《期望與方差的性質(zhì)》PPT課件.ppt

1、1,E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ),E (X Y ) = E (X )E (Y ) .,2,性質(zhì) 4 的逆命題不成立，即,若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互獨(dú)立.,反例,注,3,但,4,若X 0，且EX 存在，則EX 0。,推論: 若 X Y，則 EX EY。,證明：設(shè) X 為連續(xù)型，密度函數(shù)為f (x), 則 由X 0 得：,所以,證明：由已知 Y - X0，則 E(Y - X) 0。 而E(Y - X) = E(Y)-E(X), 所以，E(X) E(Y)。,5,性質(zhì)2和3,性質(zhì)4,例1.設(shè) XN(10,4)，YU1,5，且X與Y相互獨(dú)立，

2、求 E(3X2XYY5)。,解：,由已知， 有 E(X)10, E(Y)3.,6,例2.(二項(xiàng)分布 B(n,p) 設(shè)單次實(shí)驗(yàn)成功的概率是 p，問n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，期望幾次成功？,解: 引入,則 X X1+ X2 + Xn 是n次試驗(yàn)中的成功次數(shù)。,因此，,這里， XB(n,p)。,7,例3.將4 個(gè)可區(qū)分的球隨機(jī)地放入4個(gè)盒子中,每盒容納的球數(shù)無限,求空著的盒子數(shù)的數(shù)學(xué)期望.,解一:設(shè) X 為空著的盒子數(shù), 則 X 的概率分布為,8,解二: 再引入 X i , i = 1,2,3,4.,9,例4.將n個(gè)球放入M個(gè)盒子中,設(shè)每個(gè)球落入各個(gè)盒子是等可能的,求有球的盒子數(shù)X的期望。,解:,引入隨機(jī)

3、變量:,則 X=X1+X2+XM , 于是,E(X) = E(X1)+E(X2)+ +E(XM) .,每個(gè)隨機(jī)變量Xi 都服從兩點(diǎn)分布,i =1,2,M.,10,因?yàn)槊總€(gè)球落入每個(gè)盒子是等可能的均為1/M,所以，對(duì)第i個(gè)盒子,沒有一個(gè)球落入這個(gè)盒子內(nèi)的概率為(1-1/M).,故，n個(gè)球都不落入這個(gè)盒子內(nèi)的概率為 (1-1/M)n ,即:,11,注：129頁4.27以此題為模型。,12,例5.用某臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知正品率隨著該機(jī)器所用次數(shù)的增加而指數(shù)下降，即 P第k次生產(chǎn)出的產(chǎn)品是正品=,假設(shè)每次生產(chǎn)100件產(chǎn)品，試求這臺(tái)機(jī)器前10次生產(chǎn)中平均生產(chǎn)的正品總數(shù)。,解：,設(shè)X是前10次生產(chǎn)的產(chǎn)

4、品中的正品數(shù)，并設(shè),13,例5.（續(xù)）,14,例6. 某廠家的自動(dòng)生產(chǎn)線， 生產(chǎn)一件正品的概率為 p (0p1)，生產(chǎn)一件次品的概率為q=1-p。生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為c元，正品的價(jià)格為s元，次品不能出售。這樣，廠家生產(chǎn)一件正品獲利sc元， 生產(chǎn)一件次品虧損c元（假定每個(gè)產(chǎn)品的生產(chǎn)過程是相互獨(dú)立的）。 若生產(chǎn)了N件產(chǎn)品，問廠家所獲利潤(rùn)的期望值是多少？,15,解：設(shè)第j個(gè)產(chǎn)品的利潤(rùn),則 為N件產(chǎn)品的總利潤(rùn)。,由已知,16,前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.,但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道隨機(jī)變量取值的平均是不夠的.,4.2 隨機(jī)變量的方差,17

5、,例如,甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：,你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?,甲炮射擊結(jié)果,乙炮射擊結(jié)果,因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近， 所以乙炮的射擊效果好.,18,為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它來度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.,這個(gè)數(shù)字特征就是我們下面要介紹的,方差,19,設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X), 若E(X-E(X)2存在, 則稱它為X 的方差（此時(shí)，也稱X的方差存在)，記為Var(X) 或D(X) , 即,定義,稱Var(X) 的算術(shù)平方根,為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為 (X).,A. 方差的概念,Var (X)=E(X-E(X)2,2

6、0,若X的取值比較分散，則方差較大.,刻劃了隨機(jī)變量的取值相對(duì)于其數(shù)學(xué)期望 的離散程度。,若X的取值比較集中，則方差較?。?Var(X)=EX-E(X)2,方差,21,注意：,1) Var(X)0，即方差是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。 2）當(dāng)X 服從某分布時(shí)，我們也稱某分布的方差為Var(X)。 方差是刻劃隨機(jī)變量取值的分散程度的一個(gè)特征。,22,方差的計(jì)算公式,(1)若 X 為離散型，概率分布為,(2)若 X 為連續(xù)型，概率密度為 f (x), 則,則,23,方差的計(jì)算公式,常用的公式：,證明:,24,常見隨機(jī)變量的方差,(1) 參數(shù)為p 的 01分布,概率分布為：,前面已經(jīng)計(jì)算過：E(X)=p，又,所以,25,概率分布為：,已計(jì)算過：E(X)=np，又,所以,(2)二項(xiàng)分布B(n, p),26,概率分布為：,已計(jì)算過：E(X)=，又,所以,(3)泊松分布P(),27,概率密度為：,已計(jì)算過：E(X)=(a+b)/2，又,所以,(4)區(qū)間a,b上的均勻分布Ua,b,28,概率密度為：,已計(jì)算過：E(X)=1/，又,所以,(5) 指數(shù)分布E(),29,概率密度為：,已計(jì)算過：E(X) = ，所以,(6) 正態(tài)分布N(, 2),30,例7. 設(shè),求 E (Y ), D(Y ).,解:,31,32,例8. 已知