120《統(tǒng)計(jì)初步(含抽樣和回歸直線方程)》基礎(chǔ)知識

1、基礎(chǔ)綜合能力創(chuàng)新統(tǒng)計(jì)知識點(diǎn)一.抽樣方法:簡單隨機(jī)抽樣:也叫純隨機(jī)抽樣,從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等,完全隨機(jī)地抽取調(diào)查單位。1.定義:從元素個(gè)數(shù)為的總體中不放回地抽取容量為的樣本,如果每一次抽取時(shí),總體中的每一個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等,那么這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣,這樣抽取的樣本叫做簡單隨機(jī)樣本。1)特點(diǎn)是:每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同(概率相等),樣本的每個(gè)單位完全獨(dú)立,彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時(shí),才采用這種方法。2.簡單隨機(jī)抽樣常用的方法:抽簽法;隨機(jī)數(shù)表法;計(jì)算機(jī)模擬法;使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽

2、取。(后兩者用得較少)3.抽簽法及其操作步驟:1)制簽:先將總體中的所有個(gè)體編號(號碼可以從1到N),并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上,號簽可以用小球、卡片、紙條等制作,然后將這些號簽放在同一個(gè)箱子里,進(jìn)行均勻攪拌;2)抽簽:抽簽時(shí),每次從中抽出1個(gè)號簽,連續(xù)抽取次;3)成樣:對應(yīng)號簽就得到一個(gè)容量為的樣本。抽簽法簡便易行,當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)不多時(shí),適宜采用這種方法。例:請調(diào)查你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動(dòng)情況。4.隨機(jī)數(shù)表法及其步驟:1)編號:對總體進(jìn)行編號,保證位數(shù)一致;2)數(shù)數(shù):當(dāng)隨機(jī)地選定開始讀數(shù)的數(shù)后,讀數(shù)的方向可以向右,也可以向左、向上、向下等等。在讀數(shù)過程中,得到一串?dāng)?shù)字號碼,

3、在去掉其中不合要求和與前面重復(fù)的號碼后,其中依次出現(xiàn)的號碼可以看成是依次從總體中抽取的各個(gè)個(gè)體的號碼。3)成樣:對應(yīng)號簽就得到一個(gè)容量為的樣本。5.結(jié)論:用簡單隨機(jī)抽樣,從含有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為的樣本時(shí),每次抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)任一個(gè)體被抽到的概率為1/N;在整個(gè)抽樣過程中各個(gè)個(gè)體被抽到的概率為n/N;基于此,簡單隨機(jī)抽樣體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性;簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn):它是不放回抽樣;它是逐個(gè)地進(jìn)行抽取;它是一種等概率抽樣。6.簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn):1)被抽取樣本的總體中的個(gè)體數(shù)目是有限的2)從總體中逐個(gè)地抽取,使抽樣便于在實(shí)踐中操作3)它是不放回抽樣,這使其具有廣泛的應(yīng)用性4)每一次抽樣

4、,每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等,保證了抽樣方法的公平性。例:利用隨機(jī)數(shù)表在所在的班級中抽取10位同學(xué)參加某項(xiàng)活動(dòng)。系統(tǒng)抽樣1.系統(tǒng)抽樣的定義(等距抽樣或機(jī)械抽樣): 當(dāng)總體中的個(gè)數(shù)較多時(shí),可將總體分成均衡的幾個(gè)部分,然后按照預(yù)先定出的規(guī)則,從每一部分抽取個(gè)個(gè)體,得到所需要的樣本,這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣(也稱為機(jī)械抽樣)。由于系統(tǒng)抽樣的間隔相等,因此系統(tǒng)抽樣也被稱作“等距抽樣”。從每一部分抽取個(gè)個(gè)體時(shí),采取的是簡單隨機(jī)抽樣。2.系統(tǒng)抽樣的步驟可概括為:將總體中的個(gè)體編號。采用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號;將整個(gè)的編號進(jìn)行分段。為將整個(gè)的編號進(jìn)行分段,要確定分段的間隔.當(dāng)N/n是整數(shù)時(shí),k=n/N;當(dāng)

5、N/n不是整數(shù)時(shí),通過從總體中剔除一些個(gè)體使剩下的個(gè)體數(shù)N能被整除,這時(shí)k=N/n;確定起始的個(gè)體編號。在第1段用簡單隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體邊號;抽取樣本。按照先確定的規(guī)則(常將加上間隔)抽取樣本:。這樣繼續(xù)下去,直到獲取整個(gè)樣本。注意:K(抽樣距離)=N(總體規(guī)模)/n(樣本規(guī)模)分層抽樣1.分層抽樣的定義(也叫按比例抽樣):當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí),為使得抽取的樣本更好地反映總體的情況,常將總體中各個(gè)個(gè)體按照某種特征分成互不重疊的幾部分,然后按照各部分在總體中所占的比進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣,這種抽樣方法叫做分層抽樣,其中所分成的各部分叫做層。2.分層抽樣的操作步驟:1)先確定樣本容量與

