第4講　函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

1、第4講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,高考定位在高考壓軸題中，函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點，常以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(方程的根)、比較大小、不等式證明、不等式恒成立與能成立問題.,真 題 感 悟,f(x)x26x3.,綜上，f(x)只有一個零點.,2.(2019全國卷)已知函數(shù)f(x)2sin xxcos xx，f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù). (1)證明：f(x)在區(qū)間(0，)存在唯一零點； (2)若x0，時，f(x)ax，求a的取值范圍.,(1)證明設(shè)g(x)f(x)，則g(x)cos xxsin x1， g(x)sin xsin xxcos xxcos x.,所以f(x)在區(qū)間

2、(0，)存在唯一零點. (2)解由題設(shè)知f()a，f()0，可得a0. 由(1)知，f(x)在(0，)只有一個零點，設(shè)為x0，且當(dāng)x(0，x0)時，f(x)0；當(dāng)x(x0，)時，f(x)0，所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，)上單調(diào)遞減. 又f(0)0，f()0，所以當(dāng)x0，時，f(x)0. 又當(dāng)a0，x0，時，ax0，故f(x)ax. 因此，a的取值范圍是(，0.,1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點,函數(shù)的零點、方程的實根、函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)是三個等價的概念，解決這類問題可以通過函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，畫出函數(shù)圖象的變化趨勢，數(shù)形結(jié)合求解.,考 點 整 合,2.三次函數(shù)的零

3、點分布,三次函數(shù)在存在兩個極值點的情況下，由于當(dāng)x時，函數(shù)值也趨向，只要按照極值與零的大小關(guān)系確定其零點的個數(shù)即可.存在兩個極值點x1，x2且x1x2的函數(shù)f(x)ax3bx2cxd(a0)的零點分布情況如下：,3.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題,(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式. 若證明f(x)g(x)對一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xI). xI，使f(x)g(x)成立I與f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max0(xI).,對x1，x2I使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min. 對x1I，x2I使得f(x1)g(x2)f(x)mi

4、ng(x)min. 溫馨提醒解決方程、不等式相關(guān)問題，要認(rèn)真分析題目的結(jié)構(gòu)特點和已知條件，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)研究性質(zhì)，這是解題的關(guān)鍵.,熱點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點,因此當(dāng)a0時，1ax2ex0，從而f(x)0， 所以f(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增.,故g(x)0在(0，)內(nèi)有唯一解， 從而f(x)0在(0，)內(nèi)有唯一解，,所以f(x)在(0，x0)內(nèi)單調(diào)遞增；,所以f(x)在(x0，)內(nèi)單調(diào)遞減， 因此x0是f(x)的唯一極值點. 令h(x)ln xx1，,故h(x)在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減， 從而當(dāng)x1時，h(x)h(1)0， 所以ln xx1，,又因為f(x0)f(1)0， 所以f(x)在

5、(x0，)內(nèi)有唯一零點. 又f(x)在(0，x0)內(nèi)有唯一零點1， 從而，f(x)在(0，)內(nèi)恰有兩個零點.,探究提高1.三步求解函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)問題. 第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線yk)在該區(qū)間上的交點問題； 第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖象； 第三步：結(jié)合圖象求解. 2.根據(jù)函數(shù)零點情況求參數(shù)范圍：(1)要注意端點的取舍；(2)選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論.,【訓(xùn)練1】 函數(shù)f(x)axxln x在x1處取得極值. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若yf(x)m1在定義域內(nèi)有兩個不同的

6、零點，求實數(shù)m的取值范圍.,解(1)f(x)aln x1，x0， 由f(1)a10，解得a1.經(jīng)檢驗a1滿足題意， 則f(x)xxln x，,f(x)ln x，令f(x)0，解得x1； 令f(x)1， 即m2，,當(dāng)00且x0時，f(x)0； 當(dāng)x時，顯然f(x). 如圖，由圖象可知，m10，即m1， 由可得2m1. 因此實數(shù)m的取值范圍是(2，1).,熱點二利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 【例2】 (2019安徽“江南十?！甭?lián)考)已知函數(shù)f(x)ln xax1(aR). (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；,當(dāng)a0時，f(x)0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；,綜上所述：當(dāng)a0時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增

7、；,(2)證明由(1)知，當(dāng)a0時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，不滿足條件.,由已知得ln(a)0，故a1，此時f(x)ln xx1. 不妨設(shè)0x1x2，,故g(x)在(1，)單調(diào)遞減， 所以g(x)g(1)0x2x1. 所以對于任意互不相等的正實數(shù)x1，x2，,探究提高1.證明不等式的基本方法： (1)利用單調(diào)性：若f(x)在a，b上是增函數(shù)，則xa，b，有f(a)f(x)f(b)，x1，x2a，b，且x1x2，有f(x1)f(x2).對于減函數(shù)有類似結(jié)論. (2)利用最值：若f(x)在某個范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m)，則xD，有f(x)M(或f(x)m). 2.證明f(x)g(x)，

