自動控制理論-10系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

1、33 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析,本節(jié)主要內(nèi)容：,線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的概念 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件和穩(wěn)定性的判定方法。,*特征根的性質(zhì)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,當(dāng)si為實(shí)根時(shí)，即sii，,當(dāng)si為共軛復(fù)根時(shí),如果特征方程中有一個(gè)零根，它對應(yīng)于一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，系統(tǒng)可在任何狀態(tài)下平衡，稱為隨遇平衡狀態(tài)； 如果特征方程中有一對共軛虛根，它的對應(yīng)于等幅的周期振蕩，稱為臨界平衡狀態(tài)（或臨界穩(wěn)定狀態(tài)）。 從控制工程的角度認(rèn)為臨界穩(wěn)定狀態(tài)和隨遇平衡狀態(tài)屬于不穩(wěn)定。,三.穩(wěn)定性判據(jù),1.赫爾維茨（Hurwitz)判據(jù),系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正，且赫爾維茨行列式Dk（k1,2,3,，n）全部大于0。,赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)

2、,系統(tǒng)特征方程的一般形式為：,各階赫爾維茨行列式為：,例1：,系統(tǒng)的特征方程為：,試用赫爾維茨判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：,第一步：由特征方程得到各項(xiàng)系數(shù),第二步：計(jì)算各階赫爾維茨行列式,結(jié)論：,系統(tǒng)不穩(wěn)定。,10,2.林納德奇帕特（Lienard-Chipard)判據(jù),系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：,系統(tǒng)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)大于零，即,.奇數(shù)或偶數(shù)階的赫爾維茨行列式大于零。即,或,必要條件,例2,單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,試求開環(huán)增益的穩(wěn)定域。,解：,第一步：求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程,第二步：列出特征方程的各項(xiàng)系數(shù)。,第三步：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。,解得：,的穩(wěn)定域?yàn)椋?由此例可見，K越大，

3、系統(tǒng)的穩(wěn)定性越差。上述判據(jù)不僅可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且還可根據(jù)穩(wěn)定性的要求確定系統(tǒng)參數(shù)的允許范圍（即穩(wěn)定域）。,若系統(tǒng)的特征方程為：,則勞思表中各項(xiàng)系數(shù)如下圖：,3.勞斯(Routh)判據(jù),系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：勞斯表中第一列所有元素的計(jì)算值均大于零。,如果第一列中出現(xiàn)一個(gè)小于零的值，系統(tǒng)就不穩(wěn)定； 如果第一列中有等于零的值，說明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)； 第一列數(shù)據(jù)符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程正實(shí)部根的數(shù)目，即系統(tǒng)中不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)。,例3,設(shè)系統(tǒng)特征方程如下：,試用勞斯判據(jù)判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定正實(shí)部根的數(shù)目。,解：,將特征方程系數(shù)列成勞斯表,結(jié)論：系統(tǒng)不穩(wěn)定；系統(tǒng)特征方程有兩個(gè)正實(shí)

4、部的根。,例4,設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：,試用勞斯判據(jù)確定正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。,解：,將特征方程系數(shù)列成勞斯表,由表可見，第二行中的第一項(xiàng)為零，所以第三行的第一項(xiàng)出現(xiàn)無窮大，為避免這種情況，需采用特殊處理方法。,4.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況(1),在勞斯表的某一行中，第一項(xiàng)為零。,勞斯表某一行第一項(xiàng)系數(shù)為零，而其余系數(shù)不全為零的情況，可以用因子(s+a)乘以原特征式，其中a為任意正數(shù)。,得到新的特征方程為：,將特征方程系數(shù)列成新勞斯表：,結(jié)論：第一列有兩次符號變化，故方程有兩個(gè)正實(shí)部根。,例5,設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：,試用勞斯判據(jù)判穩(wěn)。,解：,將特征方程系數(shù)列成勞斯表,勞思表中出現(xiàn)全零行，需要找到另一種新

5、的解決方法。,用 行的系數(shù)構(gòu)造系列輔助方程,求導(dǎo)得：,用上述方程的系數(shù)代替原表中全零行，然后按規(guī)則計(jì)算下去，得到,求解輔助方程，可知產(chǎn)生全零行的根為,結(jié)論：不穩(wěn)定，有一個(gè)正實(shí)部根。,勞斯表某一行系數(shù)全為零，表明特征方程具有一些大小相等而符號相反的根。這時(shí)可將全零行的上面一行的各項(xiàng)組成一個(gè)方程式，稱為輔助方程式，用輔助方程式各項(xiàng)對s求導(dǎo)所得的系數(shù)代替全零行的各項(xiàng)，則可繼續(xù)計(jì)算勞斯表。特征方程大小相等符號相反的根可由求解輔助方程得到。,勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況(2),例6 系統(tǒng)的特征方程為： 該系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？求出每一個(gè)極點(diǎn)并畫出極點(diǎn)分布圖。,解：勞斯表如下,行全為零。由前一行系數(shù)構(gòu)成輔助方程得：,其導(dǎo)

6、數(shù)為： 將 4,48 或 1,12 代替 行，可繼續(xù)排列勞斯表如下：,因?yàn)?行全為零，所以特征方程必有特殊的根。求解如下： 有特征根為共軛虛數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,設(shè)剩余的一個(gè)根為p,比較系數(shù)得：p= -2,極點(diǎn)分布如下：,注意： 勞斯判據(jù)實(shí)際上只能判斷代數(shù)方程的根是在s平面左半平面還是在右半平面，位于虛軸上的根要用輔助方程求出。 若代數(shù)方程有對稱于實(shí)軸的實(shí)根或共軛復(fù)根，則一定在勞斯表的第一列有特殊體現(xiàn)，并可由輔助方程求出。,5.相對穩(wěn)定性,缺點(diǎn)：,只能確定絕對穩(wěn)定性,不能用于分析動態(tài)響應(yīng),改進(jìn)：,作s=-a的垂線，若系統(tǒng)的極點(diǎn)都在該線的左邊，則稱具有a的穩(wěn)定裕度。一般a越大，穩(wěn)定程度越高。可用s

7、1=s+a代入特征方程，得到以s1為變量的新的特征方程，用勞斯-赫爾維茨判據(jù)進(jìn)行判穩(wěn)。,例7 控制系統(tǒng)如圖所示。用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K的取值范圍。如果要求閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)全部位于 線之左，求K值范圍。,解：寫出閉環(huán)特征方程,列勞斯表,應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù),當(dāng)K=14時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,如果要求閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)全部位于s=-1垂線之左，可將 代入原特征方程,整理得,新勞斯表,根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)得,當(dāng)K在上述范圍內(nèi)取值時(shí)，可保證在s左平面上，閉環(huán)三個(gè)極點(diǎn)全部位于距虛軸距離為1的區(qū)域。,例8 液位控制系統(tǒng),系數(shù)缺項(xiàng)，顯然不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，且無論怎么調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)，都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定。,四.結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定及改進(jìn)措施,某些系統(tǒng)，僅僅靠調(diào)整參數(shù)仍無法穩(wěn)定，稱結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。,消除結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的措施有兩種 改變積分性質(zhì) 引入比