概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件(完整版).ppt

1、2,1. 確定性現(xiàn)象和不確定性現(xiàn)象.,2. 隨機現(xiàn)象: 在個別試驗中其結果呈現(xiàn)出不確定性, 在大量重復試驗中其結果又具有統(tǒng)計規(guī)律性.,第一章 概率論的基本概念,前 言,3. 概率與數(shù)理統(tǒng)計的廣泛應用.,3,1.隨機試驗,E1: 拋一枚硬幣，觀察正(H)反(T) 面 的情 況.,E2: 將一枚硬幣拋三次,觀察正反面出現(xiàn)的情況.,E3: 將一枚硬幣拋三次，觀察出現(xiàn)正面的情況.,舉例:,我們將對自然現(xiàn)象的一次觀察或進行一次科學試驗 稱為試驗。,E4: 電話交換臺一分鐘內接到的呼喚次數(shù).,E5: 在一批燈泡中任取一只, 測試它的壽命.,4,隨機試驗: (1) 可在相同的條件下重復試驗; (2) 每次試

2、驗的結果不止一個,且能事先明確所有可能的結果; (3) 一次試驗前不能確定會出現(xiàn)哪個結果.,5,2. 樣本空間與隨機事件,(一) 樣本空間: 定義 隨機試驗E的所有可能結果組成的集合稱為 E的樣本空間, 記為S. 樣本空間的元素稱為樣本點，用表示.,樣本空間的分類:,1.離散樣本空間:樣本點為有限個或可列個. 例 E1,E2等.,2.無窮樣本空間:樣本點在區(qū)間或區(qū)域內取值. 例 燈泡的壽命t|t0.,6,(二) 隨機事件,定義 樣本空間S的子集稱為隨機事件, 簡稱事件. 在一次試驗中, 當且僅當這一子集中的一個樣本點出現(xiàn)時, 稱這一事件發(fā)生.,基本事件:,復合事件:,必然事件:,不可能事件：,

3、由一個樣本點組成的單點集. 如:H,T.,由兩個或兩個以上的基本事件復合而成的事件為復合事件. 如:E3中出現(xiàn)正面次數(shù)為奇數(shù).,樣本空間S是自身的子集，在每次試驗中總是發(fā)生的，稱為必然事件。,空集不包含任何樣本點, 它在每次試驗中都不發(fā)生，稱為不可能事件。,7,例1. 試確定試驗E2中樣本空間, 樣本點的個數(shù), 并給出如下事件的元素: 事件A1=“第一次出現(xiàn)正面”、事件A2=“恰好出現(xiàn)一次正面”、事件A3=“至少出現(xiàn)一次正面”.,8,（三）事件間的關系與事件的運算,1.包含關系和相等關系:,若事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生,則稱件B包含事件A,記作AB. 若A B且A B, 即A=B, 則稱A與

4、B相等.,9,2.和事件:,3.積事件： 事件A B=x|x A 且 x B稱A與B的積，即事件A與B同時發(fā)生. A B 可簡記為AB.,類似地, 事件 為可列個事件A1, A2, .的積事件.,10,4.差事件: 事件A-B=x|xA且xB 稱為A與B的差. 當且僅當 A發(fā)生, B不發(fā)生時事件A-B發(fā)生. 即:,顯然: A-A=, A- =A, A-S= ,11,5.事件的互不相容(互斥):,12,6. 對立事件(逆事件)：,13,7.事件的運算律:,交換律:,結合律:,對偶律:,分配律:,14,例. 甲、乙、丙三人各射擊一次，事件A1,A2,A3分別表示 甲、乙、丙射中，試說明下列事件所表

5、示的結果：,15,3. 概率的概念,一. 古典定義：,等可能概型的兩個特點:,例如:擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).,(1) 樣本空間中的元素只有有限個;,(2) 試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同.,概率的古典定義: 對于古典概型, 樣本空間S1, 2, , n, 設事件A包含S的 k 個樣本點，則事件A的概率定義為,16,古典概型概率的計算步驟:,(1) 選取適當?shù)臉颖究臻gS, 使它滿足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某個子集.,(2) 計算樣本點總數(shù)n及事件A包含的樣本點數(shù)k.,(3) 用下列公式計算:,17,例1. 袋中裝有4只白球和2只紅球. 從袋中摸球兩次,每次任取一球.有兩種

6、式: (a)放回抽樣; (b)不放回抽樣. 求: (1)兩球顏色相同的概率; (2)兩球中至少有一只白球的概率.,例2. 設一袋中有編號為1,2,9的球共9只, 現(xiàn)從中任取3只, 試求: (1)取到1號球的概率,（事件A） (2)最小號碼為5的概率.（事件B）,18,例3. 某接待站在某一周曾接待過12次來訪, 且都是在周二和周四來訪. 問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的?,19,二、幾何定義:,定義,20,定義 當隨機試驗的樣本空間是某個區(qū)域,并且任意一點落在度量 (長度, 面積, 體積) 相同的子區(qū)域是等可能的,則事件 A 的概率可定義為,說明 當古典概型的試驗結果為連續(xù)無窮多個時, 就歸結

