高中數(shù)學(xué) 第1講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 3.1 相似三角形的判定學(xué)案 新人教A版選修

1、1相似三角形的判定1了解三角形相似的定義2掌握相似三角形的判定定理，以及直角三角形相似的判定方法(重點(diǎn)、易混點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1相似三角形的有關(guān)概念閱讀教材P10“定義”部分，完成下列問(wèn)題1定義對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形2相似比相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù))教材整理2相似三角形的判定閱讀教材P10P15“思考”以上部分，完成下列問(wèn)題1預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似2相似三角形的判定定理名稱定理內(nèi)容簡(jiǎn)述判定定理1對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩

2、個(gè)三角形相似.兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似判定定理2對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似.判定定理3對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似.如圖131所示，在ABC中，F(xiàn)DGEBC，則與AFD相似的三角形有() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】圖131A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【解析】FDGEBC，AFDAGEABC.【答案】B教材整理3直角三角形的相似閱讀教材P13P16“相似三角形的性質(zhì)”以上部分，完成下列問(wèn)題1引理如果

3、一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊2直角三角形相似的判定定理：(1)如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似(2)如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似下列判斷中，不正確的是()A兩直角邊分別是3.5,2和2.8,1.6的兩個(gè)直角三角形相似B斜邊和一直角邊長(zhǎng)分別是2，4和，2的兩個(gè)直角三角形相似C兩條邊長(zhǎng)分別是7,4和14,8的兩個(gè)直角三角形相似D兩個(gè)等腰直角三角形相似【解析】由直角三角形相似判定定理

4、知A，B，D正確【答案】C質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑： 小組合作型相似三角形的判定如圖132，在ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BECD，垂足為E，連接AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且BFEC.圖132(1)求證：ABFEAD；(2)若AB4，BAE30，求AE的長(zhǎng)【精彩點(diǎn)撥】(1)要證ABFEAD，易知12，只需再找一對(duì)角相等，即可利用判定定理1證明兩三角形相似(2)解RtABE可求得AE的長(zhǎng)【自主解答】(1)證明：四邊形ABCD為平行四邊形，12，CD180.又CBFE，BFEBFA180，DBFA，ABFEAD.(2)ABCD，B

5、ECD，ABE90.在RtAEB中，130，AB4，AE .判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，關(guān)鍵是分析已知哪些邊對(duì)應(yīng)成比例，哪些角對(duì)應(yīng)相等，根據(jù)三角形相似的判定定理，還缺少什么條件就推導(dǎo)出這些條件再練一題1如圖133，已知在ABC中，ABAC，A36，BD是角平分線，證明：ABCBDC.圖133【證明】A36，ABAC，ABCC72.又BD平分ABC，ABDCBD36，ACBD.又CC，ABCBDC.證明線段成比例如圖134，已知ABC中，BAC90，ADBC于D，E是AC的中點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線交于F.求證：.圖134【精彩點(diǎn)撥】由條件知：ABACBDAD，轉(zhuǎn)證BDADDFAF，變?yōu)樽CFA

6、DFDB.其中BDAD正是兩對(duì)相似三角形的中間比【自主解答】BAC90，ADBC，CBAD，RtADBRtCDA，.又E是AC的中點(diǎn)，AEDEEC，DAEADE，BADBDF.又FF，F(xiàn)DBFAD.，即.1本題根據(jù)，把欲證明的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明是解題的關(guān)鍵2求證的成比例線段所在的三角形不相似時(shí)，應(yīng)考慮用中間比過(guò)渡，也就是轉(zhuǎn)證其他三角形相似，得到比例線段，最后得證結(jié)論再練一題2如圖135所示，已知梯形ABCD中，ABDC，AC，BD相交于點(diǎn)O，BEAD交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：OA2OCOE.圖135【證明】DCAB，AOBCOD，.又ADBE，ODAOBE，即OA2OCOE.證明兩直線平行如圖1

7、36，D為ABC的邊AB上一點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DEBC，DFAC，AF交DE于G，BE交DF于H，連接GH.求證：GHAB.圖136【精彩點(diǎn)撥】結(jié)合圖形的特點(diǎn)可以先證比例式成立，再證EGHEDB，由此得EHGEBD即可【自主解答】DEBC，即.又DFAC，.，.又GEHDEB，EGHEDB，EHGEBD，GHAB.1由平行線可以得到比例式，由比例式也可以確定兩直線的平行關(guān)系2證明平行關(guān)系時(shí)，可以由引理找到比例式得證，也可以使用平行線的其他判定方法再練一題3.如圖137，在平行四邊形ABCD中，直線EFAB，連接AE，BF，DE，CF，分別交于G，H，連接GH.求證：GHBC.圖137【證明】四邊形A

8、BCD為平行四邊形，ABCD，ABCD.又EFAB，ABEFCD，BAGFEG，DCHEFH，GHBC.構(gòu)建體系1如圖138，銳角三角形ABC的高CD和BE相交于點(diǎn)O，圖中與ODB相似的三角形的個(gè)數(shù)是()圖138A1B2C3D4【解析】BEAC，CDAB，ODB，ABE，ADC，OCE都是直角三角形又DBOEBA，AA，DOBEOC，ODBAEBADC，ODBOEC，與ODB相似的三角形有3個(gè)【答案】C2給出下列四個(gè)命題：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似；一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似；一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形相似其中正確的命題是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】