8、可構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，證明F(x)0.,因此曲線yf(x)在(0，1)處的切線方程是 2xy10.,g(x)0，g(x)單調(diào)遞增；所以g(x)g(1)0. 因此f(x)e0.,(2)證明當(dāng)a1時，f(x)e(x2x1ex1)ex. 令g(x)x2x1ex1，則g(x)2x1ex1. 當(dāng)x1時，,熱點三利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立、存在性問題 角度1不等式恒成立問題 【例31】 (2019西安模擬)已知函數(shù)f(x)mexx2. (1)若m1，求曲線yf(x)在(0，f(0)處的切線方程； (2)若關(guān)于x的不等式f(x)x(4mex)在0，)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.,解(1)當(dāng)m1

9、時，f(x)exx2，則f(x)ex2x. f(0)1，且在點(0，f(0)處的切線斜率kf(0)1. 故所求切線方程為y1x，即xy10. (2)由mexx2x(4mex)得mex(x1)x24x.,角度2不等式存在性問題,當(dāng)m2時，若x1，e，則f(x)0， f(x)在1，e上是增函數(shù)，則f(x)minf(1)2m. 當(dāng)me1時，若x1，e，則f(x)0，,當(dāng)2me1時，若x1，m1，則f(x)0； 若xm1，e，則f(x)0. f(x)minf(m1)m2mln(m1). (2)已知等價于f(x1)ming(x2)min. 由(1)知m2時，在xe，e2上有f(x)0，,又g(x)xex

10、(x1)exx(1ex)， 當(dāng)x22，0時，g(x2)0，g(x2)ming(0)1.,探究提高1.對于含參數(shù)的不等式，如果易分離參數(shù)，可先分離參數(shù)、構(gòu)造函數(shù)，直接轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；否則應(yīng)進(jìn)行分類討論，在解題過程中，必要時，可作出函數(shù)圖象草圖，借助幾何圖形直觀分析轉(zhuǎn)化. 2.“恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補”關(guān)系，即f(x)g(a)對于xD恒成立，應(yīng)求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，應(yīng)求f(x)的最大值.應(yīng)特別關(guān)注等號是否取到，注意端點的取舍.,【訓(xùn)練3】 設(shè)函數(shù)f(x)(1x2)ex. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)當(dāng)x0時，f(x)ax1，求a的取值

11、范圍.,解(1)f(x)2xex(1x2)ex(12xx2)ex. 令f(x)0，得x22x10，,(2)f(x)(1x)(1x)ex. 當(dāng)a1時，設(shè)函數(shù)h(x)(1x)ex，h(x)xex0)，因此h(x)在0，)上單調(diào)遞減，而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1. 當(dāng)00(x0)，所以g(x)在0，)上單調(diào)遞增，而g(0)0，故exx1. 當(dāng)0(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，,(1x0)(1x0)2ax010，故f(x0)ax01.,則x0(0，1)，f(x0)(1x0)(1x0)21ax01. 綜上，a的取值范圍是1，).,熱點四

12、利用導(dǎo)數(shù)求解最優(yōu)化問題,【例4】 圖1是某種稱為“凹槽”的機械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面(陰影部分)示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長為4.若凹槽的強度T等于橫截面的面積S與邊AB的乘積，設(shè)AB2x，BCy.,(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并指出x的取值范圍； (2) 求當(dāng)x取何值時，凹槽的強度最大.,解(1)易知半圓CmD的半徑為x， 故半圓CmD的弧長為x.,探究提高利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟 (1)建模：分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x). (2)求導(dǎo)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x

13、)，解方程f(x)0. (3)求最值：比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f(x)0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值. (4)結(jié)論：回歸實際問題作答.,【訓(xùn)練4】 (2019成都診斷)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐.當(dāng)ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為_.,f(x)單調(diào)遞減，故當(dāng)x2時，f(x)取得最大值80，,則f(x)100 x350 x4， 令f(x)0得x2， 當(dāng)x(0，2)時， f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；,1.重視轉(zhuǎn)化思想在研究函數(shù)零點中的應(yīng)用，如方程的解、兩函數(shù)圖象的交點均可轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點，充分利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)，借助導(dǎo)數(shù)求解. 2.對于存在一個極大值和一個極小值的函數(shù)，其圖象與x軸交點的個數(shù)，除了受兩個極值大小的制約外，還受函數(shù)在兩個極值點外部函數(shù)值的變化的制約，在解題時要注意通過數(shù)形結(jié)合找到正確的條件.,3.利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式f(x)g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)0.其中找