《數(shù)學(xué)物理方法》第一篇復(fù)變函數(shù)導(dǎo)論

1、數(shù)學(xué)物理方法,數(shù)學(xué)物理方法的性質(zhì)和目的,性質(zhì) 為信息工程與技術(shù)專業(yè)開設(shè)的專業(yè)基礎(chǔ)必修課，在教學(xué)培養(yǎng)計劃中列為主干課程。 目的 通過本課程的學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)物理中的常用方法，為學(xué)習(xí)理論物理課程與專業(yè)基礎(chǔ)理論課程提供基礎(chǔ)。,2020/10/7,3,教材：汪德新，數(shù)學(xué)物理方法，第三版，科學(xué)出版社，2006年8月 參考書： 1吳崇試，數(shù)學(xué)物理方法，北京大學(xué)出版社 2003-12-26出版 2胡嗣柱、倪光炯，數(shù)學(xué)物理方法，第二版，高等教育出版社，復(fù)旦大學(xué)出版社，2002； 3梁昆森，數(shù)學(xué)物理方法，第三版，高等教育出版社，1998； 4郭敦仁，數(shù)學(xué)物理方法，第二版，人民教育出版社，1991。,教材與參考書,

2、2020/10/7,4,5鐘毓澍 ，數(shù)學(xué)物理方法習(xí)題指導(dǎo) ，北京大學(xué)出版社 2004-09-01 出版 6姚端正，數(shù)學(xué)物理方法 學(xué)習(xí)指導(dǎo)，第一版，科學(xué)出版社，2001； 7胡嗣柱，數(shù)學(xué)物理方法解題指導(dǎo)，高等教育出版社1998年 8李惜雯，數(shù)學(xué)物理方法 典型題 解法.技巧.注釋，西安交通大學(xué)出版社，2001；,習(xí)題參考書,5,作業(yè)：請介紹你有關(guān)學(xué)習(xí)本課程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)情況；你對本課程教學(xué)的建議與期望。,高等數(shù)學(xué)掌握程度自我評價。 高等數(shù)學(xué)中： 向量代數(shù)與空間解析幾何學(xué)過嗎? 常微分方程的解學(xué)過嗎? 三重積分、曲線積分、曲面積分學(xué)過嗎? 無窮級數(shù)學(xué)過嗎?其中包括傅里葉級數(shù)嗎? 線性代數(shù)學(xué)過嗎? 你對本

3、課程教學(xué)的建議與期望。,第一篇 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)論,自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù) 本篇討論復(fù)變函數(shù)論的基本概念、基本定理和基本方法，以及若干實際運用解析函數(shù)是本篇研究的重點。 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)論是本書其后三篇的基礎(chǔ),7,第1章介紹復(fù)變函數(shù)的微分理論著重討論解析函數(shù)的微分性質(zhì)及其應(yīng)用 第2章介紹復(fù)變函數(shù)的積分理論著重討論解析函數(shù)的積分性質(zhì)及其應(yīng)用 第3章介紹復(fù)變函數(shù)的級數(shù)理論著重討論解析函數(shù)與泰勒(Taylor)級數(shù)、洛朗（Laurent）級數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用,8,第4章介紹留數(shù)理論，它是復(fù)變函數(shù)積分理論與級數(shù)理論相結(jié)合的產(chǎn)物本章利用留數(shù)定理進(jìn)行實變積分計算，整數(shù)與半整數(shù)級數(shù)和的計算 第5章介紹解析延拓與多

4、值函數(shù)的一些基本概念著重討論擴大解析函數(shù)的定義域，以及將多值函數(shù)轉(zhuǎn)化為黎曼(Riemann)面上的單值解析函數(shù)的問題,第1章復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù),本章首先介紹復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)的基本概念 著重討論解析函數(shù)的定義、充要條件，解析函數(shù)的共扼性、調(diào)和性和保角性，以及常用的解析函數(shù)的性質(zhì) 解析函數(shù)是本篇各章研究的主要對象,10,思考：復(fù)變函數(shù)和實變函數(shù)的區(qū)別和 聯(lián)系。,實變函數(shù)：實變量的函數(shù)。例：x,y 實變量；f (x,y) 實變函數(shù) 復(fù)變函數(shù)：復(fù)變量的函數(shù)，實變函數(shù)的推廣。 實數(shù)實變量實變函數(shù) 復(fù)數(shù)復(fù)變量復(fù)變函數(shù),11,第1章 復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù),內(nèi)容 1.1 復(fù)數(shù) 1.2 復(fù)變函數(shù) 復(fù)變函數(shù)的極限與連