7、為幾何概率.,21,例1 甲、乙兩人相約在 0 到 T 這段時間內, 在預 定地點會面. 先到的人等候另一個人, 經(jīng)過時間 t ( tT ) 后離去.設每人在0 到T 這段時間內各時刻 到達該地是等可能的 , 且兩人到達的時刻互不相關. 求甲、乙兩人能會面的概率.,會面問題,22,蒲豐投針試驗,例21777年,法國科學家蒲豐(Buffon)提出了投針 試驗問題.平面上畫有等距離為a(0)的一些平行直 線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為l ( a )的針,試求 針與任一平行直線相交的概率.,23,幾何概型的概率的性質,(1) 對任一事件A ,有,24,三. 統(tǒng)計定義:,(一) 頻率 1. 在相同的條

8、件下, 共進行了n次試驗,事件A發(fā)生的次數(shù)nA, 稱為A的頻數(shù), nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率, 記為fn(A).,3. 頻率的特性: 波動性和穩(wěn)定性.,25,1.定義: 設S是樣本空間, E是隨機試驗. 對于E的每個事件A對應一個實數(shù)P(A), 稱為事件 A的概率, 其中集合函數(shù)P(.)滿足下列條件:,(1) 對任一事件A,有P(A)0; (非負性）,(2) P(S)=1;（規(guī)范性),(3) 設A1,A2,是兩兩互不相容的事件,則有 P(A1 A2 )=P(A1)+P(A2)+ (可列可加性),四. 概率公理化定義:,26,2.概率的性質：,一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB).,

9、27,推廣,28,例4. 設P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列事件的概率:,29,5. 條件概率,(一)條件概率: 設試驗E的樣本空間為S, A, B是事件, 要考慮在A已經(jīng)發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率, 這就是條件概率問題.,例1.老王的妻子一胎生了3個孩子,已知老大是女孩，求另 兩個也都是女孩的概率(假設男孩、女孩出生率相同).,30,2. 性質: 條件概率符合概率定義中的三個條件, 即,此外, 條件概率具有無條件概率類似性質.例如：,31,注,當AS時, P(BS)=P(B), 條件概率化為無條件概率, 因此無條件概率可看成條件概率.,計算條件概率有兩

10、種方法:,1. 公式法：,32,2. 縮減樣本空間法： 在A發(fā)生的前提下, 確定B的縮減樣本空間, 并在其中計算B發(fā)生的概率, 從而得到P(B|A).,例2. 在1, 2, 3, 4, 5這5個數(shù)碼中, 每次取一個數(shù)碼, 取后不放回, 連取兩次, 求在第1次取到偶數(shù)的條件下, 第2次取到奇數(shù)的概率.,33,(二) 乘法公式:,P(AB)0, 則有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).,推廣,34,35,(三) 全概率公式和貝葉斯公式:,1. 樣本空間的劃分,注,(1) 若B1,B2,Bn是樣本空間S的一個劃分, 則每次試驗中, 事件B1, B2, , Bn 中必有一 個且僅有一個

11、發(fā)生.,36,2. 全概率公式:,稱為全概率公式.,3. 貝葉斯公式:,37,例4. 某電子設備廠所用的晶體管是由三家元件制 造廠提供的,數(shù)據(jù)如下: 元件制造廠 次品率 提供的份額 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 (1) 任取一只晶體管,求它是次品的概率. (2) 任取一只,若它是次品,則由三家工廠 生產(chǎn)的概 率分別是多少?,38,例5. 對以往數(shù)據(jù)分析結果表明, 當機器調整得良好 時, 產(chǎn)品的合格率為90%,而當機器發(fā)生某一故障時, 其合格率為30%, 每天早晨機器開動時機器調整良 好的概率為75%, 試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是 合格品時, 機器調整

12、得良好的概率是多少?,39,1.6 獨立性,設A,B是試驗E的兩事件,當P(A)0, 可以定義P(B|A).,一般地, P(B|A)P(B), 但當A的發(fā)生對B的發(fā)生的概 率沒有影響時,有P(B|A)=P(B),由乘法公式有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).,例如 設試驗E為擲甲、乙兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)情況. 設A“甲幣出現(xiàn)H”, B“乙?guī)懦霈F(xiàn)H”, 試求: B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率；A發(fā)生的概率.,1. 定義: 設A,B是兩事件,如果滿足等式 P(AB)=P(A)P(B), 則稱事件A與事件B是相互獨立的事件.,40,由定義可知:,1) 零概率事件與任何事件都是相

