人教版高一數(shù)學(xué)必修一各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、人教版高一數(shù)學(xué)必修一各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、集合與簡(jiǎn)易邏輯： 一、理解集合中的有關(guān)概念 （1）集合中元素的特征： 確定性 ， 互異性 ， 無(wú)序性 。 （2）集合與元素的關(guān)系用符號(hào)=表示。 （3）常用數(shù)集的符號(hào)表示：自然數(shù)集 ；正整數(shù)集 ；整數(shù)集 ；有理數(shù)集 、實(shí)數(shù)集 。 （4）集合的表示法： 列舉法 ， 描述法 ， 韋恩圖 。 （5）空集是指不含任何元素的集合。 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 二、函數(shù) 一、映射與函數(shù)： （1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函數(shù)的概念： 二、函數(shù)的三要素：相同函數(shù)的判斷方法：對(duì)應(yīng)法則 ；定義域 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備) （1）函數(shù)解析式的求法： 定

2、義法（拼湊）：換元法：待定系數(shù)法：賦值法： （2）函數(shù)定義域的求法： 含參問(wèn)題的定義域要分類討論； 對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，在求出函數(shù)解析式后；必須求出其定義域，此時(shí)的定義域要根據(jù)實(shí)際意義來(lái)確定。（3）函數(shù)值域的求法： 配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來(lái)求值；常轉(zhuǎn)化為型如： 的形式； 逆求法（反求法）：通過(guò)反解，用 來(lái)表示 ，再由 的取值范圍，通過(guò)解不等式，得出 的取值范圍；常用來(lái)解，型如： ； 換元法：通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想； 三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來(lái)求值域； 基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如： ，利用平均值不等式公式來(lái)求值域； 單調(diào)性法：函數(shù)

3、為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。 數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來(lái)求值域。 三、函數(shù)的性質(zhì)： 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性 單調(diào)性：定義：注意定義是相對(duì)與某個(gè)具體的區(qū)間而言。 判定方法有：定義法（作差比較和作商比較） 導(dǎo)數(shù)法（適用于多項(xiàng)式函數(shù)） 復(fù)合函數(shù)法和圖像法。 應(yīng)用：比較大小，證明不等式，解不等式。 奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，比較f(x) 與f(-x)的關(guān)系。f(x) f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為偶函數(shù)； f(x)+f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為奇函數(shù)。 判別方法：定義法， 圖像法 ，復(fù)合函數(shù)法 應(yīng)用：把函數(shù)

4、值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。 周期性：定義：若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+T)=f(x),則T為函數(shù)f(x)的周期。 其他：若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+a)=f(xa),則2a為函數(shù)f(x)的周期. 應(yīng)用：求函數(shù)值和某個(gè)區(qū)間上的函數(shù)解析式。 四、圖形變換：函數(shù)圖像變換：（重點(diǎn)）要求掌握常見基本函數(shù)的圖像，掌握函數(shù)圖像變換的一般規(guī)律。 常見圖像變化規(guī)律：（注意平移變化能夠用向量的語(yǔ)言解釋，和按向量平移聯(lián)系起來(lái)思考） 平移變換 y=f(x)y=f(x+a),y=f(x)+b 注意：（）有系數(shù)，要先提取系數(shù)。如：把函數(shù)yf(2x)經(jīng)過(guò) 平移得到函數(shù)yf(2x4)的圖象。 （）會(huì)

5、結(jié)合向量的平移，理解按照向量 （m，n）平移的意義。 對(duì)稱變換 y=f(x)y=f(x),關(guān)于y軸對(duì)稱 y=f(x)y=f(x) ,關(guān)于x軸對(duì)稱 y=f(x)y=f|x|,把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱 y=f(x)y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關(guān)于y軸對(duì)稱。（注意：它是一個(gè)偶函數(shù)） 伸縮變換：y=f(x)y=f(x), y=f(x)y=Af(x+)具體參照三角函數(shù)的圖象變換。 一個(gè)重要結(jié)論：若f(ax)f(a+x)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱； 五、反函數(shù)： （1）定義： （2）函數(shù)存在反函數(shù)的條件：（3）互為反函數(shù)的定義域與值域的

