巧用力矩解平衡問題

1、巧用力矩解平衡問題王云波 （上海市育誠高級中學(xué) ）限于知識的難度和學(xué)生的實際情況等，中學(xué)物理中，物體在平面力系作用下保持平衡的問題，常細(xì)化為二力平衡、共點力平衡及有固定轉(zhuǎn)動軸物體的平衡。而重點研究二力平衡、共點力平衡問題。力矩知識主要用來解決有固定轉(zhuǎn)動軸物體的平衡問題或必須選定轉(zhuǎn)動軸才能解決的問題。但是需要指明，物體在平面力系作用下保持平衡的充要條件是：作用于物體的平面力系矢量和為零，對和力作用平面垂直的任意軸的力矩代數(shù)和為零。處于平衡狀態(tài)的的物體，可以是靜平衡，即物體既無平動也無轉(zhuǎn)動保持靜止；也可以是動平衡，即物體做勻速直線運動或勻速轉(zhuǎn)動。因此，受平面力系而處于平衡狀態(tài)的物體，其所受的共點力

2、平衡與力矩平衡是統(tǒng)一在一起的。在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中，碰到既可以用共點力平衡解決又可以用力矩平衡解決的問題時常常比較迷茫，認(rèn)為共點力平衡與力矩平衡是互相排斥的。其實不然，只是平時我們接觸到的問題要么突出共點力，要么突出力矩，而淡化另一方面。當(dāng)有些問題同時需要滿足兩方面條件比較明顯時，平衡的充要條件就突出了。這兩方面是相輔相成的，甚至看似用共點力解決的問題，若換一個角度，用力矩來解則可以獨辟蹊徑，事半功倍。特別在以下幾個方面用力矩往往有獨到的用法。1、共點力平衡問題可以轉(zhuǎn)換為力矩平衡問題情況。當(dāng)物體受力復(fù)雜時且作用點不在一點（此時作用線仍交于一點）時，取受力最復(fù)雜的點為轉(zhuǎn)動軸可以減小分析力的個數(shù)（過轉(zhuǎn)

3、動軸的力矩為零，可以不分析其力）；特別是有兩個以上的物體系統(tǒng)，整體法用力矩平衡解答更簡潔。例1、兩球A、B帶同種電荷，A質(zhì)量為1，帶電為q1，B質(zhì)量為m2，帶電為q2。平衡如圖所示，兩球處于同一水平線上，兩邊q1=q2。則(1)兩小球的質(zhì)量關(guān)系為 ；(2)若A質(zhì)量為1=m，B質(zhì)量為m2=2，則q1和q2關(guān)系是 。ABO解析：用共點力平衡條件，對小球A，受繩拉力T、庫侖力F1、重力m1g作用，建立水平和豎直方向坐標(biāo)系，有F1-Tsinq1=0；Tcosq1-m1g=0，得tgq1=。同理，對B有tgq2=。因為q1=q2，F(xiàn)1=F2，所以tgq1=tgq2，可得m1= m2。此法較繁，若用力矩平

4、衡則很簡。取A、B整體對象，以懸掛點為轉(zhuǎn)動軸，則可以回避兩球間的庫侖力、繩對兩球的拉力，對系統(tǒng)由力矩平衡條件有：m1gLsinq1=m2gLsinq2,因為q1=q2,所以有m1=m2。特別對于第二問，用共點力平衡很繁，用力矩平衡有：m1gLsinq1=m2gLsinq2，m 1=m，m2=2m可得：=2。由此看，用力矩平衡解答此類問題，既減少了分析力的個數(shù)，又可以大大簡化數(shù)學(xué)運算。例2、如圖所示，光滑圓弧形環(huán)上套有兩個質(zhì)量不同的小球A和B兩球之間連有彈簧，平衡時圓心O與球所在位置的連線與豎直方向的夾角分別為和，求兩球質(zhì)量之比。ABON1 N2 N3 m1g N1 m2g解析：此題可以分別分析

5、小球A、B所受共點力，對每個球列共點力平衡方程求解，但是很繁瑣。若換一個角度，以O(shè)為軸用力矩求解則較方便。如右下圖，小球A受到N1、N2、 m1g三個力作用，B受到N1、N3、m2g三個力作用。與彈簧一起看作繞過O點的轉(zhuǎn)動軸平衡問題，其中N2、N3沒有力臂，N1和N1的力矩互相抵消。于是有：m1gRsin=m2gRsin，所以有： 。2、用于求極值情況。一般情況下，由某一物理規(guī)律建立的函數(shù)關(guān)系，再求某一物理量極值問題，函數(shù)關(guān)系要具有非單調(diào)性。因此常見的要么是二次函數(shù)求極值，要么是三角函數(shù)求極值。如此就要建立二次方程或三角方程，然后經(jīng)過數(shù)學(xué)運算求極值。碰到三角函數(shù)，求極值又很難，并且加重了數(shù)學(xué)知