13、互獨立的.,2) 由對稱性, A,B相互獨立, 必有B, A 相互獨立.,如果對于任意的k(kn), 任意的1i1i2ikn 都有: P(Ai1Ai2Aik)=P(Ai1)P(Ai2)P(Aik), 則稱這 n個事件相互獨立.,41,3. 定理: 設A,B是兩事件,且P(A)0,則A,B相互獨立 的充要條件是: P(B|A)=P(B).,有關結論:,42,三. 利用獨立性計算古典概率:,1. 計算相互獨立的積事件的概率： 若已知n個事件A1, A2, , An相互獨立，則 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An),2. 計算相互獨立事件的和的概率： 若已知n個事件A1, A2, ,

14、An相互獨立，則,例1. 兩架飛機依次輪番對同一目標投彈, 每次投下一顆炸彈, 每架飛機各帶3顆炸彈, 第1架扔一顆炸彈擊中目標的概率為0.3, 第2架的概率為0.4, 求炸彈未完全耗盡而擊中目標的概率。,43,44,45,第一章 習題課,一、主要內容:,樣本空間,隨機事件,概率定義及性質,古典概型,條件概率,全概率公式,Bayes公式,事件的獨立性,46,二、課堂練習:,1.選擇題: (1)當事件A與B同時發(fā)生,事件C必發(fā)生,則有( ) (A) P(C)=P(AB) (B) P(C)=P(AB) (C) P(C)P(A)+P(B)-1 (D) P(C)P(A)+P(B)-1,47,2. 填空

15、題：,(2) 設兩個事件A, B相互獨立, A, B都不發(fā)生的概率 為1/9, A發(fā)生而B不發(fā)生的概率與B發(fā)生而A不發(fā)生 的概率相等, 則P(A)=_.,3.計算題：,48,設甲箱中有a只白球，b只黑球，乙箱中有c只白球，d只黑球，從甲箱中任取一球放入乙箱中，然后從乙箱中任取一球，試求從乙箱中取得白球的概率。 有n個不同(可辨別)的球，每個球都以同樣的概率1/N被投到N (nN)個箱子中的每一箱中，試求下列事件的概率： (1) 某指定的n個箱子中各一球(A) (2) 恰有n個箱，其中各有一球(B) (3) 某指定箱中恰有m(m n)個球(C) (4) 恰有k個箱子，其中有m個球(D). 3.

16、在一個盒子中混有新舊兩種乒乓球，新的有白球40個，紅球30個，舊球中有白球20個，紅球10個，在這個盒子中任取一球，發(fā)現(xiàn)是新的，求這個球是白球的概率.,49,第二章 隨機變量及其分布,2.1 隨機變量,即X(e)是定義在樣本空間S上的一個實函數(shù),對于不同的試驗結果e, X取不同的值, 由于試驗前不能預料e的取值, 因而X取1還是取0也是隨機的, 故稱X(e)為隨機變量。,50,1. 定義: 設隨機試驗E的樣本空間是S=e, 若對于每一個 eS, 有一個實數(shù)X(e)與之對應, 即X(e)是定義在S上的單 值實函數(shù)，稱為隨機變量。簡記為r.v.,注,(1) 可用隨機變量X描述事件.,反過來, X的

17、一個變化范圍表示一個隨機事件: “2X5”表示事件“擲出的點數(shù)大于2且小于5”.,51,2. 分類：,(2) 隨機變量隨著試驗的結果而取不同的值,在試驗之前不能確切知道它取什么值, 但是隨機變量的取值有一定的統(tǒng)計規(guī)律性概率分布.,(1) 離散型隨機變量;,(2) 非離散型隨機變量,10 連續(xù)型隨機變量,20 奇異型隨機變量,若隨機變量全部可能取到 的值是有限多個或可列無 限多個。,52,2.2 離散型隨機變量的概率分布,53,2. 求分布律的步驟: (1) 明確X的一切可能取值; (2) 利用概率的計算方法計算X取各個確定值的概率, 即可寫出X的分布律.,例1. 設一汽車在開往目的地的道路上需

18、經(jīng)過四盞信號燈,每盞信號燈以概率p禁止汽車通過, 以X表示汽車首次停下時已通過信號燈的盞數(shù), 求X的分布律.(設各信號燈的工作是相互獨立的).,例2. 袋中裝有4只紅球和2只白球,從袋中不放回地逐一地摸球, 直到第一次摸出紅球為止,設X表示到第一次摸出紅球時所摸的次數(shù), 求X的分布律.,54,3.幾種重要的離散型r.v.的分布律：,(一) 0-1分布,(二) 貝努利試驗 (二項分布),55,例1. 設X是n重貝努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù), 成功的概率為p,則X是一個隨機變量, 我們來求它的分布律. 若n=4, 求:PX=k，k=0, 1, 2, 3, 4.,當n=1時, PX=k=pk(1-p