5、續(xù) 1.3 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)柯西一黎曼條件 1.4 解析函數(shù),1.1 復(fù)數(shù),本節(jié)討論復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的幾何表示法，復(fù)數(shù)的代數(shù)運算和復(fù)數(shù)序列的極限,13,1.1.1 復(fù)數(shù)的定義和基本概念 1.1.2 復(fù)數(shù)的幾何表示 1.1.3 復(fù)數(shù)的運算規(guī)則,14,1.1.1 復(fù)數(shù)的定義和基本概念,在實數(shù)范圍內(nèi)，代數(shù)方程 z2+1=0 沒有解 如果把數(shù)域擴大，則可得到兩個根， 我們把 * 稱為虛數(shù)單位，并規(guī)定它與實數(shù)在一起可進(jìn)行通常的四則運算 這樣，形如 z=x+iy 的數(shù)（其中x,y為實數(shù)）稱為復(fù)數(shù)x與y分別稱為復(fù)數(shù)的實部與虛部，記作 x=Rez， y=Imz,* i 為瑞士著名數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家歐拉（Eul

6、er) 1777年首次采用記號，稱為虛數(shù)單位,15,實數(shù)和純虛數(shù)是復(fù)數(shù)的特殊情形,如 2=z=2+i0 實部為2，虛部為0，是純實數(shù) 4i=z=0+i4 實部為0，虛部為4，是純虛數(shù) 當(dāng)x1=x2，y1=y2時，則稱z1=x1+iy1與z2=x2+iy2相等。 當(dāng)x1=x2，y1= - y2時，則稱z1=x1+iy1與z2=x2+iy2 互為共軛復(fù)數(shù)。 常用z* 表示z的共扼復(fù)數(shù)。 (z* )* =z 例： z1=2+3i與z2=2-3i 稱z1與z2互為共軛復(fù)數(shù)。,16,復(fù)數(shù)能不能比較大小?!,17,1.1.2 復(fù)數(shù)的幾何表示,復(fù)數(shù)可以用平面上的點來表示，稱為復(fù)數(shù)的平面表示法； 球面上的點來

7、表示，稱為球面表示法。,18,1. 復(fù)數(shù)平面表示法,在復(fù)數(shù)平面中可以引入笛卡爾 直角坐標(biāo)，也可以引人平面極坐標(biāo) 在使用直角坐標(biāo)時，用平面上的 點 (x,y) 表示復(fù)數(shù) z = x + iy 平面上的一點(x,y) 就與一個復(fù)數(shù) z = x+iy 相對應(yīng)，而平面上所有的點就與全體復(fù)數(shù)一一對應(yīng)， xoy平面就稱為復(fù)平面 每一復(fù)數(shù)還可以用一個矢量來表示矢量由坐標(biāo)原點指向點(x,y)，如圖1.1所示，稱為復(fù)矢量,19,在使用平面極坐標(biāo)時，復(fù)數(shù)平面上的點可用極坐標(biāo) (，) 表示，它與x , y的關(guān)系為:,從笛卡爾直角坐標(biāo)變換到平面極坐標(biāo)，就可從復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式變換到三角表示式:,這里為復(fù)矢量的長度，稱為

8、復(fù)數(shù)的模,j為復(fù)矢量與x軸的夾角，稱為復(fù)數(shù)的輻角,20,一個復(fù)數(shù)對應(yīng)于無限多個輻角， 設(shè)j0是其中的一個，則 通常用argz表示輻角Argz的主值，主值的取值范圍是 復(fù)數(shù)z=0的輻角沒有確定值，說”z=0”的輻角等于多少”是沒有意義的。 用極坐標(biāo)表示一個復(fù)數(shù)z 時， 輻角Argz 的值不唯一,21,（3）指數(shù)表示,復(fù)數(shù)的指數(shù)表示為 z reij （1.1.10) 利用歐拉公式eij = cosj+isinj可以將復(fù)數(shù)的三角表示變換為指數(shù)表示 z reij = r(cosj+isinj) （1.1.11),22,下面舉例說明從復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式到三角表示式的變換。 例1 求 的三角表示式與指數(shù)表示

