高考數(shù)學（精講精練精析）選做02 矩陣習題（江蘇版）（含解析）

1、專題2 矩陣【三年高考】1【2016年高考江蘇】已知矩陣 矩陣B的逆矩陣 ，求矩陣AB.【答案】【解析】試題分析：先求逆矩陣的逆： ，再根據(jù)矩陣運算求矩陣AB.試題解析：解：設(shè)，則，即，故，解得，所以.因此，. 【考點】逆矩陣，矩陣乘法【名師點睛】矩陣乘法及逆矩陣需明確運算法則，實質(zhì)是考查一種運算法則：，類似求矩陣特征值及特征向量也是如此.2【2015江蘇高考，21】已知，向量是矩陣的屬性特征值的一個特征向量，矩陣以及它的另一個特征值.【答案】,另一個特征值為【考點定位】矩陣運算，特征值與特征向量3【2014江蘇，理21B】選修4-2：矩陣與變換已知矩陣，向量，是實數(shù)，若，求的值.【答案】【解

2、析】由題意得，解得.4【2013江蘇，理21B】選修42：矩陣與變換(本小題滿分10分)已知矩陣A，B，求矩陣A1B.【答案】5【2012江蘇，理21B】選修42：矩陣與變換已知矩陣A的逆矩陣，求矩陣A的特征值【答案】11，24.【解析】解：因為A1AE，所以A(A1)1.因為，所以，于是矩陣A的特征多項式為f()234.令f()0，解得A的特征值11，24.6【2011江蘇，理21B】選修4-2：矩陣與變換已知矩陣，向量求向量，使得【答案】【解析】解： =,設(shè)，由得,，從而，解得，所以.【2017年高考命題預(yù)測】縱觀近幾年江蘇高考試題，對矩陣的考查，主要考查矩陣的運算，矩陣變換，矩陣的特征值

3、與特征向量及二階逆矩陣題目難度一般為中、低檔，著重考查利用基本概念、基礎(chǔ)知識求解矩陣，高考對這部分要求不是太高，會進行矩陣的乘法運算，會利用矩陣運算進行平面變換，會判斷一個二階矩陣有否逆矩陣及求得逆矩陣，會求矩陣的特征值與特征向量，并用特征值與特征向量進行矩陣的乘方運算備考中應(yīng)嚴格控制訓練題的難度高考對這部分要求不是太高，高考中在附加題部分.預(yù)測2017年矩陣仍是考試的重點復(fù)習建議：在復(fù)習矩陣知識過程中，注意培養(yǎng)、強化與提高計算能力，逐步提升數(shù)學素養(yǎng)，提高分析解決綜合問題的能力. 【2017年高考考點定位】高考對矩陣的考查，主要考查矩陣的運算，考查矩陣變換，考查矩陣的特征值與特征向量及二階逆矩

4、陣的運算【考點1】矩陣的運算與矩陣變換【備考知識梳理】1乘法規(guī)則(1)行矩陣a11a12與列矩陣的乘法法則：a11a12a11b11a12b21(2)二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則：.(3)兩個二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個二階矩陣，其乘法法則如下：.(4)兩個二階矩陣的乘法滿足結(jié)合律，但不滿足交換律和消去律，即(AB)CA(BC)(5)AkAlAkl，(Ak)lAkl(其中k，lN*)2常見的平面變換(1)恒等變換：因為，該變換把點(x，y)變成(x，y)，故矩陣表示恒等變換(2)反射變換：因為，該變換把點(x，y)變成(x，y)，故矩陣表示關(guān)于y軸的反射變換；類似地，分別表示關(guān)于x軸、直線yx和

5、直線yx的反射變換(3)伸縮變換：因為，該變換把點(x，y)變成點(x，ky)，在此變換中，點的橫坐標不變，縱坐標變成原來的k倍，故矩陣表示y軸方向上的伸縮變換；類似地，矩陣可以用來表示水平伸縮變換(4)旋轉(zhuǎn)變換：把點A(x，y)繞著坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)角的變換，對應(yīng)的矩陣是.(5)切變變換：表示的是沿x軸的切變變換沿y軸的切變變換對應(yīng)的矩陣是.(6)投影變換：，該變換把所有橫坐標為x的點都映射到了點(x,0)上，因此矩陣表示的是x軸上的投影變換類似地，表示的是y軸上的投影變換【規(guī)律方法技巧】1待定系數(shù)法在平面變換中的應(yīng)用通過二階矩陣與平面向量的乘法求出變換前與變換后坐標之間的變換公式，進而得到