19、)1-k, k=0, 1, 即為0-1分布.,注,56,例2.某種電子元件的使用壽命超過1500小時為一級品, 已知一大批該產(chǎn)品的一級品率為0.2, 從中隨機抽查20只, 求這20只元件中一級品只數(shù)X的分布律.,例3. 某人進行射擊, 每次命中率為0.02, 獨立射擊400次, 試求至少擊中兩次的概率.,57,(三) 泊松分布(Poisson),(2)泊松分布有很多應用.,注,(3)二項分布與泊松分布之間的關系.,58,泊松(Poisson)定理：,泊松定理的意義：,1. 在定理的條件下, 二項分布的極限分布是泊松分布.,2. 當n很大且 p又較小時,59,例5. 設有同類型設備300臺, 各

20、臺工作是相互獨立的, 發(fā)生故障的概率都是0.01, 設一臺設備的故障由一個人處理, 問至少需配備多少工人, 才能保證當設備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01?,60,(四) 幾何分布,例 設某種社會定期發(fā)行的獎券,每券1元,中獎率為p, 某人每次購買1張獎券, 如果沒有中獎下次繼續(xù)再買1張, 直到中獎止, 求購買次數(shù)X的分布律.,若該人共準備購買10次共10元錢, 即如果中獎就停止, 否則下次再購買1張, 直到10元共花完為止, 求購買次數(shù)Y的分布律.,61,3 隨機變量的分布函數(shù),1. 定義：設r.v. X, xR1, 則 F(x)=P Xx 稱為X的分布函數(shù).,(2) 無論是離散型r

21、.v.還是非離散型r.v. ,分布函數(shù)都可以描述其統(tǒng)計規(guī)律性.,注,2. 性質:,(1) F(x)是單調不減函數(shù).,x2x1, F(x2)-F(x1)=Px1Xx2 0.,(2) 0F(x)1, F(-)=0, F(+ )=1.,(3) F(x)至多有可列個間斷點, 而在其間斷點 上也是右連續(xù)的,F(x+0)=F(x).,62,結論,反之，若已知分布函數(shù)求分布律用如下公式求解：,63,64,4. 連續(xù)型隨機變量的概率密度,則稱X為連續(xù)型r.v. f(x)稱為X概率密度函數(shù), 簡稱概率密度.,65,例1. 一個靶子是半徑為2米的圓盤,設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比, 并設

22、射擊都能擊中靶, 以X表示彈著點與圓心的距離. 試求X的分布函數(shù).,66,定義,3. 關于連續(xù)型r.v.的一個重要結論:,定理: 設X為連續(xù)型r.v. 它取任一指定的實數(shù)值a的概率均為0. 即PX=a=0.,67,4.幾個常用的連續(xù)型r.v.分布,(一)均勻分布:,則稱隨機變量X在(a,b)上服從均勻分布,記作XU(a,b).,分布函數(shù)為:,68,(二) 正態(tài)分布:,69,性質:,(2)標準正態(tài)分布:,70,引理:,結論,71,例 設某商店出售的白糖每包的標準全是500克,設每包重量X(以克計)是隨機變量,XN(500,25),求: (1) 隨機抽查一包, 其重量大于510克的概率; (2)

23、隨機抽查一包, 其重量與標準重量之差的絕對值在8克之內的概率; (3 求常數(shù)c,使每包的重量小于c的概率為0.05.,注,(1) 由(x)=0.05怎樣查表求x的值?,(2) 服從正態(tài)分布N(,2)的r.v. X之值基本上落入-2, +2之內, 幾乎全部落入-3, +3內. 特別強調N(0,1)的情況在計算中的應用.,72,(3) 標準正態(tài)分布的上分位點:,73,(三) 負指數(shù)分布:,74,(四) 伽瑪分布:,75,5. 隨機變量的函數(shù)的分布,一、 X為離散型r.v.,76,(2) 若g(x1),g(x2), 中不是互不相等的, 則應將那些相等的值分別合并, 并根據(jù)概率加法公式把相應的pi相加

24、, 就得到了Y的概率分布律.,77,二、X為連續(xù)型r.v.,78,79,(1) 若f(x)在有限區(qū)間a, b以外等于零, 則只需假 設在a, b上g(x)嚴格單調, 選取 =min(g(a), g(b), =max(g(a), g(b).,2.公式法： 定理:設X是連續(xù)型r.v., 具有概率密度f(x),設y=g(x)是x的嚴格單調函數(shù), 且反函數(shù)x=h(y)具有連續(xù)的導函數(shù). 當g(x)嚴格增加時, 記 =g(-), =g(+); 當g(x)嚴格減少時, 記 =g(+), =g(-), 則Y的概率密度為:,說明,(2) 定理中條件y=g(x)是X的嚴格單調函數(shù)是相當 苛刻的,許多常見的函數(shù)都