6、總體個(gè)數(shù)之間的比例2)再計(jì)算出各層需要抽取的個(gè)體數(shù)3)然后采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法從每一層抽取相應(yīng)數(shù)目的個(gè)體4)最后將各層所抽取的個(gè)體合在一起,就是所要抽取的樣本。3.結(jié)論:(1)分層抽樣是等概率抽樣,它也是公平的。用分層抽樣從個(gè)體數(shù)為N的總體中抽取一個(gè)容量為的樣本時(shí),在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等,都等于n/N;(2)分層抽樣是建立在簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的基礎(chǔ)上的,由于它充分利用了已知信息,因此利用它獲取的樣本更具有代表性,在實(shí)踐的應(yīng)用更為廣泛。4.說明: 1)先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志(性別、年齡等)劃分成若干類型或?qū)哟?然后再在各個(gè)類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機(jī)

7、抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本,最后,將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。兩種方法:先以分層變量將總體劃分為若干層,再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。先以分層變量將總體劃分為若干層,再將各層中的元素按分層的順序整齊排列,最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。2)分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體,再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體,所有的樣本進(jìn)而代表總體。分層標(biāo)準(zhǔn):(1)以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。(2)以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。(3)以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。3)分層的

8、比例問題:(1)按比例分層抽樣:根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。(2)不按比例分層抽樣:有的層次在總體中的比重太小,其樣本量就會非常少,此時(shí)采用該方法,主要是便于對不同層次的子總體進(jìn)行專門研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時(shí),則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理,調(diào)整樣本中各層的比例,使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。二.用樣本估計(jì)總體:用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布:1.頻率分布的概念:頻率分布是指一個(gè)樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大小。常采用頻率分布表或頻率分布直方圖。1)一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布。其一般步驟為:求極差。即

9、計(jì)算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差。決定組距與組數(shù)決定分點(diǎn)位置,將數(shù)據(jù)分組列頻率分布表繪制頻率分布直方圖2)頻率分布直方圖的特征:從頻率分布直方圖可以清楚的看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢。從頻率分布直方圖得不出原始數(shù)據(jù)內(nèi)容,把數(shù)據(jù)表示成直方圖后,原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了。2.頻率分布折線圖、總體密度曲線1)頻率分布折線圖的定義:連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn),就得到頻率分布折線圖。2)總體密度曲線的定義:在樣本頻率分布直方圖中,相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線,統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線。它反映了總體的分布,即反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比,它能給我們提供更加精細(xì)的信

10、息。根據(jù)這條曲線,可求出總體在區(qū)間(a,b)內(nèi)取值的概率(即取值的百分比)等于該區(qū)間上總體密度曲線與x軸、直線x=a、x=b所圍成曲邊梯形的面積?？傮w分布密度密度曲線函數(shù)y=f(x)的兩條基本性質(zhì):f(x) 0(xR);由曲線y=f(x)與x軸圍成面積為1。3.莖葉圖：又稱“枝葉圖”,與頻率分布直方圖一樣,都是用來表示樣本數(shù)據(jù)的一種統(tǒng)計(jì)圖。通常我們將數(shù)的大小基本不變或者變化不大的位作為“莖”,將變化大的位作為“葉”。1)莖葉圖的書寫規(guī)則:書寫規(guī)則是:“莖”一般要求按照從小到大的順序從上到下列出。公用“莖”的“葉”一般也按照從小到大的順序同行列出,注意重復(fù)的項(xiàng)也必須寫上。2)特點(diǎn):圖形形狀的特點(diǎn)

11、:(1)若圖形扁而寬,則說明整體的樣本數(shù)據(jù)集中,樣本數(shù)據(jù)的差異性不大。(2)若圖形長而窄,則說明樣本數(shù)據(jù)比較分散,標(biāo)準(zhǔn)差較大,距組較大。3)優(yōu)缺點(diǎn):優(yōu)點(diǎn):同頻率分布直方圖比較,莖葉圖中所有的原始數(shù)據(jù)都可以得到，莖葉統(tǒng)計(jì)圖上沒有原始信息的損失;可隨時(shí)記錄,方便記錄與表示。并且在以后新增加數(shù)據(jù)的時(shí)候容易修改,但直方圖這樣操作起來就很困難了。缺點(diǎn),就是當(dāng)樣本數(shù)據(jù)比較多的時(shí)候,很難進(jìn)行此操作。如果我們將莖葉圖的莖和葉按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90度,得到的是一個(gè)沒有坐標(biāo)的直方圖。通過此操作,很容易求出各個(gè)數(shù)據(jù)段的頻率分布或頻率百分比。用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征:1.用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)1)樣本平均

12、數(shù)描述了樣本數(shù)據(jù)的平均水平,定量地反映了數(shù)據(jù)集中趨勢所處的水平。2)用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)時(shí),樣本平均數(shù)只是總體平均數(shù)的近似值。3)平均數(shù)的計(jì)算公式:取值為的頻率分別為時(shí)，則其平均數(shù)為.注意：頻率分布表計(jì)算平均數(shù)要取組中值。2.用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差1)樣本方差反映了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)的波動(dòng)程度,即數(shù)據(jù)集中和發(fā)散程度。2)為得到以樣本數(shù)據(jù)為單位表示的波動(dòng)幅度,常取方差的算術(shù)平方根,即樣本標(biāo)準(zhǔn)差。注意:方差、標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式及作用意義:(1)方差的計(jì)算公式:若一組樣本數(shù)據(jù)為,則方差為化簡為: (2)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式:(3)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義:用于考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小,標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)