6、關(guān)系：（4）求反函數(shù)的步驟：將 看成關(guān)于 的方程，解出 ，若有兩解，要注意解的選擇；將 互換，得 ；寫出反函數(shù)的定義域（即 的值域）。 （5）互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系：（6）原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性； （7）原函數(shù)為奇函數(shù)，則其反函數(shù)仍為奇函數(shù)；原函數(shù)為偶函數(shù)，它一定不存在反函數(shù)。 七、常用的初等函數(shù)： （1）一元一次函數(shù)：（2）一元二次函數(shù)： 一般式兩點(diǎn)式頂點(diǎn)式二次函數(shù)求最值問(wèn)題：首先要采用配方法，化為一般式， 有三個(gè)類型題型： (1)頂點(diǎn)固定，區(qū)間也固定。如： (2)頂點(diǎn)含參數(shù)(即頂點(diǎn)變動(dòng))，區(qū)間固定，這時(shí)要討論頂點(diǎn)橫坐標(biāo)何時(shí)在區(qū)間之內(nèi)，何時(shí)在區(qū)間之外。 (3)頂點(diǎn)固定，區(qū)間變動(dòng)，這

7、時(shí)要討論區(qū)間中的參數(shù) 等價(jià)命題 在區(qū)間 上有兩根 在區(qū)間 上有兩根 在區(qū)間 或 上有一根 注意：若在閉區(qū)間 討論方程 有實(shí)數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間 上實(shí)根分布的情況，得出結(jié)果，在令 和 檢查端點(diǎn)的情況。 （3）反比例函數(shù)： （4）指數(shù)函數(shù)： 指數(shù)函數(shù)：y= (ao,a1)，圖象恒過(guò)點(diǎn)（0，1），單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對(duì)a分a1和0ao,a1) 圖象恒過(guò)點(diǎn)（1，0），單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對(duì)a分a1和0a0，則 。即不等式兩邊同號(hào)時(shí)，不等式兩邊取倒數(shù)，不等號(hào)方向要改變。 如果對(duì)不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)代數(shù)式，要注意它的正負(fù)號(hào)，如果正負(fù)號(hào)未定，要注意分類討論。 圖象法

8、：利用有關(guān)函數(shù)的圖象（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)的圖象），直接比較大小。 中介值法：先把要比較的代數(shù)式與“0”比，與“1”比，然后再比較它們的大小 二、均值不等式：兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 基本應(yīng)用：放縮，變形； 求函數(shù)最值：注意：一正二定三相等；積定和最小，和定積最大。 常用的方法為：拆、湊、平方； 三、絕對(duì)值不等式： 注意：上述等號(hào)“”成立的條件； 四、常用的基本不等式： 五、證明不等式常用方法： （1）比較法：作差比較： 作差比較的步驟： 作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)（或式）作差。 變形：對(duì)差進(jìn)行因式分解或配方成幾個(gè)數(shù)（或式）的完全平方和。 判斷差的符號(hào)：結(jié)合

9、變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)。 注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以通過(guò)它們的平方差來(lái)比較大小。 （2）綜合法：由因?qū)Ч?（3）分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證只需證，只需證 （4）反證法：正難則反。 （5）放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。 放縮法的方法有： 添加或舍去一些項(xiàng)，將分子或分母放大（或縮?。?利用基本不等式，（6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。（7）構(gòu)造法：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來(lái)證明不等式； 十、不等式的解法： （1）一元二次不等式： 一元二次不等式二次項(xiàng)系數(shù)小于零的，同

