高中數(shù)學(xué)講義微專題18《利用導(dǎo)數(shù)解函數(shù)的最值》講義

1、微專題18 函數(shù)的最值一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、函數(shù)的最大值與最小值：（1）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若，使得?duì)，均滿足，那么稱為函數(shù)的一個(gè)最大值點(diǎn)，稱為函數(shù)的最大值（2）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若，使得?duì)，均滿足，那么稱為函數(shù)的一個(gè)最小值點(diǎn)，稱為函數(shù)的最小值（3）最大值與最小值在圖像中體現(xiàn)為函數(shù)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)（4）最值為函數(shù)值域的元素，即必須是某個(gè)自變量的函數(shù)值。例如：，由單調(diào)性可得有最小值，但由于取不到4，所以盡管函數(shù)值無限接近于,但就是達(dá)不到。沒有最大值。（5）一個(gè)函數(shù)其最大值（或最小值）至多有一個(gè)，而最大值點(diǎn)（或最小值點(diǎn)）的個(gè)數(shù)可以不唯一，例如，其最大值點(diǎn)為，有無窮多個(gè)。2“最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系右

2、圖為一個(gè)定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象圖中與是極小值，是極大值函數(shù)在上的最大值是，最小值是（1）“最值”是整體概念，是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對(duì)性；而“極值”是個(gè)局部概念，是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的，具有相對(duì)性（2）從個(gè)數(shù)上看，一個(gè)函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一；（3）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒有一個(gè)（4）極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值3、結(jié)論：一般地，在閉區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)

3、在上必有最大值與最小值4、最值點(diǎn)只可能在極值點(diǎn)或者邊界點(diǎn)處產(chǎn)生，其余的點(diǎn)位于單調(diào)區(qū)間中，意味著在這些點(diǎn)的周圍既有比它大的，也有比它小的，故不會(huì)成為最值點(diǎn)5、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:一般地，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值，得出函數(shù)在上的最值6、求函數(shù)最值的過程中往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，所以說，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是求最值與極值的基礎(chǔ) 7、在比較的過程中也可簡(jiǎn)化步驟：（1）利用函數(shù)單調(diào)性可判斷邊界點(diǎn)是否能成為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)（2）極小值點(diǎn)不會(huì)是最大值點(diǎn)，極大值點(diǎn)也不會(huì)是最小值點(diǎn)8、最值點(diǎn)的作

4、用（1）關(guān)系到函數(shù)的值域（2）由最值可構(gòu)造恒成立的不等式：例如：，可通過導(dǎo)數(shù)求出，由此可得到對(duì)于任意的，均有，即不等式二、典型例題：例1：求函數(shù)的最值思路：首先判定定義域?yàn)?對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的最值解：，令,解得：的單調(diào)區(qū)間為：，無最小值小煉有話說：函數(shù)先增再減，其最大值即為它的極大值點(diǎn)，我們可以將這種先增再減，或者先減再增的函數(shù)成為“單峰函數(shù)”，在單峰函數(shù)中，極值點(diǎn)即為函數(shù)的某個(gè)最值點(diǎn)。例2：已知函數(shù),是的一個(gè)極值點(diǎn)，求：（1）實(shí)數(shù)的值（2）判斷在區(qū)間上是否存在最大值和最小值解：（1） 是的一個(gè)極值點(diǎn)（2）思路，由第（1）問可得，進(jìn)而求出單調(diào)區(qū)間得到最值解： ,令,解得：或

5、的單調(diào)區(qū)間為：計(jì)算 小煉有話說：在本題中，最小值的求解盡管不在所給區(qū)間中，但也需要代入到中計(jì)算，此時(shí)計(jì)算出的是函數(shù)左邊界的臨界值，如果，則函數(shù)就不存在最小值了。所以在求定義域?yàn)殚_區(qū)間的函數(shù)最值時(shí)，也要關(guān)注邊界處的臨界值。例3：已知函數(shù),是否存在實(shí)數(shù)，使得在上取得最大值，最小值若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由思路：利用求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在根據(jù)單調(diào)區(qū)間判斷最大最小值點(diǎn)的可能位置，進(jìn)而根據(jù)最大最小值解出解：，（1）當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞減 （2）當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增 或小煉有話說：本題在求最值時(shí)由于函數(shù)帶有參數(shù)，從而在解單調(diào)區(qū)間的過程中涉及到對(duì)參數(shù)的分類討論。從而確定最值的選?。ㄓ嘘P(guān)含參數(shù)單調(diào)區(qū)間的

