胞包含8個(gè)原子，將其坐標(biāo)：,代入,S1正是在面心立方格點(diǎn)上所放置的基元 的結(jié)構(gòu)因子 。,A離子坐標(biāo)為 ,B離子坐標(biāo)為,(3),對(duì)應(yīng)于最小的衍射角=300，,例5：采用轉(zhuǎn)動(dòng)單晶法對(duì)某一具有簡(jiǎn)單四角格子結(jié)構(gòu)的單晶體作X射線衍射實(shí)驗(yàn)，晶體繞四度旋轉(zhuǎn)軸-C軸進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，波長(zhǎng)= 0. 1542nm的X射線沿著垂直于C軸的方向入射。感光膠卷的半徑r=3cm。第0層線上的衍射斑點(diǎn)離中心點(diǎn)(即入射線的斑點(diǎn))的距離分別為0.54，0.75，1.08，1.19，1

40、.52，1.63，1.71，1.97cm。而第1層線與第0層線間的距離為0.66cm。試求該晶體的晶格常量a和c。,解：四方晶系：,正格基矢：,倒格基矢：,中心點(diǎn),第0層,第1層,(1)求c：,第0層,第1層,第2層,第0層線上的截面圖,(2)求a：,1,例6：已知Ta晶體屬于立方晶系，現(xiàn)以波長(zhǎng) =0.15405nm的X射線對(duì)Ta晶體粉末作德拜法(粉末法)衍射實(shí)驗(yàn)，假設(shè)膠卷的半徑r=5cm。在膠卷上測(cè)得一系列衍射譜線，其中離中心點(diǎn)最近的5條譜線離中心點(diǎn)的距離分別如下表所示：,(1)決定Ta晶體屬于體心立方結(jié)構(gòu)還是面心立方結(jié)構(gòu)；,(2)求出Ta晶體的晶格常量。,解：(1)確定結(jié)構(gòu)：,對(duì)于立方晶系

41、：,正格基矢：,倒格基矢：,r=5cm.,1,Ta晶體屬于什么結(jié)構(gòu)呢?,考慮到幾何結(jié)構(gòu)因子：,對(duì)于體心立方必須滿足：nh+nk+nl=偶數(shù)。,對(duì)于面心立方必須滿足：nh，nk，nl全為奇數(shù)或全為偶數(shù)。,Ta晶體屬于體心立方結(jié)構(gòu)。,由 值比較可知，Ta晶體屬于體心立方結(jié)構(gòu)。,1,(2)求a：,/度,sin,第一章 晶體結(jié)構(gòu)和X-射線衍射 總 結(jié),晶體的特征,晶體結(jié)構(gòu)及其描述,晶體的對(duì)稱性,倒格,晶體X射線衍射,晶體的特征,1.微觀特征,固體分類 (按結(jié)構(gòu)),晶體：,非晶體：,準(zhǔn)晶體：,長(zhǎng)程有序,不具有長(zhǎng)程序的特點(diǎn)，短程有序。,有長(zhǎng)程取向性,而沒有長(zhǎng)程的平移對(duì)稱性。,單晶體,多晶體,至少在微米量級(jí)

42、范圍內(nèi)原子排列具有周期性。,長(zhǎng)程有序：,晶體的宏觀特性是由晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的周期性決定的，即晶體的宏觀特性是微觀特性的反映。,自限性、晶面角守恒、解理性、均勻性、晶體的各向異性、對(duì)稱性、固定的熔點(diǎn)。,2.宏觀特征,一個(gè)理想的晶體是由完全相同的結(jié)構(gòu)單元在空間周期性重復(fù)排列而成的。所有晶體結(jié)構(gòu)可以用晶格來描述，這種晶格的每個(gè)格點(diǎn)上附有一群原子，這樣的一個(gè)原子群稱為基元,基元在空間周期性重復(fù)排列就形成晶體結(jié)構(gòu)。,1.晶格+基元=晶體結(jié)構(gòu),晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以概括為是由一些相同的點(diǎn)子在空間有規(guī)則地做周期性無限分布，這些點(diǎn)子的總體稱為晶格。,(1)晶格,晶體結(jié)構(gòu)及其描述,一、晶體結(jié)構(gòu),晶格中的點(diǎn)子代表著晶體結(jié)

43、構(gòu)中相同的位置，稱為格點(diǎn)。一個(gè)格點(diǎn)代表一個(gè)基元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的點(diǎn)子。,在晶體中適當(dāng)選取某些原子作為一個(gè)基本結(jié)構(gòu)單元，這個(gè)基本結(jié)構(gòu)單元稱為基元?；诳臻g周期性重復(fù)排列就形成晶體結(jié)構(gòu)。,(2)基元,(3)格點(diǎn),晶格+基元=晶體結(jié)構(gòu),基矢：固體物理學(xué)原胞基矢通常用 表示。,特點(diǎn)：格點(diǎn)只在平行六面體的頂角上，面上和內(nèi)部均無格點(diǎn)，平均每個(gè)固體物理學(xué)原胞包含1個(gè)格點(diǎn)。它反映了晶體結(jié)構(gòu)的周期性。,1.固體物理學(xué)原胞(簡(jiǎn)稱原胞),構(gòu)造：取一格點(diǎn)為頂點(diǎn)，由此點(diǎn)向近鄰的三個(gè)格點(diǎn)作三個(gè)不共面的矢量，以此三個(gè)矢量為邊作平行六面體即為固體物理學(xué)原胞。,體積：,二、原胞的分類,2.結(jié)晶

44、學(xué)原胞（單胞、晶胞、慣用晶胞）,構(gòu)造：使三個(gè)基矢的主軸盡可能地沿空間對(duì)稱軸的方向。它具有明顯的對(duì)稱性和周期性。,基矢：結(jié)晶學(xué)原胞的基矢一般用 表示。,特點(diǎn)：結(jié)晶學(xué)原胞不僅在平行六面體頂角上有格點(diǎn)，面上及內(nèi)部亦可有格點(diǎn)。其體積是固體物理學(xué)原胞體積的整數(shù)倍。,體積：,特點(diǎn)：它是晶體體積的最小重復(fù)單元，每個(gè)原胞只包含1個(gè)格點(diǎn)。,3.維格納-塞茨原胞,構(gòu)造：以一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn)，作原點(diǎn)與其它格點(diǎn)連線的中垂面(或中垂線)，由這些中垂面(或中垂線)所圍成的最小體積(或面積)即為W-S原胞。,體積：與固體物理學(xué)原胞體積相同。,通過晶格中任意兩個(gè)格點(diǎn)連一條直線稱為晶列，晶列的取向稱為晶向，描寫晶向的一組數(shù)稱為晶向指數(shù)(或晶列指數(shù))。,在晶格中，通過任意三個(gè)不在同一直線上的格點(diǎn)作一平面，稱為晶面，描寫晶面方位的一組數(shù)稱為晶面指數(shù)。,三、晶列及晶面,1.晶列及晶