高中數(shù)學(xué) 第八章第12課時(shí)拋物線的幾何性質(zhì)教師專用教案 新人教A版

1、拋物線的幾何性質(zhì) 一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生理解并掌握拋物線的幾何性質(zhì)，并能從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)這些性質(zhì)(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)拋物線的性質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力(三)學(xué)科滲透點(diǎn)使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標(biāo)系中曲線方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決拋物線中的弦、最值等問題二、教材分析1重點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)得出)2難點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用(解決辦法：通過幾個(gè)典型例題的講解，使學(xué)生掌握幾何性質(zhì)的應(yīng)用)3疑點(diǎn)：拋物線的焦半徑和焦點(diǎn)弦長公式(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)

2、生證明并加以記憶)三、活動(dòng)設(shè)計(jì)提問、填表、講解、演板、口答四、教學(xué)過程(一)復(fù)習(xí)1拋物線的定義是什么？請一同學(xué)回答應(yīng)為：“平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線”2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？再請一同學(xué)回答應(yīng)為：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=2px(p0)，y2=-2px(p0)，x2=2py(p0)和x2=-2py(p0)下面我們類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p0)出發(fā)來研究它的幾何性質(zhì)(二)幾何性質(zhì)怎樣由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定它的幾何性質(zhì)？以y2=2px(p0)為例，用小黑板給出下表，請學(xué)生對比、研究和填寫填寫完畢后，再向?qū)W生提出問題：和橢圓、雙曲

3、線的幾何性質(zhì)相比，拋物線的幾何性質(zhì)有什么特點(diǎn)？學(xué)生和教師共同小結(jié)：(1)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但是沒有漸近線(2)拋物線只有一條對稱軸，這條對稱軸垂直于拋物線的準(zhǔn)線或與頂點(diǎn)和焦點(diǎn)的連線重合，拋物線沒有中心(3)拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，它是焦點(diǎn)和焦點(diǎn)在準(zhǔn)線上射影的中點(diǎn)(4)拋物線的離心率要聯(lián)系橢圓、雙曲線的第二定義，并和拋物線的定義作比較其結(jié)果是應(yīng)規(guī)定拋物線的離心率為1注意：這樣不僅引入了拋物線離心率的概念，而且把圓錐曲線作為點(diǎn)的軌跡統(tǒng)一起來了(三)應(yīng)用舉例為了加深對拋物線的幾何性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，掌握描點(diǎn)法畫圖的基本方法，給出如下例1例1 已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)

4、原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)解：因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)程是y2=4x后一部分由學(xué)生演板，檢查一下學(xué)生對用描點(diǎn)法畫圖的基本方法掌握情況第一象限內(nèi)的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得：(2)描點(diǎn)作圖描點(diǎn)畫出拋物線在第一象限內(nèi)的一部分，再利用對稱性，就可以畫出拋物線的另一部分(如圖2-33)例2 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)M(-3，m)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的方程和m的值解法一：由焦半徑關(guān)系，設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p0)，則準(zhǔn)線方因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)M(-3，m)到焦點(diǎn)的距離|MF|與到準(zhǔn)線的距離得p=4因此，所求拋物線方程為y2=-8x又點(diǎn)M(-3，m)在此拋物

5、線上，故m2=-8(-3)解法二：由題設(shè)列兩個(gè)方程，可求得p和m由學(xué)生演板由題意在拋物線上且|MF|=5，故本例小結(jié)：(1)解法一運(yùn)用了拋物線的重要性質(zhì)：拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離(即此點(diǎn)的焦半徑)等于此點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可得焦半徑公式：設(shè)P(x0，這個(gè)性質(zhì)在解決許多有關(guān)焦點(diǎn)的弦的問題中經(jīng)常用到，因此必須熟練掌握(2)由焦半徑不難得出焦點(diǎn)弦長公式：設(shè)AB是過拋物線焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)則有|AB|=x1+x2+p特別地：當(dāng)ABx軸，拋物線的通徑|AB|=2p(詳見課本習(xí)題)例3 過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F的一條直線與這拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且A(x

6、1，y1)、B(x2，y2)(圖2-34)證明：(1)當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)AB方程為：此方程的兩根y1、y2分別是A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則有y1y2=-p2或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2綜合上述有y1y2=-p2又A(x1，y1)、B(x2，y2)是拋物線上的兩點(diǎn)，本例小結(jié)：(1)涉及直線與圓錐曲線相交時(shí)，常把直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量，得到關(guān)于另一變量的一元二次方程，然后用韋達(dá)定理求解，這是解決這類問題的一種常用方法(2)本例命題1是課本習(xí)題中結(jié)論，要求學(xué)生記憶(四)練習(xí)1過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1+x2=6，求|AB|的值由學(xué)生練習(xí)后口答由焦半徑公式得：|AB|=x1+x2+p=82證明：與拋物線的軸平行的直線和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)請一同學(xué)演板，其他同學(xué)練習(xí)，教師巡視證明：可設(shè)拋物線方程故拋物線y2=2px與平行于其軸的直線只有一個(gè)交點(diǎn)(五)全課小結(jié)1拋物線的幾何性質(zhì)；2拋物線的應(yīng)用五、布置作業(yè)1在拋物線y2=12x上，求和焦點(diǎn)的距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo)2有一正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=2px上，另一頂點(diǎn)在原點(diǎn)，求這個(gè)三角形的邊長3圖2-35是拋物線拱橋的示意圖，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂高水