9、式。 解,本題的關(guān)鍵在于求出所給的復(fù)數(shù)的模與幅角，并注意到點位于第二象限，故有,23,2. 用復(fù)數(shù)球面表示復(fù)數(shù)無窮遠(yuǎn)點,正如復(fù)數(shù)平面上的每一點與一個復(fù)數(shù)一一對應(yīng)，因而可以用復(fù)數(shù)平面上的點表示復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)球面上的每一點也可以與一個復(fù)數(shù)一一對應(yīng)，所以可以用復(fù)數(shù)球面上的點表示復(fù)數(shù) 。,24,首先，過復(fù)數(shù)平面的坐標(biāo)原點。作一個球面與復(fù)數(shù)平面相切（圖1. 2).然后過。作復(fù)數(shù)平面的垂線交球面于N點，稱為北極點再作射線NP交球面于P點這樣，球面上的P點與平面上的P點一一對應(yīng)，因而球面上所有的點也與全體復(fù)數(shù)一一對應(yīng)； 由圖1.2可見，復(fù)數(shù)平面上以O(shè)為圓心的圓L上的點 與復(fù)數(shù)球面緯線L上的點相對應(yīng)； 圓L內(nèi)部的

10、點與球面緯線L下方的點相對應(yīng); 當(dāng)平面上圓L的半徑時，球面上的緯線L趨向球頂并縮成一點N .,25,由此可見，復(fù)平面的無限遠(yuǎn)處，對應(yīng)于球面上的一點N. 在這個意義上， 把復(fù)平面無限遠(yuǎn)處看成一個“點”， 稱為無窮遠(yuǎn)點 復(fù)平面的無限遠(yuǎn)處看成一個“點”-無限遠(yuǎn)點。,26,1.1.3 復(fù)數(shù)的運算規(guī)則,(1)加法 復(fù)數(shù)z1和z2 的和定義為 z = z1+z2 = (x1+iy1)+(x2+iy2) = (x1+x2)+i(y1+y2) 復(fù)數(shù)加法的幾何意義是：兩個復(fù)矢量的和遵守平行四邊形法則。 從右圖可以得到兩個重要不等式： （三角形兩邊長之和不小于第三邊） （三角形兩邊之差小于第三邊） 等號是在三角形

11、變成直線時成立 這些不等式在導(dǎo)出復(fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)時要用到,(1)加法 復(fù)數(shù)z1和z2 的和定義為 z = z1+z2 = (x1+iy1)+(x2+iy2) = (x1+x2)+i(y1+y2) 復(fù)數(shù)加法的幾何意義是：兩個復(fù)矢量的和遵守平行四邊形法則。 從右圖可以得到兩個重要不等式： （三角形兩邊之差小于第三邊） 等號是在三角形變成直線時成立 這些不等式在導(dǎo)出復(fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)時要用到,27,(2）減法 復(fù)數(shù)的減法是作加法的逆運算來定義的 若存在z，使得z2+z = z1， 則稱z為復(fù)數(shù)z1與z2之差，即 z = z1- z2 = (x1+iy1)-(x2+iy2) = (x1-x2

12、)+i(y1-y2),28,（3）乘法 復(fù)數(shù)z1與z2的乘積定義為,z = z1z2 = (x1+iy1)(x2+iy2) =(x1x2 y1y2) + i(x1y2 + y1x2) 特別是： (x+iy)(x-iy) = x2 + y2，即兩共扼復(fù)數(shù)的乘積等于它們的模的平方（簡稱模方） 利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式計算復(fù)數(shù)的乘積，往往更為方便 兩復(fù)數(shù)乘積的幾何意義是將兩復(fù)數(shù)的模相乘而輻角相加,29,（4）乘方 乘方可由乘法規(guī)則得到，用n個z相乘,30,【例1.1.1-A】試證明棣莫弗(De Moivre)公式,證 由歐拉公式 代 入 式兩邊，即有,令=1，即為棣摩弗公式,31,【例1.1.1-B 】

13、試用cos及sin表示cosn及sinn. 解 在棣摩弗公式中，利用牛頓二項式展開 （cos+isin ）n ，即有 cosn+isinn = （cos+isin ）n,牛頓二項式展開公式,32,n/2記號常用來簡化公式的表達(dá)，6.1節(jié)將利用它來表示勒讓德多項式,由于求和式中k=2l 的項為實數(shù)，k=2l+1的項為虛數(shù)，根據(jù)上式兩邊的實部與虛部分別相等，即得,(1.1.30),(1.1.29),(1.1.31),33,（5）除法 復(fù)數(shù)的除法是作為乘法的逆運算來定義的，若存在z ，使得，則稱z2z=z1，則稱z為z1除以z2所得之商 同樣，利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式將更方便,34,（6）開方 復(fù)數(shù)的開