13、據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小注:方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小,說明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。平均數(shù)反映數(shù)據(jù)總體水平;方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定水平。說明:(1)如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)共同的常數(shù),新方差和新標(biāo)準(zhǔn)差保持不變;新的平均數(shù)等于原平均數(shù)減去這個(gè)同一個(gè)共同的常數(shù)(2)如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)乘以一個(gè)共同的常數(shù)k,標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼膋倍;方差變?yōu)樵瓉矸讲畹谋?新的平均數(shù)等于原平均數(shù)的k倍;(3)一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標(biāo)準(zhǔn)差的影響,區(qū)間的應(yīng)用;說明了“去掉一個(gè)最高分,去掉一個(gè)最低分”中的科學(xué)道理。3.樣本的一些特征數(shù):1)眾數(shù):在一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做

14、這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。 2)中位數(shù):將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列,處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。4.從頻率分布直方圖中估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù):1)眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中,就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。2)在樣本中,有50的個(gè)體小于或等于中位數(shù),也有50的個(gè)體大于或等于中位數(shù),因此,在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等,由此可以估計(jì)中位數(shù)的值。3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。4)三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn):(1)眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn),但它對其它數(shù)據(jù)信息的

15、忽視使得無法客觀地反映總體特征。(2)中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線,它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響。(3)平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大。 三.變量的相關(guān)關(guān)系:變量與變量之間的關(guān)系常見的有兩類:1)確定性關(guān)系即函數(shù)關(guān)系;2)相關(guān)關(guān)系函數(shù)關(guān)系:它是一種確定性關(guān)系,如一次函數(shù)關(guān)系,二次函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系:兩個(gè)變量之間確實(shí)存在關(guān)系,但不不具備像函數(shù)關(guān)系那樣的確定性。他們之間的關(guān)系帶有隨機(jī)性。自變量取值一定時(shí),因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性,則兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系.如每天的最低氣溫與緯度之間的關(guān)系,產(chǎn)量與成本的關(guān)系等.注意:函數(shù)關(guān)系是一種非常確定

16、的關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系.而函數(shù)關(guān)系可以看成是兩個(gè)非隨機(jī)變量之間的關(guān)系.因此,不能把相關(guān)關(guān)系等同于函數(shù)關(guān)系,(1)函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系,也可能是伴隨關(guān)系.例如,有人發(fā)現(xiàn),對于在校兒童,鞋的大小與閱讀能力有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系.然而,學(xué)會新詞并不能使腳變大,而是涉及到第三個(gè)因素年齡.當(dāng)兒童長大一些,他們的閱讀能力會提高而且由于長大腳也變大.(2)在現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系,如何判斷和描述相關(guān)關(guān)系,統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)揮著非常重要的作用.變量之間的相關(guān)關(guān)系帶有不確定性,這需要通過收集大量的數(shù)據(jù),對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,

17、才能作出科學(xué)的判斷.散點(diǎn)圖:將兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別作為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn),這樣的圖叫做散點(diǎn)圖。通過散點(diǎn)圖可初步判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系。散點(diǎn)圖反映了各數(shù)據(jù)間的密切程度。四.兩個(gè)變量的線性相關(guān)1.“兩個(gè)變量的線性關(guān)系”的定義:通過觀察散點(diǎn)圖,一般地,若圖中的數(shù)據(jù)大致分布在一條直線的附近,那么這兩個(gè)變量的關(guān)系近似地看成線性相關(guān)關(guān)系。2.兩個(gè)變量的線性相關(guān)性最終用“回歸直線方程”來表示:求回歸直線方程的思想方法1)通過觀察散點(diǎn)圖,發(fā)現(xiàn)圖中的數(shù)據(jù)大致分布在一條直線的附近,那么這兩個(gè)變量的關(guān)系近似地看成線性相關(guān)關(guān)系。畫出的直線不止一條,當(dāng)個(gè)偏差的平方和最小時(shí),最能代表變量與之間關(guān)系的直線特征，將此時(shí)的直線方程叫做散點(diǎn)圖對應(yīng)的回歸直線方程。設(shè)所求的回歸直線方程為其中是待定系數(shù),則有的書上將叫做的預(yù)報(bào)值。顯然,偏差的符號有正有負(fù),若將它們直接相見,容易造成相互抵消,故采用當(dāng)個(gè)偏差的平方和最小時(shí)的那條直線。2)回歸直線系數(shù):3.最小二乘法:回歸直線的定義:就是使偏差的平方和最小的那條直線。這種使“離差的平方和為最小”的方法叫做最小二乘法,要掌握用最小二乘法求回歸直線系數(shù)的公式:采用最小二乘法可求出使偏差平方和最小時(shí)的系