10、解變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零；注：要對(duì) 進(jìn)行討論： （2）絕對(duì)值不等式：若 ，則 ； ； 注意：(1）解有關(guān)絕對(duì)值的問(wèn)題，考慮去絕對(duì)值，去絕對(duì)值的方法有： 對(duì)絕對(duì)值內(nèi)的部分按大于、等于、小于零進(jìn)行討論去絕對(duì)值；(2).通過(guò)兩邊平方去絕對(duì)值；需要注意的是不等號(hào)兩邊為非負(fù)值。 (3）.含有多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式可用“按零點(diǎn)分區(qū)間討論”的方法來(lái)解。 （4）分式不等式的解法：通解變形為整式不等式； （5）不等式組的解法：分別求出不等式組中，每個(gè)不等式的解集，然后求其交集，即是這個(gè)不等式組的解集，在求交集中，通常把每個(gè)不等式的解集畫在同一條數(shù)軸上，取它們的公共部分。 （6）解含有參數(shù)的不等式： 解含參數(shù)的不

11、等式時(shí)，首先應(yīng)注意考察是否需要進(jìn)行分類討論.如果遇到下述情況則一般需要討論： 不等式兩端乘除一個(gè)含參數(shù)的式子時(shí)，則需討論這個(gè)式子的正、負(fù)、零性. 在求解過(guò)程中，需要使用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，則需對(duì)它們的底數(shù)進(jìn)行討論. 在解含有字母的一元二次不等式時(shí)，需要考慮相應(yīng)的二次函數(shù)的開口方向，對(duì)應(yīng)的一元二次方程根的狀況（有時(shí)要分析），比較兩個(gè)根的大小,設(shè)根為 （或更多）但含參數(shù)，要討論。 十一、數(shù)列 本章是高考命題的主體內(nèi)容之一，應(yīng)切實(shí)進(jìn)行全面、深入地復(fù)習(xí)，并在此基礎(chǔ)上，突出解決下述幾個(gè)問(wèn)題：（1）等差、等比數(shù)列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個(gè)數(shù)列的前 項(xiàng)和 ，則其通項(xiàng)為 若 滿足

12、則通項(xiàng)公式可寫成 .（2）數(shù)列計(jì)算是本章的中心內(nèi)容，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 項(xiàng)和公式及其性質(zhì)熟練地進(jìn)行計(jì)算，是高考命題重點(diǎn)考查的內(nèi)容.（3）解答有關(guān)數(shù)列問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想.善于使用各種數(shù)學(xué)思想解答數(shù)列題，是我們復(fù)習(xí)應(yīng)達(dá)到的目標(biāo). 函數(shù)思想：等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式都可以看作是 的函數(shù)，所以等差等比數(shù)列的某些問(wèn)題可以化為函數(shù)問(wèn)題求解. 分類討論思想：用等比數(shù)列求和公式應(yīng)分為 及 ；已知 求 時(shí)，也要進(jìn)行分類； 整體思想：在解數(shù)列問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢(shì)，運(yùn)用整 體思想求解. （4）在解答有關(guān)的數(shù)列應(yīng)用題時(shí)，要認(rèn)真地進(jìn)行分析，將實(shí)際問(wèn)題抽象化，轉(zhuǎn)

13、化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再利用有關(guān)數(shù)列知識(shí)和方法來(lái)解決.解答此類應(yīng)用題是數(shù)學(xué)能力的綜合運(yùn)用，決不是簡(jiǎn)單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關(guān)的等比數(shù)列的第幾項(xiàng)不要弄錯(cuò). 一、基本概念： 1、 數(shù)列的定義及表示方法： 2、 數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)： 3、 有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列： 4、 遞增（減）、擺動(dòng)、循環(huán)數(shù)列： 5、 數(shù)列an的通項(xiàng)公式an： 6、 數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn: 7、 等差數(shù)列、公差d、等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)： 8、 等比數(shù)列、公比q、等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)： 二、基本公式： 9、一般數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：an= 10、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a

14、1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)) 當(dāng)d0時(shí)，an是關(guān)于n的一次式；當(dāng)d=0時(shí)，an是一個(gè)常數(shù)。 11、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn= Sn= Sn= 當(dāng)d0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0；當(dāng)d=0時(shí)（a10），Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。 12、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)，an0) 13、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式)； 當(dāng)q1時(shí)，Sn= Sn= 三、有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論 14、等差數(shù)列an的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m