14、方是乘方的逆運算。,將 開n次方，就是求滿足方程 的復(fù)數(shù)w，記作 為此，設(shè) 將w及z0代入,（k為整數(shù)）,即有,35,這樣，復(fù)數(shù)的n次根有n個不同值,可見，k=0與k=n得到相同的w，k=1與k=n1得到的w相同， 只有當(dāng)k=0，1，n-1時，得到的w是不同的，即僅有n個。,36,37,【例1.1.2-B】如圖所示，已知 求 解 首先寫出z0的指數(shù)表示式 ，k為整數(shù) 四個不同的根是,38,1.1.4 復(fù)數(shù)序列的極限,1.復(fù)數(shù)序列 按一定順序排列的復(fù)數(shù)zn=xn+iyn，n=1，2，稱為復(fù)數(shù)序列，記作zn； 一個復(fù)數(shù)序列等價于兩個實數(shù)序列xn和yn的有序組合。,39,2.聚點與極限,(1)聚點

15、任給e0，存在無窮多個zn 滿足 | zn z |0，存在N(e)0，使當(dāng)nN(e)時，有 | zn z | e （1.1.35) 則稱：為復(fù)數(shù)序列zn的極限，或稱復(fù)數(shù)序列收斂于z，記作,40,(3)有的序列可以有多個聚點，當(dāng)序列的極限存在時，序列的極限是序列的唯一聚點,在實數(shù)序列xn中，數(shù)值最大的聚點稱為xn的上極限，記作 ； 數(shù)值最小的聚點稱為序列xn的下極限，記作 對于序列(l.1.37)，有 上極限與下極限的概念在計算級數(shù)收斂半徑時要用到（見3.2節(jié)）,41,3.復(fù)數(shù)序列極限存在的充要條件柯西判別法 任給e 0，存在自然數(shù) N(e) ，當(dāng)nN(e)時，對任意正整數(shù)p，有 | zn z

16、|0，存在自然數(shù)N(e)，使當(dāng)nN(e)時，有 | zn | M（1.1.40) 則zn 趨于無窮，記作,42,作業(yè)- 1.1 第8頁,1.2 復(fù)變函數(shù) 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù),本節(jié)介紹區(qū)域的概念， 復(fù)變函數(shù)的定義及其幾何意義，復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù),44,1.2.1 區(qū)域,如果將函數(shù)的概念由實數(shù)域推廣到復(fù)數(shù)域，那么自變量取值的范圍就是復(fù)平面上的區(qū)域（稱為定義域），如圖1.4所示，開區(qū)域D是指邊界線L所包圍的區(qū)域（不含邊界線L),如果要給區(qū)域作出嚴(yán)格的定義，則要介紹有關(guān)點集（點的集合）的一些基本概念,45,點集（點的集合）的一些基本概念,(1-a) 點z0的e鄰域 它是指以點z0 為圓心，任意小的

17、正實數(shù)e為半徑的一個開圓，即滿足 |z- z0 | e (1.2.1) 的點的集合。 (1-b)點z0的無心鄰域 它是指滿足 0 |z- z0 | e （1.2.2) 的點的集合，與前者的區(qū)別就是不包含點z0.,46,(2)點集D的內(nèi)點,若某點的。鄰域中所有的點都屬于點集D，則此點稱為點集D的內(nèi)點，如圖1.4中的a點。,47,(3)區(qū)域,滿足如下兩個條件的點集D稱為區(qū)域（開區(qū)域）： 每一點都是內(nèi)點（開集性）； 點集D中的任意兩點都可以用一條由該點集D的點構(gòu)成的曲線連接起來（連通性）區(qū)域D通常用不等式表示，例如 |z|R（1.2.3) 表示以O(shè)為圓心，R為半徑的開圓，如圖1.5所示,48,(4)

18、邊界點 若某點不屬于D，但其e鄰域中含有屬于D的點，則該點稱為D的邊界點。在圖1.4的b點就是區(qū)域D的邊界點（注意，b點不屬于D） 邊界點的全體就構(gòu)成邊界L；在圖1.5中，|z|=R就是區(qū)域D的邊界線,49,開區(qū)域D加上邊界L稱為 閉區(qū)域 例如，開圓|z|R加上邊界線|z|=R就構(gòu)成閉圓|z|R 通常還把不包括無窮遠(yuǎn)點的平面叫作全平面，把包括無窮遠(yuǎn)點的整個平面稱為閉平面。,(5)閉區(qū)域,50,(6) 單通區(qū)域與復(fù)通區(qū)域,圖1.6(a)，(b)，(c)給出的三個區(qū)域都具有連通性：區(qū)域內(nèi)的任意兩點均可用一根在區(qū)域內(nèi)的曲線把它們連接但是，它們的邊界分別由一根、兩根和三根不相連接的閉合曲線構(gòu)成（圖中的