25、不能滿足, 因此,求隨機 變量的函數(shù)的分布時, 只能按“分布函數(shù)法”直接 求解.,80,例4. r.v.XN(, 2), 證明X的線性函數(shù)Y=aX+b (a0)也服從正態(tài)分布.,81,第二章 習題課,一. 主要內容,二. 課堂練習,1. 甲，乙兩名籃球隊員獨立地輪流投籃，直到某人投中為止，今設甲投中的概率為0.4,乙投中的概率為0.6, 求甲隊員投籃次數(shù)的分布律(設甲先投).,82,83,第三章 多維隨機變量及其分布,1 二維隨機變量,1. 二維r.v.定義: 設E是一個隨機試驗, 樣本空間是 S=e,設X=X(e)和Y=Y(e)是定義在S上的r.v., 由它們構成的一個向量(X, Y), 叫

26、做二維r.v.,2. 二維r.v.(聯(lián)合)分布函數(shù):,84,若將(X, Y)看成平面上隨機點的坐標, 則分布函數(shù)F(x,y)的值為(X,Y)落在陰影部分的概率(如圖1),圖1,圖2,二維r.v.的分布函數(shù)的基本性質與一維r.v.的分布函 數(shù)F(x)的性質類似, 此處從略.,85,3. 下面分別討論二維離散型和連續(xù)型r.v.,(一) 二維離散型r.v.,86,例1. 設r.v. X在1, 2, 3, 4四個整數(shù)中等可能地取值, r.v. Y則在1X中等可能地取一整數(shù), 試求(X, Y)的分布律.,結論,87,(二) 二維連續(xù)型r.v.,88,二維連續(xù)型r.v. (X, Y)落在平面G上概率, 就

27、等于密度函數(shù)f(x, y)在G上的積分, 這就將概率的計算轉化為一個二重積分的計算了.,注,89,2. 邊緣分布,一、邊緣分布函數(shù)：,二、邊緣分布律：,90,91,三、邊緣概率密度:,92,93,3. 條件分布,一、二維離散型r.v.的情況:,94,95,例2 一射擊手進行射擊, 擊中目標的概率為p(0p1), 射擊到擊中目標兩次為止, 設以X表示首次擊中目標進行的射擊次數(shù),以Y表示總共進行的射擊次數(shù),試求X和Y的聯(lián)合分布律和條件分布律.,96,二、二維連續(xù)型r.v.,首先引入條件分布函數(shù),然后得到條件概率密度.,97,進一步可以化為:,98,例3. 設數(shù)X在區(qū)間(0, 1)上隨機地取值, 當

28、觀察到X=x (0x1)時, 數(shù)Y在區(qū)間(x, 1)上隨機地取值, 求Y的概率密度.,99,4. 相互獨立的隨機變量,1.定義:,2.等價定義:,100,例: 設X和Y都服從參數(shù)=1的指數(shù)分布且相互獨立, 試求PX+Y1.,3.命題：設(X, Y)服從二維正態(tài)分布, 則X, Y相互獨立的充要條件是 =0.,4. 一個重要定理:,設(X1, X2, , Xm)和(Y1, Y2, Yn)相互獨立, 則Xi (i=1,2, m)和Yj(j=1,2, n)相互獨立,又若h, g是連續(xù)函數(shù), 則h(x)和g(y)相互獨立.,101,5. 兩個r.v.的函數(shù)的分布,(一) 和(Z=X+Y)的分布:,已知(

29、X,Y)的聯(lián)合密度是f(x, y), 求Z=X+Y的分布密度.,結論,102,例1. 設X和Y相互獨立, 且都服從N(0, 1), 求: Z=X+Y的分布密度.,注,結論:,103,(二) M=max(X,Y)及m=min(X, Y)的分布:,設X,Y相互獨立, 分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y). 求M=max(X,Y)的分布:,104,(三) 利用“分布函數(shù)法”導出兩r.v. 和的分布函數(shù)或密度函數(shù)的公式, 其要點為:,105,(四) 對于離散型r.v. 的函數(shù)的分布:,設X,Y是離散型r.v.且相互獨立, 其分布律分別為: PX=i=pi,i=0,1,2,3, PY=j=qj,j=0,

30、1,2,3, 求Z=X+Y的分布律.,例 設X,Y是相互獨立的r.v., 分別服從參數(shù)為1,2的泊松分布, 試證明Z=X+Y也服從泊松分布.,106,第三章 習題課,一. 主要內容：,(1) 二維r.v.的分布函數(shù), 離散型r.v.的聯(lián)合 分布, 連續(xù)型r.v.的聯(lián)合概率密度.,(2) 邊緣分布函數(shù);邊緣分布律;邊緣概率密度.,(3) 條件分布律; 條件概率密度.,(4) 隨機變量的相互獨立.,(5) 兩個r.v.函數(shù)的分布.,二. 課堂練習：,107,1.設某人從1, 2, 3, 4四個數(shù)中依次取出兩個數(shù),記X為第一次所取出的數(shù), Y為第二次所取出的數(shù), 若第一次取后不放回, 求X和Y的聯(lián)合

