函數(shù)的對(duì)稱性(2)

1、.函數(shù)的對(duì)稱性一、有關(guān)對(duì)稱性的常用結(jié)論1、軸對(duì)稱(1)f (x) = f ( x)函數(shù) yf (x) 圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱；(2)函數(shù) yf ( x) 圖象關(guān)于 xa 對(duì)稱f (ax)f (ax)f ( x) f (2 ax)f (x)f (2 ax) ；（ 3）若函數(shù) yf ( x) 定義域?yàn)?r ，且滿足條件 f (a x)f (bx) ，則函數(shù) yf ( x) 的圖象關(guān)于直線 xab2對(duì)稱。2、中心對(duì)稱（ 1） f (x) = f ( x)函數(shù) yf ( x) 圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； .（ 2）函數(shù) yf ( x) 圖象關(guān)于 (a,0)對(duì)稱f (ax)f (a x)f ( x)f (2 a

2、x)f (x)f (2a x) ；（ 3）函數(shù) yf ( x) 圖象關(guān)于 (a,b) 成中心對(duì)稱f ( ax)f (ax)2bf ( 2ax)f (x) 2b（ 4）若函數(shù) yf ( x) 定義域?yàn)?r ，且滿足條件f (ax)f (bx)c （ a,b, c 為常數(shù)），則函數(shù) yf ( x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)( ab , c ) 對(duì)稱。22二、練習(xí)題（一）選擇題1. 已知定義域?yàn)閞的函數(shù) f (x)（8， ）f ( x8) 為偶函數(shù)， 則（）在上為減函數(shù)， 且函數(shù) ya f (6)f (7)b.f (6)f (9)c.f (7)f (9)d.f (7)f (10)2設(shè)函數(shù) yf (x) 定義在實(shí)

3、數(shù)集r 上，則函數(shù) yf (x1) 與 yf (1x) 的圖象關(guān)于（）對(duì)稱。a. 直線 y0b.直線 x 0c.直線 y1d.直線 x13.（中山市09 年高三統(tǒng)考） 偶函數(shù) f ( x) ( xr) 滿足： f (4)f (1) 0 ，且在區(qū)間 0,3 與 3,)上分別遞減和遞增，則不等式xf ( x) 0的解集為（）a (,4)( 4,) ；b ( 4,1)(1,4)c (,4)(1,0)；d (,4)(1,0)(1,4)4. 若函數(shù) f ( x)x2bxc對(duì)一切實(shí)數(shù)都有 f (2x)f ( 2x) ，則（）a.f (2)f (1)f ( 4)b.f (1)f (2)f (4).c.f (

4、2)f (4)f (1)d.f (4)f (2)f (1)5函數(shù) yf ( x) 在(0，2) 上是增函數(shù)， 函數(shù) yf ( x 2)是偶函數(shù)， 則下列結(jié)論中正確的是（）a.f (1)f ( 5)f ( 7 )b.f ( 7)f (1)f ( 5 )2222c. f (7)f (5)f (1)d.f (5)f (7)f (1)22226. 設(shè)函數(shù) f ( x) ( xa) 3 對(duì)任意實(shí)數(shù) x 都有 f( 2 x)f (2 x), 則 f (3)f ( 3)( )a. 124b. 124c.56d.567. 函數(shù) f ( x) 的定義域?yàn)?r ，且滿足 f (12 - x)f ( x) , 方程

5、 f ( x)0 有 n 個(gè)實(shí)數(shù)根，這 n 個(gè)實(shí)數(shù)根的和為1992，那么 n 為（）a. 996b. 498c. 332d. 1168. 設(shè) yf ( x) 是定義 在實(shí)數(shù)集 r 上 的函數(shù)，且滿足f (- x)f ( x) 與 f (4 - x)f ( x)， 若當(dāng)x 0,2時(shí)， f ( x)x 21, 則當(dāng) x 6, 4時(shí)，f (x)（）a.x 21b.(x 2) 21c.(x 4)21d.( x 2) 219.(2009全國卷 ) 函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?r ，若f ( x1) 與 f ( x - 1) 都是奇函數(shù)，則 ()af (x) 是偶函數(shù)b f ( x) 是奇函數(shù)c f (

