2010年湖北高考數(shù)學(xué)理科試卷帶詳解

1、2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷)數(shù) 學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類) 一、選擇題：本大題共l0小題每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是滿足題目要求的.1.若為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z，則表 示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是 （ ）A.E B.F C.G D.H 第1題圖 【測量目標(biāo)】復(fù)平面，復(fù)數(shù)代數(shù)式的四則運(yùn)算. 【考查方式】通過計(jì)算復(fù)數(shù)代數(shù)式，確定位于復(fù)平面中哪一點(diǎn). 【難易程度】容易 【參考答案】D 【試題解析】由圖知z=，所以，故選D.2.設(shè)集合A=，B=,則AB的子集的個(gè)數(shù)是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D.1【測量目標(biāo)】集合的基本運(yùn)算.【考查方式】直接給出A，B

2、集合，利用圖象法判斷它們交集中有2個(gè)元素，從而判斷交集的子集個(gè)數(shù).【難易程度】容易【參考答案】A【試題解析】由題意知AB中有兩個(gè)元素，所以AB的子集的個(gè)數(shù)是4個(gè)，故選A. 第2題圖 3.在ABC中，a=15，b=10, A=，則 ( )A. B. C. D.【測量目標(biāo)】正弦定理，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.【考查方式】給出三角形中兩邊一角，由三角函數(shù)解三角形求出一角的余弦值.【難易程度】容易【參考答案】C【試題解析】由正弦定理得，解得，又因?yàn)?，所以（步驟1）故，所以,故選C.（步驟2）4.投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰于向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B，則事件A，B

3、中至少有一件發(fā)生的概率是 （ ） A. B. C. D.【測量目標(biāo)】隨機(jī)事件的概率.【考查方式】將事件分明A,B兩個(gè)事件，由求對立事件概率的方法求出答案.【難易程度】容易【參考答案】C【試題解析】因?yàn)槭录嗀，B中至少有一件發(fā)生與都不發(fā)生互為對立事件，故所求概率為，選C.5.已知和點(diǎn)滿足.若存在實(shí)數(shù)使得成立，則= （ ）A.2 B.3 C. 4 D. 5【測量目標(biāo)】平面向量在平面幾何中的應(yīng)用.【考查方式】由三角形內(nèi)一點(diǎn)所構(gòu)成的向量的關(guān)系，判斷該點(diǎn)為重心，從而求出滿足線性關(guān)系的m的值【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】由知，點(diǎn)M為的重心，設(shè)點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn)，則=，所以有，故=3，選B.6

4、.將參加夏令營的600名學(xué)生編號為：001，002，600.采用系統(tǒng)抽樣療法抽取一個(gè) 容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號碼為003.這600名學(xué)生分住在三個(gè)營區(qū)，從001 到300在第I營區(qū)，從301到495在第營區(qū)，從496到600在第營區(qū).三個(gè)營區(qū)被 抽中的人數(shù)依次為 （ ） A 26,16,8 B. 25,17,8 C. 25,16,9 D. 24,17, 9【測量目標(biāo)】系統(tǒng)抽樣.【考查方式】給出了總體，利用系統(tǒng)抽樣抽取樣本并求出在三個(gè)營區(qū)中的抽取人數(shù).【難易程度】中等【參考答案】B 【試題解析】由600名學(xué)生中抽取一個(gè)容量為50的樣本抽取“比例”；（步驟1）因?yàn)殡S機(jī)抽得的號碼為003，得

5、系統(tǒng)抽樣規(guī)則為：（，）；所以：第I營區(qū)（從001到300）抽取的號碼為：003，015，291，共25人；第II營區(qū)（從301到495）抽取的號碼為：303，315，495，共17人；第III營區(qū)抽取的人數(shù)為：5025178人故選（步驟2）7如圖，在半徑為r的圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，再作正六邊形的內(nèi)切圓，又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，如此無限繼續(xù)下去.設(shè)為前個(gè)圓的面積之和，則 （ ） A. B. C. D. 第7題圖 【測量目標(biāo)】數(shù)列的極限與運(yùn)算. 【考查方式】圖形的面積構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列，利用數(shù)列的極限運(yùn)算求出極限.【難易程度】中等 【參考答案】C【試題解析】依題意分析可知，圖形中內(nèi)切圓半徑分別為：

6、r，即（步驟1）則面積依次為：所以，故C正確.（步驟2）8.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加上海世博會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，每人從事翻譯、 導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作之一，每項(xiàng)工作至少有一人參加.甲、乙不會(huì)開車但能從事 其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是 （ ） A.152 B.126 C.90 D.54【測量目標(biāo)】排列，組合及其應(yīng)用.【考查方式】給出了5名同學(xué)所能從事的工作，根據(jù)排列組合算出不同的分配方案.【難易程度】中等【參考答案】B【試題解析】分類討論：若有2人從事司機(jī)工作，則方案有；若有1人從事司機(jī)工作，則方案有種，所以共有18+108=126種，故B正確.來源