31、分布律.,108,109,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,1. 隨機變量的數(shù)學期望,一. 問題引入：,例：某車間生產(chǎn)某種產(chǎn)品，檢驗員每天隨機地抽取n件產(chǎn)品作檢驗，查出的廢品數(shù)是一個隨機變量，它的可能取值為0,1,n. 設檢驗員共查了N天，出現(xiàn)廢品為0, 1, 2, , n的天數(shù)分別為m0,m1,mn,問天出現(xiàn)的廢品的平均值為多少？,110,111,112,3. 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望公式:,113,1. 在已知Y是X的連續(xù)函數(shù)前提下, 當我們求E(Y)時不必知道Y的分布, 只需知道X的分布就可以了.,2. 上述定理可以推廣到多維r.v.函數(shù).,說明,114,4.均值的性質:,(1) E(c)=c;

32、 (c為常數(shù)),(2) E(cX)=cE(X); ( c為常數(shù)),(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y);,(4) 設X,Y相互獨立, 則E(XY)=E(X)E(Y);,(5) |E(XY)|2E(X2)E(Y2). (許瓦爾茲不等式),例3. 設商店經(jīng)銷某種商品的每周需求量X服從區(qū)間10，30上的均勻分布，而進貨量為區(qū)間10，30中的某一個整數(shù)，商店每售一單位商品可獲利500元，若供大于求，則削價處理，每處理一單位商品虧損100元，若供不應求，則從外部調劑供應，此時每售出一單位商品僅獲利300元，求此商店經(jīng)銷這種商品每周進貨量為多少，可使獲利的期望不少于9280元,115,例. 二項分布的

33、均值的計算.,將X分解成數(shù)個r. v. 之和, 然后利用r. v. 和的數(shù)學期望等于r. v.的數(shù)學期望之和來求解. 這個方法具有一定的普遍意義.,說明,116,2. 方差,一. 定義：,117,若X為離散型r.v.其分布律為PX=xk=pk, k=1,2, 則,118,例1. 設隨機變量X具有(0-1)分布, 其分布律 為 PX=0=1-p, PX=1=p, 求: D(X).,119,二、方差的性質及切比雪夫不等式：,1. 性質:,10 設C是常數(shù), 則D(C)=0;,20 設X是r.v., C是常數(shù), 則有 D(CX)=C2D(X);,30 設X, Y是兩個相互獨立的隨機變量, 則有 D(

34、X+Y)=D(X)+D(Y);,40 D(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)C, 即 PX=C=1.,120,2. 切比雪夫不等式:,121,3. 幾種重要r.v.的數(shù)學期望及方差,1. 一些常用的離散型r.v.的均值及方差的計算:,10 0-1分布: (參見例1).,122,2. 一些常用的連續(xù)型r.v.的均值及方差的計算:,123,4. 協(xié)方差和相關系數(shù),124,(i) XY是一個無量綱的量.,(ii) Var(X)=XX.,(iii) 對于任意的兩個r.v.X和Y, 有 D(XY)=D(X)+D(Y) 2Cov(X,Y).,(iv) Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,

35、注,125,(二) 協(xié)方差的性質:,10 Cov(X, Y)=Cov(Y, X);,20 Cov(a1X+b1, a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y), 其 中a1, a2, b1, b2是常數(shù);,30 Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2, Y);,40 |Cov(X, Y)|2D(X)D(Y);,50 若X, Y相互獨立, 則Cov(X, Y)=0.,126,(三) 相關系數(shù)的性質:,127,定義: 若隨機變量X與Y的相關系數(shù)XY=0,則稱X與Y 不相關.,對于隨機變量X和Y, 下列事實等價: (1) Cov(X, Y)=0; X與Y不相關; E(XY)=E(X

36、)E(Y); D(X+Y)=DX+DY.,128,相關系數(shù)XY刻劃了X, Y之間的線性相關關系, 當XY=0時, X,Y不相關指它們之間沒有線性相關關系, 而不是說它們之間沒有任何關系.,說明,129,設(X, Y)服從二維正態(tài)分布, 則X, Y相互獨立的充要條件是=0. 知X與Y不相關與X和Y相互獨立是等價的.,結論,130,5. 矩、協(xié)方差矩陣,一. 定義: 設X和Y是隨機變量,顯然, E(X),E(Y)為一階原點矩, D(X),D(Y)為二階中心矩, XY為二階中心混合矩.,(1) 若E(Xk), k=1, 2, 存在, 則稱它為X的k階原點矩.,(2) 若EX-E(X)k, k=1,

