解析幾何知識(shí)點(diǎn)

1、解析幾何1.直線的傾斜角：在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于一條與軸相交的直線,如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為,那么就叫做直線的傾斜角.當(dāng)直線與軸重合或平行時(shí),規(guī)定傾斜角為.傾斜角的范圍.2.直線的斜率：(1)定義：傾斜角不是的直線,它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率,即tan();傾斜角為的直線沒(méi)有斜率.(2)斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、的直線的斜率為.(3)應(yīng)用：證明三點(diǎn)共線：.3.直線的方程：(1)點(diǎn)斜式：已知直線過(guò)點(diǎn)斜率為,則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線. 說(shuō)明: 這個(gè)方程是由直線上一點(diǎn)和斜率確定的;當(dāng)直線的傾斜角為時(shí),直線方程為;當(dāng)直線傾斜角為時(shí),直線沒(méi)有斜率,它

2、的方程不能用點(diǎn)斜式表示,這時(shí)直線方程為:.(2)斜截式：已知直線在軸上的截距為和斜率,則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線. 說(shuō)明: 為直線在軸上截距;斜截式方程可由過(guò)點(diǎn)的點(diǎn)斜式方程得到;當(dāng)時(shí),斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式.(3)兩點(diǎn)式：已知直線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn),則直線方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線.說(shuō)明: 這個(gè)方程由直線上兩點(diǎn)確定;當(dāng)直線沒(méi)有斜率()或斜率為時(shí),不能用兩點(diǎn)式求出它的方程;但把兩點(diǎn)式化為整式形式,就可以利用它來(lái)求出過(guò)平面內(nèi)任意兩個(gè)已知點(diǎn)的直線的方程:若,則有,即;若,則有,即.(4)截距式：已知直線在軸和軸上的截距為,則直線方程為,它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過(guò)原點(diǎn)的直線.說(shuō)

3、明: 該直線方程由直線在軸和軸上截距確定,所以叫做直線方程的截距式;截距式的推導(dǎo)可以通過(guò)直線的兩點(diǎn)式來(lái)實(shí)現(xiàn);在利用直線的截距式求解直線方程時(shí)要注意截距相等、截距的絕對(duì)值相等、截距成多少倍或互為相反數(shù)時(shí),不要忘記直線過(guò)原點(diǎn)的特殊情況.(5)一般式：任何直線均可寫成(不同時(shí)為)的形式.4.設(shè)直線方程的一些常用技巧：(1)知直線縱截距,常設(shè)其方程為.(2)知直線橫截距,常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為的直線).(3)知直線過(guò)點(diǎn),當(dāng)斜率存在時(shí),常設(shè)其方程為,當(dāng)斜率不存在時(shí),則其方程為.(4)與直線平行的直線可表示為.(5)與直線垂直的直線可表示為.(6)過(guò)兩直線,的交點(diǎn)直線系： (注: 該直線系不含.)

4、提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式,利用待定系數(shù)法求解.5.點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離： (1)兩點(diǎn)的距離(2)點(diǎn)到直線的距離.(3)兩平行線間的距離為.6.直線與直線的位置關(guān)系：(1)平行(斜率)且或.(2)相交.(3)重合且,.提醒：(1)、僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件！為什么？(2)在解析幾何中,研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系時(shí),有可能這兩條直線重合,而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線.(3)直線與直線垂直.7.到角和夾角公式：(1)到的角是指直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到和直線重合所轉(zhuǎn)的角,且().(2)與的夾角是指不大于直角的角且()提醒

5、：解析幾何中角的問(wèn)題常用到角公式或向量知識(shí)求解.8.對(duì)稱(中心對(duì)稱和軸對(duì)稱)問(wèn)題代入法. (1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題-抓住中點(diǎn)關(guān)系. (2)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題-抓住斜率關(guān)系及中點(diǎn)關(guān)系. (3)曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題-利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題). (4)曲線關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題-利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題).提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對(duì)稱求解.9.圓的方程：(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：.(2)圓的一般方程：,提醒：只有當(dāng)時(shí),方程才表示圓心為,半徑為的圓(二元二次方程表示圓的充要條件是什么？(且且).(3)為直徑端點(diǎn)的圓方程.10.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：已知點(diǎn)及圓