6、所求曲線(或點)，求解時應(yīng)注意待定系數(shù)法的應(yīng)用2矩陣相等實質(zhì)上是矩陣對應(yīng)元素相等，體現(xiàn)了方程思想，要注意矩陣對應(yīng)元素相等3矩陣的乘法只滿足結(jié)合律，不滿足交換律和消去律4對于平面圖形的變換要分清是伸縮、反射、還是切變變換5伸縮、反射、切變變換這三種幾何變換稱為初等變換，對應(yīng)的變換矩陣為初等變換矩陣，由矩陣的乘法可以看出，矩陣的乘法對應(yīng)于變換的復(fù)合，一一對應(yīng)的平面變換都可以看作這三種初等變換的一次或多次的復(fù)合6在解決通過矩陣進行平面曲線的變換時，變換矩陣可以通過待定系數(shù)法解決，在變換時一定要把變換前后的變量區(qū)別清楚，防止混淆7曲線(或點)經(jīng)過二階矩陣變換后的曲線(或點)的求法，類似于平面解析幾何中

7、的代入法求軌跡，此類問題的關(guān)鍵是求對坐標之間的變換公式8注意兩個易錯點：（1）二階矩陣的乘法運算律中，易忽視ABBA，ABAC/ BC，但滿足(AB)CA(BC)（2）易混淆繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90的變換與繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90的變換【考點針對訓練】1求使等式M成立的矩陣M.【答案】.【解析】設(shè)M，則M，則即M.2，已知直線l：axy1在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l：xby1.(1)求實數(shù)a，b的值；(2)若點P(x0，y0)在直線l上，且A，求點P的坐標【答案】（1）；（2）(1,0)【考點2】矩陣的特征值與特征向量【備考知識梳理】1逆變換與逆矩陣(1)逆變換：設(shè)是一個線性變換，如果存在線性變

8、換，使得1，則稱變換可逆，并且稱是的逆變換(2)逆矩陣：設(shè)A是一個二階矩陣，如果存在二階矩陣B，使得BAABE2，則稱矩陣A可逆，或稱矩陣A是可逆矩陣，并且稱B是A的逆矩陣(3)逆矩陣的性質(zhì)性質(zhì)：設(shè)A是一個二階矩陣，如果A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的性質(zhì)：設(shè)A，B是二階矩陣，如果A，B都可逆，則AB也可逆，且(AB)1B1A1.(4)定理：二階矩陣A可逆，當且僅當det Aadbc0.2逆矩陣與二元一次方程組(1)定理：如果關(guān)于變量x，y的二元一次方程組(線性方程組)的系數(shù)矩陣A可逆，那么該方程組有唯一解1.(2)推論：關(guān)于變量x，y的二元一次方程組其中a，b，c，d是不全為零的常數(shù)，有非零

9、解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的行列式0.3特征值和特征向量設(shè)矩陣A，如果存在數(shù)以及非零向量，使得A，則稱是矩陣A的一個特征值，是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量4特征向量的性質(zhì)設(shè)1，2是二階矩陣A的兩個不同特征值，1，2是矩陣A的分別屬于特征值1，2的特征向量，對于任意的非零平面向量，設(shè)t11t22(t1，t2為實數(shù))，則對任意的正整數(shù)n，有Ant11t22.【規(guī)律方法技巧】1求逆矩陣的常見方法(1)待定系數(shù)法：設(shè)A是一個二階可逆矩陣，ABBAE2；(2)公式法：|A|adbc，有A1，當且僅當|A|0；(3)從幾何變換的角度求解二階矩陣的逆矩陣；(4)利用逆矩陣的性質(zhì)(AB)1B1A1.2求特

10、征值和特征向量的方法(1)矩陣M的特征值滿足(a)(d)bc0，屬于的特征向量a滿足M.(2)求特征向量和特征值的步驟：解f()0得特征值；解(a)xby0，取x1或y1，寫出相應(yīng)的向量3注意3個易錯點：（1）并不是每一個二階矩陣都是可逆的：矩陣A可逆的充分必要條件是它對應(yīng)的行列式|A|滿足|A|adbc0，且A1.（2）不是每個矩陣都有特征值與特征向量，矩陣M有特征值的充分必要條件是方程0有解（3）屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線【考點針對訓練】1已知矩陣A將直線l：xy10變換成直線l.(1)求直線l的方程；(2)判斷矩陣A是否可逆？若可逆，求出矩陣A的逆矩陣A1；若不可逆，請說明理由

11、【答案】（1）l的方程為4xy70；（2）A1.【解析】(1)在直線l上任取一點P(x0，y0)，設(shè)它在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镼(x，y)，即又點P(x0，y0)在直線l：xy10上，10，即直線l的方程為4xy70.(2)0，矩陣A可逆設(shè)A1，AA1，解之得A1.2已知矩陣M，向量.(1)求矩陣M的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量；(2)求M3.【答案】（1）特征值11的一個特征向量為1，特征值22的一個特征向量為2.；（2）.【解析】(1)矩陣M的特征多項式為f()232，令f()0，得11，22.當11時，解方程組得一個非零解因此，矩陣M屬于特征值11的一個特征向量為1；當22時