37、2, 存在,則稱它為X的k階中心矩.,(3) 若EXkYl, k, l=1, 2, 存在, 則稱它為X和Y的k+l階混合矩.,(4) 若EX-E(X)kY-E(Y)l, k, l=1, 2,存在, 則稱它為X和Y的k+l階中心混合矩.,131,132,三. 協(xié)方差陣的性質:,10 C是對稱的; (由協(xié)方差的性質Cov(X,Y) =Cov(Y,X), ij= ji可得),20 ii=D(Xi), i=1, 2, 3, , n.,30 ij2 ii jj, i,j=1, 2, , n.(由許瓦爾茲不等式可得),40 C是非負定的, 即對任意的n維向量 a=(a1, a2, , an)T, 都有aT

38、Ca0.,|E(XY)|2E(X2)E(Y2).(許瓦爾茲不等式),133,四. n維正態(tài)變量:,134,2. 性質:,20 n維r.v. (X1, X2, , Xn)服從n維正態(tài)分布的的充要條件是X1, X2, , Xn的任一線性組合l1X1+l2X2+ +ln Xn服從一維正態(tài)分布.,30若(X1, X2, , Xn)服從n維正態(tài)分布, 設Y1,Y2, , Yn是Xj(j=1, 2, , n)的線性函數(shù), 則(Y1, Y2, Yn)也服從多維正態(tài)分布.,40 若(X1, X2, , Xn)服從n維正態(tài)分布, 則“X1, X2, , Xn”相互獨立與“X1, X2, , Xn”兩兩不相關是等

39、價的.,10 n維r.v. (X1, X2, , Xn)的每一個分量Xi,i=1,2,n都是正態(tài)分布；反之，若X1, X2, , Xn的都是正態(tài)分量,且相互獨立，則(X1, X2 , , Xn)服從n維正態(tài)分布.,135,136,第四章 習題課,一. 主要內容:,1. 隨機變量 的數(shù)學期望；函數(shù)的數(shù)學期望；性質.,2. 方差定義; 性質;,3. 幾類常見分布的數(shù)學期望，方差.,5. 相關系數(shù)的定義; 性質.,4. 協(xié)方差定義; 性質.,6. 幾類矩的定義.,二. 課堂練習:,137,1. 一臺設備由三大部件構成, 在設備運轉中各部件需要調整的概率分別為0.1, 0.2和0.3, 假設各部件的狀

40、態(tài)相互獨立, 以X表示同時需要調整的部件數(shù), 試求X的數(shù)學期望和方差.,138,139,第五章 大數(shù)定律及中心極限定理,1. 大數(shù)定律,一. 問題的提出:,提法一: 當n足夠大時, 頻率 與概率p有較大偏差的概率很小. 用數(shù)學語言來講, 就是要證明:對于任意0,140,提法二: 強大數(shù)定律, 即證明：,1. 切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況,設r.v.X1, X2, , Xn, 相互獨立, 且具有相同的數(shù)學期 望和方差:,141,性質:,142,143,2. 中心極限定理,一. 問題提出:,對于獨立隨機變量序列1, 2, , n, ,假定Ei, Di存在, 令,144,1. 獨立同分布的中心極限定理

41、:,設 r.v. Xk(k=1, 2, )相互獨立, 服從同一分布(i.i.d.) 且具有有限的數(shù)學期望和方差:,145,2. 李雅普諾夫定理:,146,3. 德莫佛-拉普拉斯定理:,147,例2. 設某車間有200臺車床, 每臺車床由于種種原因出現(xiàn)停車, 且每臺車床開車的概率為0.6, 假定每臺車床?；蜷_車是相互獨立的. 若每臺車床開車時需消耗1000W電能, 問要以99.9%的概率保證這個車間不致因供電不足而影響生產(chǎn)，需供應多少電能？,148,練習: 1. 抽樣檢查產(chǎn)品質量時，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個，則認為這批產(chǎn)品不能接受，問應檢查多少個產(chǎn)品，可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不能被接受的概率達

42、到0.9? (147個) 2. 一個復雜的系統(tǒng)，由n個相互獨立起作用的部件組成，每個部件的可靠度為0.9，且必須至少有80%的部件工作才能使整個系統(tǒng)工作，問n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠度為0.95? (25個) 3. 設某電話總機要為2000個用戶服務，在最忙時，平均每戶有3%的時間占線，假設各戶是否打電話是相互獨立的，問若想以99%的可能性滿足用戶的要求，最少需要多少條線路？(79條),149,第六章 樣本及抽樣分布,1. 隨機樣本,一. 定義:在統(tǒng)計學中, 我們把所研究的全部元素組成的集 合稱作母體或總體, 總體中的每一個元素稱為個體. (可分 為有限總體和無限總體).,二. 定義:設X是

