高一數學必修一易錯題集錦答案

1、高一數學必修一易錯題集錦答案1. 已知集合M=y|y =x21,xR,N=y|y =x1,xR，則MN=（ ）解：M=y|y=x21,xR=y|y1， N=y|y=x1,xR=y|yRMN=y|y1y|(yR)=y|y1, 注：集合是由元素構成的，認識集合要從認識元素開始，要注意區(qū)分x|y=x21、y|y=x21,xR、(x,y)|y=x21,xR，這三個集合是不同的2 .已知A=x|x23x2=0,B=x|ax2=0且AB=A，求實數a組成的集合C解：AB=A BA 又A=x|x23x2=0=1，2B=或C=0，1，2 3 。已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，則有：m+n (填A,

2、B,C中的一個)解：mA, 設m=2a1,a1Z, 又n,n=2a2+1,a2 Z ,m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , m+nB。 4 已知集合A=x|x23x100，集合B=x|p1x2p1若BA，求實數p的取值范圍解：當B時，即p12p1p2.由BA得：2p1且2p15.由3p3. 2p3當B=時，即p12p1p2.由、得：p3.點評：從以上解答應看到：解決有關AB=、AB=，AB等集合問題易忽視空集的情況而出現漏解，這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題5 已知集合A=a,ab,a2b，B=a,ac,ac2若A=B，求c的值分析：要解決c的求值問題，關鍵是要有方程的

3、數學思想，此題應根據相等的兩個集合元素完全相同及集合中元素的確定性、互異性，無序性建立關系式 解：分兩種情況進行討論 （1）若ab=ac且a2b=ac2，消去b得：aac22ac=0，a=0時，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故a0c22c1=0，即c=1，但c=1時，B中的三元素又相同，此時無解（2）若ab=ac2且a2b=ac，消去b得：2ac2aca=0，a0，2c2c1=0，即(c1)(2c1)=0，又c1，故c=點評：解決集合相等的問題易產生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進行檢驗.6 設A是實數集，滿足若aA，則A，且1A.若2A，則A中至少還有幾個元素？求出這幾個

4、元素A能否為單元素集合？請說明理由.若aA，證明：1A.求證：集合A中至少含有三個不同的元素.解：2A 1A A 2A A中至少還有兩個元素：1和如果A為單元素集合，則a即0該方程無實數解，故在實數范圍內，A不可能是單元素集aA A AA，即1A由知aA時，A， 1A .現在證明a,1, 三數互不相等.若a=,即a2-a+1=0 ，方程無解，a若a=1，即a2-a+1=0，方程無解a1 若1 =，即a2-a+1=0，方程無解1.綜上所述，集合A中至少有三個不同的元素.點評：的證明中要說明三個數互不相等，否則證明欠嚴謹. 7 設Ma，b，c，N2,0,2,求（1）從M到N的映射種數；（2）從M到

5、N的映射滿足 (a)(b)f(c),試確定這樣的映射的種數.解：（1）由于Ma，b，c，N2,0,2，結合映射的概念，有一共有27個映射（2）符合條件的映射共有4個8.已知函數的定義域為0，1，求函數的定義域解：由于函數的定義域為0，1，即滿足，的定義域是1，0 9根據條件求下列各函數的解析式：（1）已知是二次函數，若，求.（2）已知，求（3）若滿足求解：（1）本題知道函數的類型，可采用待定系數法求解設由于得，又由，即因此：(2)本題屬于復合函數解析式問題，可采用換元法求解設（）（3）由于為抽象函數，可以用消參法求解用代可得：與聯(lián)列可消去得：.點評：求函數解析式（1）若已知函數的類型，常采用待

6、定系數法；（2）若已知表達式，常采用換元法或采用湊合法；（3）若為抽象函數，常采用代換后消參法.10 已知，試求的最大值.分析：要求的最大值，由已知條件很快將變?yōu)橐辉魏瘮等缓笄髽O值點的值，聯(lián)系到，這一條件，既快又準地求出最大值.解 由 得又當時，有最大值，最大值為點評：上述解法觀察到了隱蔽條件，體現了思維的深刻性.大部分學生的作法如下：由 得 當時，取最大值，最大值為這種解法由于忽略了這一條件，致使計算結果出現錯誤.因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現特點，而且還能從已知條件中發(fā)現其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，又要注意次要條件，甚至有些問題的觀察要從相應的圖像著手，這樣才能正確地