7、:9.若直線與曲線有公共點(diǎn)，則的取值范圍是 （ ） A. B. C. D.【測量目標(biāo)】直線與圓的位置關(guān)系.【考查方式】根據(jù)直線與雙曲線有公共點(diǎn)求出b的取值范圍.【難易程度】中等【參考答案】C【試題解析】曲線方程可化簡為，即表示圓心為（2，3）半徑為2的半圓（步驟1），當(dāng)直線與此半圓相切時(shí)須滿足圓心（2，3）到直線y=x+b距離等于2，解得，因?yàn)槭窍掳雸A故可得（舍）（步驟2），當(dāng)直線過（0，3）時(shí)，解得b=3,故所以C正確.（步驟3）10記實(shí)數(shù)，中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.已知的三邊長為，定義它的傾斜度為則“”是“為等邊三角形”來源:

8、A.必要而不充分的條件 B.充分而不必要的條件C.充要條件 D.既不充分也不必要的條件【測量目標(biāo)】充分必要條件.【考查方式】給出三角形傾斜度的定義，判斷命題的充分必要性.【難易程度】較難【參考答案】A【試題解析】若ABC為等邊三角形時(shí)，即a=b=c，則則=1（步驟1）；若ABC為等腰三角形，如a=2,b=2,c=3時(shí)，則，此時(shí)=1仍成立但ABC不為等邊三角形,所以A正確.（步驟2）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上，一題兩空的題，其答案按先后次序填寫.答錯(cuò)位置，書寫不清，模棱兩可均不得分11.在展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有 項(xiàng).【測量目標(biāo)】二

9、項(xiàng)式定理.【考查方式】給出二項(xiàng)式，根據(jù)二項(xiàng)式的展開式求出系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)數(shù).【難易程度】容易【參考答案】6【試題解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為要使系數(shù)為有理數(shù)，則r必為4的倍數(shù)，所以r可為0、4、8、12、16、20共6種，故系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有6項(xiàng).12己知，式中變量滿足約束條件則的最大值為 . 第12題圖 【測量目標(biāo)】二元線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值.【考查方式】給出了約束條件，判斷可行域，求出目標(biāo)函數(shù)的最大值.來源:】 【難易程度】容易【參考答案】5【試題解析】依題意，畫出可行域（如圖示），則對于目標(biāo)函數(shù)y=2z，來源:當(dāng)直線經(jīng)

10、過A（2，1）時(shí)，z取到最大值,. 13圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示)，則球的半徑是 cm第13題圖 【測量目標(biāo)】柱，球的體積.【考查方式】給出了3個(gè)球和水的體積相加等于圓柱形容器的體積，由圓柱的體積公式以及圓的體積公式求出圓的半徑. 【難易程度】容易 【參考答案】4【試題解析】設(shè)球半徑為r，則由，解得r=4. 14某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下： 7 8 9 10 p x 0.1 0.3 y已知的期望，則y的值為 【測量目標(biāo)】數(shù)學(xué)期望，古典概型.【考查方式】給出了古典概型的概率和數(shù)學(xué)期望，算出未知數(shù).

11、【難易程度】容易【參考答案】0.4【試題解析】由表格可知（步驟1）聯(lián)合解得.（步驟2）15設(shè)，稱為a，b的調(diào)和平均數(shù)如圖，C為線段AB上的點(diǎn)，且AC=a，CB=b，O為AB中點(diǎn)，以AB為直徑作半圓過點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為E連結(jié)OD，AD，BD過點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為E則圖中線段OD的長度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線段 的長度是a，b的幾何平均數(shù)，線段 的長度是a，b的調(diào)和平均數(shù) 第15題圖 【測量目標(biāo)】射影定理，幾何、調(diào)和平均數(shù).【考查方式】給出幾何圖形以及算數(shù)平均數(shù)的幾何意義，判斷幾何、調(diào)和平均數(shù)所表示的線段.【難易程度】中等【參考答案】CD，DE【試題解析】在RtADB中DC為高，則由射影