43、具有分布函數(shù)F的r.v.,若X1, X2,Xn是具 有同一分布函數(shù)F的相互獨立的r.v.,則稱為從分布函數(shù)F (或總體F或總體X)得到的容量為n的簡單隨機樣本, 簡稱 樣本, 它們的觀察值x1,x2, , xn稱為樣本值, 又稱為X的n 個獨立的觀察值.,150,結論,151,2. 抽樣分布,一. 定義: 設X1, X2, , Xn是來自總體X的一個樣本, 又設 g(X1, X2, , Xn)是一個連續(xù)函數(shù), 如果g中不含有未知參 數(shù), 則稱g(X1, X2, , Xn)為統(tǒng)計量.,152,二. 常用的統(tǒng)計量:,153,定義：統(tǒng)計量是樣本的函數(shù), 它是一個隨機變量. 統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.

44、,注,結論,154,三. 幾種常用的統(tǒng)計分布:,2. 分布與2(n)分布的關系：,155,注,3. 2(n)分布的性質：,156,157,(二) t-分布:,說明,158,注,159,(四) F分布:,160,161,例題,0.1,162,四. 正態(tài)總體樣本的均值與樣本方差的分布:,結論,重要定理,163,164,第七章 參數(shù)估計,1. 點估計,一. 問題的提法:,165,二. 矩估計法:,166,樣本矩Ak依概率收斂于相應的總體矩, 而樣本矩的連續(xù)函數(shù)依概率收斂于相應的總體矩的連續(xù)函數(shù).,依據(jù),167,三. 極大似然估計方法:,說明,168,理論依據(jù),169,極大似然估計的求解方法:,170

45、,例2. 設X服從a, b區(qū)間上的均勻分布, 求a和 b的極大似然 估計和矩估計量.,極大似然估計的性質:,171,2. 估計量的評選標準,1 無偏性:,(2)例子,S2是D(X)的無偏估計量.,(3) 有偏估計向無偏估計的轉化：-一般化方法。,172,2有效性:,173,3一致性:,結論,切比雪夫不等式，大數(shù)定律,174,3. 區(qū)間估計,一. 問題引入:,1. 定義:,175,說明,1.置信區(qū)間的直觀含義.,176,二. 求置信區(qū)間的一般思路:,1. 設法構造一個隨機變量Z=Z(X1, X2, , Xn;),除參數(shù) 外, Z不包含其他任何未知參數(shù), Z的分布 已知(或可求 出),并且不依賴于

46、參數(shù), 也不依賴于 其他任何未知參 數(shù).,177,4.正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計,一. 單個正態(tài)總體的均值與方差的區(qū)間估計:,178,二. 兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計:,179,180,三. 兩個總體方差比的置信區(qū)間:,181,5. (0-1)分布參數(shù)的區(qū)間估計,例 設自一大批產(chǎn)品的100個樣品中, 得一級品60個, 求這批產(chǎn)品的一級品率p的置信度為0.95的置信區(qū)間.,182,6. 單側置信區(qū)間,1. 定義:,183,第八章 假設檢驗,1. 假設檢驗,一. 基本思想:,例1. 某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖,包得的袋裝糖重是 一個隨機變量, 它服從正態(tài)分布. 當機器正常時,其均值為 0.5公斤,

47、標準差為0.015公斤. 某日開工后為檢驗包裝機是 否正常,隨機地抽取它所包裝的9袋,稱得凈重為(公斤) 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 問機器是否正常?,184,假設檢驗所采用的方法是一種反正法: 先假設結論成立, 然后在這個結論成立的條件下進行推導和運算, 如果得到矛盾, 則推翻原來的假設, 結論不成立, 這 里的矛盾是與實際推斷原理的矛盾, 即如果 “ 小概率事件在一次試驗中發(fā)生了”, 則認為原假設不成立, 因此, 假設檢驗是一種帶有概率性質的反證法.,基本思想,二. 基本概念與術語:,1. 稱給定的(0 1)為顯著性水平.,185,說明,186,5. 假設檢驗的一般步驟：,187,三. 假設檢驗的兩類錯誤:,1. 第一類錯誤: 如果原假設H0成立,而觀察值落入拒絕域,從而作出拒絕H0的結論,稱作第一類錯誤,又稱“棄真”的錯誤.由定義知, 顯著性水平恰好是犯第一類錯誤的概率.,2. 第二類錯誤: 如果原假設H0不成立, 而觀察值未落入拒絕域,從而作出接受H0的結論,稱作第二類錯誤, 又稱“取偽”的錯誤,通常記作.,188,四. 雙邊假設檢驗和單邊假設檢驗:,189,190,2 正態(tài)總體