7、解題.11設是R上的函數，且滿足并且對任意的實數都有，求的表達式.解法一：由，設，得，所以解法二：令，得即又將用代換到上式中得點評：所給函數中含有兩個變量時，可對這兩個變量交替用特殊值代入，或使這兩個變量相等代入，再用已知條件，可求出未知的函數.具體取什么特殊值，根據題目特征而定. 12判斷函數的奇偶性.解：有意義時必須滿足即函數的定義域是，由于定義域不關于原點對稱，所以該函數既不是奇函數也不是偶函數13 判斷的奇偶性.正解：方法一：是奇函數方法二：是奇函數14函數y=的單調增區(qū)間是_.解：y=的定義域是，又在區(qū)間上增函數，在區(qū)間是減函數，所以y=的增區(qū)間是15已知奇函數f(x)是定義在(3，

8、3)上的減函數，且滿足不等式f(x3)+f(x23)0,求x的取值范圍.解：由,故0x,又f(x)是奇函數，f(x3)3x2,即x2+x60,解得x2或x3,綜上得2x,即A=x|2x,16 作出下列函數的圖像(1)y=|x-2|(x1)；(2).分析：顯然直接用已知函數的解析式列表描點有些困難，除去對其函數性質分析外，我們還應想到對已知解析式進行等價變形.在變換函數解析式中運用了轉化變換和分類討論的思想.解：(1)當x2時，即x-20時，當x2時，即x-20時，所以這是分段函數，每段函數圖像可根據二次函數圖像作出(見圖)(2)當x1時，lgx0，y=10lgx=x；當0x1時，lgx0，所以

9、這是分段函數，每段函數可根據正比例函數或反比例函數作出.(見圖)點評：作不熟悉的函數圖像，可以變形成基本函數再作圖，但要注意變形過程是否等價，要特別注意x，y的變化范圍.因此必須熟記基本函數的圖像.例如：一次函數、反比例函數、二次函數、指數函數、對數函數，及三角函數、反三角函數的圖像.17若f(x)= 在區(qū)間（2，）上是增函數，求a的取值范圍解：設 由f(x)=在區(qū)間（2，）上是增函數得 a 點評：有關于單調性的問題，當我們感覺陌生，不熟悉或走投無路時，回到單調性的定義上去，往往給我們帶來“柳暗花明又一村”的感覺.18已知函數f(x)在(1，1)上有定義，f()=1,當且僅當0x1時f(x)0

10、,且對任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明：(1)f(x)為奇函數；(2)f(x)在(1，1)上單調遞減解：證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)為奇函數.(2)先證f(x)在(0，1)上單調遞減.令0x1x21,則f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0x2x11x2x1,01,由題意知f()0，即f(x2)0, 且a2a+1=(a)2+0, 1+2x+4xa0

11、, a,當x(, 1時, y=與y=都是減函數， y=在(, 1上是增函數，max=, a, 故a的取值范圍是(, +). 點評：發(fā)掘、提煉多變元問題中變元間的相互依存、相互制約的關系、反客為主，主客換位，創(chuàng)設新的函數，并利用新函數的性質創(chuàng)造性地使原問題獲解，是解題人思維品質高的表現.本題主客換位后，利用新建函數y=的單調性轉換為函數最值巧妙地求出了實數a的取值范圍.此法也叫主元法. 23若，試求的取值范圍.解：冪函數有兩個單調區(qū)間，根據和的正、負情況，有以下關系解三個不等式組：得，無解，1的取值范圍是（，1）（，）點評：冪函數有兩個單調區(qū)間，在本題中相當重要，不少學生可能在解題中誤認為，從而

12、導致解題錯誤.24 已知a0 且a1 ,f (log a x ) = (x ) (1)求f(x)； (2)判斷f(x)的奇偶性與單調性； (3)對于f(x) ,當x (1 , 1)時 , 有f( 1m ) +f (1 m2 ) 0即0.綜合得（2）依題意知，又點評：解決本題的關健有三：一是用作差比較法證明不等式；二是正確選擇二次函數的表達式，即本題選用兩根式表示；三要知道二次函數的圖像關于直線對稱，此直線為二次函數的對稱軸，即31已知函數，且方程有實根. (1)求證：-3c-1,b0. (2)若m是方程的一個實根，判斷的正負并加以證明分析：（1）題中條件涉及不等關系的有和方程有實根.及一個等式

