單孔的夫瑯和費衍射ppt課件

1、4.3 單孔的夫瑯和費衍射,計算夫瑯和費衍射問題，可以直接使用我們上次課得到的衍射積分公式，也可以用菲涅耳半波帶法和相輻矢量分析法。,4.3.1 單縫的夫瑯和費衍射,C,L,1,衍射物只在方向上限制入射光波，在方向不受限制。,因此單縫衍射是一維問題。,入射光是平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為1。,設(shè)衍射物（單縫）的透射系數(shù)為：,則透過衍射物之后的復(fù)振幅為：,代入我們上次課得到的一維孔徑夫瑯和費衍射積分公式即可。,2,其中：,代入上式，可得單縫夫瑯和費衍射屏上的復(fù)振幅分布：,3,單縫夫瑯和費衍射屏上的輻照度分布：,單縫夫瑯和費衍射屏上的衍射圖形見教材186頁圖（a）圖（b）,令：,得：,所以中央亮斑

2、的條紋寬度：,不難得出，其他條紋的寬度是中央條紋寬度的1/2。,4,斜入射情況：,5,入射光是斜入射平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為：,則透過衍射物之后的復(fù)振幅為：,其傅立葉變換為：,6,斜入射時單縫夫瑯和費衍射屏上的復(fù)振幅分布：,輻照度分布：,所以斜入射時屏上的復(fù)振幅分布不變，只是有了一個平移：,7,4.3.2 矩孔的夫瑯和費衍射,C,L,這是一個二維衍射問題，需要計算一個二重積分。但是對于可分離變量的透射系數(shù)，可簡化為分別計算兩個一維積分。,8,入射光是平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為1。,設(shè)衍射物（矩孔）的透射系數(shù)為：,則透過衍射物之后的復(fù)振幅為：,9,上次課得到的夫瑯和費衍射積分公式：,利用剛

3、才求得的傅立葉變換結(jié)果：,屏上的輻照度分布：,10,(1) 衍射光強分布,對于沿x軸的光強度分布， 因y=0， 有,當(dāng)x=0 時(對應(yīng)于原點)，有主極大。在為整數(shù)處，有極小值， L=0，與這些值相應(yīng)的點是暗點， 暗點的位置為,(m=1,2,),相鄰兩暗點之間的間隔為：,11,在相鄰兩個暗點之間有一個強度次極大， 次極大的位置由下式?jīng)Q定:,夫朗和費矩形孔衍射在y軸上的強度分布特性與x軸類似。,在x, y軸以外各點的光強度，可按式進行計算，圖 給出了一些特征點的光強度相對值。 顯然， 盡管在xOy面內(nèi)存在一些次極大點， 但它們的光強度極弱。,12,13,夫朗和費矩形孔衍射圖樣中一些特征點的相對強度

4、,14,(2) 中央亮斑 矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑處， 其邊緣在x, y軸上的位置是,中央亮斑面積為,該式說明，中央亮斑面積與矩形孔面積成反比，在相同波長和裝置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大.,15,(3) 衍射圖形狀 當(dāng)孔徑尺寸a0=b0, 即為方形孔徑時，沿x, y方向有相同的衍射圖樣。當(dāng)a0b0， 即對于矩形孔徑， 其衍射圖樣沿x, y方向的形狀雖然相似，但線度不同。例如，a 0b0時， 衍射圖樣沿x軸亮斑寬度比沿y軸的亮斑寬度大。,4.3.3 圓孔的夫瑯和費衍射,由于光學(xué)儀器的光瞳通常是圓形的，所以討論圓孔衍射現(xiàn)象對光學(xué)儀器的應(yīng)用，具有重要的實際意義。,夫朗和費圓孔衍射的討論

5、方法與矩形孔衍射的討論方法相同，只是由于圓孔結(jié)構(gòu)的幾何對稱性，采用極坐標處理更加方便。,16,C,L,這是一個二維衍射問題，需要計算一個二重積分。考慮到圓孔的對稱性，在極坐標系中處理比較簡便。,17,設(shè)圓孔上任一點的位置坐標為、，與相應(yīng)的直角坐標x, y的關(guān)系為：,=cos =sin,類似地，觀察屏上任一點的位置坐標r、與相應(yīng)的直角坐標的關(guān)系為,18,由此，屏上光場復(fù)振幅， 在經(jīng)過坐標變換后為 ：,是衍射角。,設(shè)衍射物（圓孔）的透射系數(shù)為：,是圓孔的半徑。,19,入射光是平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為1。,則透過衍射物之后的復(fù)振幅為：,代入后：,根據(jù)零階貝塞爾函數(shù)的積分表示式 ：,20,可將上式

6、變換為 ：,這里已利用了J0(x)為偶函數(shù)的性質(zhì)。再由貝塞爾函數(shù)的性質(zhì):,式中，J1(x)為一階貝塞爾函數(shù)，可得:,21,屏上的輻照度分布：,可以證明，x0時，,屏上中心點輻照度：,令：,則：,22,基于此式，可以得到夫朗和費圓孔衍射的如下特點：,(1) 衍射圖樣 由上三式可見，夫朗和費圓孔衍射的光強度分布僅與衍射角有關(guān)(或者，由=r/f，僅與r有關(guān))， 而與方位角坐標無關(guān)。這說明，夫朗和費圓孔衍射圖樣是圓形條紋。,是衍射角。,23,24,圓孔夫瑯和費衍射的強度分布,25,(2) 愛里斑 由上表可見，中央亮斑集中了入射在圓孔上能量的83.78%，這個亮斑叫愛里斑。愛里斑的半徑r0由第一光強極小