9、A BCD【解析】都是判定定理，顯然正確，中若相等的角是直角，則不一定相似，故不正確中，若相等的角在一個(gè)三角形中是頂角，在另一個(gè)三角形中是底角，則不一定相似，故不正確【答案】A3如圖139所示，DE與BC不平行，當(dāng)_時(shí)，ABCAED.圖139【解析】ABC與AED有一個(gè)公共角A，當(dāng)A的兩夾邊對(duì)應(yīng)成比例，即時(shí)，這兩個(gè)三角形相似【答案】4如圖1310所示，在ABC中，ACB90，CDAB，AC6，AD3，則AB_.圖1310【解析】在ACD和ABC中，AA，ADCACB90.ACDABC，AB12.【答案】125如圖1311，ABC是等邊三角形，且點(diǎn)E，D在直線BC上，且DAE120，求證：EAB

10、EDA.圖1311【證明】因?yàn)镈AE120，ABC是等邊三角形，所以ABE120DAE，又E為公共角，在EAB和EDA中，有兩組對(duì)應(yīng)角相等，所以EABEDA.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(三)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1如圖1312，在正方形網(wǎng)格上有6個(gè)三角形：ABC，BCD，BDE，BFG，F(xiàn)GH，EFK.其中，中與三角形相似的是()圖1312ABCD【解析】由相似三角形判定定理知選B.【答案】B2如圖1313，在ABC中，M在BC上，N在AM上，CMCN，且，下列結(jié)論中正確的是()圖1313AABMACBBANCAMBCANCACMD

11、CMNBCA【解析】CMCN，CMNCNM.AMBCNMMCN，ANCCMNMCN，AMBANC.又，ANCAMB.【答案】B3如圖1314，正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AFDE于點(diǎn)O，則等于()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】圖1314A. B.C.D.【解析】AFDE，RtDAORtDEA，.【答案】D4如圖1315，在等邊三角形ABC中，E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)D在AC上，使得，則有()圖1315AAEDBEDBAEDCBDCAEDABDDBADBCD【解析】因?yàn)锳C，2，所以AEDCBD.【答案】B5.如圖1316所示，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是ABC中AC，AB邊的中點(diǎn)，BE，CF相交于點(diǎn)G，F(xiàn)G2，則CF的長(zhǎng)為

12、()圖1316A4 B4.5C5D6【解析】E，F(xiàn)分別是ABC中AC，AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)EBC，由相似三角形的預(yù)備定理，得FEGCBG，.又FG2，GC4，CF6.【答案】D二、填空題6如圖1317，BDAE，C90，AB4，BC2，AD3，則DE_，CE_.圖1317【解析】在RtACE和RtADB中，A為公共角，ACEADB，AE8，則DEAEAD5，在RtACE中，CE2.【答案】527如圖1318，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，則AE_.圖1318【解析】由BD，AEBC及ACD90可以推得：RtABERtADC，故AE2.【答案】28.如圖1319，在平行四邊

13、形ABCD中，E在DC上，若DEEC12，則BFBE_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】圖1319【解析】DEEC12，DCEC32，ABEC32.ABEC，ABFCEF，.【答案】35三、解答題9如圖1320，已知ABC中，ABAC，AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過(guò)C作CFAB，延長(zhǎng)BP交AC于E，交CF于點(diǎn)F.求證：PB2PEPF.圖1320【證明】連接PC.ABAC，ABCACB.AD是中線，AD垂直平分BC，PBPC，PBDPCD，ABPACP.又CFAB，ABPFACP，而CPEFPC.PCEPFC，PC2PEPF，即PB2PEPF.10.如圖1321，某市經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)建有B，C，D三個(gè)食品加工廠，這三個(gè)

14、工廠和開(kāi)發(fā)區(qū)A處的自來(lái)水廠正好在一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)上，它們之間有公路相通，且ABCD900米，ADBC1 700米自來(lái)水公司已經(jīng)修好一條自來(lái)水主管道AN，B，C兩廠之間的公路與自來(lái)水主管道交于E處，EC500米若自來(lái)水主管道到各工廠的自來(lái)水管道由各廠負(fù)責(zé)修建，每米造價(jià)800元圖1321(1)要使修建自來(lái)水管道的造價(jià)最低，這三個(gè)工廠的自來(lái)水管道路線應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)？并在圖中畫出該路線；(2)求出各廠所修建的自來(lái)水管道的最低造價(jià)各是多少元？【解】(1)如圖，過(guò)B，C，D分別作AN的垂線段BH，CF，DG交AN于H，F(xiàn)，G，BH，CF，DG即為所求的造價(jià)最低的管道路線(2)在RtABE中，AB900米，B

15、E1 7005001 200米，AE1 500(米)，由ABECFE，得到，即，可得CF300(米)由BHECFE，得，即，可得BH720(米)由ABEDGA，得，即，可得DG1020(米)所以，B，C，D三廠所建自來(lái)水管道的最低造價(jià)分別是720800576 000(元)，300800240 000(元)，1 020800816 000(元)能力提升1.如圖1322所示，要使ACDBCA，下列各式中必須成立的是()圖1322A.B.CAC2CDCBDCD2ACAB【解析】CC，只有，即AC2CDCB時(shí)，才能使ACDBCA.【答案】C2如圖1323所示，AOD90，OAOBBCCD，則下列結(jié)論正確的是()圖1323ADABOCABOABODACBACBDADOACABD【解析】設(shè)OAOBBCCDa，則ABa，BD2a，且ABCDBA，BACBDA.【答案】C3如圖1324所示，BACDCB，CDBABC90，ACa，BCB.當(dāng)BD_時(shí)，ABCCDB.圖1324【解析】由即可得到【答案】4如圖1325所示，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EFEC交AB于F，連接FC(ABAE)圖1325(1)AEF與ECF是否相似？若相似證明你的結(jié)論；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)設(shè)k，是否存在這樣的k值 ，使