分式方程的概念解法及應(yīng)用

1、 分式方程的解法及應(yīng)用一、目標與策略 明確學(xué)習(xí)目標及主要的學(xué)習(xí)方法是提高學(xué)習(xí)效率的首要條件，要做到心中有數(shù)！學(xué)習(xí)目標：l 分式方程的概念以及解法；l 分式方程產(chǎn)生增根的原因；l 分式方程的應(yīng)用題。重點難點：l 重點：分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的方法及其中的轉(zhuǎn)化思想，用分式方程解決實際問題，能從實際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系l 難點：檢驗分式方程解的原因，實際問題中數(shù)量關(guān)系的分析學(xué)習(xí)策略：l 經(jīng)歷“實際問題分式方程整式方程”的過程，發(fā)展分析問題、解決問題的能力，滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。二、學(xué)習(xí)與應(yīng)用“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢”?？茖W(xué)地預(yù)習(xí)才能使我們上課聽講更有目的性和針對性。我們要在預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)

2、上，認真聽講，做到眼睛看、耳朵聽、心里想、手上記。知識回顧復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)新知識之前，看看你的知識貯備過關(guān)了嗎？（一）什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有 的 叫做方程使方程兩邊相等的 的值，叫做方程的解（二）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）同一個 ，分式的值不變，這個性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)用式子表示是：（其中M是不等于0的整式）（三）等式的基本性質(zhì)：等式的兩邊都乘（或除以）同一個數(shù)或 （除數(shù)不能為0），所得的結(jié)果仍是等式。（四）解下列方程：（1）93x5x5；（2）知識要點預(yù)習(xí)和課堂學(xué)習(xí)認真閱讀、理解教材，嘗試把下列知識要點內(nèi)容補充完整，帶著自己預(yù)習(xí)的疑惑認真聽課學(xué)習(xí)。請在虛線部分填寫

3、預(yù)習(xí)內(nèi)容，在實線部分填寫課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容。課堂筆記或者其它補充填在右欄。詳細內(nèi)容請參看網(wǎng)校資源ID：#tbjx5#知識點一：分式方程的定義 里含有未知數(shù)的方程叫分式方程。要點詮釋：（1）分式方程的三個重要特征：是 ；含有 ；分母里含有 。（2）分式方程與整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有 （不是一般的字母系數(shù)），分母中含有未知數(shù)的方程是 ，不含有未知數(shù)的方程是 方程，如：關(guān)于的方程和都是 方程，而關(guān)于的方程和都是 方程。知識點二：分式方程的解法（一）解分式方程的基本思想把分式方程化為 方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊同乘最簡公分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后利用整式方程的解法求解。（二）

4、解分式方程的一般方法和步驟（1） ，即在方程的兩邊都乘以最簡公分母，把原方程化為整式方程。（2）解這個 方程。（3） ：把整式方程的根代入最簡公分母，使最簡公分母不等于零的根是原方程的根，使最簡公分母等于零的根是原方程的 。注：分式方程必須 ；增根一定適合分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程，但增根不適合原方程，可使原方程的 為零。（三）增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取那些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著 不為零的條件。當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍 了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方

5、程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根。知識點三：分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要就是 ，它與學(xué)習(xí)一元一次方程時列方程解應(yīng)用題的基本思路和方法是一樣的，不同的是，表示關(guān)系的代數(shù)式是分式而已。一般地，列分式方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟：（1） 題意；（2）設(shè) ；（3）根據(jù)題意找 關(guān)系，列出分式方程；（4）解分式方程，并驗根；（5）檢驗分式方程的根是否符合題意，并根據(jù)檢驗結(jié)果寫出答案知識點四：常見的實際問題中等量關(guān)系（一）工程問題（1）工作量 工作時間，；（2）完成某項任務(wù)的各工作量的和總工作量1（二）營銷問題（1）商品利潤商品 一商品 ；（2）；（3）商品銷售額商品銷售價商品銷售量；（4）商