19、斜線部分不屬于D).,區(qū)域不相連接的邊界數(shù)目稱為連通階數(shù)，n=1的區(qū)域稱單通區(qū)域，nl的區(qū)域稱復(fù)通區(qū)域兩者的本質(zhì)區(qū)別是：區(qū)域中任一閉合曲線能否連續(xù)變形而縮成一點“連續(xù)變形”是指曲線變形時不跨越不屬于D的(標(biāo)有斜線的)區(qū)域,51,以后常常要將在單通區(qū)域成立的定理推廣到復(fù)通區(qū)域，這只要通過作割線(見圖1.7中的割線L”)將圖1.7復(fù)通區(qū)域割開，變成單通區(qū)域即可,52,例1.2.1 在復(fù)平面上畫出下述區(qū)域，并指出區(qū)域的連通性：,53,(2)首先把輻角不等式變?yōu)殛P(guān)于x,y的不等式令,54,圖1.9的區(qū)域(以灰色作標(biāo)記)在w平面和z平面分別由下面三個方程界定：,55,如圖 所示，給出幾種典型的區(qū)域,56

20、,1.2.2 復(fù)變函數(shù)的定義及幾何意義,復(fù)變函數(shù)的定義 如果區(qū)域D內(nèi)的每一個z值，均有一個或多個w值與之對應(yīng)，則w稱為z的函數(shù)，記作 wf(z) (1.2.15) 如果令 wu+iv (1.2.16) 并將z=x十iy代入，則有 wf (z)u(x,y)十iv(x,y) (1.2.17) 這表明，復(fù)變函數(shù)其實是兩個二元實變函數(shù)的有序組合因此，復(fù)變函數(shù)的許多性質(zhì)(當(dāng)然不是全部)都是實變函數(shù)相應(yīng)性質(zhì)的直接推廣,57,如果一個z值僅對應(yīng)一個w值，則 w=f(z) 稱為單值函數(shù)，否則稱為多值函數(shù) 本書主要討論單值函數(shù)，后者僅于1.4節(jié)，5.2節(jié)及6.4節(jié)涉及,58,復(fù)變函數(shù)的幾何意義由Z平面到W平面的

21、映射 設(shè)w=f(z)是在區(qū)域D中的單值函數(shù)，即Z平面上的一點z=x+iy與W平面上的一點w=u+iv相對應(yīng) 例如，對于復(fù)變函數(shù) w=f(z)=z+1 來說，Z平面上的 z=1+i 點與W平面上的w=z+1=2+i 點相對應(yīng)。當(dāng)z在Z平面上沿某一曲線L變動時，與它相應(yīng)的w也將在W-平面沿另一曲線L變動。曲線L與L上的點根據(jù)w=f(z)的關(guān)系一一對應(yīng)，這種對應(yīng)關(guān)系稱為由Z平面到W平面的一個映射 這就是復(fù)變函數(shù)的幾何意義。,59,60,61,1.2.3 復(fù)變函數(shù)的極限,1. 函數(shù)極限的定義 設(shè)w=f(z)是在z0點的無心鄰域中定義的單值函數(shù)若任給實數(shù)e 0，存在實數(shù)d 0，使當(dāng)0|z- z0|d 時

22、，有 |f (z)-w0|e (1.2.25) 則稱zz0時f(z)的極限為w0 ，記作,由定義可見，極限值w0是與zz0的方式無關(guān)的，換句話說，當(dāng)z以不同方式趨于z0，如果f(z)的取值不同，則其極限不存在。,62,由于w= f(z)=u(x,y) +iv(x,y)，因此復(fù)變函數(shù)中極限的定義可以歸結(jié)為實變二元函數(shù)極限的定義，并且復(fù)變函數(shù)極限的性質(zhì)就是實變函數(shù)極限性質(zhì)的自然推廣,63,2. 函數(shù)極限的性質(zhì),64,1.2.4 復(fù)變函數(shù)的連續(xù),1.連續(xù)函數(shù)的定義 設(shè)w=f(z)是在z0點鄰域中定義的函數(shù)若任給實數(shù)e 0， 存在實數(shù)d 0，使當(dāng)|z- z0|d 時，有 |f (z)-w0|e (1.