6、.(1)點(diǎn)在圓外.(2)點(diǎn)在圓內(nèi).(3)點(diǎn)在圓上.11.直線與圓的位置關(guān)系：直線和圓 有相交、相離、相切.可從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面來(lái)判斷：(1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：則相交;相離;相切.(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為,則相交;相離;相切.提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡(jiǎn)捷.12.圓與圓的位置關(guān)系(用兩圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷)：已知兩圓的圓心分別為,半徑分別為,則(1)當(dāng)時(shí),兩圓外離; (2)當(dāng)時(shí),兩圓外切;(3)當(dāng)時(shí),兩圓相交; (4)當(dāng)時(shí),兩圓內(nèi)切;(5)當(dāng)時(shí),兩圓內(nèi)含.13.圓的切線與弦長(zhǎng)：(1)切線

7、：過(guò)圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：,過(guò)圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：,一般地,如何求圓的切線方程？(抓住圓心到直線的距離等于半徑);從圓外一點(diǎn)引圓的切線一定有兩條,可先設(shè)切線方程,再根據(jù)相切的條件,運(yùn)用幾何方法(抓住圓心到直線的距離等于半徑)來(lái)求;過(guò)兩切點(diǎn)的直線(即“切點(diǎn)弦”)方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓,該圓與已知圓的公共弦就是過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程;切線長(zhǎng)：過(guò)圓()外一點(diǎn)所引圓的切線的長(zhǎng)為().(2)弦長(zhǎng)問(wèn)題：圓的弦長(zhǎng)的計(jì)算：常用弦心距,弦長(zhǎng)一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來(lái)解：;過(guò)兩圓、交點(diǎn)的圓(公共弦)系為,時(shí),方程表示:兩圓相交時(shí)的公共弦方程、兩圓外切時(shí)的內(nèi)公切線、兩圓內(nèi)切時(shí)

8、的外公切線.14.解決直線與圓的關(guān)系問(wèn)題時(shí),要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長(zhǎng)定理、割線定理、弦切角定理等等).15.動(dòng)點(diǎn)軌跡方程：(1)求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍;(2)求軌跡方程的常用方法：直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系.待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型,求曲線方程先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù).定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線,再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.相關(guān)點(diǎn)法：動(dòng)點(diǎn)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)的變化而變化,并且又在某已知曲線上,則可先用的代數(shù)式表示,再將代入已知曲線得要求的軌跡方

9、程.參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到,也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí),可考慮將均用一中間變量(參數(shù))表示,得參數(shù)方程,再消去參數(shù)得普通方程.16.空間直角坐標(biāo)系(1)定義:以空間中兩兩互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線分別為軸、軸、軸,這是就說(shuō)建立了空間直角坐標(biāo)系,其中點(diǎn)叫做坐標(biāo)原點(diǎn), 軸、軸、軸叫做坐標(biāo)軸.通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面,分別稱為平面、平面、平面.(2)畫法:在平面上畫空間直角坐標(biāo)系時(shí),一般使.(3)坐標(biāo):設(shè)點(diǎn)為空間的一個(gè)定點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作垂直與軸、軸和軸的平面,依次交軸、軸和軸于點(diǎn)和.設(shè)點(diǎn)和在軸、軸和軸上的坐標(biāo)分別是和,那么點(diǎn)就和有序?qū)崝?shù)組是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,有序?qū)崝?shù)組叫做點(diǎn)在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作.其中叫做點(diǎn)的橫坐標(biāo),叫做點(diǎn)的縱坐標(biāo),叫做點(diǎn)的豎坐標(biāo).(4)說(shuō)明:本書建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系,即在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向軸的正方向,食指指向軸的正方向,如果中指指向軸的正方向,則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系;建立空間直角坐標(biāo)系要記住三要素:原點(diǎn)、坐標(biāo)軸方向、單位長(zhǎng)度;特殊點(diǎn)的坐標(biāo):原點(diǎn);軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,;坐標(biāo)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)分別為. (5)對(duì)稱:在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),則有 點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是; 點(diǎn)關(guān)于橫軸