13、，通過適當代換及不等式性質可解得；（2）本小題只要判斷的符號，因而只要研究出值的范圍即可定出符號.(1)證明：由，得1+2b+c=0,解得，又，1解得，又由于方程有實根，即有實根，故即解得或，由，得0.（2）=，cm1（如圖）c4m43c.的符號為正.點評：二次函數值的符號，可以求出其值判斷，也可以靈活運用二次函數的圖像及性質解題. 32定義在R上的函數滿足：對任意實數，總有，且當時，.（1）試求的值；（2）判斷的單調性并證明你的結論；（3）設，若，試確定的取值范圍.（4）試舉出一個滿足條件的函數.解：（1）在中，令.得：.因為，所以，.（2）要判斷的單調性，可任取，且設.在已知條件中，若取，

14、則已知條件可化為：.由于，所以.為比較的大小，只需考慮的正負即可.在中，令，則得. 時， 當時，.又，所以，綜上，可知，對于任意，均有. . 函數在R上單調遞減.（3）首先利用的單調性，將有關函數值的不等式轉化為不含的式子.，即.由，所以，直線與圓面無公共點.所以，.解得 .（4）如.點評：根據題意，將一般問題特殊化，也即選取適當的特值（如本題中令；以及等）是解決有關抽象函數問題的非常重要的手段；另外，如果能找到一個適合題目條件的函數，則有助于問題的思考和解決.33設為實數，函數，（1）討論的奇偶性；（2）求的最小值.解：（1）當時，函數此時，為偶函數當時，此時既不是奇函數，也不是偶函數（2）

15、（i）當時，當，則函數在上單調遞減，從而函數在上的最小值為.若，則函數在上的最小值為，且.（ii）當時，函數若，則函數在上的最小值為，且若，則函數在上單調遞增，從而函數在上的最小值為.綜上，當時，函數的最小值為當時，函數的最小值為當時，函數的最小值為.點評：（1）探索函數的奇偶性，可依據定義，通過代入有，即 可得，當時，函數函數為偶函數.通過可得 化得 此式不管還是都不恒成立，所以函數不可能是奇函數.（2）由于本題中含有絕對值，需要去掉，故分類討論，既要對二次函數值域的研究方法熟練掌握，又要將結論綜合，對學生的綜合運用數學知識能力及數學思想作了較好的考查.34某公司為幫助尚有26.8萬元無息貸

16、款沒有償還的殘疾人商店，借出20萬元將該商店改建成經營狀況良好的某種消費品專賣店，并約定用該店經營的利潤逐步償還債務(所有債務均不計利息).已知該種消費品的進價為每件40元；該店每月銷售量q（百件）與銷售價p（元件）之間的關系用右圖中的一條折線（實線）表示；職工每人每月工資為600元，該店應交付的其它費用為每月130元.（1）若當銷售價p為52元件時，該店正好收支平衡，求該店的職工人數；（2）若該店只安排40名職工，則該店最早可在幾年后還清所有債務，此時每件消費品的價格定為多少元？分析：本題題目的篇幅較長，所給條件零散雜亂，為此，不僅需要劃分段落層次，弄清每一層次獨立的含義和相互間的關系，更需要抓住矛盾的主要方面.由題目的問題找到關鍵詞“收支平衡”、“還清所有債務”，不難想到，均與“利潤”相關.從閱讀和以上分析，可以達成我們對題目的整體理解，明確這是一道函數型應用題.為此，首先應該建立利潤與職工人數、月銷售量q、單位商品的銷售價p之間的關系，然后，通過研究解析式，來對問題作出解答.由于銷售量和各種支出均以月為單位計量，所以，先考慮月利潤.解：（1）設該店的月利潤為S元，有職工m名.則.又由圖可知：.所以，由已知，當時，即，解得.即此時該店有50名職工.（2）若該店只安排4