6、識得運用而淡化了物理思想和方法。而用力矩解可以將過轉(zhuǎn)動軸的力不用考慮，不僅減少分析力的個數(shù)，也使建立的方程或函數(shù)關(guān)系由二次變?yōu)橐淮?，從而簡化運算，更突出了物理思維。ABO例3. 如圖所示，質(zhì)量分別為2 m和3m的兩個小球固定在一根直角尺的兩端A、B，直角尺的頂點O處有光滑的固定轉(zhuǎn)動軸。AO、BO的長分別為2L和L。開始時直角尺的AO部分處于水平位置而B在O的正下方。讓該系統(tǒng)由靜止開始自由轉(zhuǎn)動，求：開始轉(zhuǎn)動后B球可能達(dá)到的最大速度vm。解析：球速度最大時就是系統(tǒng)動能最大時，而系統(tǒng)動能增大等于系統(tǒng)重力做的功WG。設(shè)OA從開始轉(zhuǎn)過角時B球速度最大，亦即系統(tǒng)動能最大，有：EkM=2mg2Lsin-3m

7、gL(1-cos)=mgL(4sin+3cos-3)BABOA3mg2mg求該EkM的極值，得=530再代入原方程，。解此方程包含求三角方程及求極值，比較繁瑣。若另辟蹊徑，從力矩角度則可使問題簡化。實際上，當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動角速度最大時亦即兩球速度最大時，此時系統(tǒng)所受合力矩為零(每個小球受力并不平衡，其所受合力充當(dāng)向心力)。對系統(tǒng)，取O點為軸，力矩平衡時設(shè)轉(zhuǎn)過有角，有：3mgLsin=2mg2Lcos,得tg=4/3, =530再代入=2mg2Lsin-3mgL(1-cos)亦可得結(jié)果，但是避免了數(shù)學(xué)的繁雜運算，突出了物理思想。OACBE例4已知如圖，勻強電場方向水平向右，場強E=1.5106V/m，

8、絲線長l=40cm，上端系于O點，下端系質(zhì)量為m=1.010-4kg，帶電量為q=+4.910-10C的小球，將小球從最低點A由靜止釋放，求：小球擺到最高點時絲線與豎直方向的夾角多大？擺動過程中小球的最大速度是多大？(g=9.8m/s2)解析：設(shè)向右擺最大至角，對小球應(yīng)用動能定理，有：qELsin-mgL(1-cos)=0,整理并代入數(shù)據(jù)得0.75sin+cos-1=0，可求得740。（2）又設(shè)擺至角時速度最大，有qELsin-mgL(1-cos)=，引入中間量，令tg=,可得，因為=，從而得=530,即=370時，速度極值為vM=1.4m/s。顯然，此法非常繁瑣，且主要工作在解三角方程上了，

9、背離物理意義太遠(yuǎn)。在解決第二問時，若將小球看作受重力和電場力關(guān)于懸點力矩平衡求解則大大簡化。設(shè)角時速度最大，也即力矩平衡，有qELcos=mgLsin，得tg=0.75,得=370。由動能定理得最大速度vM=1.4m/s。F O m例5半徑分別為r和2r的兩個質(zhì)量不計的圓盤，共軸固定連結(jié)在 一起，可以繞水平軸O無摩擦轉(zhuǎn)動，大圓盤的邊緣上固定有一個質(zhì)量為m的質(zhì)點，小圓盤上繞有細(xì)繩。開始時圓盤靜止， 質(zhì)點處在水平軸O的正下方位置?，F(xiàn)以水平恒力F拉細(xì)繩， 使兩圓盤轉(zhuǎn)動，若恒力 F=mg，兩圓盤轉(zhuǎn)過的角度= 時，質(zhì)點m的速度最大。若圓盤轉(zhuǎn)過的最大角度=/3，則此時恒力F= 。解析：此題若用函數(shù)極值法,

10、由動能定理有：=Fr-mg(2r-2rcos)，可得v=,然后求極值，很難求。換用力矩平衡條件，對盤、質(zhì)點整體，以O(shè)為軸，當(dāng)Fr=mg2Rsin時，轉(zhuǎn)速最大即質(zhì)點速度最大，得sin=，所以有=。當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)過最大角度=時，由動能定理有 ，可得F=。3、有時一個平面力系不是共點力，如果不經(jīng)轉(zhuǎn)化，無法用共點力平衡條件，只能用力矩平衡解答。因為選取轉(zhuǎn)動軸后，可以不分析軸上的力，使得分析力的個數(shù)減少了。而選取不同的轉(zhuǎn)動軸可以避開分析不同的力，從而使問題簡化。例6、如右上圖，半徑為R的均勻圓柱體重30 N，在水平繩的拉力作用下，靜止于固定斜面上，求：(1)繩子的拉力，(2)斜面對圓柱體的支持力，(3)斜面對圓柱體的摩擦力。解析：如右下圖，圓柱體受重力、斜面的支持力和摩擦力、繩拉力四個力。此四力不是共點力。不可以將繩拉力T，摩擦力f平移到柱體重心處。用共