6、品的銷售利潤（銷售價一成本價） （三）行程問題（1）路程 時間，；（2）在航行問題中，其中數(shù)量關(guān)系是：順水速度 水流速度，逆水速度靜水速度 ；（3）航空問題類似于航行問題經(jīng)典例題-自主學(xué)習(xí)認真分析、解答下列例題，嘗試總結(jié)提升各類型題目的規(guī)律和技巧，然后完成舉一反三。若有其它補充可填在右欄空白處。更多精彩請參看網(wǎng)校資源ID：#jdlt0#類型一：分式方程的定義例1下列各式中，是分式方程的是（ ）A B C D.思路點撥：要逐個檢查是否符合分式方程的三個特征：A因為方程里沒有 ，所以 分式方程；B雖然有分母，但是分母里沒有 ，所以 分式方程；C沒有 ，所以不是 ，它只是一個 ；D具備分式方程的三個

7、特征，是 。 總結(jié)升華： 舉一反三：【變式】方程中，x為未知量，a，b為已知數(shù)，且，則這個方程（ ）A分式方程B一元一次方程 C二元一次方程D三元一次方程類型二：分式方程解的概念例2請選擇一組的值，寫出一個關(guān)于的形如的分式方程，使它的解是x0這樣的分式方程可以是 . 思路點撥：分式方程是 中含有 的 ，能夠使分式方程成立的未知數(shù)的值叫分式方程的 .總結(jié)升華： 舉一反三：【變式】在 中，哪個是分式方程的解，為什么？類型三：分式方程的解法例3 (2011北京房山一模)解方程： 思路點撥：在解分式方程的時候，要把分式方程變?yōu)?方程。原方程的兩邊都要乘 ，方程等號右邊的常數(shù)1也必須乘 。在找最簡公分母

8、的時候有時需要先把分式方程變形?？偨Y(jié)升華： 例4. 已知分式方程的解為非負數(shù)，求的取值范圍?思路點撥：解這個分式方程即可，注意去分母后所得整式方程的解是非負數(shù)，且不等于1.舉一反三：【變式1】解方程：（1）， （2）2.【變式2】當(dāng)為何值時，關(guān)于的方程的解是0？ 類型四：增根的應(yīng)用例5.當(dāng)m為何值時，關(guān)于x的方程會產(chǎn)生增根？會無解?思路點撥：增根是分式方程去分母后的整式方程的根，它使最簡公分母得_，且只適合_，所以只需把可能出現(xiàn)的增根代入該整式方程中，就可以求得對應(yīng)的m的值而分式方程無解有兩種情況，一是去分母后的整式方程的根都是_，二是此整式方程_總結(jié)升華： 舉一反三：【變式1】當(dāng)m為何值時，

9、方程會產(chǎn)生增根( )A. 2 B. 1 C. 3 D.3分析：分式方程，去分母得_，將增根_代入，得m?！咀兪?】.若方程無解，則m。類型五：分式方程的應(yīng)用（一）工程類應(yīng)用性問題例6.某項工程限期完成，甲隊獨做正好按期完成，乙隊獨做則要誤期3天，現(xiàn)兩隊合作2天后，留下的工程再由乙隊獨做，也正好在限期內(nèi)完成，問該工程期限是多少天？ 思路點撥：若設(shè)工期為x天，將總工程量設(shè)為“1”，則甲效為_；乙單獨做需(x+3)天，乙效為_.(法1)甲共做2天，乙共做x天，可將工作完成；(法2)乙獨做多用的_天完成的工作量，相當(dāng)于甲_天做的。舉一反三：【變式1】兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工1個月完

10、成總工程的三分之一，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成，哪個隊的施工速度快？ 分析：甲1個月完成1/3，即甲效率為1/3，或理解為甲單獨做3個月完成，所以甲實際做1.5個月完成了1/2的工程，另外的1/2的工程由乙半個月完成，可見乙的效率為甲的3倍，顯見乙的工效快。上述是計算的方法，以下為方程方法。【變式2】今年某大學(xué)在招生錄取時，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯，2640名學(xué)生的成績數(shù)據(jù)分別由兩位教師向計算機輸入一遍，然后讓計算機比較兩人的輸入是否一致.已知教師甲的輸入速度是教師乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用2小時輸完.問這兩位教師每分鐘各能輸入多少名學(xué)生的成績？（二）行程中應(yīng)用性問題例7