12、，同理可得矩陣M屬于特征值22的一個特征向量為2.(2)設(shè)m1n2，得解得m1，n2.所以M3M3(122)M312M32122223.【兩年模擬詳解析】1【江蘇省揚州中學20152016學年第二學期質(zhì)量檢測】已知矩陣 ，求矩陣【答案】【解析】由逆矩陣公式得，再利用矩陣運算得2【江蘇省蘇中三市（南通、揚州、泰州）2016屆高三第二次調(diào)研測試數(shù)學試題】在平面直角坐標系中，設(shè)點在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點，將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到點，求點的坐標【答案】【解析】設(shè)，依題意，由，得則記旋轉(zhuǎn)矩陣， 則，即，解得，所以點的坐標為3【南京市、鹽城市2016屆高三年級第二次模擬考試】已知a，b是實數(shù)，如果矩陣A

13、 所對應(yīng)的變換T把點(2，3)變成點(3，4)（1）求a，b的值（2）若矩陣A的逆矩陣為B，求B2【答案】（1）a1，b5（2）4【江蘇省南京市2016屆高三年級第三次學情調(diào)研適應(yīng)性測試數(shù)學】變換T1是逆時針旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換，對應(yīng)的變換矩陣是M1；變換T2對應(yīng)的變換矩陣是M2（1）點P(2，1)經(jīng)過變換T1得到點P，求P的坐標；（2）求曲線yx2先經(jīng)過變換T1，再經(jīng)過變換T2所得曲線的方程.【答案】（1）P(-1,2).（2）yxy2.【解析】(1)M1， M1所以點P(2,1)在T1作用下的點P的坐標是P(-1,2). (2)MM2M1， 設(shè)是變換后圖象上任一點,與之對應(yīng)的變換前的點是,則M

14、,也就是 即所以,所求曲線的方程是yxy2.5【南京市2016屆高三年級第三次模擬考試】已知曲線C：x22xy2y21，矩陣A所對應(yīng)的變換T把曲線C變成曲線C1，求曲線C1的方程【答案】x2y226【蘇錫常鎮(zhèn)四市2016屆高三教學情況調(diào)研（二）】已知變換把平面上的點，分別變換成，試求變換對應(yīng)的矩陣【答案】【解析】設(shè)，由題意，得， 解得. 即7【江蘇省蘇北三市2016屆高三最后一次模擬】已知矩陣，向量，計算.【答案】8【南通市2016屆高三下學期第三次調(diào)研考試】在平面直角坐標系中，直線在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到直線，求的值.【答案】【解析】設(shè)是直線上一點，由，得即，由條件得，解得，所以9【鹽城市

15、2016屆高三年級第三次模擬考試】已知矩陣的兩個特征向量，若，求.【答案】【解析】設(shè)矩陣的特征向量對應(yīng)的特征值為，特征向量對應(yīng)的特征值為，則由可解得：， 又， 所以.10【江蘇省淮安市2015屆高三第五次模擬考試】已知矩陣A，若矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為1，屬于特征值4 的一個特征向量為2求矩陣A，并寫出A的逆矩陣A1【答案】，【解析】由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為1可得，即ab1； 由矩陣A屬于特征值4的一個特征向量為2，可得，即3a+2b12， 解得.即A，所以A逆矩陣A-1是11【江蘇省揚州中學2015屆高三4月雙周測】已知矩陣A，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為1，屬

16、于特征值1的一個特征向量為2 求矩陣A，并寫出A的逆矩陣【答案】A， A的逆矩陣是12【2015年高考模擬(南通市數(shù)學學科基地命題)(3)】已知矩陣，其中均為實數(shù)，若點在矩陣的變換作用下得到點，求矩陣的特征值.【答案】【解析】由條件可知，所以，則 矩陣的特征多項式為，令,得兩個特征值分別為13【2015年高考模擬(南通市數(shù)學學科基地命題)(2)】已知，求矩陣【答案】【解析】設(shè) 則， 故14【泰州市2015屆高三第三次調(diào)研測試】在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩陣，點A，B，C在矩陣M對應(yīng)的變換作用下得到的點分別為，求的面積【答案】【解析】因，即故15【

17、2015年高考模擬(南通市數(shù)學學科基地命題)(2)】已知二階矩陣有特征值及對應(yīng)的一個特征向量，并且矩陣對應(yīng)的變換將點變換成（1）求矩陣M；（2）已知向量，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)，則，故 . ，故 . 聯(lián)立以上方程組解得，故. （2）由（1）知 則矩陣M的特征多項式為令，得矩陣M另一個特征值為3.設(shè)矩陣的另一個特征向量是，則，解得,故 . 由，得，得 . .拓展試題以及解析1 已知矩陣，求矩陣【答案】【入選理由】本題考查矩陣的乘法運算，考查二階逆矩陣的求法，意在考查學生邏輯思維能力和運算求解能力.本題首先求出二階逆矩陣，再計算，像這種題型考查知識基礎(chǔ)，目的明確，是高考出題方向，故選此題. 2已知矩陣，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為，屬于特征值1的一個特征向量為求A的逆矩陣【答案】【解析】由題意得， 則 ， 解得