6、 x)f (x2)d f ( x3) 是奇函數(shù)10.(2009 四川高考 ) 已知函數(shù) f (x) 是定義在實(shí)數(shù)集r 上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x 都有 xf (x 1)(1 x) f ( x) ，則 f ( f ( 5) 的值是 ()125a 0b. 2c 1d. 211.設(shè) f ( x) 是定義在實(shí)數(shù)集 r 上的函數(shù)， 且滿足 f (10 - x) f (10x) 與 f (20 - x)f (20x) ，則 f ( x) 是（）a. 偶函數(shù)，又是周期函數(shù)，b.偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)c. 奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，d.奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)( 二 ) 填空題12.函數(shù) yf ( x1)

7、 為偶函數(shù)，則函數(shù)f ( x) 的圖像的對(duì)稱軸方程為13.函數(shù) yf ( x2) 為奇函數(shù)，則函數(shù)y f ( x) 的圖像的對(duì)稱中心為14. （ 09 年深圳九校聯(lián)考）已知f ( x) 是定義域?yàn)?r 的奇函數(shù)，若當(dāng) x(0,) 時(shí)， f (x) lg x ，則滿足 f ( x)0 的 x 的取值范圍是15.已知 函 數(shù) yf ( x) 是 r 上 的偶 函 數(shù) ， 對(duì) 于 x r 都有 f ( x6)f ( x) f (3) 成 立 ， 且f ( 4)2 ，當(dāng) x1 , x2 0,3 ，且 x1f ( x1 )f (x2 )x2 時(shí)，都有x20 . 則給出下列命題：x1. f (2008)2

8、 ；函數(shù) yf ( x) 圖像的一條對(duì)稱軸為x6 ；函數(shù) yf ( x) 在 9, 6 上為減函數(shù)；方程f ( x)0 在 9,9 上有 4 個(gè)根其中所有正確命題的序號(hào)為_（三）解答題16.設(shè) f (x)x 21, 求 f (x1) 關(guān)于直線 x2 對(duì)稱的曲線方程。17已知函數(shù)f ( x1) 的圖象，通過怎樣的變換可以得到函數(shù)f (x2) 的圖象。18已知實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)f ( x) 滿足 f (1x)f (3x) , 并且方程f ( x)0 有四個(gè)根，求這四個(gè)根之和。19設(shè) f (x)x 21, 若 g( x) 的圖象與yf (x2) 的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1) 對(duì)稱，求 g (x) .參考答案

9、（一）選擇題1 4、ddda5 8、 bacc9、解 : qf ( x1) 與 f (x1)都是奇函數(shù)，f ( x1)f ( x 1), f ( x1)f ( x 1) ，函數(shù) f ( x) 關(guān)于點(diǎn) (1,0) ，及點(diǎn) (1,0)對(duì)稱，函數(shù)f ( x) 是周期 t21( 1)4 的周期函數(shù).f ( x 3)f ( x 1 4)f (x 1)f ( x 1)f ( x 1 4)f ( x 3) ，f (x3)f (x3) ，即 f ( x3)是奇函數(shù)。故選d10、解：若 x 0，則有 f ( x1)1x f (x) 取 x1，1x2則有 f (1 )11f ( 1 )f ( 1)f (1 ) 由

10、此得 f ( 1 )f (1)2022122222135 11于是 f ( 5 )f ( 31)2 f ( 3 )5 f ( 3)5 f ( 11)2 f ( 1) 5 f ( 1 ) 022323232312222故選 a11、 t4 ab4 201040f (x)f (x40)f 10(30x)f 10(30x)f ( x20)f ( x 20 40)f ( x20)f (20 x)f 10(10x)f 10(10x)f ( x)所以為奇函數(shù)。故選c( 二 ) 填空題12、 x113、 (2,0)14、畫出草圖可知x(1,0)(1,)15、在 f ( x6)f ( x)f (3)中令 x3得f ( 3) 0 ，f (3)f ( 3) 0故 f ( x6)f ( x) ,t6 ,f (2008)f (334 64)f (4)f (4)2結(jié)合函數(shù)草圖可知都正確。（三）解答題16、解： yx 210x 2617、解： yf ( x1)右移1個(gè)單位y f ( x)關(guān)于 y軸對(duì)稱y f ( x).