15、 - S3m、仍為等差數(shù)列。 15、等差數(shù)列an中，若m+n=p+q，則 16、等比數(shù)列an中，若m+n=p+q，則 17、等比數(shù)列an的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍為等比數(shù)列。 18、兩個(gè)等差數(shù)列an與bn的和差的數(shù)列an+bn、an-bn仍為等差數(shù)列。 19、兩個(gè)等比數(shù)列an與bn的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列 an bn、 、 仍為等比數(shù)列。 20、等差數(shù)列an的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。 21、等比數(shù)列an的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。 22、三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a

16、-d,a+d,a+3d 23、三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：a/q,a,aq； 四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3 24、an為等差數(shù)列，則 (c0)是等比數(shù)列。 25、bn（bn0）是等比數(shù)列，則logcbn (c0且c 1) 是等差數(shù)列。 四、數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。關(guān)鍵是找數(shù)列的通項(xiàng)結(jié)構(gòu)。 26、分組法求數(shù)列的和：如an=2n+3n 27、錯(cuò)位相減法求和：如an=(2n-1)2n 28、裂項(xiàng)法求和：如an=1/n(n+1) 29、倒序相加法求和：30、求數(shù)列an的最大、最小項(xiàng)的方法： an+1-an= 如an= -2n2+29n-3 a

17、n=f(n) 研究函數(shù)f(n)的增減性 31、在等差數(shù)列 中,有關(guān)Sn 的最值問(wèn)題常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解： (1)當(dāng) 0,d0時(shí)，滿足 的項(xiàng)數(shù)m使得 取最大值. (2)當(dāng) 0時(shí)，滿足 的項(xiàng)數(shù)m使得 取最小值。 在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。 十二、平面向量 1基本概念： 向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。 2 加法與減法的代數(shù)運(yùn)算： (1)若a=（x1,y1 ）,b=（x2,y2 ）則a b=（x1+x2,y1+y2 ） 向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。 向量加法有如下規(guī)律： = (交換律); +( +c)=( + )+

18、c （結(jié)合律）; 3實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù) 與向量 的積是一個(gè)向量。 (1) = ; (2) 當(dāng) a0時(shí)， 與a的方向相同；當(dāng)a0時(shí)， 與a的方向相反；當(dāng) a=0時(shí)，a=0 兩個(gè)向量共線的充要條件： (1) 向量b與非零向量 共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù) ，使得b= (2) 若 =（ ）,b=（ ）則 b 平面向量基本定理： 若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) ， ，使得 = e1+ e2 4P分有向線段 所成的比： 設(shè)P1、P2是直線 上兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是 上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)，則存在一個(gè)實(shí)數(shù) 使 = ， 叫做點(diǎn)P分有向線段 所成

19、的比。 當(dāng)點(diǎn)P在線段 上時(shí)， 0；當(dāng)點(diǎn)P在線段 或 的延長(zhǎng)線上時(shí)， 0； 分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若 = ； 的坐標(biāo)分別為（ ）,（ ）,（ ）；則 （ 1）， 中點(diǎn)坐標(biāo)公式： 5 向量的數(shù)量積： （1）向量的夾角： 已知兩個(gè)非零向量 與b，作 = , =b,則AOB= （ ）叫做向量 與b的夾角。 （2）兩個(gè)向量的數(shù)量積： 已知兩個(gè)非零向量 與b，它們的夾角為 ，則 b= bcos 其中bcos 稱為向量b在 方向上的投影 （3）向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 若 =（ ）,b=（ ）則e = e= cos (e為單位向量); b b=0 （ ，b為非零向量）; = ; cos = = (4) 向量的數(shù)量積的運(yùn)算律： b=b ;( )b= ( b)= ( b);( b)c= c+bc 6.主要思想與方法： 本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn)，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問(wèn)題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運(yùn)用共線向量和平面向量的基本定理，計(jì)算向量的模、兩點(diǎn)的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，