7、值處的值決定， 即 ：,因此,或以角半徑0表示,26,4.3.4 光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨本領(lǐng) 瑞利判據(jù),從幾何光學(xué)的觀點看，每個像點應(yīng)該是一個幾何點，因此， 對于一個無像差的理想光學(xué)成像系統(tǒng)，其分辨本領(lǐng)應(yīng)當(dāng)是無限的， 即兩個點物無論靠得多近，像點總可分辨開。 但實際上， 光波通過光學(xué)成像系統(tǒng)時，總會因光學(xué)孔徑的有限性產(chǎn)生衍射， 這就限制了光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)。通常，由于光學(xué)成像系統(tǒng)具有光闌、 透鏡外框等圓形孔徑，所以討論它們的分辨本領(lǐng)時，都是以夫朗和費圓孔衍射為理論基礎(chǔ)。,如圖 422所示，設(shè)有S1和S2兩個非相干點光源，間距為， 它們到直徑為D的圓孔距離為R，則S1和S2對圓孔的張角為,27,

8、由于圓孔的衍射效應(yīng)，S1和S2將分別在觀察屏上形成各自的衍射圖樣。假設(shè)其愛里斑關(guān)于圓孔的張角為0：,28,根據(jù)瑞利判據(jù)，將一個點物衍射圖樣的中央極大位置與另一個點物衍射圖樣的第一個極小位置重合的狀態(tài)作為光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨極限，認為此時光學(xué)系統(tǒng)恰好可分辨開這兩個點物。 這時，兩點物衍射圖樣的重疊區(qū)中點光強度約為每個衍射圖樣中心最亮處光強度的73.5%(對于縫隙形光闌，約為81%)。 于是，由于衍射效應(yīng)，一個光學(xué)成像系統(tǒng)對點物成像的愛里斑角半徑0決定了該系統(tǒng)的分辨極限。,29,幾種光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨本領(lǐng) (1) 人眼睛的分辨本領(lǐng) 人眼的成像作用可以等價于一個單凸透鏡。通常人眼睛的瞳孔直徑約為 1.

9、56 mm（視入射光強的大小而定)。當(dāng)人眼瞳孔直徑為 2 mm時，對于最敏感的光波波長=0.55 m，按(3 - 42)式可以算得人眼的最小分辨角e為 通常由實驗測得的人眼最小分辨角約為1(=2.910-4rad)，與上面計算的結(jié)果基本相符。,30,(2) 望遠鏡的分辨本領(lǐng) 望遠鏡的作用相當(dāng)于增大人眼睛的瞳孔。設(shè)望遠鏡物鏡的圓形通光孔徑直徑為D，若有兩個物點恰好能為望遠鏡所分辨開， 則根據(jù)瑞利判據(jù)， 這兩個物點對望遠鏡的張角為,這也就是望遠鏡的最小分辨角公式。該式表明，望遠鏡物鏡的直徑D愈大，分辨本領(lǐng)愈高，并且，這時像的亮度也增加了。,31,例如，天文望遠鏡物鏡的直徑做得很大(可達 6m)，原

10、因之一就是為了提高分辨本領(lǐng)。對于=0.55m的單色光來說，其最小分辨角=0.023=1.1210-7 rad，比人眼的分辨本領(lǐng)要大三千倍左右。通常在設(shè)計望遠鏡時，為了充分利用望遠鏡物鏡的分辨本領(lǐng)，應(yīng)使望遠鏡的放大率保證物鏡的最小分辨角經(jīng)望遠鏡放大后等于眼睛的最小分辨角， 即放大率應(yīng)為,32,(3) 照相物鏡的分辨本領(lǐng) 照相物鏡一般都是用于對較遠物體的成像，感光底片的位置大致與照相物鏡的焦平面重合。 若照相物鏡的孔徑為D， 相應(yīng)第一極小的衍射角為0， 則底片上恰能分辨的兩條直線之間的距離為,習(xí)慣上，照相物鏡的分辨本領(lǐng)用底片上每毫米內(nèi)能成多少條恰能分開的線條數(shù)N表示，N為,33,式中，D/f是照相

11、物鏡的相對孔徑。可見，照相物鏡的相對孔徑愈大，分辨本領(lǐng)愈高。 例如，對于D/f=13.5的常用照相物鏡，若=0.55m，則N=1 4901/3.5=425(條/mm)。作為照相系統(tǒng)總分辨本領(lǐng)的要求來說，感光底片的分辨本領(lǐng)應(yīng)大于或等于物鏡的分辨本領(lǐng)。 例如， 對于上面的例子， 應(yīng)選擇分辨本領(lǐng)大于425條/mm的底片。,34,(4) 顯微鏡的分辨本領(lǐng) 顯微鏡由物鏡和目鏡組成，在一般情況下系統(tǒng)成像的孔徑為物鏡框，因此，限制顯微鏡分辨本領(lǐng)的是物鏡框(即孔徑光闌)。 顯微鏡物鏡的成像如圖所示。點物S1和S2位于物鏡前焦點外附近，由于物鏡的焦距很短，所以S1和S2發(fā)出的光波以很大的孔徑角入射到物鏡， 其像S1和S2離物鏡較遠。雖然S1和S2離物鏡很近，它們的像也是物鏡邊緣(孔徑光闌)的夫朗和費衍射圖樣， 其愛里斑的半徑為,(3 - 46),35,顯微鏡的分辨本領(lǐng),36,由于顯微鏡物鏡的成像滿足阿貝(Abbe)正弦條件,式中，n和n分別是物方和像方折射率，在n=1 時，因l