11、甲、乙兩地相距828km，一列普通快車與一列直達快車都由甲地開往乙地，直達快車的平均速度是普通快車平均速度的1.5倍直達快車比普通快車晚出發(fā)2h，比普通快車早4h到達乙地，求兩車的平均速度思路點撥：這是一道實際生活中的行程應(yīng)用題，基本量是路程、速度和時間，基本關(guān)系是：路程速度時間，應(yīng)根據(jù)題意，找出追擊問題中的等量關(guān)系總結(jié)升華： 舉一反三：【變式1】一隊學(xué)生去校外參觀他們出發(fā)30分鐘時，學(xué)校要把一個緊急通知傳給帶隊老師，派一名學(xué)生騎車從學(xué)校出發(fā)，按原路追趕隊伍若騎車的速度是隊伍行進速度的2倍，這名學(xué)生追上隊伍時離學(xué)校的距離是15千米，問這名學(xué)生從學(xué)校出發(fā)到追上隊伍用了多少時間？【變式2】輪船在順

12、水中航行30千米的時間與在逆水中航行20千米所用的時間相等，已知水流速度為2千米時，求船在靜水中的速度（三）營銷類的應(yīng)用性問題例8某校辦工廠將總價值為2000元的甲種原料與總價值為4800元的乙種原料混合后，其平均價比原甲種原料每0.5kg少3元，比乙種原料每0.5kg多1元，問混合后的單價每0.5kg是多少元？思路點撥：市場經(jīng)濟中，常遇到營銷類應(yīng)用性問題，與價格有關(guān)的是：單價、總價、平均價等，要了解它們的意義，建立它們之間的關(guān)系式總結(jié)升華： 舉一反三：【變式】A、B兩位采購員同去一家飼料公司購買同一種飼料兩次，兩次飼料的價格有變化，但兩位采購員的購貨方式不同其中，采購員A每次購買1000千克

13、，購貸員B每次用去800元，而不管購買飼料多少，問選用誰的購貨方式合算？三、總結(jié)與測評要想學(xué)習(xí)成績好，總結(jié)測評少不了！課后復(fù)習(xí)是學(xué)習(xí)不可或缺的環(huán)節(jié)，它可以幫助我們鞏固學(xué)習(xí)效果，彌補知識缺漏，提高學(xué)習(xí)能力?？偨Y(jié)規(guī)律和方法強化所學(xué)認真回顧總結(jié)本部分內(nèi)容的規(guī)律和方法，熟練掌握技能技巧。相關(guān)內(nèi)容請參看網(wǎng)校資源ID：#tbjx13#（一）一般地，解分式方程時，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母為0，因此應(yīng)如下檢驗：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為 ，則整式方程的解是原分式方程的解，否則，這個解不是原分式方程的解（二）列方程（組）解應(yīng)用題，在弄清題意后，接著就是設(shè)未知數(shù)，設(shè)未知數(shù)

14、對后面列方程起著關(guān)鍵作用，對于一道應(yīng)用題，首先考慮設(shè)直接未知數(shù)，如果設(shè)直接未知數(shù)不奏效，就應(yīng)考慮設(shè)間接未知數(shù)，就是把一個不是題目中最后要求的未知量設(shè)為未知數(shù)，求出該數(shù)后，再求出要求的數(shù)成果測評現(xiàn)在來檢測一下學(xué)習(xí)的成果吧！請到網(wǎng)校測評系統(tǒng)和模擬考試系統(tǒng)進行相關(guān)知識點的測試。知識點：可化為一元一次方程的分式方程及其應(yīng)用測評系統(tǒng)分數(shù)： 模擬考試系統(tǒng)分數(shù)： 如果你的分數(shù)在80分以下，請進入網(wǎng)校資源ID：#cgcp0#，做基礎(chǔ)達標部分的練習(xí)，如果你的分數(shù)在80分以上，你可以進行能力提升題目的測試。自我反饋學(xué)完本節(jié)知識，你有哪些新收獲？總結(jié)本節(jié)的有關(guān)習(xí)題，將其中的好題及錯題分類整理。如有問題，請到北京四中網(wǎng)校的“名師答疑”或“互幫互學(xué)”交流。我的收獲習(xí)題整理題目或題目出處所屬類型或知識點分析及注意問題好題錯題注：本表格為建議樣式，請同學(xué)們單獨建立錯題本，或者使用