23、2.30) 則稱函數(shù)w=f(z)在z0處連續(xù)。,65,1.2.4 復(fù)變函數(shù)的連續(xù),在極限的定義中，只要求在z0點的無心鄰域 0|z- z0|d 中 |f (z)-w0|e ，w0 可以不等于f (z0)； 在連續(xù)的定義中要求在z0 點的鄰域|f (z) -f (z0)|e f(z)是 x,y的函數(shù)，因而w=u+iv也是 x,y的函數(shù)，f (z)在z0 =x0+iy0連續(xù)與u(x,y)，v(x,y)必在(x0,y0)連續(xù)是等價的，f(z) =f (z0) 。 如果w=f(z)在D內(nèi)每一點連續(xù)，則稱函數(shù)在D內(nèi)連續(xù)。,66,2.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),在實變函數(shù)中有關(guān)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可以自然地推廣到復(fù)變函數(shù)

24、中來 首先，如果f (z)在D上連續(xù)，則f(z)在D上一致連續(xù)即任給實數(shù)e 0，存在實數(shù)d 0，使D上任何兩點z 和z 滿足| z - z | d 時，必有 |f(z )一f (z )|e (1.2.31) 在連續(xù)的定義中，只要求f (z)在z0點的鄰域中有定義，并且z0是定點，z為動點；在一致連續(xù)的定義中，要求f (z)閉區(qū)域D上連續(xù)，且z 和z“ 為 D上的兩動點,67,2.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),類似地，連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(在分母不為零的點)仍為連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù) 以上性質(zhì)的證明，可參看實變函數(shù)相應(yīng)性質(zhì)的證明,68,作業(yè)- 1.2 第14頁,1.3 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 柯

25、西-黎曼條件,本節(jié)首先介紹復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)和微分的定義，進(jìn)而導(dǎo)出復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充分必要條件； 定理的證明過程表明，柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)條件是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的必要條件； 最后，討論復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,70, 1.3.1 導(dǎo)數(shù)與微分,1.導(dǎo)數(shù)的定義與導(dǎo)數(shù)公式 設(shè)w=f(z)是區(qū)域D中定義的單值函數(shù)，若在D內(nèi)某點z，極限 存在，則稱函數(shù)f(z)在z點可導(dǎo)，并稱此極限值為f(z)在z點的導(dǎo)數(shù)，記作,71,討論 第一，由極限的定義可知，無論D z以任何方式趨于零，式(1.3.1)均應(yīng)趨于同一有限的極限值 第二， f(z)在z點可導(dǎo)，則f(z)必在z點連續(xù)。因為，若f(z)不連續(xù)，即當(dāng)

26、D z0 時，Dw= f (z+D z)- f (z)不趨于零，式(1.3.1)必定沒有有限的極限，與f(z)在z點可導(dǎo)矛盾。 第三，由于復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義與實變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義在形式上相同，實變函數(shù)所有導(dǎo)數(shù)公式都可以推廣到復(fù)變函數(shù)中來 特別是，當(dāng)f1(z)和f2(z)都存在時， f1(z)和f2(z) 的和、差、積、商以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式也具有與實變函數(shù)相同的形式例如，復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式為,72,2.微分的定義與微分公式,73,這樣，導(dǎo)數(shù)也可理解為函數(shù)微分除以自變量微分之商，稱為微商 復(fù)變函數(shù)的微分公式也具有與實變函數(shù)相同的形式，此處不再贅述 現(xiàn)在，我們轉(zhuǎn)向研究函數(shù)w= f (z)可導(dǎo)的條件

27、是什么,74,1.3.2 復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充分必要條件,定理 函數(shù)f(z) = u(x,y) + iv(x,y)在(x,y)點可導(dǎo)的充要條件是 (1) u(x,y)與v(x,y)在(x,y)點可微； (2) u(x,y)與v(x,y)在(x,y)點滿足柯西一黎曼條件(簡稱C-R條件),采用簡寫記號,C-R條件可簡寫為,采用簡寫記號,C-R條件可簡寫為,75,證明 (1) 充分性,由u，v可微，可知u，v的全微分存在，即,其中1和2是無窮小量（當(dāng)x 與y0）對于任意的z=x+iy有,76,利用C-R條件，把對y的偏導(dǎo)改為對x的偏導(dǎo)，消去公因子，即有 利用 ，當(dāng)z0時， 即x0及y0時，上式第二項趨

28、于零， 即,即f(z)可導(dǎo)，充分性得證,77,(2)必要性,若f (z)在z點可導(dǎo)，則式(1.3.1)有確定的極限,78,將式(1.3.19)與式(1.3.20)聯(lián)立即得C-R條件，必要性得證,79,討論,第一，從“函數(shù)可微”的定義可見，判斷式(1.3.4)的第二項是否關(guān)于r的高階小量要費些周折通常以可微的充分條件(u，v有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù))來代替*因為要判斷u，v是否遵守C-R條件就要計算ux，uy，vx，vy，考察它們是否連續(xù)是輕而易舉的 第二，從定理的證明過程可見；C-R條件是f(z)可導(dǎo)的必要條件，而不是充分條件例1.3.1是一個非常形象的例子,80,81,82,1.3.3 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的