12、定理可得，故，即CD長度為a,b的幾何平均數(shù)（步驟1），將OC=代入可得故，所以ED=ODOE=，故DE的長度為a,b的調(diào)和平均數(shù).（步驟2）三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟來源:學(xué)+16（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（I）求函數(shù)的最小正周期；（II）求函數(shù)的最大值，并求使取得最大值的的集合【測量目標(biāo)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角函數(shù)的周期性、最值.【考查方式】給出了兩三角函數(shù)解析式，通過化簡求出的最小正周期；求出新函數(shù)的解析式，通過化簡求出函數(shù)的最值.【難易程度】容易【試題解析】（I） = 的最小正周期為.（步驟1） （II）當(dāng)時(shí)，取得最大值.（步驟

13、2）取得最大值時(shí)，對應(yīng)的的集合為.（步驟3）17（本小題滿分12分）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：cm）滿足關(guān)系：，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和（I）求的值及的表達(dá)式；（II）隔熱層修建多厚對，總費(fèi)用達(dá)到最小，并求最小值【測量目標(biāo)】函數(shù)模型的構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用.【考查方式】給出實(shí)際問題，根據(jù)所給條件構(gòu)建函數(shù)模型從而求出k的值，利用導(dǎo)數(shù)求的

14、總費(fèi)用的最小值，主要考查了運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.【難易程度】容易【試題解析】（I）設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)每年能源消耗費(fèi)用為可由,得k=40，因此而建造費(fèi)用為（步驟1）最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為（步驟2）（II）令，即.解得（舍去）.（步驟3）當(dāng)時(shí)當(dāng)5x10時(shí)，故x=5是的最小值點(diǎn)，對應(yīng)的最小值為.當(dāng)隔熱層5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元.（步驟4）18. (本小題滿分12分) 如圖, 在四面體ABOC中，OCOA, OCOB,AOB=120，且OA=OB=OC=1.（I） 設(shè)P為AC的中點(diǎn).證明：在AB上存在一點(diǎn)Q,使PQOA,并計(jì)算的值；（II）求二

15、面角的平面角的余弦值. 第18題圖 【測量目標(biāo)】立體幾何的探索性問題，三垂線定理，二面角.【考查方式】給出了四面體及若干邊角條件，由P為AC的中點(diǎn)探索是否有滿足條件的定點(diǎn),根據(jù)線面之間的關(guān)系以及三垂線定理，求出二面角的余弦值.【難易程度】中等【試題解析】（I）在平面OAB內(nèi)作ONOA交AB于N，連接NC，又OAOC，故OA平面ONC OANC（步驟1）取AN的中點(diǎn)QPQNCPQOA（步驟2）在等腰三角形AOB中，AOB，OABOBA在RtAON中，OBAON在ONB中，ONBNBONBONAQ3（步驟3）（II）由ACNPOPN是二面角OACB的平面角在RtPON中，ON，PN（步驟4） 第1

16、8題圖 19. (本小題滿分12分)已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差是1.（I）求曲線C的方程；（II）是否存在正數(shù)m，對于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線，都有0 ? 若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.【測量目標(biāo)】拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，圓錐曲線中的探索性問題.【考查方式】由題中已知條件得到拋物線的第二定義，從而求出曲線的方程;給出條件探索不等式是否成立，利用直線與曲線方程聯(lián)立求解問題.【難易程度】中等【試題解析】（I）設(shè)點(diǎn)是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P滿足：化簡得（步驟1） （II）設(shè)過點(diǎn)M（的直線與曲線C的交點(diǎn)

17、為A，設(shè)的方程為，由得，于是（步驟2）又， （步驟3）又于是不等式等價(jià)于（步驟4）把式代入不等式有（步驟5）對任意實(shí)數(shù)t，4的最小值是0，所以不等式對于一切t成立等價(jià)于，即由此可知，存在正數(shù)m，對于過點(diǎn)M（m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線，都有,且m 的取值范圍是（步驟6）第19題組 20. (本小題滿分13分)已知數(shù)列滿足: , 0；數(shù)列滿足: =（n1）.（I）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式;（II）證明:數(shù)列中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列.【測量目標(biāo)】已知數(shù)列關(guān)系求通項(xiàng)，反證法.【考查方式】給出了兩個(gè)數(shù)列之間的關(guān)系，利用遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用反證法證明命題的正確性.【難易程度】較難【試題解析】（I）由（步驟1），1，又0，0 11 （步驟2）（II）用反證法證明.假設(shè)數(shù)列bn存在三項(xiàng)（rsbsbt，則只可能有2bs=br+ bt成立.，（步驟3）兩邊同乘，化簡得.由于rst，所以上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾.（步驟4）21. (本小題滿分14分)已已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程為yx1（1）用a表示出b，c；（2）若在1，上恒成立，求a的取值范圍；（3）證明：【測量目標(biāo)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、解決不等式問題.【考查方式】給出函數(shù)某點(diǎn)的