高中數學 第八章第12課時拋物線的幾何性質教師專用教案 新人教A版

1、拋物線的幾何性質 一、教學目標(一)知識教學點使學生理解并掌握拋物線的幾何性質，并能從拋物線的標準方程出發(fā)，推導這些性質(二)能力訓練點從拋物線的標準方程出發(fā)，推導拋物線的性質，從而培養(yǎng)學生分析、歸納、推理等能力(三)學科滲透點使學生進一步掌握利用方程研究曲線性質的基本方法，加深對直角坐標系中曲線方程的關系概念的理解，這樣才能解決拋物線中的弦、最值等問題二、教材分析1重點：拋物線的幾何性質及初步運用(解決辦法：引導學生類比橢圓、雙曲線的幾何性質得出)2難點：拋物線的幾何性質的應用(解決辦法：通過幾個典型例題的講解，使學生掌握幾何性質的應用)3疑點：拋物線的焦半徑和焦點弦長公式(解決辦法：引導學

2、生證明并加以記憶)三、活動設計提問、填表、講解、演板、口答四、教學過程(一)復習1拋物線的定義是什么？請一同學回答應為：“平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線”2拋物線的標準方程是什么？再請一同學回答應為：拋物線的標準方程是y2=2px(p0)，y2=-2px(p0)，x2=2py(p0)和x2=-2py(p0)下面我們類比橢圓、雙曲線的幾何性質，從拋物線的標準方程y2=2px(p0)出發(fā)來研究它的幾何性質(二)幾何性質怎樣由拋物線的標準方程確定它的幾何性質？以y2=2px(p0)為例，用小黑板給出下表，請學生對比、研究和填寫填寫完畢后，再向學生提出問題：和橢圓、雙曲

3、線的幾何性質相比，拋物線的幾何性質有什么特點？學生和教師共同小結：(1)拋物線只位于半個坐標平面內，雖然它也可以無限延伸，但是沒有漸近線(2)拋物線只有一條對稱軸，這條對稱軸垂直于拋物線的準線或與頂點和焦點的連線重合，拋物線沒有中心(3)拋物線只有一個頂點，它是焦點和焦點在準線上射影的中點(4)拋物線的離心率要聯(lián)系橢圓、雙曲線的第二定義，并和拋物線的定義作比較其結果是應規(guī)定拋物線的離心率為1注意：這樣不僅引入了拋物線離心率的概念，而且把圓錐曲線作為點的軌跡統(tǒng)一起來了(三)應用舉例為了加深對拋物線的幾何性質的認識，掌握描點法畫圖的基本方法，給出如下例1例1 已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標

4、原點，并且經過點解：因為拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點程是y2=4x后一部分由學生演板，檢查一下學生對用描點法畫圖的基本方法掌握情況第一象限內的幾個點的坐標，得：(2)描點作圖描點畫出拋物線在第一象限內的一部分，再利用對稱性，就可以畫出拋物線的另一部分(如圖2-33)例2 已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點M(-3，m)到焦點的距離等于5，求拋物線的方程和m的值解法一：由焦半徑關系，設拋物線方程為y2=-2px(p0)，則準線方因為拋物線上的點M(-3，m)到焦點的距離|MF|與到準線的距離得p=4因此，所求拋物線方程為y2=-8x又點M(-3，m)在此拋物

5、線上，故m2=-8(-3)解法二：由題設列兩個方程，可求得p和m由學生演板由題意在拋物線上且|MF|=5，故本例小結：(1)解法一運用了拋物線的重要性質：拋物線上任一點到焦點的距離(即此點的焦半徑)等于此點到準線的距離可得焦半徑公式：設P(x0，這個性質在解決許多有關焦點的弦的問題中經常用到，因此必須熟練掌握(2)由焦半徑不難得出焦點弦長公式：設AB是過拋物線焦點的一條弦(焦點弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)則有|AB|=x1+x2+p特別地：當ABx軸，拋物線的通徑|AB|=2p(詳見課本習題)例3 過拋物線y2=2px(p0)的焦點F的一條直線與這拋物線相交于A、B兩點，且A(x

6、1，y1)、B(x2，y2)(圖2-34)證明：(1)當AB與x軸不垂直時，設AB方程為：此方程的兩根y1、y2分別是A、B兩點的縱坐標，則有y1y2=-p2或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2綜合上述有y1y2=-p2又A(x1，y1)、B(x2，y2)是拋物線上的兩點，本例小結：(1)涉及直線與圓錐曲線相交時，常把直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個變量，得到關于另一變量的一元二次方程，然后用韋達定理求解，這是解決這類問題的一種常用方法(2)本例命題1是課本習題中結論，要求學生記憶(四)練習1過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，若x1+x2=6，求|AB|的值由學生練習后口答由焦半徑公式得：|AB|=x1+x2+p=82證明：與拋物線的軸平行的直線和拋物線只有一個交點請一同學演板，其他同學練習，教師巡視證明：可設拋物線方程故拋物線y2=2px與平行于其軸的直線只有一個交點(五)全課小結1拋物線的幾何性質；2拋物線的應用五、布置作業(yè)1在拋物線y2=12x上，求和焦點的距離等于9的點的坐標2有一正三角形的兩個頂點在拋物線y2=2px上，另一頂點在原點，求這個三角形的邊長3圖2-35是拋物線拱橋的示意圖，當水面在l時，拱頂高水