29、幾何意義,設(shè)函數(shù)w=f(z)在z=z0點有導(dǎo)數(shù),由復(fù)變函數(shù)的幾何意義可知，當(dāng)z在z平面沿曲線L變動時，w在w平面沿曲線L變動(圖1.12),(1.3.22),83,84,由等式兩邊復(fù)數(shù)的模與輻角相等(一般來說，兩者輻角可相差2kp，便有,由此可得導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 導(dǎo)數(shù)的模 |f(z0)|表示通過點z0 的無窮小線段Dz映射為w平面的Dw時，長度的放大系數(shù) 導(dǎo)數(shù)的輻角argf(z0)表示曲線L上z。點的切線與曲線L上的w0點的切線的夾角，即從z平面到w平面映射前后切線的轉(zhuǎn)動角,85,作業(yè)- 1.3 第19頁,1.4 解析函數(shù),本節(jié)介紹解析函數(shù)的定義; 函數(shù)解析的充要條件及解析函數(shù)的共扼性、調(diào)和性

30、和保角性; 在此基礎(chǔ)上介紹從解析函數(shù)的虛部(或?qū)嵅?求解析函數(shù)的四種常用方法最后介紹初等解析函數(shù),87,1.4.1 解析函數(shù)的定義,若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)點點可導(dǎo)，則稱f(z)為D內(nèi)的解析函數(shù) 若函數(shù)f(z)在z0點的鄰域( |z - z0 |e )點點可導(dǎo)，則稱f(z)在z0點解析，它比“f(z)在z0點可導(dǎo)”要求為高(參看例1.4.1). 若函數(shù)f (z)在包含D的某個開區(qū)域D+內(nèi)解析，則稱f(z)在閉區(qū)域D中解析,88,如果f1(z)和f2(z)在D內(nèi)解析，即f1(z)與f2(z) 在D內(nèi)點點可導(dǎo)，1.3節(jié)指出f1(z)和f2(z)的和、差、積、商(f2(z)0)也在D內(nèi)點點可導(dǎo)，可見

31、它們均為解析函數(shù) 特別是，令f1(z)=1，則解析函數(shù)f2(z)的倒函數(shù)g(z)也是解析函數(shù)(當(dāng)然，仍要求f2(z)0),89,【例1.4.1】函數(shù)f(z)=|z|2在z=0點是否可導(dǎo)？是否解析？,解 由f(z)=|z|2=x2 +y2 ，得 u=x2 +y2， v=0 ，由此得 ux = 2x，uy= 2y， vx = 0，vy = 0 即u，v在z=0點可微且滿足C-R條件，可見f(z)僅于 z=0 點可導(dǎo) 因為f(z)在z=0的鄰域除z=0點外均不可導(dǎo)，故f (z)在z=0不解析 若函數(shù)f(z)在某點a沒有定義，或者在a點不解析，則稱a點為f(z)的奇點例如z=a就是函數(shù)f(z)=1/(

32、1-z)的奇點,90,1.4.2 函數(shù)解析的充要條件,定理: 函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件為 (1) f(z)在D內(nèi)連續(xù)； (2) u，v遵守C-R條件,91,既然f(z)在D內(nèi)解析定義為f(z)在D內(nèi)點點可導(dǎo)，而f(z)可導(dǎo)的充要條件是u，v可微且滿足C-R條件，自然會得出函數(shù)解析的充要條件是u，v在D內(nèi)可微且滿足C-R條件 1923年，Looman等試圖利用f(z)連續(xù)代替u，v可微作為函數(shù)解析的充要條件，可惜他們的證明有缺陷10年之后前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家在1933年完成了這一證明，定理的證明超出本書的范圍,92,1.4.3 解析函數(shù)的共扼性、調(diào)和性和保角性,1解析函數(shù)的共扼性 解析函數(shù)的

33、實部與虛部由C-R條件聯(lián)系，稱為解析函數(shù)的共扼性。 首先，可以利用解析函數(shù)的虛部確定其實部，或用實部確定其虛部，準(zhǔn)確到一個可加常數(shù)如果給出f(z)在D內(nèi)某一點的值，則可加常數(shù)便能完全確定 設(shè)f (z)在D內(nèi)解析，已知v(x,y)，利用C-R條件可得 duuxdx+uydy = vydx-vxdy (1.4.1) 因為它是一個全微分，可以采用四種方法求出u(x,y)，分別稱為全微分法，曲線積分法，不定積分法和求導(dǎo)法。,93,94,95,(3)不定積分法,將ux=-4y對x作不定積分，由于被積函數(shù)是二元函數(shù)，故 “積分常數(shù)”應(yīng)與積分變量x無關(guān)，但它可以是另一變量y的函數(shù)，即,96,(4)求導(dǎo)法由,