6、計(jì)算詳見2.1）例4：求函數(shù)()的最值思路一：考慮去掉絕對(duì)值得到一個(gè)分段函數(shù)，在利用導(dǎo)數(shù)求出每段的最值，再進(jìn)行比較解： 恒成立 當(dāng)時(shí)，可得：在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減時(shí),當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)的最值為，思路二：考慮先求出絕對(duì)值里表達(dá)式的值域，然后在加上絕對(duì)值求出最值。解：令 ,令，解得:或的單調(diào)區(qū)間為：的值域?yàn)?的值域?yàn)?，小煉有話說：（1）第一種方法為處理含絕對(duì)值函數(shù)的常用方法，絕對(duì)值的函數(shù)中若絕對(duì)值內(nèi)部比較簡(jiǎn)單，則通常先通過討論絕對(duì)值內(nèi)部的符號(hào)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化成為分段函數(shù)進(jìn)行分析，而求分段函數(shù)的最值時(shí)可分別求出每一段的最值再進(jìn)行比較（2）第二種方法用于當(dāng)絕對(duì)值內(nèi)部的符號(hào)不易確定時(shí)（例如

7、絕對(duì)值為0的點(diǎn)不好確定），也可考慮先求出內(nèi)部的取值范圍，再取絕對(duì)值進(jìn)而得到值域。例5：已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求在上的最值思路：的單調(diào)區(qū)間可通過導(dǎo)數(shù)來確定，,是的極值點(diǎn)，而極值點(diǎn)是否在會(huì)影響最值點(diǎn)的選取，從而要依次進(jìn)行分類討論解：，令解得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 為的極小值點(diǎn)（1）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增 （2）當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 下面比較的大小若時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上所述：時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，例6：已知函數(shù)在區(qū)間上取得最小值4，則_思路一： 函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，矛盾舍去；當(dāng)時(shí)，若，為減函數(shù)，若，為增函數(shù)，所以為極小值，也是最小值；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，所以（矛盾）；當(dāng)

8、，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，在 上的最小值為，此時(shí)（矛盾）綜上思路二：，令導(dǎo)數(shù)，考慮最小值點(diǎn)只有可能在邊界點(diǎn)與極值點(diǎn)處取得，因此可假設(shè)分別為函數(shù)的最小值點(diǎn),求出后再檢驗(yàn)即可。答案：小煉有話說：（1）思路一為傳統(tǒng)解法，即考慮函數(shù)是否有極值點(diǎn)，以及結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析最小值點(diǎn)的位置，但由于函數(shù)含有參數(shù)，導(dǎo)致解單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)時(shí)要進(jìn)行分類討論，過程較為復(fù)雜（2）思路二的想法源于最值點(diǎn)的出處，即最值點(diǎn)只會(huì)在邊界點(diǎn)與極值點(diǎn)處產(chǎn)生，而本題中的邊界點(diǎn)與可能的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)較少，故采取先算再驗(yàn)的手段，方法比較簡(jiǎn)便。例7：已知函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù).當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為，則_.思路：含有絕對(duì)值，故

9、考慮利用分段函數(shù)去掉絕對(duì)值后尋找最值，先利用的條件確定的取值范圍，由在上是增函數(shù)可得對(duì)任意的，恒成立 ，而，絕對(duì)值的分界點(diǎn)為，由及定義域需對(duì)是否在區(qū)間中進(jìn)行分類討論（1）當(dāng)時(shí)，則 ，可判斷出為減函數(shù) ，故舍去（2）當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單增，。，所以。所以，從而有，解得。答案：例8：若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：觀察到真數(shù)部分為開口向上的拋物線，所以若取到最小值，則底數(shù)且 真數(shù)取到最小值，而真數(shù)部分恒大于零，所以只需有大于零的最小值即可。，從而，解得，另一方面，所以 答案：C例9：已知在區(qū)間上任取三個(gè)不同的數(shù),均存在以為邊長(zhǎng)的三角形,則的取值范圍是.思路：考慮三角形成立的條件：兩條較短的邊的和大于第三邊，由于任取， 也可取值域中的任意值。要保證能構(gòu)成三角形，滿足兩個(gè)條件： 均大于零，即， 極端情形短邊均