34、97,解析函數(shù)共扼性的幾何意義：曲線族u(x,y)=C1(稱為等u線)與曲線族v(x,y)=C2 (稱為等v線)互相正交,證明 由矢量分析(見附錄A)可知，等u線的法線沿u的方向，等v線的法線沿v的方向，要證明兩曲線族正交，只要證明u與v正交即可，亦即證明兩矢量的標(biāo)積為零 u v0 (1.4.13) 由C-R條件 利用這個結(jié)論容易求得靜電場等勢線與電力線的分布，詳見14.3節(jié)“用保角變換法求解邊值問題”。,98,2.解析函數(shù)的調(diào)和性,調(diào)和函數(shù)的定義：遵守二維拉普拉斯方程 (l.4.15) 的函數(shù)u(x,y)，v(x,y)稱為調(diào)和函數(shù) 解析函數(shù)的實部與虛部均為調(diào)和函數(shù)，這個性質(zhì)稱為解析函數(shù)的調(diào)和

35、性 證明 由f(z)在D內(nèi)解析，將C-R條件ux = vy和uy=-vx分別對x和y求偏導(dǎo)后相加，即得 (l.4.16) 這就證明了f(z)的實部為調(diào)和函數(shù)，同理可證其虛部亦為調(diào)和函數(shù)。,99,滿足C-R條件的兩個調(diào)和函數(shù)稱為共扼調(diào)和函數(shù) 解析函數(shù)的實部與虛部是一對共扼性調(diào)和函數(shù),100,3.解析函數(shù)的保角性,設(shè)w=f(z)在D內(nèi)解析，D內(nèi)的z0點有f(z0)0，如圖1.13 (a)所示L1和L2是通過z0點的兩任意曲線，兩曲線在z0點的兩切線夾角為q = q1-q2 w=f(z)的幾何意義是從z平面到w平面的映射設(shè)點z0與w平面的w0相對應(yīng)，曲線L1和L2 分別與w平面曲線,L1和L2 相對

36、應(yīng)在w0點的兩切線的夾角為 q= q1-q2 ，如圖1.3(b)所示,101,解析函數(shù)保角性,解析函數(shù)w=f(z)在f(z0)0的點處所實現(xiàn)的映射是保角的，即映射前后兩切線的夾角是相等的：q=q.這個性質(zhì)稱為解析函數(shù)的保角性,102,解析函數(shù)保角性的證明,由于導(dǎo)數(shù)值與z0的方式無關(guān)，故分別沿曲線L1和L2取z z0來計算f(z0)時，均有 (1.4.17 ) 又由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知， arg f(z0)表示映射前后切線的轉(zhuǎn)動角，這樣 (1.4.18) 由右邊兩式相等，得 q1-q1 = q2 -q2 移項后便有 q1-q2= q1-q2 由此得 q = q,103,解析函數(shù)的三個性質(zhì)，共扼性、

37、調(diào)和性、保角性,共扼性直接來自C-R條件 調(diào)和性表現(xiàn)為 保角性則由于解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的輻角 argf(z)=q1-q1 = q2 -q2 這三個性質(zhì)都是從微分角度考察解析函數(shù)得到的，在第2章則從積分角度，第3章從級數(shù)展開的角度來研究解析函數(shù)的性質(zhì) 。,104,1.4.4 初等復(fù)變函數(shù),初等復(fù)變函數(shù)是初等實變函數(shù)的自然推廣，只要把y = f(x)的自變量x和函數(shù)y分別改為復(fù)自變量z和復(fù)函數(shù)w，即w=f(z). 這里著重介紹它們作為復(fù)變函數(shù)所特有的性質(zhì)相同的性質(zhì)不再贅述 (1) 冪函數(shù) w= zn， 多項式 有理函數(shù) 是實變函數(shù) 的簡單推廣，其性質(zhì)與實變函數(shù)相似 。,105,(2)指數(shù)函數(shù)的定義,復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的特有性質(zhì)是 ez以2pi為周期由定義(1.4.19)出發(fā)，有,在實數(shù)域，ex0；在復(fù)數(shù)域，ez可小于零，如eip=-1. ez在無窮遠(yuǎn)點無定義因為當(dāng)z沿不同方向趨于無窮遠(yuǎn)點時，